24 korce _ 3 4 8 _
192
3 ćw: — 7 gar:
96 ' /
-72
8352 korce po 2 ćw: 174 po 1Ć W : 87
po 4 gar: 43 — 2 Ć W :
po 2 gar: 21 - 3
po 1 gar: 10 — 3 — 4 gar:
8689 --- » - 4 gar: odpo:
W tym przykładzie rów nie j a k w poprzedza
ją c y m , rozpoczęliśmy działanie od pomnożenia liczby m ającej najw yższą jednostkę to j e s t 24 korcy przez 348 i otrzymaliśmy 8352 korcy na pierwszy- cząstkowy iloczyn ; następnie 3 ćwierci, rozebraliśm y na 2 ćw ierci i 1 ćwierć. W skutku czego wzięliśmy połowę 348 korcy czyli 174 korcy
16*
drugi cząstkowy iloczyn ; je d n a ćw ierć j e s t po- ló w ą dwóch, a że licząc po 2 ćw ierci wypótrze- bow ano 174 korcy, więc zużywając po l ćwierci spożyją p ołow ę 174 korcy czyli 87 korcy, co będzie tczecim cząstkowym iloczynem garcy 7
= 4 + 2 + 1, 4 garce są połową ć w i e r c i , 2 gars są p o ło w ą 4 garcy, 1 garniec j e s t p o łow ą 2ch.
Ci ludzie zużywając po 4 garce dziennic z u żyją w dniach 3 4 8 , p o łow ę 87 korcy czyli 43 korcy 2 ćwierci , czwarty cząstkowy iloczyn ; li
cząc po 2 garnce dziennic spotrzekują połow ę 43 korce, 2 ćw ierci czyli 21 korcy 3 ćwierci piąty cząstkowy iloczyn. Po l garcu dziennie spo- trzebują w 348 dniach połąw ę 21 korcy 3 ćwierci, czyli 10 korcy. 3 ćwierci, 4 garce szósty i osta
tni cząstkowy iloczyn. W sz y stk ie te cząstkowe iloczyny dodawszy razem otrzymamy na wypadek iloczyn z 24 korcy, 3 ćwierci, 7 garcy przez 348, czyli odpowiedź żądaną.
D w a poprzedzające zadania rozw iązane są dla dania dokładnego wyobrażenia , ja k postępo
wać należy w m nożeniu liczb wielorakich na przypadek pierwszy
P R Z Y P A D E K II.
M n o żn a liczbą pojedynczą a m nożnik w ieloraką.
Z a d a n ie I . Ile trzeba zapłacić za 26 łokci — 3 ćwierci — 5 cali pewnej roboty, której łokieć kosztuje 28 złp.
Zadanie to można w dwojaki sposób rozwiązać.
P ierw szy sposób. Zamieniam 26 łokci, 3 ćwierci, 5 cali na liczbę jednogatunkow ą czyli pojedyn
czą i otrzymam 647 cali, następnie p o w ia d a m , gdyby cal tej roboty kosztow ał z łp . 2 8 , to 647 cali kosztowałoby 647 razy więcej czyli 28 złp . X 647 co czyni 18116 z ł p . , lecz że my płacimy nie za I cal 28 z łp , ale za t łokieć czyli za 24 c a le , a zatem liczyliśmy 24 razy d r o ż e j , czyli iloczyn 1 8 l l 6 z ł p . j e s t 24 razy większy od p ra w d z iw eg o , trzeba go przeto zmniejszyć 24 razy czyli przez 24 podzielić i otrzymamy na iloraz 754 złp. 25 g r . , co w łaśnie będzie odpowiedzią szukaną.
D r u g i sposób pow szechnie u ż y w a n y . f V z ó r działania.
za 3 za
Mnożna 28 złp . Mnożnik 26 łoltci —
168 56 f za 2 ćw: 14 l za 1 ćw: 7 [ za 3 cale 3 - 15 1 za 2 ealc 2 - 10
754 zł. 25 gr.
O bjaśnienie. Łokieć po 2S z i p . , 26 łokci ko
sztować będą 26 razy więcej czyli 728 z łp .,
piór-wszy cząstkowy ilo c z y n ; 3 ćwierci = 2 ćwierci + 1 ćw ie rć , 2. ćwierci połowa 'łokcia , a zatem zapłacę za nie połow ę 2* złp. czyli 14 z łp drugi cząstkowy iloczyn. Z a je d n ę ćwierć jako połow ę 2 ć w ie r c i, zapłacę p ołow ę 14 z łp czyli 7 złp.
trzeci cząstkowy iloczyn; 5 cali = 3 cale + 2 cale.
Z a 3 cale jako połow ę ćwierci zapłacę połow ę 7 złp. czyli 3 złp. 15 gr. czwarty cząstkowy ilo
czyn. Z a 2 cale jako trzecią część ćwierci z a p łacę trzecią część wartości ćwierci to j e s t t r z e cią część 7 złp. czyli 2 złp . 10 gr. piąty czą
stkowy iloczyn. ,
T e wszystkie cząstkowe iloczyny do siebie dodaw szy, otrzymam na wypadek iloczyn z li
czby 28 złp. pomnożonej przez 26 łok ci, 3 ćwierci 5 cali.
Z a d a n ie I I . Je ż e li za dukat dostajemy ta
siemki łokci >9, ile tejże samej tasiemki po ce
nie wskazanej kupimy za dukatów 54 — złp 12 gr. 15.
Z ada nie to rozwiążemy za pomocą działania mnożenia , na co nas naprow adza sama natura rz ecz y , bo gdy za jeden dukat dostajemy 19 łokci, to za 54 d u k :, 12 zip., 15 gr: dostaniemy tyle razy więcej , ile razy ta ostatnia liczba wieloraka j e s t większa od jednego dukata.
W zór działania.
M nożna 19 ' łokci Mnożnik 54 duk: — 12
“76 95
złp. — 18 gr.
za 12 zł:
1026 ło:
za 9 zł: 9 — 2 ćw:
za 3 zł: 3 — » — 4 cale za 1 zł: 1 — » — 1 — *2 linii
za 15 gr: » — 2 — » — 4 —
JJc&ba tylko pomocnicza.
1039 ło: » ćw: 4 ca: 4 linii
O bjaśnienie. Naprzód rozbieram 12 zip. na 9 z ł p . + 3 złp. A by się dowiedzieć ile otrzymamy ło k c i tasiemki za 54 dukatów trzeba pomnożyć 19 łokci przez 5 4 , a mnogość 1026 łok ci będzie pierw szym cząstkowym iloczynem. Z a dukata do-, stajemy 19 łokci, więc za 9 z łp , to j e s t za pół dukata będziemy mieli 9 łokci — 2 ćw ierci, drugi cząstkowy iloczyn. Za 3 złp. jako część trzecią 9 złp ., dostaniemy trzecią ezęść 9 łokci — 2 ćw:
czyli 3 łokci — 0 ć w ie r c i — 4 c a le , trzeci c z ą stkowy iloczyn. Z a 1 złp . jako część trzecią 3 z łp . dostalibyśmy trzecią część 3 łokci — 4 cali to j e s t 1 łokieć — l cal i 2 linii, liczba ta nie b ę dzie się z innemi dodawać, i wynaleziona tu zo
stała w pomoc dla obliczenia ile dostaniemy łokci tasiemki za pewną liczbę groszy, dla tego tu j ą między dwoma linijkami umieściliśmy. — Z a 15
groszy jako połow ę 1 z łp dostaniemy połow ę 1 ł o k c i a , 1 cala i 2 linii, to jest 2 ćwierci i 4 lin ii, czw arty cząstkowy iloczyn.
T e wszystkie cząstkowe iloczyny zebrawszy r a z e m , otrzymamy na summę liczbę która będzie
odpowiedzią szukaną.
T o samo zadanie można je s z c z e rozwiązać ina
czej: 54 duk: — 12 złp. — 15 gr. zamieniam na grosze, tycli będzie razem 29535.
Gdybyśmy za je d e n grosz dostawali 19 łokci tasiem ki, to za 29535 dostalibyśmy 561165 ło k c i , a że my nic za grosz ale za dukata to j e s t za 540 groszy dostajemy 19 łoG ci, czyli co na jed n o wy
chodzi płacimy 540 razy d roż ej, przeto 540 razy . . , , . . 5611C5 . , . mniej łokci otrzymamy, to je s t ~ — łokci co się równa 1039 łokci — 4 cali i 4 linii.
P R Z Y P A D E K III.
i
M n o żn a i m nożnik są liczb a m i w ielorakiem !.
Z a d a n ie I . Z a łokieć sukna płacim y 2 duk: — 15 z ł p . . — 25 gr: Za łokci 64 — ćwierci 3 — cali 5 , po tej 'samej cenie łokieć ile zapłacimy.
W z ó r działania.
Objaśnienie. W ykonyw ając powyższe działanie mnożenia otrzymaliśmy 10 cząstkowych iloczy
nów. Z tych cząstkowe iloczyny pod literami
mogące być zapłacone o p u sz c z a m y , przez co błąd w naszym racliunkn na całej sununic naw et grosza je d n e g o nie uczyni.
5 cali = 3 cale + 2 cale.
Z a 3 cale jako za połowę ćw ierci zapłacimy połowę je j wartości to j e s t : połow ę 12 złp. — 28 gr: — 13 denarów, co uczyni 6 zł. — 14 g r. — 6 denarów', i).
Za dwa cale'jako za trzecią część ćwierci, za
płacimy trzecią część jej wartości to je s t trzecią część 12 złp. — 28 gr. — 13 d e n a ró w , co uczyni 4 z łp — 9 gr. — 10 denarów, k).
Z e b ra w sz y te wszystkie cząstkowe iloczyny razein opuszczając tylko je d e n zakreślony pod literą d ) jako pomocniczy w racliunkn , summa będzie odpowiedzią szukaną.
T o samo zadanie można j e s z c z e rozwiązać in
nym sp o so b em , który cbociaź tu okazanym b ę dzie, jednakże nietrzeba uczniów przyzwyczajać- do używania g o , bo j e s t licz porówuanin dłuż
szy.
W a rto ść je d n e g o łokcia wyrażam w samych groszach to j e s t : 2 duk: — 15 złp. — 25 gr. — 1555 groszy.
D aną liczbę 64 łokci — 3 ćwierci 5 cali za-*
mieuiam na cale tych będzie 1559 cali. Następnie zmieniam zadanie mówiąc , za cal je d e n płacę 1555 groszy, za 1559 cali, ile zapłacę. Odpowiedź
znajdziemy mnożąc 1555 groszy przez 1559 ilo
Opuściliśmy tu ułamki denara, na mocy tej za
Z a d a n ie . Jeż eli za je d e n dukat można otrzy czynniki w skład mnożenia wchodzące, są też same jakie b yły w zadaniu poprzedzającćm , a jednak
otrzymaliśmy wypadki różniące się od s i e b i e , w prawdzie nie co do liczb całkowitych ale co do natury g łów nej jedności i co do jć j podzia
łó w . Z tego widzimy, źe to praw idło któreśmy podali (na str. 9 7 ), iż można przemienić porzą
dek czynników w mnożeniu nic zmieniając ilo
czynu, j e s t ściśle rzeczy biorąc prawdziwe tyłko na ten prz y p ad ek , gdy to praw idło stosujemy do liczb ogólnych czyli uiemianowanycli, bo z samej definicyi mnożenia wypada, iż w m nożeniu liczb mianowanych iloczyn i mnożna muszą być tejże sam ćj'n atury, to j e s t tego samego gatunku, a m n o żnik chociażby by ł mianowanym w zadaniu, musi być koniecznie liczbą o d e r w a n ą , która oznacza ile ra z y powinna się powtórzyć m n o ż n a , albo ja k a z niej część ma być wzięta. W odbywaniu przeto działania m nożenia, potrzeba starać się oznaczyć ściśle który z dwóch czynników ma być wzięty za m nożną, co łatw o zgadniemy, ponieważ musi być tego samego gatunku co inuogośę, a ta ostatnia j e s t oznaczona warnnkami zadania.
U w a g a I I . .Zapatrując się na sposób postępo
w ania w rozw iązyw aniu zadali z mnożenia liczb w ielora kich, widzimy żc dyfinieya tego działania, którą podaliśmy na liczby ca łk o w ite , tu zmianie uledz musi i powiemy w ogólności: ,,D ziałanie za pomocą którego mając dane dwie liczby jakie
kolwiek znajdujemy trz e c ią , klóćaby się miała do