WSTgPPojęcie przeszkc^y epistemologicznej wydaje nam się płodne,

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria V: DYDAKTYKA MATEMATYKI 8 (1987) Anna Sierpińska

Warszawa

Pojęcie przeszkody epistemologicznej w nauczaniu matematyki

WSTgP

Pojęcie przeszkc^y epistemologicznej wydaje nam s ię płodne, potrzebne, a nawet niezbędne w t e o r ii i praktyce nauczania matema tyki. Dlaczego?

Guy Brousseau, któremu zawdzięczamy odkrycie tego p ojęcia dla dydaktyki matematyki (Brousseau, 1977, 1984), mówi, że p o ję c ie to ' pomogło mu znaleźć odpowiedź na pewne pytania, z których dwa zas- J

(2)

któ-rych warto i nawet trzeba brać pod uwagę dawną wiedzę ucznia; 4° po maga w wyborze właściwych zadań rozw ijających wiedzę ucznia.

Wydaje s ię jednak, ż e ^ je s t coś w ięcej w pojęciu przeszkody epistem ologiczn ej• Nie je s t to izolowane p o ję c ie , które pozwala, od powiedzieć na k ilk a szczegółowych pytań związanych z badaniami i , nauczaniem. Z pewnością wyjaśnia ono w ie le systematycznie pojawia

jących s ię błędów uczniów, a le ponadto z pojęciem tym wydaje się wiązać cały program badawczy z pewną podskórną f i l o z o f i ą matematy ki i f i l o z o f i ą nauczania. Ta możliwość rozw in ięcia wokół przeszko dy epistem ologieznej pewnego programu badawczego stanowi właśnie o

s i l e tego p o ję c ia . , .

Artykuł ma na celu uzasadnienie t e j te z y .

Oto plan artykułu. W pierw szej części będziemy s t a r a li s ię odpowiedzieć na pytanie: Co to je s t przeszkoda epistemologiczna

(3)

implika-POJgCIE PRZESZKODY EPIST EMO LOGICZNEJ 105

cje dla nauczania matematyki. Mówimy o nich w części d ru giej. Im p lik a c je te , to 1° zmiana stosunku nauczyciela do błędów uczniów

(błędy muszą być brane poważnie, tym bard żiej, i ż n ie wiemy, czy to, o czym myślimy, że wiemy na temat matematycznego problemu czy metody, je s t ostateczne lub prawdziwe w jakimś sensie. Niektóre błędy, szczególnie te , które są związane z przeszkodami, nie mogą być unikane lub omijane, j e ż e l i ma zostać rozwinięta nowa wiedza, na wyższym poziomie. Trzeba wraz z uczniem dochodzić do źródeł błędu, szukać jego im p lik a c ji). 2° Wypływa stąd także konieczność

zmiany postawy nauczyciela w stosunku do przekazywanych t r e ś c i: wiedza, którą przekazuje, je s t często wynikiem konstrukcji społe

cznej, wyboru, n egocjacji prowadzonych wśród matematyków. Także w k la s ie wiedza powinna być negocjowana z uczniami i nauczyciel nie powinien uważać s ię , ani być uważany przez swoich uczniów, za jedynego posiadacza prawdy. Lekcja powinna przyjąć formę wspólne go badania wraz z uczniami. Jest to jednak postulat bardzo trudny do spełnienia. Zabiera czas i nauczyciel musi brać pod uwagę dawną wiedzę uczniów, traktować ją jako akceptowalną, ale która, być mo

(4)

1. CO TO JEST PRZESZKODA EPISTMOLOGICZNA? 1.1. P r z y k ł a d y

P o ję c ie nieskończoności od niepamiętnych czasów było źródłem pytań i nie rozstrzygn iętych sporów w matematyce. Paradoksy nies kończoności, które bulwersowały Starożytnych, bulwersują i nas d z i s i a j . Zrozumienie ic h is t o t y nie j.est wcale ła tw ie js ze w dobie

komputerów n iż było w dobie kamyków układanych na desce. Matema tycy zaś odczuwają potrzebę wyjaśniania ich wciąż na nowo. Od p ie r wszego wydania k siążk i Bolzano, wydawałoby s ię zadowalająco wyjaś n ia ją c e j paradoksy nieskończoności na gruncie analizy, minęły 132 la ta , gdy młody matematyk amerykański, Rudy Rucker, w swojej książ ce I n f i n i t y and the mind (Rucker, 1982) znów podjął ten temat i po t r a f i ł n ie tylk o coś ciekawego dodać, a le ’ zadał jeszcze k ilk a py tań, na które wcale niełatwo je s t znaleźć odpowiedź.

Różne odmiany paradoksów Zenona pod postacią zagadek kursują także wśród młodzieży szkoln ej, jak przekonaliśmy s ię podczas jed nego z naszych seansów eksperymentalnych. Uczniowie m ie li, m.in.,

zastanowić s ię nad pytaniem:

Dlaczego?”

(5)

POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGIOZNEJ 107

kw estii w p ro to k o le .) Przyczyną ta k ie j postawy może być traktowanie zapisu a + b jako polecenia wykonania działania, a wtedy suma, o k tórej mowa,w pytaniu, rzeczyw iście nie daje się obliczyć w skoń czonym cza sie, i wobec tego nigdy w skończonym czasie wynik nie bę dzie równy 2. Jest to pewna forma nieakceptowania nieskończoności aktualnej, kiedy to cały nieskończony szereg je s t dany jako całość, obejmujemy go jedną myślą, i jego suma, c z y li wynik op eracji prze chodzenia do granicy, je s t równy 2. J eśli myślimy o przechodzeniu do granicy jako o pewnym działaniu matematycznym, które ciągom zbieżnym przyporządkowuje ich granice, to potrzebna je s t nieskoń czoność aktualna. Dla procesu przechodzenia do granicy wystarczy nieskończoność potencjalna. Jak wiadomo, dla intuicjonistów , któ rzy odrzucali nieskończoność aktualną, p o ję d e granicy było akcep towalne, ale właśnie jedynie pod postacią poten cjaln ie nieskończo nego procesu. Było to w zgodzie z ich ogólną tezą, że matematyka nie je s t wiedzą zebraną w formie wyrażonych w jakimś języku zdań, lecz aktywnością ludzkiego twórczego umysłu (Heyting, 1956).

Mówiąc słowami Cantora, „ . . . is tn ie n ie nieskończoności poten c ja ln e j je s t jedynie zapożyczone, w tym sensie, że p o ję c ie nieskoń czoności potencjalnej zawsze wskazuje na lo g ic zn ie wcześniejsze p ojęcie nieskończoności aktualnej, od k tó rej is tn ie n ia zależy*’ , a nawet „strach przed nieskończonością je s t formą krótkowzroczności, która uniemożliwia u jrzen ie nieskończoności aktualnej, chociaż to ona, w swojej najwyższej postaci, stworzyła nas i chroni, a w swo ich wtórnych, pozaskończonych formach je s t wszędzie wokół nas, a nawet zamieszkuje nasze umysły” (Rucker, 1982). Jednak starożytn i, mimo swojego wstrętu do nieskończoności, wyrażającego s ię nawet w ich określeniu nieskończoności - a pe i ro n , mogli sformułować metodę dowodzenia, dziś zwaną metodą wyczerpywania, gdyż wystarczała tu nieskończoność potencjalna. Dzięki n ie j, omijając nieskończoność i będąc wobec tego po stron ie „dobra” (czynimy tu a lu zję do l i s t przeciwieństw tworzonych przez pitagorejeżyków, w których po jed nej stron ie było „skończone” i „dobre” , a po drugiej - „apeiron" i „ z ł e ” ) mogli Grecy sformułować i ś c iś le udowodnić w iele tw ier dzeń, których dziś dowodzilibyśmy metodą rachunku różniczkowego i całkowego.

(6)

z j e j pedantycznym obchodzeniem nieskończoności aktualnej, sta ła s ię przeszkodą. Odrzucając' arystotelesowski zakaz, matematycy XVII i X V III w. swobodnie posługiw ali s ię nieskończonością aktualną w postaci stałych nieskończenie małych, które w dogodnym momencie można było w równaniu pominąć, otrzymując gotowy wzór. ścisło ść tych poczynań nie zawsze była bez zarzutu i winą za to obarczono nieskończoność aktualną: w d e f i n i c j i Cauchy'ego p o jęcia granicy, nieskończoność potencjalna wystarcza. Od strony form alnej. W is t o c ie jednak Cauchy nie mógł być wolny od aktualnych nieskończoności w swoim pojmowaniu continuum. P rzy ję c ie t e j hipotezy przekonująco wyjaśnia owe sławne „błędy'1 Cauchy'ego, w szczególności zaś tw ie r dzenie, że granica ciągu zbieżnego fu nkcji ciągłych je s t funkcją c ią g łą . I to mimo is tn ie ją c e g o od 1807 r . kontrprzykładu Fouriera: cos x - (l/3 )cos 3x + (l/ 5 )cos 5x - . . . Otóż Robinson zasugerował w swojej A n a l i z i e Niestandardowej (Robinson, 1967; Davis, 1981,

s t r . 237-254), a Lakatos (1974 i 19782) tę myśl rozwinął, że „w h i s t o r ii rachunku różniczkowego i całkowego od Leibniza do Weier- strassa, is t n ia ły dwie ryw alizujące te o r ie continuum: te o r ia .leib- nizowska, c z y li continuum archimedesowe rozszerzone do n ie-a rch i- medesowego przez dołączenie nieskończenie małych i nieskończenie w ielkich , oraz d ziś akceptowana te o r ia Weierstrassa. Teoria Leib niza była dominująca aż do rew olu cji weierstrassowskiej i sam Cauchy szedł całkowicie za tradycją Leibniza. Rewolucyjne w t e o r i i Weierstrassa było to , że d ziś znany rachunek różniczkowy i całkowy mógł być w p ełn i wyjaśniony i d alej rozwijany, opierając s ię tylko na weierstrassowskich liczbach rzeczywistych, których zbiór je s t jedynie szkieletem tego, co Leibniz uważał za lic z b y rzeczyw iste. „Zmienne" rzeczyw iste Cauchy'ego przebiegały i weierstrassowskie lic z b y rzeczyw iste nieskończenie małe, i te lic z b y , które ró żn iły s ię od weierstrassowskich lic z b rzeczywistych o nieskończenie w ie l k ie lic z b y , i w reszcie lic z b y nieskończenie małe; późniejsze punk ty Weierstrassa były skończonymi punktami Leibniza-Cauchy '’ego poz bawionymi swoich nieskończenie małych otoczeń" (Lakatos, 19782,

(7)

POJĘCIE PRZESZKODY SPISTEMOLOGICZNEJ 109

lim s n ( x ) = s ( a r ) , gdzie sn ( » ) są c ią g łe ", to chce powiedzieć, że

8n ( x ) muszą być określone i c ią g łe , a ciąg e n ( x ) musi być zbieżny nie tylk o we wszystkich standardowych punktach Weierstrassa, lecz także we wszystkich punktach Leibniza-Cauchy ego, tz n ., że ciąg

8n (x ) musi być określony dla n nieskończenie w ielkich i funkcje

8 ( x ) muszą być cią g łe dla nieskończenie w ielkich n. Przykład Fou r ie r a nie spełnia tego warunku. I teraz s ta je s ię zrozumiałe, dla czego zasada c ią g ło ś c i Leibniza wydawała s ię oczywista i nie' wyma gała dowodu dla matematyków XVIII w.

Ominięcie nieskończoności aktualnej byłoby więc u Cauchy'ego tylk o pozorne.

Zresztą unikanie w ielkości aktualnie nieskończonych stawało się coraz tru d n iejsze. Posłużenie s ię wyłącznie nieskończonością potencjalną do ścisłego opisu lic z b rzeczywistych mogło być doko nane jedynie za cenę w ie lk ie j sztuczności (por. Heyting, 1956).

Do obalenia przeszkody przyczynił s ię walnie Georg Cantor za pomocą, z jednej strony, wyjaśnienia problemu dotyczącego jednozna czności przedstawienia funkcji w postaci szeregu trygonometryczne go, z dru giej wskazując na wieloznaczność p ojęcia nieskończoności, na is tn ie n ie stopni nieskończoności (Rucker, 1982, s t r . 7 -9 ).

Wspomnieliśmy wyżej o przykładzie Fouriera szeregu cos i - - (l/3)cos 3* + (l/5)cos 5x - . . . Po raz pierwszy w pracach Fou r ie r a szereg ten pojawia s ię w rękopisie Memoire sur la propaga t i o n de la ahal eur przedstawionym we francuskiej Akademii Nauk 21 grudnia 1807 r . Oto jak Fourier opisuje wykres sumy tego szeregu:

"Rozważymy równanie - V '

♦ 1 1# 1 ~ ~

y = cos u — - cos 3u + — cos 5u ---- cos 7u + etc .

3 5 7

jako równanie l i n i i , k tó re j u je s t odciętą, zaś y rzędną. Już z poprzednich uwag wynika, że lin ia ta będzie s ię składała z od dzielnych części aat bb, cc, dd, e t c ., z których każda je s t rów noległa do osi i równa połowie długości obwodu koła. Te równoległe

(8)

poprawio-ny: odległość ta wynosi3T/4.) Według Grattan-Guinnessa (1972, s tr . 158), Fourier przygotowywał, ale ostatecznie nie przedstaw ił, dla opisanej wyżej l i n i i następujący diagram:

a-b

,c

d ft--- tf d

Podobny diagram był natomiast zawarty w t e j w e rs ji, która zos ta ła prawdopodobnie wysłana do Biota i Poissona (ibidem, s tr . 182,

184). Diagram towarzyszył tam tekstow i: „Równanie y = cos x -

1 ^ i 1

- -i- cos 3x + 4- cos 5% - cos + e tc . je s t równaniem l i n i i nie-

5 7

c ią g łe j ramnnmjin n*n m etc.

„Ciągłym i" nazywał Fourier funkcje różniczkowalne; n ie c ią g ły mi wszystkie inne.

Diagramów tego typu, w których n ie c ią g ło ś c i są połączone l i niami prostopadłymi je s t u Fouriera w ięcej (ibidem, s tr . 220, 221) i fa k t, że l in ie te należą do wykresu je s t zawsze zaznaczony w te k ś c ie .

•Można stąd wywnioskować, że 1° sam Fourier nie traktowałby swojego szeregu jako kontrprzykładu dla zasady c ią g ło ś c i Leibniza, j e ż e l i traktował swój diagram jako przedstawienie wykresu fu n k cji; 2° j e ż e l i powyższą krzywą traktował jako funkcję, to jego pojęcife fu nkcji ró ż n iło s ię od naszego. Nie byłby w tym zresztą odosobnio ny: wielu matematyków w tym okresie nazywało funkcją dowolną krzy wą (Sziłow, 1965).

(9)

jedno-POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 111

wartościowość względem ustalonej o s i. J e ś li, na wzór Monge^a, wy obrazimy sobie te krzywe jako b r z e g i powierzchni z a w i e ra j ą ce j wszystkie c i ą g ł e krzywe aproksymujące, to zobaczymy, jak naturalny je s t opis Fouriera. Tu, jak wszędzie gdzie in d z ie j, widoczny je s t brak dogmatyzmu w podejściu Fouriera do obiektów matematycznych: jako reprezentacja stanu fizycznego, funkcja musi być skończona i jednowartościowa, le c z j e j wyrażenie algebraiczne swobodnie może przyjmować nieskończone wartości w trak cie manipulowania nim, zaś j e j obraz geometryczny powinien tylko dobrze s ię zachowywać jako krzywa" (s t r . 193).

Podkreślona tu koncepcja granicy jako „brzegu powierzchni za w ierającej wszystkie krzywe cią głe aproksymujące" ma sporo związku z tzw. „przeszkodą geometryczną" odnoszącą s ię do p ojęcia granicy

(Sierpińska, 1983, Przeszkoda I I I . 1 ) .

1.2. K i l k a w ł a s n o ś c i p o j ę c i a p r z e s z

k o d y e p i s t e m o l o g i c z n e j w m a t e -

# /

m a t y c e

W poprzednim ro zd zia le przedstawiliśmy kilka przykładów prze szkód epistemologicznych^związanych z rozwojem pojęć matematyki klasyczn ej:

1°- dopuszczanie w rozumowaniach matematycznych jedynie nies kończoności poten cjaln ej;

2° zupełna swoboda w operowaniu wielkościami nieskończenie ma łymi i nieskończenie wielkimi z zastosowaniem do nich praw zacho dzących tylk o dla w ielkości skończonych;

3° utożsamianie funkcji z krzywą;

4° prze szkoda „geometryczna" związana z pojęciem granicy: granica jako brzeg pewnej powierzchni.

Przykłady t e ilu s tr u ją już pewne cechy przeszkód epistemolo gie znych:

A. P ojęcie przeszkody epistem ologicznej je s t pojęciem względ nym: przeszkody 1° i 2° są przeszkodami w odniesieniu do ahalizy

(10)

tech-nikę operowania nimi bez obawy o sprzeczność. Dla an alizy niestan dardowej, być może właśnie odrzucenie nieskończenie małych na rzecz p o jęcia granicy stanowiło przeszkodę (takiego przynajmniej zdania

Jest Rudy Rucker (1982)).

Względność przeszkody wyraża się ponadto odniesieniem do us talonego etapu rozwoju danej te o r ii matematycznej.

B. Przeszkody występują parami. J’est charakterystyczne dla przeszkód, i ż po odrzuceniu jed n ej, ryzykuje się wpadnięcie w prze szkodę przeciwną. Przeszkody 1° i 2° stanowią taką parę. Przeszko dy 3° i 4° są-przeszkodami „geometrycznymi” , dla których parę sta nowią odpowiednie przeszkody „numeryczne” (przez długi okres w h i s t o r ii funkcje występowały w sposób Jawny tylko w postaci t a b l i c ) .

C. Przeszkoda Jest w pewnym okresie rozwoju t e o r i i podporą. Przeszkody są nieuniknione w rozwoju t e o r i i , gdyż na każdym etapie tego rozwoju, wiedza, którą budujemy, Jest adekwatna do.problemów, których rozwiązaniu służy. Nowe problemy wymagają zmiany narzędzi, odrzucenia pewnych założeń, p rzy ję c ia innych, r e w iz ji dotychczaso wej wiedzy. Omijanie przeszkody nie prowadzi do rozwoju t e o r i i , z którą dana przeszkoda Jest związana, choć może prowadzić do rozwo ju in n ej, ryw alizu jącej przeszkody. Widzieliśmy to na przykładach 1° i 2°.

D. Przeszkoda epistemologiezna - to nie Jest po prostu błąd, nieporozumienie lub brak in form a cji. Jest to coś, co było elemen tem pewnej tr a d y c ji w pewnym okresie rozwoju matematyki. Jest to

element pewnego systemu, i to element ważny, a nie p o ję c ie , które łatwo daje s ię odizolować od reszty systemu; Jest to ra czej Jedno z podstawowych założeń; założen ie, którego obalenie lub odrzucenie wiąże s ię z załamaniem całego systemu.

(11)

POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 113

Zauważmy jednak, że własności A-C przeszkody apisteraologicz- nej zilustrowane przykładami z h is t o r ii matematyki mają swoje od n iesien ia w pracy Bachelarda ( f i l o z o f francuski żyjący w latach

1884-1962, który p o ję c ie przeszkody epistemologieznej wprowadził i uznał za podstawowe w problemach rozwoju myśli naukowej (Bache- lard, 1938)).

Oto wspomniane odniesienia:

- Własność A, s tr . 17: „P o jęcie przeszkody epistem ologieznej może być badane w rozwoju historycznym myśli naukowej i w praktyce nauczania. W jednym i w drugim przypadku badanie to nie je s t łatwe W is t o c ie , h is to ria je s t z zasady niechętna wszelkiemu osądowi nor matywnemu. A jednak trzeba przyjąć normatywny punkt widzenia, j e ż e li chcemy ocenić skuteczność ja k ie jś ć m yśli."

- Własność B, s tr . 20: „Jest zresztą godne uwagi, że przesz kody epistemologiezne pojawiają s ię zawsze parami. Do tego stopnia że można by mówić o psychologicznej zasadzie dwubiegunowości b łę dów. Z chwilą"', gdy jakaś trudność okazuje s ię poważna, można mieć pewność, że obchodząc ją natkniemy s ię na przeszkodę przeciwną. Taka regularność w dialektyce błędów nie może, rzecz jasna, pocho dzić ze świata obiektywnego. Naszym zdaniem, pochodzi ona z posta wy polemicznej myśli naukowej w stosunku do wiedzy *uczonejf Tak jak w aktywności naukowej, musimy być twórcami, wynalazcami, musi my badać zjawisko z nowego punktu widzenia. Ale jesteśmy zmuszeni uzasadnić nasz wynalazek, i wtedy myślimy o nim krytykując punkt widzenia innych. Z czasem przekształcamy nasze uwagi krytyczne k

prawa. Czynimy w ysiłk i w kierunku zmiany zjawiska tak, aby przeciw stawiało s ię wiedzy innych badaczy. Tego rodzaju źle p ojętą o ry g i nalność znajdujemy przede wszystkim w naukach młodych; powoduje ona tylk o wzmocnienie przeszkód przeciwnych."

- Własność C, s tr . 13-14: "Powracając do pełnej błędów prze s z ło ś c i, odnajdujemy prawdę w prawdziwej skrusze in te le k tu a ln e j. W is t o c ie poznajemy przeciwko ja k ie jś dawnej wiedzy, niszcząc źle zbudowaną wiedzę, pokonując to , co w samym umyśle stanowi przesz kodę dla in te le k tu a liz a c ji ( . . . ) Wiedza nabyta wysiłkiem naukowym może także ulegać degeneracji. Pytanie abstrakcyjne i szczere zu żywa s ię ; pozostaje konkretna odpowiedź. Odtąd aktywność in te le k tualna odwraca s ię i blokuje. Na niekwestionowanej wiedzy odciska

(12)

się przeszkoda epistemologiezna. Przyzwyczajenia intelektualne, które były pożyteczne i zdrowe, mogą, na dłuższą metę, stanowić przeszkodę dla badań."

Nieco inaczej je s t z własnością D. Według Bachelarda, obecność przeszkody epistemologicznej w pewnej myśli neguje je j wartość jako myśli naukowej. Przeszkody epistemologiczne charakteryzują w rozwo ju nauki j e j okres przednaukowy. Pole badań staje się nauką z chwi-' lą pokonania przeszkód. Z przykładów, które podaje Bachelard (po chodzą one głównie z rozwoju fiz y k i) wynika, że przeszkody tkwią w postawach filozoficzn ych i psychologicznych ludzi, którzy wiedzę tworzą. Dla ilu s t r a c ji przytoczymy w dalszym ciągu k ilk a przykładów z Bachelarda.

( * ) Stawianie doświadczenia i jego bezpośredniej obserwacji przed i ponad krytyczną an alizą. Opieranie się i podporządkowywanie wiedzy świadectwu zmysłów. Pewne konkretne przykłady objawiania s ię t e j przeszkody odnajduje Bachelard w rozwoju nauki o elektrycznoś c i : „Czytając liczn e książki poświęcone nauce o elektryczności XVIII w., d z is ie js z y czytelnik będzie mógł zdać sobie sprawę z trudności, jakie m ieli uczeni tego okresu w porzuceniu malowniczoś- ci pierwszej obserwacji, w odbarwieniu zjawisk elektrycznych, w uwolnieniu doświadczenia od jego cech pasożytniczych, od jego nie regularnych aspektów. Jasno wtedy ujrzymy, że pierwsze empiryczne uchwycenię zjawisk nie daje nawet ich właściwego rysunku, właściwe go opisu, ani nawet opisu uporządkowanego, hierarchicznego" (s t r .

29).

Bachelard cytu je pogląd P rie s tle y a (1771 r . ) : „Doświadczenia elektryczne są n ajb ard ziej jasne i najprzyjem niejsze ze wszystkich tych, których dostarcza fiz y k a ", wskazując na podstawy f i l o z o f i c z ne jego poglądów: ewidentny i dogłębny empiryzm. Zjawisko wystar czy opisywać tak, jak s ię je w idzi, nie potrzebne je s t poszukiwanie praw. Zresztą odkrywanie zjawisk je s t procesem całkowicie losowym.

W opisie swoich wyników P riestley starannie zaciera wszelkie ślady powiązań teoretycznych, które naprowadziły go na te wyniki. Wszyst kie wzory mają być wzorami empirycznymi, tzn. zbiorami oczekujących lic z b , które wystarczy podstawić w każdym szczególnym przypadku.

(13)

reak-POJgCIE PRZESZKODY- EPISTEMOLOGICZNEJ 115

tywować krytykę i skonfrontować wiedzę z warunkami, które ją powo ła ły do życia, c ią g le powracać do podstaw. Żeby naprawdę można by ło mówić o r a c jo n a liz a c ji jakiegoś doświadczenia, n ie wystarczy znaleźć przyczyny dla faktów. Doświadczenie musi być włączone w ca ły system różnych przyczyn. „Taka te o ria ra c jo n a liz a c ji dyskursyw- nej i kompleksowej ma przeciwko sobie dawne, z góry p rzyjęte

prze-V

konania, potrzebę natychmiastowej odpowiedzi, potrzebę wychodzenia z pewników i słodką wiarę w twierdzenie odwrotne, że wiedza, z któ re j* s ię wyszło je s t wiedzą pewną" (s tr . 4 l ) .

(£>) „Wiedza ogólna jako przeszkoda dla wiedzy naukowej - wynik myślenia usystematyzowanego". Jest to przeszkoda w pewnym sensie przeciwna do p ierw szej: pośpieszne poszukiwanie praw ogólnych. Ob serwowanie rzeczyw istości w funkcji t e o r i i , którą s ię przyjmuje za podstawę, przeciwstawia s ię bezpośredniemu empiryzmowi bez in telek tualnego wysiłku orga n iza cji (s tr . 5, 6, 20). Polega ona na kładze niu u podstaw kultury naukowej jak największych uogólnień: „U pod staw mechaniki: wszystkie c ia ła spadają. U podstaw optyki: wszyst k ie promienie świetlne rozchodzą s ię po lin ia ch prostych. U pod staw b io lo g ii: wszystkie is to ty żywe są śmiertelne ( . . . ) można za stanawiać s ię , czy te w ielk ie prawa stanowią naprawdę myśli nauko we lub, co je s t dla nas tym samym, czy są to myśli sugerujące inne myśli. J e ś li jako miarę wartości epistemologicznej tych w ielkich prawd weźmiemy ich porównanie z wadliwą wiedzą, którą zastąp iły, to nie ma wątpliwości, że były one stymulujące. Ale już nie są. W is t o c ie , blokują one myśl. Odpowiadają en b l o c , lub odpowiadają na pytania, zanito pytania zostały postawione ( . . . ) I oto wynik pod dania s ię czarowi t e j zbyt szybkiej odpowiedzi: dla umysłu przednaukowego czasownik '’spadać* wystarczająco opisuje zjawisko, daje is t o t ę fenomenu spadania. W gruncie rzeczy, tak jak to często mó wiono, te ogólne prawa d efin iu ją bardziej słowa niż rzeczy"

(s t r . 57).

(14)

doś-wiadczenia” (s tr . 83). „Dla umysłu przednaukowego, urok jedności wyjaśnienia zjawisk poprzez jeden rys je s t wszechmocny. Oto przy- / kład. W 1786 r . pojawia s ię książka hrabiego de Tressan. Książka ta pretenduje do wyjaśniania wszelkich zjawisk Wszechświata przez d ziałan ie flu id u elektrycznego. Zasadniczą własnością flu id u elek trycznego je s t dążenie do równowagi z samym sobą. Odtąd, tam gdzie je s t równowaga, je s t z konieczności obecność elek tryczn ości”

(s t r . 94).

Jakie w yjście proponuje Bachelard z tych dwóch przeszkód? W przypadku pierw szej przeszkody myśl redukuje s ię do asym ilacji fak tu (connaissance en comprehension); w przypadku drugiej - myśl ro z szerza wiedzę o zaobserwowanym fak cie (connaissance en extension). Pokonanie obu przeszkód powinno zaowocować myślą empiryczną i twór czą zarazem. P o ję c ie , które tego rodzaju myśl będzie tw orzyła, po winno mieć moc przekształcania s ię . Znaczy to , że w wyniku np. ko nieczności objęcia większej lic z b y faktów eksperymentalnych, lub rozszerzenia, zorganizowania wiedzy o nich, będzie is tn ia ła możli wość r e w iz ji pierwotnej formy i , j e ś l i za jd zie potrzeba, przekształ cenie p o ję c ia . Pokonanie obu przeszkód pozwala na c ią g łe rewidowa nie tworzonych p ojęć, sprawdzanie ich stosowalności, w cielan ie wa runków stosowalności w samo.znaczenie p o ję c ia . W tym właśnie tkwi is to ta nowego racjonalizmu, odpowiadającego silnemu związkowi doś wiadczenia i rozumu. Klasyczny podział wiedzy na teoretyczną i sto

sowaną, który o d d ziela ł t e o r ię od j e j zastosowań, ignorował t ę ko nieczność w cielania warunków zastosowania w samą is t o t ę t e o r i i

(s t r . 61).

Kolejne przykłady dotyczą przeszkód b ardziej konkretnych, wy nikających częściowo z dwóch pierwszych, ogólnych przeszkód.

(15)

w znaczny sposób sprężać, dlaczego może być rozrzedzone i pojawiać się w objętościach znacznie większych niż te , w których w id z ie liś my je przedtem". Metafory „gąbki" używał także Franklin do wyjaś niania zjawisk elektrycznych: środowisko, w którym płynie prąd moż na porównać do gąbki (s t r . 75).

(6 ) „Przeszkoda animistyczna", która fetyszyzu je ż y c ie : z ja wiska b iologiczn e służą do wyjaśniania zjawisk fizycznych. Poszu kuje s ię podobieństw nie tylk o między światem zwierzęcym a światem roślinnym, ale także między światem zwierzęcym a światem minerałów. Np. magnetyzm je s t tłumaczony przepływem pewnego płynu w porach magnesu (s t r . 162). Także przypisywanie szczególnej r o l i procesowi trawienia i wyjaśnianie zjawisk fizycznych przez ten proces je s t objawem t e j przeszkody. Bachelard cytuje Hęcąueta: „woda, która nie daje s ię sprężać, wyznacza ciśn ien ia we wnętrzościach Ziemi i ułatwia traw ienie mineralne" (s tr . 177).

( 6 ) „Przeszkoda pragmatyczna" - uzasadnianie is tn ie n ia z ja wisk przez ich użyteczność: „W XVIII w. usprawiedliwienie użytecz nością było n ajbardziej naturalne ( . . . ) I tak V oltaire w id ział jasno sens ruchu rocznego i dziennego Ziemi, dzięki ich użytecz ności" (s t r . 93).

Wg Bachelarda przeszkody Of), (S), (£ ) są bardzo silnymi prze szkodami w rozwoju nauk przyrodniczych, tym s iln iejszy m i, że odpo wiadają in t u ic ji f i l o z o f i i re a lis ty c z n e j" (s tr . 82).

W przedostatnim ro zd zia le Bachelard wskazuje na k ilk a przesz kód, które wiążą s ię z podstawami matematycznymi nauk przyrodni czych, a szczególnie f i z y k i . Mamy tu do czynienia z dwiema przeciw stawnymi grupami przeszkód: „przeszkody wiedzy jakościowej" i „przeszkody wiedzy ilo ś c io w e j".

(v/>) P r z e s z k o d y w i e d z y j a k o ś c i o w e j . (y>1) Odrzucanie matematyki jako środka opisu zjawisk fiz y c z nych, oddzielanie matematyki od f iz y k i. Np. Newtonowi zarzucano,.

że jego fizy k a je s t zbyt matematyczna czy zmatematyzowana, a zatem niczego nie wyjaśnia (s t r . 231).

(y?2) Brak poczucia sk a li w ielk ości:

(16)

- Odmawianie „prawa do zaniedbywania” metodom badań naukowych, podczas gdy w każdym badanym zjawisku je s t znaczna licz b a okolicz ności, które nie mają wpływu na to zjawisko. Np. kolor pocisku nie je s t istotny w jego własnościach balistycznych. Prawo to je s t szcze gólnie ważne w d z is ie js z e j technice: każdy aparat pomiarowy może być opisany przez podanie warunków, które zaniedbuje, i technikę tego zaniedbywania (s t r . 222).

Bachelard wypowiada następnie m yśli, która może być interesu jąca dla matematyka: „Prawo do zaniedbywania je s t , w sposób oczywi sty, podstawą rachunku różniczkowego. Tam je s t ono naprawdę konie cznością udowodnioną. Dlatego tak dziwne są uwagi Ojca Castel, spóź nionego kartezjańczyka. Zauważa on u Newtona często występujące wy rażenie *co można zaniedbać * i żywo je potępia, powtarzając w ten

sposób w świacie i l o ś c i , w którym bezapelacyjnie tryumfuje prawo do zaniedbywania, ataki, które wcale nie są bardziej uzasadnione w świecie ja k o ś c i” (s t r . 223).

■ N iezależn ie od powodów, dla których ów Pere Castel potępiał „prawo do zaniedbywania” w rachunku różniczkowym, je s t faktem, że sam Newton w P r i n c i p i a c h odrzucał to prawo jako podstawę swojej analizy, dążąc do zbudowania j e j w oparciu o p o jęcie „ostatnich stosunków” , zbliżon e do p o ję c ia granicy. Zauważał on niebezpieczeń stwa stosowania tego prawa: może ono prowadzić do uznawania zb ież ności każdego szeregu, którego wyraz ogólny dąży do zera. Prawo to

o o

mogło być przyczyną uznania zbieżności szeregu ^ (-1 ) przez

Eulera. n=1

Chcielibyśmy uznać „prawo do zaniedbywania” za przeszkodę w matematyce klasycznej (Sierpińska, 1983). U podstaw t e j przeszkody le ż y m.in. brak poczucia s k a li w ielkości w świecie w ielkości n ie skończenie małych.

CY) P r z e s z k o d y w i e d z y i l o ś c i o w e j . .

Bachelard wyróżnia tu dwie przeciwstawne przeszkody:

(17)

POJECIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 119

Of2 ) Matematyzacja zbyt ś cisła lub fałszyw ie ś c is ła . Objawem t e j przeszkody była tzw. fizy k a kartezjańska, którą określano jako fizy k ę matematyczną bez matematyki. Także - branie pod uwagę sied miu c y fr po przecinku w obliczeniach przy bardzo nieprecyzyjnie ok reślonych zjawiskach, w rozwiązywaniu niestabilnych układów równań. R efleksja pedagogiczna Bacheladra: „Zadania maturalne z f i z y ki stanowią niewyczerpaną kopalnię przykładów t e j źle uzasadnionej p re c y zji w obliczeniach. Większość zastosowań numerycznych prowadzi się bez zastanowienia nad problemem błędu. Wystarczy, żeby jakieś d zielen ie nie „wychodziło dokładnie", by kandydat wpadał w panikę. Będzie uporczywie wykonywał niekończące s ię d zielen ia , by znaleźć wynik dokładny. J e ż e li s ię zatrzymuje, to dlatego, i ż w ierzy, że wartość rozwiązania mierzy się liczb ą c y fr po przecinku, które wyz naczył. Nie zastanawia s ię , że precyzja wyniku, j e ś l i przekracza precyzję danych wyjściowych je s t niczym innym, jak wyznaczeniem próżni ( . . . ) Często, w celu nauczenia zdrowego rachunku p rzyb liżo nego dawałem moim uczniom następujące proste zadanie: obliczyć z dokładnością 1 cm średni promień dębu o obwodzie 150 cm. Większość uczniów używała p rzyb liżen ia lic zb y 2s3,l4l6, c o jaskrawo od biega od możliwej dokładności" (s. 214).

Przykładem zbyt mętnej matematyzacji je s t,' wskazuje Bachelard, także uproszczone geometryczne widzenie zjawisk, zniewalające intu i c j ę : „ I tak, dopóki ograniczamy s ię do ogólnych sformułowań praw Keplera, można mieć pewność, że będzie s ię fałszyw ie zrozumianym. Powodem tego je s t , że dla umysłu przednaukowego, o elipsach zakre ślanych przez planety myśli s ię jak o pochodzących od okręgu, któ ry pozostaje formą czystą, naturalną, wartościową ( . . . ) e lip sa je s t okręgiem spłaszczonym, źle narysowanym ( . . . ) w ta k ie j in t u ic ji, elip sa je s t ^uż perturbacją, rezultatem wypadku. Ta koncepcja jest. szczególnie jasna w systemie Nicolasa Hartsoekera, który w C o n j e c 

t u r e s p h y s i q u e s z 1706 r . wiąże eliptyczność orbity z zaburzeniami

ziemskiki, analogicznymi do trzęsień ziemi" (s tr . 232-233).

(18)

W sformułowaniu własności D (s t r . 12) odwołujemy s ię do t e o r i i Kuhna rozwoju nauki w procesie następujących po sobie stanów normal nych nauki i rew olu cji naukowych (Kuhn, 1962). W czasie stanów nor malnych nauką rzą d zi paradygmat, c z y li „ogóln ie uznane osiągnięcia naukowe, które przez ja k iś czas stanowią modelowe problemy i ich rozwiązania dla pewnej wspólnoty praktyków" (ibidem, s t r . x ) . Pa radygmat je s t osiągnięciem naukowym dostatecznie bezprecedensowym, by na trw ałe przeciągnąć na swoją stronę grupę zwolenników, i dos ta teczn ie otwartym, by nowo powstała grupa praktyków miała co ro z wiązywać. Znaczy to , ze pewne zaakceptowane przykłady rzeczyw istej naukowej praktyki, przykłady zawierające prawidła, t e o r ię , zastoso wania i oprzyrządowanie jednocześnie, dostarczają modeli, z których wyrastają poszczególne spójne tradycje badań naukowych. Są to tr a dycje ta k ie jak t e , k tó r^ h is to ry c y nazywają „astronomią ptolem ej- ską" lub „astronomią kopernikańską", „dynamiką arystotelesowską" lub „dynamiką newtonowską", „optyką korpuskularną" lub „optyką fa lową", it p .

(19)

POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 121

W dalszym ciągu Kuhn poćaje przykład z h is t o rii elektrycznoś ci w pierwszej połowie XVIII w., przykład ulubiony także przez Ba- chelarda. Jest duże podobieństwo w doborze przykładów u obu auto rów, trochę inny język opisu i pewne różnice w ocenie. Tam, gdzie Bachelard mówi „stan przednaukowy", Kuhn używa wyrażenia „stan pre- paradygmatyczny", z tym, że np. Bachelard zalicza Franklina je sz cze do okresu przednaukowego, winiąc go za stosowanie metafory gąb ki do wyjaśniania zjawisk elektrycznych, natomiast Kuhn mówi o pa radygmacie franklinowskim.

Kuhn tw ierd zi (s t r . 15)» że pierwsze trwałe paradygmaty w ma tematyce datują s ię od czasów prehistorycznych. Dowodzić tego ma fa k t, że teksty matematyczne od bardzo dawna były zrozumiałe tylko dla sp ecjalistów . Po prostu: is t n ia ł pewien, ustalony paradygmat i donosząc o swoich wynikach matematyk nie musiał wykładać od podstaw swojej t e o r i i , gdyż te podstawy były wspólne dla wszystkich matema tyków w danym okresie.

Nie ma co mówić, wobec tego, o okresie przednaukowym w matema tyce, a skoro Bachelard widzi przeszkody tylko w takim okresie, to nie ma co mówić- o przeszkodach w matematyce.

My jednak nie chcemy s ię zgodzić ze zdaniem, że przeszkody epistemologiczne w rozwoju wiedzy naukowej występują jedynie w ok re s ie poprzedzającym p rzy ję c ie paradygmatu. Oczywiście, żadna z przeszkód, o których mówi Bachelard, poza pewnymi aspektami prze szkód ( W i (Y) (s tr . 17-19) nie daje s ię bezpośrednio zastosować do wiedzy matematycznej czy d ziałaln ości naukowej w matematyce. Wydaje s ię jednak, że w przypadku nauki, k tórej rozwojem od zara nia dziejów r z ą d z ił paradygmat, przeszkód epistemologieznych nale żałoby szukać, tak jak zaznaczyliśmy to we własności D, w bardziej lub mniej jawnych założeniach, regułach, zasadach matematycznych lub filo z o fic z n y c h paradygmatu, i to założeniach na t y le mocnych, że odrzucenie paradygmatu wiąże s ię z odrzuceniem tych założeń. Są to założenia winne niewystarczalności paradygmatu, choć nie muszą być uświadamiane przez ogół praktyków tego paradygmatu.

(20)

nau-k i, janau-ką w swojej pracy ostateczn ie przedstaw ił Kuhn: chodzi tu o zachętę, sformułowaną przez f i l o z o f a Lalande, do systematycznego badania w h is t o r ii nauki okresów, w których „rozum odczuwa satys fa k c ję " i okresów, w których „rozum czuje s ię zakłopotany".

A jednak paradygmaty (a więc i przeszkody epistem ologiczne) są nie do uniknięcia w rozwoju nauki: są one budulcem wiedzy i dzia ła ln o ś c i naukowej (Kuhn, 1962, s tr . 108-109; także s t r . 43 tego ar tykułu). Także dla Brousseau je s t to ważna, szczególnie w jego zas tosowaniu do nauczania, własność p o ję c ia przeszkody epistem ologicz ne j . Wyraziliśmy to we własności A (s t r . 12).

Chcielibyśmy więc szukać przeszkód epistemologieznych w mate matyce wśród tych nierzadko ukrytych założeń, reguł lub zasad para

dygmatu w stanie normalnym nauki. /

Poszukiwania te nie są łatwe i mogą prowadzić do fr u s t r a c ji, zauważa Kuhn:

(21)

POJgCIA PRZESZKODY EPISTEMO LOGICZNEJ^ 123

Przyczyn trudności w odkrywaniu tych reguł i zasad Kuhn propo nuje szukać w 1° nieuświadamianiu sobie tych reguł przez członków wspólnoty naukowej pracującej w ramach jednego paradygmatu; ponad to, 2° paradygmat je s t pierwotny w stosunku do tych reguł, które mogłyby być jednoznacznie' z niego wyabstrahowane: można prowadzić badania w ramach paradygmatu nie będąc świadomym reguł nim rządzą cych; 3° ten sam paradygmat może być różnie interpretowany przez różne grupy specjalistów praktykujących w nim (ibidem, s tr . 45-46).

Reguły, założenia i zasady .paradygmatu ujawniają s ię i zosta ją uświadomione tuż przed i w czasie rew olucji naukowych, w okre sach, kiedy paradygmat je s t najpierw atakowany, a następnie poddawa ny zmianom. Kuhn podaje tu przykłady szerokich dyskusji w okresie p rze jś c ia od mechaniki newtonowskiej do kwantowej, które dotyczyły

samych podstaw, standardów w fiz y c e . Podobne dyskusje wywoływała asymilacja mechaniki Galileusza i Newtona lub t e o r ii elektromagne tyzmu Maxwella.

Spektakularnym, często przytaczanym przykładem z h is t o r ii ma tematyki je s t spór między Eulerem a d*Alembertem o p o jęcie fu n kcji, który zaowocował sformułowaniem d e fin ic ji pojęcia fu n k cji, choć nie za życia przeciwników w tym sporze. Dyskusja ujawniła wszystkie ukryte koncepcje p ojęcia fu n kcji, którymi posługiwali s ię matematy cy od XVII w., sprzeczności między nimi, niewystarczalność w róż nych nowych sytuacjach, które s ię pojaw iły. Debata trwała cały wiek XIX, d e fin ic ja D irich leta nie zadowalała wszystkich, matematycy po d z i e l i l i s ię na dwa obozy, z których jeden żądał, by określenie funkcji podawało regułę pozwalającą dla każdego x obliczyć odpowia dające mu y, inni uważali, że domaganie się ta k ie j reguły je s t zbędne. Dyskusję zamknęła d e fin ic ja Peano z 1905 r . , choć także nie zadowoliła wszystkich (Sziłow, 1965).

Do własności A-D przeszkody epistemologieznej dopiszmy więc jeszcze jedną:

(22)

sprze-cżności i niewystarczalności. Badane są wtedy podstawy paradygmatu i winna hipoteza może być odkryta. Ale może ona być dopiero odkry ta w wielu wieków po odrzuceniu paradygmatu, z perspektywy, która pozwala ogarnąć szerszy obszar problemów.

Jest jedno miejsce w pracy Kuhna, które warto tu zacytować jako dobrze oddające ideę przeszkody epistemologicznej:

„Skoro nowa paradygmaty rodzą się , z konieczności, z dawnych, to zawierają wiele z dawnego słownictwa, aparatu, zarówno pojęcio- wego, jak manipulacyjnego używanego przez poprzedni paradygmat. Ale rzadko nowy paradygmat posługuje s ię tymi elementami w trady- cyjny sposób. W ramach nowego paradygmatu stare terminy, pojęcia i doświadczenia wchodzą w nowe związki. Nieuniknionym tego re z u l- tatejn je s t to, co musimy nazwać, choć termin na pewno nie je s t do bry, nieporozumieniem pomiędzy rywalizującymi szkołami. Laicy, któ rzy oburzali się na ogólną te o rię względności Einsteina, ponieważ

(23)

POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 125

strony, z chwilą, gdy te zmiany zostały dokonane i zrozumiane, tak Descarts jak Huyghens mogli zdać sobie sprawę, że kwestia ruchu • Ziemi je s t pozbawiona t r e ś c i dla nauki" (ibidem, s tr . 148).

Kuhn wskazuje tu inne spojrzenie na błędy, które odkrywamy w h is t o r ii nauki. Te błędy mogą świadczyć o przywiązaniu do innego paradygmatu, o innym rozumieniu tych samych terminów. Widzieliśmy to w podanych na wstępie przykładach z h is t o r ii matematyki, szcze

gólnie w an a lizie „błędów'1 Cauchy^ego. '

Interesująca je s t ostatnia uwaga Kuhna: czasami p o jęcia lub problemy, na temat których toczą s ię w czasie rew olucji naukowych w ielk ie boje, okazują s ię bez znaczenia w dalszym rozwoju nauki. Przypomina s ię tu h is to ria p ojęcia nieskończenie małej, które wzniecało w iele dyskusji, a które okazało s ię zbędne dla zbudowa nia an alizy klasycznej. Podobnie stało s ię z kwestią osiągania czy nie osiągania granicy (Sierpińska, 1983).

(b ) B a c h e l a r d m ó w i ł o p r z e s z k o d a c h e p i s t e m o l o g i c z n y c h t y l k o w n a u k a c h p r z y r o d n i c z y c h ; m a t e m a t y k a n a u k ą p r z y r o d n i c z ą n i e j e s t . '

Bachelard wyłączał matematykę spod piętna przeszkód epistemologicznych. W L a f o r m a t i o n d e l 'e s p r i t s c i e n t i f i ą u e (1938) Bache lard p is ze : „Rozwój wiedzy matematycznej różni s ię bardzo od roz woju myśli naukowej w j e j wysiłku zrozumienia zjawisk fizycznych. W is t o c ie , h is to ria matematyki je s t cudem regularności. Są w n ie j okresy stagn acji, nie ma okresów błędów. Żadna więc z te z , których bronimy tu ta j, nie odnosi s ię do wiedzy matematycznej" (s t r . 22).

Is t n ie je jednak stanowisko filo z o fic z n e , coraz ch ętniej ostat nio wypowiadane (często zresztą w kontekście badań nad nauczaniem matematyki), które podkreśla empiryczny i społeczny aspekt matema ty k i jako d zia ła ln ości naukowej

Stanowisko to daje nam prawo rozważania przeszkód epistemologicznych także w matematyce. O k reślił je Lakatos w książce A r e 

n a i s s a n c e o f e m p i r i c i s m i n t h e r e c e n t p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s

(24)

(Lakatos, 1978.), powołując s ię na takich m y ś lic ie li, jak Russell,

* T ^

Gttdel, Weyl, Kalmar, Mostowski i , choć z Popperem polemizuje, to przyznaje, że ideę rozważania badań matematycznych ra czej w kon tek ście odkrycia n iż uzasadniania w ziął od Poppera właśnie.

Pogląd filo z o fic z n y uznający empiryczny charakter d ziałaln oś c i matematycznej trak tu je świat wiedzy matematycznej jako świat autonomiczny. Według Poppera, najbardziej typowym przykładem są lic z b y naturalne:

„Niech mi Kronecker wybaczy, a le zgadzam s ię z Brouwerem, że ciąg lic z b naturalnych je s t tworem ludzkiego umysłu. A le, chociaż stworzyliśmy ten ciąg, to on z k o le i tworzy swoje własne autonomi czne problemy. Rozróżnienie między liczbami parzystymi a nieparzy stymi nie zostało stworzone przez nas: je s t ono niezamierzoną i nieuniknioną konsekwencją naszego tworzenia. Podobnie, lic z b y p ie r wsze są oczywiście faktem obiektywnym, i ich autonomia także nie je s t zamierzona; a w przypadku lic z b pierwszych je s t jeszcze bar dzo dużo do odkrycia: is t n ie ją przypuszczenia takie jak hipoteza Goldbacha. I te hipotezy, chociaż odnoszą s ię pośrednio do wytwo rów naszego umysłu, to dotyczą bezpośrednio problemów i faktów, które w pewnym sensie oderwały s ię od tego, co sami stworzyliśmy, których nie, możemy kontrolować, i na które nie mamy wpływu: są to surowe fa k ty i prawda ich dotycząca nie je s t łatwa do odkrycia

(Popper, 1972, s t r . 131-132)” .

Wobec ta k ie j postawy powstaje pytanie: ja k i je s t związek mię dzy matematyką a językiem matematyki? Jest bowiem jasne, że dla Poppera matematyka nie je s t tylko formalną grą lin g w is ty c zn ą ,-c zy li, innymi słowy, że is t n ie je dla niego coś takiego jak pozajęzykowe obiekty matematyczne, tzn . myśli, czy ra czej tr e ś c i m yśli. Otóż dla Poppera język matematyki powstaje jednocześnie i w in te ra k c ji

z matematycznymi konstrukcjami myślowymi: (

(25)

usystematyzowana i zaksj ornaty zowana; język także może stać s ię pro blematyką, g a łę zią konstrukcji matematycznej. Chyba właśnie to chciał powiedzieć p ro f. M yhill w swojej znanej uwadze: » nasze f o r m alizacje korygują nasze in tu ic je , zaś nasze in tu ic je nadają formę naszym f orm alizacjom «" (Popper, 1972, s tr . 151-152).

Zasługą Poppera je s t to , i ż odwrócił on tradycyjny problem lo g ik i indukcyjnej: jak wyprowadzić ogólne prawa z poszczególnych doświadczeń i obserwacji, twierdząc, że te o rie naukowe są ra czej wynajdywane (invented) jako hipotezy, spekulacje lub przypuszcze nia, które są następnie poddawane eksperymentalnym testom, za po mocą których krytycy tych hipotez c h cielib y je ob a lić. Teorie nau kowe nie są wyprowadzane indukcyjnie z faktów i nie je s t potrzebne uzasadnianie praw naukowych za pomocą praw rozumowania indukcyjne go. Wg Poppera, te o r ię można uznać za naukową; j e ż e l i je s t f a l s y f i - kowalna, tzn . j e ż e l i is t n ie je te s t, który może ją obalić (Davis,

1981, s t r . 345).

Lakatos próbował wykazać (m.in. w P r o o f s and r e f u t a t i o n s), że „nieformalna te o r ia matematyczna je s t nauką w sensie Poppera, tzn. że rozw ija s ię w procesie następujących po sobie krytyk i naprawy t e o r i i i przez wysuwanie nowych rywalizujących t e o r i i (co odbiega od dedukcyjnego schematu matematyki sform alizowanej). ( . . . ) Mate matyka także, tak jak nauki przyrodnicze, je s t zawodna, nie je s t niepodważalna. Teorie matematyczne nie są nigdy całkowicie wolne od dwuznaczności lub możliwości błędu czy przeoczenia. Wychodząc od problemu lub hipotezy rozpoczyna s ię jednoczesne poszukiwanie dowodów i kontrprzykładów. Nowe dowody wyjaśniają dawne kontrprzy- kłady, nowe kontrprzykłady podważają dawne dowody. Dla Lakatosa

(26)

Autorzy książki The mathemati cal e x p e r i e n ce (Davis, 1981) znaj dują jaskrawy przykład na to , jak mimo wszystko przemożny wpływ na nasze myślenie o matematyce ma id e o lo g ia form alistyczna, u samych redaktorów eseju P r o o f s and r e f u t a t i o n s •- Johna Woralla i E llie Za- hara. Otóż redaktorzy c i u znali za konieczne opatrzenie zdania La- katosa: ^trzeba zarzucie myśl, że nasza dedukcyjna in tu ic ja wnios kowania je s t niezawodna* następującym komentarzem:

» To zdanie wydaje nam s ię mylne i nie wątpimy, że sam Lakatos, który miał wysokie mniemanie o formalnej lo g ic e dedukcyjnej, zmie n iłb y je . Logika pierwszego rzędu doszła do ta k ie j charakteryzacji prawidłowego wywodu, która czyni taki wywód zasadniczo niepodważal nym ^ (Po ta k ie j uwadze) nieuprzedzony czyteln ik mógłby dojść do wniosku, że d z is ie js z a praktyka matematyczna osiągnęła etap, w któ rym nie ma już miejsca na błąd w d e c y z ji, czy dany dowód je s t pra widłowy czy n ie. Twierdzą oni (Worali i Zahar), że nowoczesny f o r malny dowód dedukcyjny je s t nieomylny, tak że jedynym źródłem wąt- • pien ia o prawdziwości wniosku je s t podważenie prawdziwości założeń. J e że li patrzymy na tw ierdzenie, nie jako na stwierdzenie jego tezy, le c z jako na zdanie warunkowe:» j e ż e l i hipotezy są prawdziwe, to wnioski są prawdziwe«, to w t e j warunkowej formie - mówią Worali i

Zahar - o siągn ięcia lo g ik i pierwszego rzędu czynią tę prawdę niepod ważalną. W tym sensie, mówią, te o ria )>zawodnością Lakatosa je s t fałszywa. W mojej o p in ii, Lakatos ma ra c ję ; Worali i Zahar są w b łę d zie. Co dziw niejsze, ich zastrzeżenie ma swoje korzenie dokładnie w tym b łęd zie, który Lakatos atakuje - mianowicie w b łęd zie utożsa miania samej matematyki (c z y li tego, co prawdziwi matematycy upra w iają w rzeczywistym św iecie) z j e j modelem lub reprezentacją w me- tamatematyce, lub, j e ś l i w o lic ie , w lo g ic e pierwszego rzędu. ( . . . ) Worali i Zahar nie zauważają, że formalne dowodzenie w lo g ic e p ie r wszego rzędu je s t d zia ła ln o ścią czysto hipotetyczną (poza dowodami dla zabawy w nauczaniu l o g i k i ) . W rzeczyw istości, dowody są ustala ne przez consensus specjalistów , a le nawet wśród specjalistów nie ma zgodności o p in ii, co d‘ó poprawności czy pełności dowodu. Wątpli wości są rozwiewane przez przekazywanie i wyjaśnianie dowodu, nigdy

(27)

j e ś l i tw ierdzenie ma znane zastosowania i uogólnienia i j e ś l i tw ier dzenie je s t analogiczne do znanych rezultatów w b lis k ic h d zie d z i nach, to zaczyna być uważane, za » twardą podstawę« . W tym sensie twardą podstawą są arytmetyka i geometria euklidesowa" (Davis, 1981, s tr . 354).

Dla Lakatosa empiryczny charakter matematyki wyraża s ię w ro dzaju teoretycznych powiązań między te o rią mnogości lub innymi teo riami należącymi do podstaw matematyki a, powiedzmy, klasyczną ana li z ą . Powiązania te są „quasi-empiryczne", nie zaś „euklidesowe", jak chciała epistemologia klasyczna. Znaczy to, że zasadniczy prze pływ logiczn y, to nie transmisja prawdy kanałami dedukcji od aksjo matów do twierdzeń wywiedlnych z aksjomatów, le c z retransm isja f a ł szu od specjalnych twierdzeń „na dole'1 („basie statements'*) do ak sjomatów. W tym ujęciu aksjomaty są tylko hipotezami roboczymi, i j e ż e l i okazuje s ię , że na gruncie przyjętych aksjomatów któreś ze specjalnych twierdzeń je s t fałszywe, to trzeba zmienić aksjomaty.

Mówimy o teoriach euklidesowych lub quasi-empirycznych nieza leżn ie od tego, co płynie w kanałach logicznych. Interesu je nas t y l ko, jak się ten przepływ odbywa. J e że li interesujemy s ię tym, co płynie w kanałach logicznych, to możemy mówić o teoriach empirycz nych lub nieempirycznych. Teoria je s t empiryczna, j e ż e l i j e j zdania zasadnicze dotyczą czasoprzestrzeni i wyrażają tzw. „twarde fa k ty ". To one stanowią „potencjalne fa ls y fik a c je " dla t e o r i i empirycznej. Czym zaś są potencjalne fa ls y fik a c je w matematyce? Na pewno są nimi fa ls y fik a c je logiczn e, c z y li zdania typu p a^P* J e że li akceptujemy pogląd, że formalna te o r ia aksjomatyczna w sposób niejawny sama ok re ś la swoją tre ś ć , to oczywiście nia ma innych matematycznych fa ls y - f i k a c j i poza logicznymi. Natomiast, j e ż e l i przyjmiemy, że te o r ia formalna powinna być form alizacją pewnej t e o r i i nieform alnej, to po wiemy, że je s t ona obalona, j e ż e l i jedno z j e j twierdzeń je s t sprze czne z odpowiednim twierdzeniem t e o r i i nieform alnej. Takie n ie fo r malne tw ierdzenie Lakatos nazywa heurystyczną fa ls y fik a c ją t e o r i i form alnej. Na przykład, za nieformalne odpowiedniki t e o r i i formal nych zawierających arytmetykę Lakatos uważa te o rię fin itystyczn ych dowodów H ilb erta lub konceptualizacje in tu icjon istyczn e.

(28)

'su-geruje sprzeczność, a „su gestie można ignorować” . To je s t tylk o h i poteza ryw alizująca. Ale to nie oddziela matematyki od fiz y k i tak bardzo, jak by się zdawało. „Zasadnicze zdania" Poppera są w końcu także ty lk o hipotezami. Podstawową ro lą , jaką mają do spełnienia fa ls y fik a c je heurystyczne, je s t przesunięcie problematyki badawczej w kierunku problfemów ważniejszych, stymulowanie rozwoju ram teo re tycznych bogatszych w tre ś ć .

Esej Lakatosa P r o o f s and r e f u t a t i o n s bardzo przekonująco ilu s tru je ideę matematyki jako nauki ąuasi-empirycznej w racjonalnej rekonstrukcji h is t o r ii rozwoju tzw. formuły Eulera dla wielościanów i p ojęcia wielościanu w ogóle.

Ilu s tr u je on także drugi aspekt matematyki jako d zia ła ln o ści, o którym wspomnieliśmy wyżej, mianowicie j e j aspekt społeczny. La katos wskazuje na fa k t, że częęto w matematyce d e fin ic ja je s t do bierana tak, by eliminowała nrewygodne kontrprzykłady dla tw ier dzeń, których prawdziwości chciałoby s ię dowieść („monster-barring d e fin it io n s " ). A to , co chciałoby s ię , aby było prawdziwe, nieko niecznie musi narzucać s ię lo g ic zn ie - to może być sprawa do dys kusji w społeczności matematyków.

( c ) S p o r y n a d p o j ę c i e m p r z e s z k o d y e p i s t e m o l o g i c z n e j w n a u c z a 

n i u m a t e m a t y k i .

-Jak w idzieliśm y w rozważaniach zawartych w punktach (a ) i (b ), adaptacja p o ję c ia przeszkody epistem ologicznej w matematyce nie je s t prostym przeniesieniem . Wymaga to pewnego twórczego wysiłku.

Wysiłek ten zo sta ł podjęty (Brousseau, 1983; Glaeser, 1981, 1985; Duroux, 1983), ale na ra z ie jesteśmy na etapie zbierania doś wiadczeń. Nie pora więc jeszcze na formułowanie ostatecznych okreś

leń p o jęcia przeszkody epistem ologicznej w matematyce. Można co najwyżej przyjmować określenia robocze. Ale chyba rzeczą najważ n iejszą je s t w iedzieć, czego właściwie chcemy od p o jęcia przeszko dy, jaką r o lę ma ono spełniać, ja k ie własności na pewno powinno mieć, a później można zastanowić s ię dopiero, które z tych włas

ności wystarczą w określeniu. ••

(29)

sobie od razu zdać sprawę i wyeliminować z dalszych dyskusji. Są to :

- Brak rozróżnienia dwóch rzeczy: (i) sformułowania ogólnych własności przeszkody epistemologicznej i (ii) sformułowania warun ków, jakie powinien spełniać opis przeszkody epistemologicznej (że np. powinien zawierać opis metod rozwiązywania problemów lub sposo bów wyjaśniania zjawisk przed pokonaniem przeszkody i analizę wa runków historycznych, w jakich doszło do jej pokonania; na tej p.od- stawie Brousseau zarzuca Glaeserowi, że przyjmuje on za przeszkodę- „brak pewnej wiedzy", podczas gdy Glaeser tak ją tylko nazywa, a jej opis spełnia stawiane przez Brousseau warunki. Zresztą określa nie przeszkody w terminach „braku pewnej wiedzy" jest zupełnie na turalne, jeśli przyjąć własność A względności przeszkody, odnosze nia jej zawsze do pewnej normy. Ponadto chcielibyśmy uważać za przeszkodę w matematyce np. brak jednolitego pojęcia liczby; właś nie ten brak, a nie rozmaite teorie i metody, które w historii poz walały matematykom jakoś rozwiązywać problemy mimo tego braku).

- Mieszanie przeszkód epistemologicznych z przeszkodami „dy daktycznymi", tzn. przeszkodami w rozwoju osobniczym wiedzy w sy tu a c ji szkolnej. W tek ście Duroux (1983, s t r . 54) sformułowane są k ry te ria , ja k ie powinny spełniać, zdaniem ich autora, przeszkody w procesie nabywania wiedzy w szkole. Brousseau, polemizując z Glaeserem (1983), sprawdza czy przeszkody epistemologiezne związa ne z pojęciem lic z b względnych wykryte przez Glaesera spełn iają k ry te ria Duroux. To prawda, że niektóre przeszkody epistem ologiczne odnajdujemy u d zisiejszy ch uczniów (czasami w nieco zmienionej form ie) i te przeszkody in teresu ją nas najbardziej jako dydaktyków, ale nie można tych dwóch pojęć utożsamiać. Wiele przeszkód dydak tycznych ma swoje źródło w specyficznym podawaniu wiedzy przez na u czyciela, w elementaryz a c ji czy konkretyzacji, lub, - jak wolą mó wić Francuzi - w transpozycji dydaktycznej z wiedzy „uczonej" do wiedzy szkoln ej. (Dlatego w badaniach eksperymentalnych przeszkód

epistemologicznych związanych z danym pojęciem matematycznym dobie ramy uczniów, którzy nie zetk n ęli s ię z tym pojęciem w systematycz nym nauczaniu.)

(30)

-cych metod rozwiązywania problemów. Brousseau, upierając s ię przy twierdzeniu, że przeszkoda je s t pewną wiedzą („connaissance") , wy raźnie przyjmuje stanowisko drugie, Glaeser wydaje się skłaniać ra czej ku pierwszemu rozumieniu nauki - jako d zia ła ln o ś c i. Obaj przy tym odwołują się do Bachelarda, i nic dziwnego, że znajdują u niego poparcie, gdyż Bachelard oba te aspekty nauki uwzględnił. Np. prze szkodą je s t zarówno „op in ia, niekwestionowana wiedza, wiedza prowi zoryczna", jak też „n ie kwestionowanie obiegowych czy głoszonych przez autorytety o p in ii, brak krytycyzmu, niechęć do stawiania py tań" .

Pierwsza z wymienionych tu przeszkód - opinia - została zauwa żona już bardzo dawno: spora część wywodów Sokratesa w T e a j t e t o s i e Platona została poświęcona argumą|htacji za tym. Ale nawet ona może odegrać pozytywną r o lę w rozwoju wiedzy, choć nie z t e j r a c ji, że je s t opinią. Jest ona podporą w tym sensie, że samo j ’e j is tn ie n ie każe zadać sobie pytanie o j e j źródła, podważyć ją , przeanalizować i wyjaśnić zjawiska, do których się odnosi, i odrzucić treść w n ie j zawartą lub ją potw ierd zić. Zaś umiejętność stawiania problemów je s t is t o t ą myśli naukowej; jak tw ie rd zi Bachelard: „Każda wiedza je s t odpowiedzią na pewne pytanie. J e ś li nie było pytania, to nie może być wiedzy naukowej" (Bachelard, 1938, s tr . 14).

Chociaż wolimy rozpatrywać matematykę przede wszystkim jako pewną twórczą aktywność ludzkiego umysłu, to nie będziemy zajmować się w badaniu przeszkód epistemologićznych w matematyce takimi przeszkodami jak ta w drugim z podanych wyżej przykładów. Przeszko da ta tkwi w postawach człowieka wobec problemu i j e j badanie je s t może b a rd ziej tematem badawczym dla pedagoga czy psychologa niż dydaktyka. Dlatego przyjmiemy szóstą własność:

F. Przeszkody epistemołogiczne związane z rozwojem danej t e o r i i matematycznej są specyficzne dla t e j t e o r i i . Ogólne przeszko dy epistemołogiczne w matematyce są specyficzne dla matematyki.

(d) T r u d n o ś ć a p r z e s z k o d a .

(31)

-POJgCIE PRZESZKODY EPISTEMOLOGICZNEJ 133

mentem kilku różnych zbiorów, tzn . może mleć jednocześnie k ilk a róż nych własności. J e ż e li ten element nazywa się a i aCX. oraz a ć Y , gdzie X^Y, to można uważać obiekt a ze zbionr X i ’ obiekt a ze zbio ru Y za obiekty różne. Np. liczb a kardynalna 4 może być jednocześ* nie elementem zbioru lic z b naturalnych N ( i być wtedy następnikiem lic z b y naturalnej 3) i elementem zbioru kwadratów lic z b naturalnych

( i być kwadratem lic z b y naturalnej 2 ). Przy ustalaniu równolicznoś- c i tych zbiorów buduje się b ije k c ję :

I 2 3

II H I!

₁ ₄ ₉

J e ż e li tego rozszczepienia nie zaakceptujemy i będziemy trak tować np. 4 w jednym i w drugim zbiorze jako ten sam obiekt, to ten argument nie przekona nas o równoliczności rozważanych zbiorów. Wtedy je s t tak, jąjcby b ije k c ja była przedstawiona na jednym ciągu lic z b naturalnych: wówczas liczb a strzałek wychodzących nie je s t jednakowa dla wszystkich lic z b . Czwórka je s t brana dwa razy, dwój ka, tró jk a tylko po ra p .e :

4 5 6 . 7 ' 8

I! t! ł| 1? It

₁₆ ₂₅ ₃₆ ₄₉ ₆₄

(32)

przedstawieniach czy z różnych punktów widzenia, stanowi przeszkodę którą część uczniów s ta le odnajduje w różnych sytuacjach uczenia s ię " .

Zauważmy tu k ilk a spraw:

1° autor nie nazywa swojej przeszkody „epistem ologiczną" i być może w ogóle nie ma na myśli przeszkody w sensie Bachelarda, Brous- seau czy innych. Byó może używa t e j nazwy w sensie potocznym;

2° Duval bada swoją przeszkodę jedynie w sytu acji uczenia s ię w szkole. Wprawdzie odwołuje s ię do h is t o r ii (źródłem rozważanego przykładu je s t tzw. paradoks G alileusa) i rozwoju wyrażeń „ t y le samo", „m niej", „w ię c e j", „równoliczność", „podzbiór" w odniesieniu do zbiorów nieskończonych (zresztą pisze o tym tylko na marginesie) a le „przeszkody", którą odkrył u swoich uczniów, nie próbuje odna le źć w h i s t o r i i . Zresztą musiałby szukać w h is t o r ii matematyków, którzy n ie p o t r a f i l i rozszczepiać obiektów matematycznych, podczas gdy dla Duvala przeszkodą je s t właśnie rozszczepianie obiektów ma tematycznych. To tak, jakby powiedzieć, że przeszkodą w rozwoju po- ję c ia lic z b y były liczb y , niewymierne. Duvalowi nie chodzi chyba o przeszkodę w naszym sensie, lecz u trodność: po prostu trudno je s t traktować ten sam obiekt z własnością a l f a - i ten'sam obiekt z włas nością beta, gdzie a lfa i beta są różne, jako dwa różne obiekty, a także trudno je s t zrozumieć ’is to tę lic z b rzeczywistych.

W sensie Duvala, na przykład, p o jęcie równoliczności byłoby przeszkodą. Dlatego, że je s t ono matematycznym odpowiednikiem r e la c j i „mieć t y le samo elementów", zaś wyrażenie „mieć t y le samo e le mentów" n ie s ie w sobie ca ły bagaż znaczeń potocznych, nie akceptu jących sytu acji,w k tó re j część może mieć t y le samo elementów co ca*- ło ś ć . My powiedzielibyśmy ty lk o , że matematyczne p o jęcie równolicz ności je s t trudne z tych powodów, zaś za przeszkodę epistem ologiez- ną uznalibyśmy myśl wyrażoną w aksjomacie 5 k sięg i I Elementów

Euklidesa: „ I całe je s t większe od c z ę ś c i", gdyż odrzuca ona możli wość rozważania zbiorów nieskończonych skoro ich własnością je s t to , i ż mogą być w pewnym sensie równe swoim podzbiorom.

(33)

zadaniach matematycznych i źródła tych błędów mogą być różne. Te źródła to często właśnie przeszkody epistemologiezne lub dydakty czne związane z danym zagadnieniem. Np. jako jedną z trudności związanych z pojęciem modułu (wartości bezwzględnej) Duroux podaje konieczność badania kilku przypadków przy rozwiązywaniu zadań

(a ^ 0, a < 0 ).

1.4. Tło h is to ry c zn o -filo zo fic zn e p ojęcia przeszkody epistemolo-giczn ej

Praca Bachelarda (1938), w k tó rej wprowadził on p o jęcie prze szkody epistem ologicznej, je s t w is to c ie tylko przyczynkiem do kw estii l i n i i demarkacyjnej między tym, co naukowe, a tym, co n ie naukowe lub pseudonaukowe. Z przytoczonych już wyżej cytatów z Ba chelarda wynika, że według niego myślenie naukowe charakteryzuje się przede wszystkim perspektywą naprawionych błędów. Pisze on: „Mówi się często, że h ip otezie naukowej, k tórej nie g ro zi żadne obalenie, niedaleko do tego, by była hipotezą zbędną. Także doś wiadczenie, które nie naprawia żadnego błędu, które je s t prawdziwe po prostu, bez dyskusji, do czegóż ono może służyć? Doświadpzenie naukowe je s t to więc ta k ie doświadczenie, które przeczy doświadcze niu powszechnemu ( . . . ) . To ta perspektywa naprawionych błędów cha rakteryzuje, naszym zdaniem, myśl naukową” (ibidem, s tr . 10). W przytoczonym cytacie z Bachelarda mamy do czynienia jakby z powoła niem s ię na ideę falsyfikacjonizm u Karla Poppera, ale próżno by szu kac tego nazwiska w cytowanej przez Bachelarda b ib lio g r a f ii.

Dyskusje na temat oddzielenia tego, co naukowe, od tego, co nienaukowe, były szczególnie wzmożone w latach dwudziestych i tr z y dziestych naszego s tu le c ia . Rewidowano dawne poglądy na ten temat. Falę tę mogły wywołać pewne rewolucje naukowe, które zdarzyły się na przełomie wieków, jak np. odkrycie paradoksów t e o r i i mnogości czy te o r ia względności, które zachwiały wiarą w is tn ie n ie tzw. „wiedzy obiektywnej” , na k tó re j straży s to i myślenie racjonalne.