*< /*77-7/ź4?-\
f£ e k / * ^ ^ o ^ u ^ i ^ l y _ / ^ ^ o y y u / - J te y y t- ^ć*Z ^7 /ć Ł i^S /,/? ć s^y * ś' ss7e7?*edr?^tZ -'^/z^? - I y ^ ^ 2 ^ ^ y i ^ c ,2 .'' < i^ fz^ ?& cććą <? ^ ć .s A ^ /it y y ^ y ^ -7 -2 * 0 / ^ ^ y / y ^ i t f i / / ^^-i* o --, i ;
ssy ^ c / / / £ ^ * -c y ó -^ y ^ z^ y _
jy^sy^& cz& ty' ■ if <% j* '-< / jy f '- ' C ^ j W ij y
w-p
* « * ♦ * & % » ' *
POCZĄTKÓW AHYTflKTYKI.
Za pozwoleniem Cenzury Rządowej.
/
W DRUKARNI POD FIRMĄ M. CHMIELEWSKIEGO
awwouussra ■waauwi®
POCZĄTKÓW ARYTMETYKI
OS ej ui [ij acy
/ %
LICZENIE, DZIAŁANIA NA LICZBACH CAŁKOWITYCH, WIADOMOŚĆ O MIARACH I WAGACH, DZIAŁANIA NA LICZBACH WIELORAKICH , I ZASTOSOWANIA DZIAŁAŃ ARYTMETYCZNYCH DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ
Z ŻYCIA POTOCZNEGO ,
W W ARSZAW IE, -
NAKŁADEM S. ORGELBRANDA KSIĘGARZA PRZY ULICY MIODOWEJ Nr6 496.
. * ~ 1843.
a*
O ZNAKACH LICZEBNYCH CZYLI CYFRACH.
H e n r y ś razu jednego z a p yta ł co to są liczby? Moje dz iccfco, ciekawość twą pochwalam, za
spokoić j ą p r a g n ę , ale zarazem przestrzegam, źe musisz cokolwiek bliżej zastanowić się nad rzeczą zupełnie od liczby r ó ż ną , nim będziesz mó gł pojąć co j e s t liczba.
W tym celu aby nie tylko Henrysia , ale inne dzi ec i , które do mnie zgromadziły się na naukę objaśnić 5 wydobyłem pu dł o, w którem były r ó żne rzeczy, oświadczając : że to wszystko co się
1
w nićm znajduje stanie się ich własnością skoro vr miarę zadawauych przezemuic pytań zręcznie i z uwagą odpowiadać będą.
D zicci ciekawe były niezmiernie co się w p u dle znajdowało i zarazem dowiedzieć się chciały (o czćm przekonałem się z natężonej ich uwagi) co by to pudło za związek miało z liczbami o któ
rych im mówić zamierzyłem. Odpakowawszy, wysypał em na stół wielki to wszystko eo się w tern pudle mieściło — i
Co to j e s t ? zapytałem :
Hen ryś odpowiada , różne rzeczy, i gruszki i śliwki i jabłka piękne.
— iYie m ógłbyś ty je d n y m w y ra ze m tego xvszysU kiego n a zw a ć?
To trudno, ho tu j est wiele różnych rzeczy.
Jestem p ew n y żeś n ie r a z ten iv y ra z słysza ł?
O! nie wiem, do prawdy nie wiem, bobym go sobie od razu przypomniał.
— A co są oivocc?
Owocami nazywają gruszki, j abłka, śliwki a że tu są te same przedmioty, więc to można nazwać wszystko owocami.
D ła czegóż j e tak nazw ać m o żn a ?
Bo wszystkie te r z eczy są do siebie podobne i j ednej natury, gdyby tu były i kamienie, nie mógł bym powiedzieć że to są o wo ce , tylko po
wiedziałbym że są owoce i kamienie.
G dybym zaś za p y la ł was, jakieg o tu są rodzaju ot voce?
— Odpowiedziałbym że sq gruszki, śliwki i jabłka. . Z tego com dotąd od w a s sły sza ł w nieść mo
ż n a , że aby mieć w y o b ra żen ie o ro zm a itych rze
czach trzeba koniecznie poznać dokładnie ezęści z ja k ic h się one składają. Części te zow ią się jed n o stka m i i l a k : n ikt z w as nie będzie w ie d zia ł co są g ru szk i, ja b łk a , ś liw k i, je ż e li nie w ie co je s t je d n a g r u s z k a , je d n o ja b łk o , je d n a śliw ka 5 je ż e li zaś g ru szki będą różne, tw a rd e i m iękkiej soczyste i m ą c zy ste , słodkie i n ie d o jrza łe , w ó w czas nie będziecie m ogli żadnego z tych p rzym io tów dodać do tego w y r a z u gruszka , któ ryb y w a m rzec z dokładnie m a lo w a ł, w y ją w szy różne co je s t zb yt ogólne. Z ląd jeszcze m ożecie się przekonać dla czego ludzie kupujący gruszki, śli- ivki, ja b łka , i t. p. rzeczy, d o pytują się o ich p r z y m io ty. A przedający aby mogli nazn a czyć cenę o ddzielają g a tu n k i od siebie, p rzez co sobie i n a byw ającym znacznie u ła h o ia ją . R zecz ja k a k o ł w iek z którą p o ró w n yw a m y inne rzeczy tego sa
mego g a tu n ku n a zyw a się jed n o stką a ich zbiór liczbą.
I tak, je d n a g ru szka zow ie się jednością i p i
sze się I.
D inie g ru szki ezyli 11 albo krócej zn a k 2 m ów i
się liczba diva czyli dw ie jed n o ści z których k a żda je s t gruszką.
T rzy g ru szki, c zy li I l i , albo zn a k 3 m ó w i się trzy gru szki czyli trzy jedności z których każda jest gruszką.
C ztery gruszek czyli 1111, albo zn a k _ 4 , ozna>
cza cztery jed n o ści
P ięć gruszek albo l i l i i czy li zn a k 3 . Sześć gruszek czy li 111111 albo zn a k 6.
S ied m gruszek czyli 1111111 albo znak 7 . O śm gruszek czyli 11111111 albo znak 8.
D zie w ię ć gruszek czy li 111111111 albo zn a k 9 . fV id z ic ie w ięc dzieci m oje że je s t dzieioięć zna
ków następujących.
1. 2 . 3 . 4 . 3 . 6. 7. 8. 9.
i. u. ni. mi. m u. m m . m m i . m m i i . liiiinii.
je d e n , dw a, trzy , c ztery , p ięć, szesć, siedm , osm, d z ie w ięć .
Z a pom ocą których w szystkie bez w y ją tk u zbiory je d n o śc i, całą kulę ziem ską składające, oznaczyć potraficie.
P o zn a łyście j u ż dotąd 2 4 liter i te w a m svysiar
czyły do napisania tego wszystkiego o czetn tylko pom yślić możecie, nie tylko w y ale wszyscy ludzie n a z ie m i, lecz j a k ten co p o zn a ł lite r y , p o trafił je pojedynczo w ym ó w ić, m usiał się koniecznie n a uczyć je razem z sobą spajać, łączyć i fo r m o w a ć w y ra zy które są głosem w yra ża ją cym pew ien po-
m ysi lud zki lub rze c z, ja k nie dosyć było te w y r a zy ivym ó w ić aby pojąć ich szerey p ew ien to je s t m o w ę , ale trzeba było każdego w szczególności w artość- czyli znaczenie p o z n a ć , tak róiuniei n ie dosyć je s t dziew ięć znaków liczebnych um ieć n a pisać i p rze c zy ta ć , ale trzeba koniecznie m ieć ja s n e w yo b ra żen ie o ich w zględnej w artości.
Ix a źd y z w as czuje to d obrze, że trzy g ru szk i a dw ie nie je s t toż samo.
— A jeżeli ilwie, zapylał się Heoryś są tal; do
bre i wielkie jal; trzy to dwie będą równe trzem.
— S p ra w ie d liw a tw oja u w a g a , ale ivóivczas je d n a gruszka z divóch i jedna z trzech nie j e s t to samo. Je d n o stk i zatem nie są sobie rów ne i w ów czas m u sia łb ym pow iedzieć d w ie g ruszki duże, ró w n a ją się trzem m niejszym . J \a m o je ivięc w y
chodzi źe do poznaaia dokładnego w artości liczb p o trzebna je s t znajom ość dokładna jednostek z któ
rych te liczby się s k ła d a ją , ja k ó ź trudność po- zcyiszego ro zu m o w a n ia zn ik n ę ła b y , gdybyś m i b y ł p o zw o lił dokończyć. P ow iedziałem bow iem że trzy g ruszki a dw ie nie je s t to samo i chciałem dodać na ten p rzy p a d e k , gdy te gru szki zupełnie są sobie ró w n e i n ic ztm się od siebie nie ró żn ią , w rw c za s każdy z ivas w o la łb y trzy a niżeli dw ie.
P orów nyw ać nie m ożecie z sobą tylko ' liczby takie któ rych jedności są sobie rów ne. D la tego
i*
teź ile ra zy słyszycie, ie kto m ó w i na ylos, d w a , pięć, sześć, pytacie za ra z czeyo d w a , ezego pięć, a gdy chcecie te liczby których jed n o stek nie- Ąznaćzłteie z sobą p o r ó w n a ć , m usicie koniecznie p rzyp u ścić, że ich jed n o stki niczćrn się od siebie n ie różnią, iv razie przeciw n ym poróionanie m iej
sca mieć nie może.
Gdyście się nauczyły pisać i wymawiać te dzie
wi ęć znaków, które się jeszc ze nazywają cyframi prz ej dzi emy do wykrycia ick względnej wartości, co inaczej nastąpić nie może, jak tylko w skutku ick wzajemnego porównania.
W liczbach p y ta m y się tylko o ich w ielkość w stosunku do in n ych . 'Porów nyteam y ~t(ś w ie l
kości liczb których jed n o stki niczem się nie różnią z so b ą , w d w o ja ki sposób; albo dochodzim y ich ró żn icy i tak o ile 2 , je s t m niejsze od 6 , lub o ile O, w iększe od 2 ; albo dochodzim y ile ra zy je d n a liczba m ie śc i się w drugiej- np. ile razy 2
m ieści się w O, albo ile dw ttjek je s t w 6.
W p ierw szym p rzypadku, je ż e li dw ie liczby są te sam e np. 2 i 2 ta kie niczem się nie różnią czy li inaczej pierw sza od drugiej, i dru g a od pierw szej nie je s t a n i iciększa ani m niejsza.
J e ż e li Zaś dw ie liczby są sobie nie ró w n e , w ię- ksza będzie ta co m a iv sobie w ięcej je d n o ś c i, a m niejsza zaś która m a m niej w sobie je d n o śc i;
np. O gruszek je s t w ięcej j a k 2 gruszek gdy te g ru szki są rów ne.
L ic zb y p o jed yń cz” tw orzą się z d o d a n ia do sie
bie pojedyńczych jed n o stek np. d w a jest to sam o, co je d e n w ięcej jed en , trzy je s t to samo co je d e n , w ięcej je d e n i w ięcej je d e n , albo to i sa m o , co d w a icięcej je d e n , ulbo jed en w ięcej dw a.
1 jed en , dołóżcie do tego gatunek każdej rzeczy na ś niecie a będziecie mieli wszystkie jednostki, i tak: gruszka, jabłko, śliwka, ziemia, łokieć i t d.
A liczby z oznaczonych ściśle jednostek złożone zow ią się liczbam i m ianoicanem i , np. 3 ja b łe k , S g ru szek; je ż e li zaś w liczbie ja kiejko liciek nie w ym ien ia m y g a tu n ku jedn o stek j ą składających, tylko po prostu m ów im y lub piszem y 3 , 6, 7 , i t. d takie liczby których jed n o stki nie są o zn a czone, zow ią się ogólne inaczej oderioaue.
2 d w a, składa się z dwóch jedności czyli j e s t to samo co j e d e n , więcej jeden, a zatem dwa od jednego j e s t 6 j ede n większe, albo jeden w dwócli
mieści się dwa razy i tak macie dwie gruszek.
I l e razy sięgnąć m usisz H e n ry siu rę k ą , abyś po je d n e j biorąc gruszce w zią ł je obie?
D wa razy! krżyknął i pokazał, raz, zabrał j e - d n ę , drugi raz drugą , a żc po jednę gruszkę sięgnął ręką raz a po dwie dwa razy, więc 2
od jednego j est dwa razy większe.
5 trzy, składa się z trzccli jedności czyli j e dno st ek , lub liczba trzy j es t to samo, co j e d e n więcej j e d e n , więcej j e d e n , ' a zatem trzy j es t o dwa większe od jednego i przeciwnie j e d e n od trzccli j es t o 2 mniejsze, bo gdy jednemu z was dam 2 gruszki i drugiemu jednę, ile p ierw szy m a m i oddać aby m ia ł to i .samo co drugi?
J e d n ę gruszkę.
T r z y więc składa się prócz tego z dwócli wię
cej j ede n , lub j ede n więcej d wa , a zatem gdy He nr yś ma trzy gruszek, Ludka dwie, a W ł o d z i o jednę.
I l e H e n ry sin trzeba ci odebrać abyś m ia ł tyle co L u d k a ?
J e d n ę gruszkę.
A zatem H ( liryk m a nńęcćj od L u d k i o je d n ę gruszkę. A ile poioinien w ziąć od eiebie , 'abyś m iął tyle co W ło d zio ?
Dwi e gruszek.
W i ę c o te dwie gruszek masz więcej jak W ł o - . dzio.
P ow iedz m i H e n ry sin o ile gruszek m asz w ię cej od L u d k i?
O jednę.-
A o ile w ięcej od T J lodzia.
O dwie gruszek.
K tó ż ma najm niej?
W ł o d zi o .
A n a jw ię c e j?
Ja.
J a k że b y i zrobił żebyście w szyscy rów no m ieli?
A to bardzo ł a t w o , odezwał się Henryś , jak oddam jed.uę gruszkę będę miał d wi e, a zatem tyle co Ludka , a moją trzecią gruszkę odstąpię AVłodziowi to i on będzie miał d w i e , wszyscy zatem będziemy mieli równo po dwie.
Otóż dzieci moje macie tu trzy gruszek.
I le ra zy sięyniesz m oja L iulko ażebyś za każdym razem w zię ła po je d n e j yruszce?
Ludka sięgnęła ręką i wzięła je d n ę gruszkę, sięgnęła drugi raz i wzięła drugą gruszkę, się
gnęła trzeci raz i wzięła trzecią gruszkę a że nic się nicpozostało , odpowi edział a, iż aby wziąć trzy gruszek trzeba sięgnąć trzy razy, nbv za każdym razem mieć tylko j e d n ę , ztąd też w y pada, że trzy gruszek j e s t trzy razy więcej a n i żeli j edna, przeciwnie j e d n a j est trzy razy mniej a niżeli trzy gruszek , j edna więc gruszka w po
równaniu do trzech takich samych gruszek jest trzecią częścią. Tr z ema gruszkami można obdzie
lić trzy osoby.
I l e ra zy m ogłabyś sięgnąć chcąc w ziąć po dw ie gruszki, i czy li byś mogła w szystkie zabrać?
Oto raz dwie wzięłam , zostaje jedna, a że ja nie mogę inaczej brać jak po dwie, więc tej j e dnej wziąć nie mogę , powiem zatem że dwie
gruszki mieszczą się tylko raz w trzech gr us z
kach i na resztę pozostaje jedna.
Poznaliście dotąd trzy liczby 1. 2. 3. wiecie j u ź jakie są ich w ł a s n o ś c i , spodziewam się źe o reszcie znaków liczebnych j uź sami będziecie mi mówili.
Co je s t cztery?
Cztery j est to samo co jeden, więcej j e d e n , więcej j e d e n , i jeszcze więcej j e d e n , i tak do jednej gruszki dodawszy j e d n ę będzie dwie, do dwóch dodawszy j e d nę będzie trzy, a do trzech dodawszy j e d n ę , będzie cztery.
N a ja k ie liczby m byłbyś rozłożyć te 4 g r u szki H e n ry s i u ?
Najprzód 1 gruszka, a potem razem trzy 3, b ę dzie cztery 4.
Dr ugi ra z 2 grusz ki, a potem] razem dwie bę
dzie także 4.
Trzeci raz trzy gruszek, a potem jedna, będzie znów 4 gruszek.
Z tego przekonywacie się, źe j e d n a gruszka od 4 gruśzek j est o 3 gruszek mniej , źe dwie gruszek względem czterech jest p o ł o w ą , że 3 gruszek od 4óh j es t mniej o j e d n ę gruszkę.
A ile też r a z y m usiałbyś sięynąć po te i/ruszki c ztery leżące na stole, abyś biorąc po je d n e j w szy
stkie zabrał? .
Cztery razy i lais, r az, mam j e d n ę drugi raz, mam j u ż dwie, trzeci raz mam trzy, czwarty raz mam ich cztery, a zatem wszystkie-
G dyby L u d k a m iała je d n ę g ru szkę do w zięcia a ty H e n ry siu cztery, ale za każdym razem po je d n e j ile ra zy w ięce j byś sięgnął ręką od L u d k i?
Naturalnie że cztery, a zatem cztery gruszek równyc h od j ednej j e s t cztery razy więcej.
A gdybyś m ia ł brać za każdym ra zem po dw ie gruszek, ile ra zy byś sięgnąć m usiał abyś ruziął te cztery gruszek.
D wa razy rz ekł Henryś, jakoż hiorę teraz dwie i sięgnąłem raz, pozostało dwie ; sięgam drugi raz i nic nie pozostaje.
G dybyś w ięc m ia ł podzielić cztery gruszek m ię
dzy w as d w o je , po ile by się dostało każdem u , abyście n iem ieli k rzy w d y .
Po dwje.
— A g d yb y trzeba dać każd em u dziecku po je d n e j gruszce , a je st tych gruszek c zte ry , ile
poicinno być d zie c i?
Czwor o, odpowiedział Henryś. Bohrze moje dziecko widać że rzecz rozumiesz.
, A czy byś m ógł rów no i bez rozbrajania t cztery g ru szki podzielić m iędzy trz c h ?
Niepodobna i tak: W ł o d z i u , masz j e d n ę g r u s zkę , Ludko d r u g ą ; a ty Cesiu t r ze ci ą, wyda
łem trzy gruszek i każde ma r ó w n o , a innie
\ '
pozostała ostatnia, to j e s t cz wa r t a, gdybym j ą dał W ł o d zi o w i , toby krzywda była dla Ludki i Cesi boby one miały po jednej a W ł o d z i o miałby dwie, toż samo gdybym j ą dał Ludcc s krzywdził
bym Wł od/ .i a i Cesi ę, słowem źe nic można bez pomocy noża podzielić równo czterech gruszek, między trzy osoby.
A ja kżeb yś p o d zielił za pom ocą noża?
Oto tak, dzielę gruszkę na trzy części równe i daję j e d nę C z ę ś ć Wł ód zi ow i , drugą L u d c e , trzecią C e s i , wszyscy więc mają r ówno, bo pier
wszy ma j e d nę gruszkę całą i trzecią część d r u giej , druga ma j ednę gruszkę i trzecią część drugiej, trzecia toż samo. j e d n ę gYuszkę ca łą i trzecią część drugiej.
A rjdybyś na p o w ró t chciał złożyć tę liczbę cztery cobyś zrobił?
Ponie waż każde z trojga ma po jednej gruszce i j eszcze do tego po j edne j trzeciej c z ę ści gruszki drugiej , a zatem trzebaby sięgnąć po gruszkę i trzecią część g r us zki, aż trzy razy żeby im wszystko odebrać , jakoż j ak wezmę trzy razv po jednej gruszce, będę miał g r u s z e k — 3.
Jak wezmę trzy razy |>o trzeciej części g r u szki, będę miał j ednę gruszkę całą, bo całą gruszkę rozkroiłem na trzy części ró wn e a więc biorąc te trzy częśei to j e s t to saino co całą g r u s z k ę ... ...L
Razem 4.
S Pięć, jest to samo ęo j eden , więcej j e d e n , więcej j e d e n , więcej j e d e n , więcej j eden. Bo j e d e n więcej j e d e n daje dwa , dwa więcej j e d e n daje trzy, t r z y więcej j e d e n daje cztery, cztery więcej jeden, daje pięć. Liczbę zatem pięć czyli 5, można rozłożyć na następujące:
4 i t razem 5.
3 i 2 razem 5.
2 1 3 razem 5.
1 i 4 razem 5.
M a cie tu po pięć g r u s z e k , i rozkładajcie j e na te liczby pojedyncze.
Dzieci wzięły się do roboty na wyścigi—i ukła
dały wskazane liczby przez co dobrze sojłie wbiły w pamięć układ i naturę liczb.
Cesiu p o iu ied t mi ile ra zy byś sięgnęła ręką po te pięć gruszek biorĄC za każdym razem po gruszce abyś j e wszystkie zabrała ?
Pięć razy, i tak sięgam, raz i j uż biorę jednę gruszkę , drugi raz drugą g r u s z k ę , trzeci raz trzecią gruszkę , czwarty raz czwartą gruszkę, piąty r a z , mam icli j u ż p i ę ć , czyli wszystkie.
Cóż złe g o lu n o siszl ' , _
Z tego wnoszę , żc pięć razy więcej czasu p o t r z e bu ję , abym wzięła pięć gruszek, za każdym razem biorąc po j e d n e j , aniżeli gdybym wz ię ła wszystkie od razu, zląd jeszc ze wypada, że pięć gruszek znaczy pięć razy więcej aniżeli jedna:
2
A biorąc po <hvie n a ra z czy by i m ogła i v s z y słkie za b ra ć ?
S pr óbuj ę odpowiedziała Cesia: biorę dwie, zo
staje mi t r z y , biorę drugi raz dwie zostaje mi j e d na , a zatem pod łu g warunku danego nie mogę tej ostatniej wz ią ć; w pięciu więc j e s t dwujek czyli par dwie i jedna pojedyncza gruszka, zląd j e s z c z e w n o sz ę , że pięciu gruszek nie mogę na t rzy części równe bez krajania podzielić, bo jak dam Ludcc, W ł o d z i o w i i Hcnrysiowi po j ednej gr us zce to wydam trzy, a zostanie mi dwie, gdy
bym zaś z tych dwóch j e d n ę dała Hcnrysiowi a drugą W ł o d z i o w i , skrzywdziłabym Łudkę bo pierwsi mieliby po dwie a Ludka j e d n ę . ale j a wiem jak sobie poradzę, podzielę j e d n ę gruszkę na trzy części r ó w n e , podzielę gruszkę drugą także na trzy części ró wn e i dam napr zód z j e dnej gruszki ka ż de mu po części, i z drugiej ka
żdemu po części, a tak razem będą mieli po całej j e d n e j gr us zce i po dwie r ówne części gruszki czyli po dwa k a w ał k i, których każdy j es t trzecią częścią g r u s z k i , o d eb r a ws zy więc każdemu po g r u s z c e będzie trzy całych gruszek, odebrawszy każdemu po dwa k a w a ł k i , będzie kawałków 6, a że tych trzy idzie na j e d n ę j g r u s z k ę , w i ę ct6 k awał ków zuaczy to samo co 2 gruszek które
z całetni czynią 5.
A ja k b y ś podzieliła L n d k o pięć tych gruszek m iędzy H e n ry sia i W ł a d z i a ?
Da m naprzód po grusz ce , zostaje ml trzy wi dzę że im dać mogę j eszcze po jednej , będą więc mieli po dwie, a mnie zostanie j e d n a ; nic mogę więc mice z podziału równego" c a łyc h gruszek, trzeba więc tę jeszcze gruszkę podzielić na p o ł o w ę , przekroję j ą równo i dam W ł o d z i o w i poł ówkę a Henrysiowi drugą połówkę , innie zaś nic się nie zostanie z pięciu gr u sz ek , a oni oby
dwa będą mieli' po 2 gruszki i p ó ł gruszki. P o ł o w a więc z 5 gruszek j e s t dwie i pół gruszek.
IVa ciebie kolej F P lo a ziu , podziel m i pięć g r u szek na cztery części ró w nych.
I tego nie można bez krajania uskutecznić bo np. jak dam każdemu po j ed n e j gruszce zostanie mi j edna, którą muszę rozbrajać na dwie poł ówki a każdą połówkę podzielę na dwie części równe, będę miał ćwiartek cztery i dopiero każdemu d o dam do j ednej gruszki ćwiartkę czyli czwartą c z ę ś ć , co uczyni razem dla każdego gruszkę i ćwiartkę co zebrawszy razem, będę miał całych gruszek cztery i cztery ćwiartki gruszek czyli gruszkę j e d n ę z czterech równych kawałków zło*
żoną.
Pięć gruszek możną dzielić bez krajania na 5 równych części czyli przez 5 albo na pięciu i każdy będzie miał po g ru s z c e całej.
P o ró w n a jm y tera z z sobą liczby 3 , 4 , 3 , 2 , 4-
I tal; 5 od 4 j e s t o j edność większe to jest, iż trzeba j e d en dodać do czterech i będzie i tu pięć 1 tu pięć ; albo od p-ęcin ująć jeden i tu będzie
cztery i tu cztery.
Pow lóre. Pięć od trzech j ę s t o dwa większe to jest iż potrzeba albo od pięciu ująć dwa i po zostanie tu trzy równe trzem, albo trzeba do tych gruszek doda dwie, a będzie i tu pięć i tam pięć.
Potrzecie. Pięć od dwóch gruszek j es t o trzy gruszki więcej , to j e s t iż albo trzeba od pięciu ująć trzy gruszek to będziecie, mieli i tu 2 i tam 2 albo do dwóch dołożyć trzy, a będzie i tu pięć i tam pięć.
Pocz carte. Pięć od j ednej gruszki j e s t o 4 gruszki więcej , to jest iż albo trzeba od pięciu ująć cztery a będzie i tu j e d n a gruszka i 'tu j e dna, albo trzeba dołożyć do jednej gruszki cztery gruszek i będzie i tu pięć i tam pięć.
Po piąte. Pięć od żadnej gruszki j e s t o 5 g r u szek więcej , to j e s t iż trzeba temu co nic niema albo dać pięć gruszek i pierwszy i drugi będzie mi ał po pi ęć, albo trzeba pierwszemu odebrać pięć gruszek a wtedy i pierwszy i drugi nic nic bę dą m i e l i , a zatem równo.
f V e i m t j teraz liczbę następującą 6 sześć. Czyli j ede n, więcej j e d e n , więcej j e d e n, więcej jeden, więcej j e d en , więcej j e d e n ; ho j ede n więcej j e
den daje dwa, dwa więcej jeden, daje trzy, trzy
więcej j ede n daje cztery, cztery więcej jeden daje pięć, pięć więcej j e d en daje sześć, a za'ćm 6 składa się z 5 więcej I, albo 4 więcej 2 , albo 3 więcej 3 , albo 2 więcej cztery, albo 1 więcej 5. Gdy więc naocznie niejako dzieci pr zekonały się z jakich liczb dotąd im dobrze znanych, można zł ożyć liczbę sześć przechodziłem z niemi dalsze tej liczby własności.
I tak : I l e ra zy sięgnąć po te g ru szki aby bio
rąc po je d n e j m ożna j e ivszystkie za b ra ć?
Odpowiedziano mi że sześć razy i pokazano, ztąd wniesiono że liczba 0, od jedności j e s t 6 ra zy większa, i że 0 od 1, tylko o 5 j e s t większe to się znaczy że od pierwszej trzeba ująć 5, aby druga liczba była równa pierwszej i przeciwnie do jednego trzeba dodać p i ę ć , aby druga liczba stała się równa pierwszej.
I l e ra zy O blodzili sięgnąć trzeba aby sześć tu leżących gruszek zabrać, biorąc za każdym ra zem po 2 gruszek.
W ł o d z : Biorę teraz dwie, pozostaje cztery, biorę jeszc ze raz dwie pozostaje dwie, biorę ostatnie dwie i nic nic masz na stole; a zatem trzeba trzy razy si ęgnąć , aby zabrać wszystkie gruszki czyli żc par gruszek j est trzy, można zatem sześć gruszek podzielić między trzy osoby, dając każdej po dwie gruszek.; czyli że sześć da się podzielić na 3 części równe.
2*
A ile ra zy byś sięgnął biorąc za k a żd y m ra»
zem po trzy.
W ł : T r ó j e k w 6 j est d w i e , ho biorąc raz po t rzy pozostaje j e sz c ze trzy, biorąc drugi raz t rzy i nic nic pozostaje, a zatem trójek groszek w sześciu gruszkach j es t d wi e, czyli żc sześć gruszek dzieląc na dwie części r ó w n e , każda część będzie się składała z trzech gruszek.
A m ógłbyś podzielić 6 y ru szek m iędzy 4 osoby rów no ?
Na jp rz ó d' da ł by m każdej osobie po j edne j g r u szce, zostałoby mi się j e sz c ze d w i e , a ponieważ dwa j e s t mniej j a k '4, więc bez krajania nie mogę tych dwóch pozostałych gruszek podzielić. Abym więc krzywdy nie z r o b i ł , podzieliłbym je d n ę gruszkę na 4 ćwiartki równe , i drugą gruszkę na 4 ćwiartki równe i dałbym każdej z tych osób po dwie ć wia r t ki , przeto każda z nich miałaby po j ed ne j gruszce i jes zc ze po dwie ćwiartki.
A pow iedz m i ja k ą to częścią są dw ie ćw iartki w zg lęd em c a h ] g ruszki ?
P ołową.
C z y lii w ięc p otrzebnie dzieliłeś na cztery części róivne każdą g r u s z k ę ?
Nic.
Cóż byś tuięc mógł. zrobić.
Oto zamiast na 4 części każdą gruszkę dzielić, podzieliłbym j e d nę gruszkę na półowę i drugą
. . >
na p oł owę , dodałbym każdej osobie po połówce co będzie to samo co po dwie ćwiartki, a przeto umuiejszyłbym sobie niepotrzebnej pracy.
D o b rze m ów isz m ój W ^łodziu, ale ja kzeb y ś się w zią ł_ do po d zia łu 6 gruszek m iędzy 5 osób i to rów no.
Da łbym naprzód każdej po j ednej całej g r u szce i zostałaby mi się jedna, tę j e d n ę rozkroił
bym na 5 części r ównych i przydałbym każdej osobie po jednej takiej części. Ws kut ek czego, każda z nieb miałaby po jednej całej gruszce i po j ednej piątej części gruszki. Gdybym zaś im to co dałem od eb ra ł , miałbym na powrót 5 ca
ł ych gruszek i pięć kawałków, które pochodząc z j ednej całej gruszki dałyby mi szóstą gruszkę czyli to co miałem wprzód.
L ic zb a zatem sz- ść ja k to dobrze uw ażaliście, da się dzielić iv całości bez kraja n ia na 2 i o części rów nych, nie da zaś dzielić się a n i na 4 , ani n a o części ró w nych, bez pom ocy noża.'
W e ź m y teraz następne[ liczbę 7 siedm. J est to samo co j ed e n , więcej jeden, więcej jeden, wię
cej j e d e n , więcej j e d e n , więcej j e d e n , więcej jeden; bo j ede n więcej jeden daje dwa, dwa więcej j eden daje trzy, trzy więcej j ede n daje cztery, cztery więcej j ede n daje pięć.; pięć więcej j e
den daje s ze ś ć , sześć więcej j ede n daje s iedm;
liczba więc siedm, składa się z 6 więcej 1, 5 wie.-
cćj 2 , lub z 4 więcej 3 , lub z 3 więcej 1, lub 2 więcej a, lub 1 więcej 6. Rozkładajcie te siedm g r u s z e k , które na stole m a c i e , na liczby po
wyższe i piszci ejc ua tablicy. .
Gdy j uż dostatecznej dzieci nabr ał y w p r a wy w rozkład tej liczby zastanawiałem icli umysł nad rozpoznawaniem szybkiem o ile 7 j est wię
ksze od 6, 5, 4, 3, 2, 1 i 0.
D a le j zapytałem H e n ry sia ile ra zy sięgnąłby ręką po te siedm g ru szek aby biorąc po je d n e j, z a b ra ł j e i vszystkie?
Ura dowany cbło pc z yn a, odpowiedział. A b y zabrać te gruszki podług- warunku pierwszego, muszę sięgnąć razy siedm, czyli siedm razy rękę wyciągnąć , biorąc j ednę gruszkę po drugiej i licząc ile ich wziąłem a ile mi się jes zc ze po
zostało. Następnie biorąc po dwie gruszek, mu
szę sięgnąć trzy razy i tym sposobem wezmę ich (>
a j e d n a pozostanie; ztąd widzę że w 7, j es t tylko p a r trzy i j edna gruszka pojedyncza czyli że 7 gruszek nic mogą być podzielone na trzy części r ówne bez krajania, gdybym zaś chciał równo podzielić między trzy osoby, musiałby.n dać ha_
żdćj po dwie gruszek c a łyc h, a ostatnią, rozbra
j ać na trzy kawałki równe-i dołożyć każdej oso
bie po jednym takim kawałku. Każda.więc z ł y c h trzech osób miałaby po 2 gruszek i t.izecią część gruszki; a dwie osoby razem miałyby 4 gruszek
całych i 2 trzecich części , czyli 2 kawałki — wszystkie zaś miałby 6 gruszek całych i siódmą z trzech kawałków złożoną.
T y c h 7 gruszek również nie można podzielić między dwie osób r o w n o b e z krajania, ho w 7 j est dwie trójek czyli 6 więcej jeden , a zatem’ d a ł bym każdej osobie po 3 gruszek , a pozostałą rozbrajałbym na dwie połówki i dołożyłbym ka
żdej z osób po połówce. Z tego się przekony
wam że połowa 7iniu j e c t 3 i pół. Siedm gruszek nie może być podzielone między -1 osoby bez krajania , bo dając każdej po j edne j , wydam 4 a zostanie mi się trzy, których bez pomocy noża trudno podzielić. Kraję więc każdą gruszkę na poł owę , i będę miał z 3eh gruszek eałycli 6 p o łówek, dając każdej osobie po poł ówce wydam 4 połówki i zostanie mi 3 połówek ; a że jest 4 osób do podziału więc każdą połówkę dzielę na 2 części r ó w n e , czyli na ćwiartki, będę i cli miał 4 i przydam każdej osobie po ćwiartce g r u szki. Każda osoba będzie miała po 1 całej g r u s z c e , po poł ówce i po ćwiartce g r us zki, a że poł owka j e s t to samo co dwie ćwiartek , przeto każda Osoba mieć będz ie po całej gruszce i 3 ćwiartek. Gdy zaś im to co dałem odbiorę, będę miał na pOwrót, cztery całych gruszek — i p e wną liczbę ćwiartek , — lecz ile-, to tego nieu- micni j e s z c z e zliczyć, a l e j a sobie p o r a d z ę ; —
wezmę od każdej osoby po ć w ia r t ce, będę miał 4 ćwiartki czyli całą gruszkęj a u każdej z osób zostanie się jeSzcze po 2 ćwiartek — odbiorę im j e sz c ze po ćwiartce i zrobi się druga gruszka cała , odbiorę nakoniec ostatnią ćwiartkę od ka
żdej i otrzymam trzecią gruszkę. A że odebr a
łem nicpokrajanych 4 g r u s z e k , z pokrajanych zrobiło się trzy, razem mam 7.
Liczbę siedm gru sz ek , ćbcąc podzielić między 5 osób równo, trzeba każdej dać po j ednej całej g r u s z c e , a pozostałe dwie podzielić każdą na 5 części równych i dać każdej osobie z jednej gruszki po jednej części, z drugiej gruszki także po j ednej , będą więc miały po j ednej gruszce całej i po dwa kawałki, z których każdy będzie piątą częścią gruszki.
Aby 7 gruszek podzielić między 6 osób, trzeba każ-dćj dać po gruszce całej, a pozostałą siódmą podzielić na 6 kawałków równych i przydać ka
żdej osobie po j ednym kawałku czyli po szóstej części gruszki.
T u ró w n ie j a k w e w szystkich podobnych p r z y p a d k a c h , n a u czyciel w in i' n p yta ć się dzieci, ile będzie (fraszek dodając razem to co w zię ły 2, # , 4 , 3 i t . d. osób.
Nakoniec chcąc podzielić 7 gruszek między sicdin osób, trzeba dać każdej po j e d n ej gruszce.
Z tego co poprzedziło , przekonywamy, się że liczba 7, nic da się dzielić w całych jednostkach ani na 2 , ani nn 3 , ani 4 , ani na 5 , ani na 6, ani na 7 równych części.
8 ośm. J e s t to samo co j e d e n , więcej j e d e n , więcej jeden , więcej jeden , więcej j eden , wię
cej je d en , więcej je d en , więcej jeden. Bo jeden więcej j e d e n daje d w a , dwa. więcej j e d e n daje trzy, trzy więcej j eden daje cztery, cztery wię
cej j eden daje pięć, pięć więcej j ede n daje sześć, sześć więcej jeden daje siedm , siedm więcej j e den daje ośm. A zatem liczba ośin 8, może być rozebrana na następujące,
1 więcej 7, 2 więcej 6, 3 więcej 5, 4 więcej 4, 5 więcej 3; 6 więcej 2, 7 więcej 1. Można j e s z c z e tę liczbę 8 złożyć z trzech liczb i tak:
1 więcej 2 więcej 5, 1 więcej 3 więcej 4 , 1 więcej 4 więcej 3, l więcej 5 więcej 2, 1 wię
cej 6 więcej 1, 2 więcej 3 więcej 3, 2 więcej 4 więcej 2, 2 więcej 5 więcej 1, 3 więcej 6 wi ę
cej 1. Wsz ystki e zaś inne kombinacye byłyby powtórzeniem tychże samych liczb w innym po rządku. T a k rzecz wył ożywsz y dałem iin ośm gruszek i takowe rozkładać na powyższe liczby poleciłem, a że to zatrudnienie ich bawiło przeto z ochotą tćm się zajęły.
T u zadawałem im pytania o ile S gruszek j es t większe od 7, G, 5, 4, 3, 2, 1.
Każde z dzieci na to odpowiedziało z ł a t w o ścią , źe 8 od 7 j e s t tylko o je d n ę gruszkę wię
cej, 8 od 6 większe j e s t o dwie gruszek, S od 5 o 3 g r u s z e k , 8 od 4 o 4 gruszek i t. d.
tJ 'lo d z lu , ile razi/ m usisz ręką sięgną;, abyś biorąc po je d n e j gruszce za ka żd ym razem za-, brał j e w s z y s tk ie ?
— 8 razy odpowiedział i pokazał mówiąc , sięgnąłem raz i matu j e d u ę gruszkę a 7 się p o zostaje, sięgnąwszy drugi raz hędę miał dwie gruszek a sześć się pozostanie, sięgnę trzeci raz będę miał trzy gruszek, a 5 się pozostanie, się
gnąwszy czwarty raz będę miał cztery gruszek a pozostanie 4; sięgnąwszy piąty raz będę miał pięć gruszek a 3 pozostanie , sięgnąwszy szósty raz będę miał sześć gruszek a 2 pozostanie, sięi gnąwszy siódmy raz będę miał siedm gruszek a tylko jedna z 8 pozost ani e, sięgnąwszy ósmy raz będę miał ośm gruszek i nic nic pozostanie z ośmiu, czyli zabrałem wszystkie.
Z tego przekonywacie się, źe I od 8 wziąwszy po
zostanie 7, czyli I od 8 odjąwszy reszta będzie 7; 2 od 8 odciągnąwszy pozostanie 6, 3 od 8 pozostanie 5, 4 od 8 pozostanie 4 , t> od S pozostanie 3 , 6 od 8 pozostanie 2 7 od 8 pozostanie 1, 8 od 8 nic. A zatem odciągać j est to brać pewną liczbę czegokolwiek z danej liczby tejże samej rzeczy.
P o odciąganiu czyli po w zięciu, albo się nic nie
zogłanie gdy wszystko biorę, albo się co zostanie gdy mniej biorę jak było.
- i ile r a z y byś m u sia ł sięynąe abyś biorąc za ka żd ym razem po divie gruszek, tv zią ł j e w szystkie ośm ?
Zaraz spróbuję rz ekł W ł o d z i o raz d w i e , po
zostało 0, drugi raz dwie będę miał 4 i po z o s t a nie 4, trzeci raz 2 będę miał G a pozostanie ‘2 , czwarty raz 2, b ędę miał ośin i nic nie pozosta
nie,, a zatem mjiszę sięgnąć razy cztery abym biorąc po dwie gruszek-zabrał j e wszystkie ośm, ztąd wnoszę, że 4 razy po 2 gruszek daje 8 g ru szek, albo też 8 gruszek dzieląc r ówno między cztery osoby, każda będzie miała po 2 gruszek.
Biorąc zaś za każdym razem po 3 gruszek, za ’ drugiem wyciąguicniem ręki miałbym ich 6 i pozostałoby 2, a zatem nie mógłbym p o dł ug tegó warunku wszystkich zabrać. Gdybym zaś chciał podzielić ośm gruszek między trzy osoby dałbym każdej po 2 gruszek, musiałbym zatem z Smiu gruszek w ziąć 6 i pozostałoby mi 2 z któ
rych każdą podzieliłbym na 3 części równe i roz dał bym z pierwszej gruszki po j ed ny m ka
wa łku z drugiej także po j e d ny m kawałku, każda więc osoba miałaby po 2 gruszki całe i po 2 kawałki czyli po 2 trzecich części.
Odebrawszy im na powrót to co im d a ł e m , miałbym 6 gruszek całych i 6 k a w a ł k ów , a że
3
z 3cli kawałków utworzyłbym na powrót j e d n ę gruszkę z 3ch drugich drugą gruszkę miałbym więc razem 6 gruszek całych i dwie z kawałków złożoną.
Ośm gruszek między dwóch bardzo łatwo po
dzielić, bo dałbym jednej osobię i gruszek d r u giej 4 i itieby się nie pozostało, a zatem 2 razy po 4 gruszki daje S gruszek, i 8 gruszek podzi e
lone między 2 osoby daję każdej po 1 gruszek- Ośm gruszek podzielić między pięć osób r ó wno, dam każdej po j e d ne j gruszce całej, wydani więc 5 gruszek eałych, a każdą z trzech pozostałą podzielę na pięć części r ównych i przydam każdej osobie z pierwszej gruszki piątą część, z drugiej gruszki piątą część, z trzeciej także piątą część, każda zatem osoba będzie miała po 1 gruszce całej i po trzy kawałki czyli po trzy piąte części.
Ode br awsz y zaś od nich to co im dałem, będę m i a ł napowrót 8 g r u s z e k , naprzód 5 całych g r u szek i kawałków o to tyle (co pokazał) biorę n a przód 5 kawałków i mam j e d n ę g r u s z k ę , drugie pięć i mam drugą gruszkę, trzecie pięć kawałków i mam trzecią g ru sz k ę , a zatem z kawałków z r o biło się 3 gruszek a było całych 5, razem S.
A b y podzielić 8 gruszek między 7 osób dam każdej osobie po 1 gruszce , pozostanie mi j e d n a i tę rozkroję na 7 kawałków równyc h i przydam każdej osobie po kawałku, będą więc miały po
’ 1 gruszce i po kawałku gruszki. Ode br awsz y
im będę miał 7 gruszek i ósmą zł ożoną z 7 ka
wa łków czyli razem 8.
Ośm gruszek między sześć osób podzielić mo
żna dając każdej po j edne j gruszce całej, p oz o s tałe d w i e , chcąc rozdzielić między sześć po- dzielę j e d nę gruszkę na 6 r ównych części i drugą gruszkę na G równych części, przydam po takich kawał ków dwa .każdej osobie.
C żylib y nie m ożna te g ru szki inaczej podzielić?
Czemu n i e , dałbym j e d n ę gruszkę na trzech i drugą na t rze ch, to j es t podzieliłbym j e d n ę gruszkę na 3 części równe i drugą gruszkę na 3 części równe, miałbym 6 kawałków i po j ed ny m takim kawałku dałbym każdej osobie, wpr z ód miały po dwa kawałki a teraz mają po j ed n ym kaw a ł ku , ale te kawałki są tak wielkie jak pier
wsze, w pierwszym razie miały po 2 szóste c z ę
ści, a teraz po j ednej trzeciej.
9 L iczba dziew ięć. J est to samo co j ede n wi ę
cej j e d e n , więcej j e d e n , więcej j e d e n , więcej j e d e n , więcej j e d e n , więcej j e d e n , więcej j e
den, więcej jeden. Bo j eden więcej j e d e n czynią dwa, dwa więcej jeden czynią trzy, trzy więcej j e d e n toż samo co 4} 4 więcej 1 czynią 5, 5 wię
cej l czynią G, 6 więcej 1 czynią 7, 7 więcej I czynią 8 , 8 więcej 1 czynią 9.
Z tych pojedynczych gruszek ja k ie możecie u fo r
m ow ać liczb y, zapylałem d zie c i?
Hc nryś wziął się do roboty i układał j e oso- . bno po j edne j mówiąc żc z liczby dziewięciu jjru- szek, można otrzymać dziewięć jeduości i takowe na tablicy napisał, brał potem po dwie gruszok ufor mował cztery pary i pozostała j edna gruszka, napisał więc tak: 2, 2, 2, 2, 1, co razem nic może więcej uczynić jak 9, dalej kł adł po trzy i zna la zł trojek 3 w 9 gruszkach i na p is ał , źe 9 j e s t to samo co 3, 3, 3, czyli trzy razy po trzy
czyni 9.
Następnie wziljł na każdą kupkę po 4 gruszek Zrobił z 9 gruszek dwie kupki i pozostała mu kupka j edna , i napisał 4, 4, ), co razem czyni 9.
Dalej br a ł kupkę j ednę po 5 gruszek i wiedział źe z 9 gruszek można zrobić tylko j e d n ę kupkę p i ęc i o- gruszkową a drugą cztero - gruszkową , ztąd wniósł żc liczbę dziewięć można roz łoż yć na dwie liczby to j e s t 5 i 4.
Gdy zaś brał na każdą kupkę po 6 gruszek , zr obił j e d n ę I;hpkę G-gr uszkową a drugą 3-grii- szkową i przekonał się, żc liczba 9 da się rozło- , żyć na sześć i trzy.
Gdy brał 7 gruszek na kupkę , mógł tylko j e dnę kupkę ułożyć i dwie gruszek mu się zostało.
Zt ąd wniósł , źe liczba 9 składa się z dwóch liczb to j est 7 i 2.
Nakonicc biorąc na kupkę 8 gruszek, pozostała mu jedna. A zatem 9 może być rozebrane na
dwie liczby S i 1. Wr es zc ie gdy w z ią ł 9 g r u
szek biorąc po j e d n e j , zabrał j e wszystkie, u ł o
żył ztąd kupkę dziewięcio- gruszkową.
Z t ego rozkładu gruszek 9 na kupki doszły, ź e 9 nic da się bez krajania podzielić na części równych 2, 4, 5r 6, 7, 8, ale da się rozdzielić n a 3 części równe i każda część będzie mi ał a po 3.
T u kojejno dzieciom trzeba zadawać pytania, jakby podzielić 9 gruszek między 2, 4, 5, 6 , 7 , S
osób w sposób dotąd wskazany.
P ojedyncze znaki liczebne zoWią się inaczej cyframi, tych j es t d zi ewię ć, które j uż dostate
cznie poznaliśmy.
O H C Z E SIU .
Gdy j uż dzieci poznały dziesięć znaliów l i cz e bnych , wypadało im wytłóinaczyć w dalszym ciągli własności niektóre wszystkich innych liczb i podać zarazem sposoby ich pisania i w y m a wiania.
D o 9 jed nostek przydawszy j e d n ę jeszc ze j e dnostkę, otrzymujemy dziesięć, co iuaczej zowie się dziesiątkiem.
D o jednostki zaś obejmującej w sobie dziesięć jednostek pojedynczych czyli do dziesięciu przy-
dawszy j e d e n , będzie dziesięć więcej jeden czyli j ed y na ś ci e; przydawszy d w a , będzie dziesięć więcej dwa czyli dwanaście; przydawszy trzy, będzie dziesięć więcej trzy czyli trzynaście; p r z y dawszy cztery, będzie dziesięć więcej cztery czyli czternaście; przydawszy p i ę ć , będzie dziesięć więcej pięć czy li piętnaście; przydawszy s z e ś ć , będzie dziesięć więcej sześć czyli s z e s n a ś c i e ; przydawszy sicdin , będzie dziesięć więcej siedtn czyli siedinnaście; przydawszy ośm , będzie dzie
sięć więGĆj ośm czyli ośmnaści e; przydawszy dziewięć, będzie dziesięć więcej dziewięć czyli dziewiętnaście ; przydawszy dziesięć, będzie dzie
sięć więcej dziesięć, czyli dwarazy dziesięć, czyli dwadzieścia. _ ,
D o wyrażenia wszystkich powyżej wymienio
nych liczb, zgodzono się używać dwóch znaków, ale w ten sposób aby liczba dziesiątków była napisana po lewej r ę c e , a liczba wyobrażająca jednostki proste po prawej. — I tak w dziesięcin j e s t tylko dziesiątek j e d en , a nie masz jednostek zwyczajnych, napiszemy więc lak 10 gdzie j ede n po lewej ręce napisane oznacza dziesiątek, aO wskazuje że nie masz jednostek prostych. P o d o bnież j edynaśc i e, pisze się 1 1, pierwsze jeden znaczy dziesiątek a drugie jeden, jednostkę prostą.
Dwanaście, inaczej 12, 1 oznacza j ede n dzie
siątek a 2, dwie jedności.
Tr zynaści e Inaczej 13, 1 oznacza j e d e n dziesiątek, a 3, trzy jedności prostych.
* Czternaście pisze się inaczej tak 14, gdzie znowu 1, oznacza dziesiątek j eden, a 4, cztery jedności p r o s t e ; w taki sam sposób pisze się piętnaście 15, szesnaście 16, sicdmnaścic 17, ośrnnaścic 18, dziewiętnaście 19$ d w a dzieścia zaś składa się z dwóch dziesiątków o k r ą g ł o ; chcąc więc tę okoliczność wyra
zić piszemy tak 20; gdzie 2 wyraża dwie j er dnostki dziesiątkowe, a 0 tylko nam prz ypo
mina że w dan -j liczbie nic masz jednostek prostych.
Do dwudziestu dołożywszy, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedm, ośm i dzie
więć, będziemy mieli dwadzieścia j ede n czyli 21 ; dwadzieścia dwa czyli 22 ; dwadzieścia trzy czyli 2 3 ; dwadzieścia cztery czyli 21; dwadzieścia pięć czyli 25; dwadzieścia sześć czyli 20; dwadzieścia siedm czyli 27; dwa
dzieścia ośm czyli 28; dwadzieścia dziewięć czyli 29'; — a gdy do dwudziestu czyli do dwóch dziesiątków dołożę jeden dziesiątek będę mi ał dziesiątków trzy, czyli krócej trzydzieści, co się pisze 30.
W dalszym ciągu trzy dziesiątki więcej j eden, będzie trzydzieści jeden czyli 31. T r z y dziesiątki więcej trzy będzie trzydzieści dwa
czyli 32. T r z y dziesiątki więcej IrZy, bę
dzie trzydzieści trzy czyli 33 i t .. d . aż d o tąd p;dy powiem trzy dziesiątki więcej dzie
sięć będzie rażeni cztery dziesiątki czyli czterdzieści albo krócej 10.
Do czterech dziesiątków przydawszy j e dność , będzie czterdzieści j eden czyli 41.
Do czterech dziesiątków przydawszy dwa, będzie czterdzieści dwa czyli 42.
Do czterech dziesiątków przydawszy trzyr, będzie 43.
Następnie nauczyciel winien z dziećmi dalej postąpić, przydając do czterech dzie
siątków cztery, p i ęć , sze ść, siedm , o ś m , dziewięć; i liczby zląd otrzymane pisać i wymawiać. Gdy zaś do czterech dziesiąt
ków przydamy j ede n dziesiątek będzie ich razem pięć, czyli krócej pięćdziesiąt albo 50.
Do pięciu dziesiątków, przydajmy jeden, d w a , trzy, cztery, pięć, sześć, siedm, ośm i dziewięć , a otrzymamy pięćdziesiąt j ede n czyli 5!; pięćdziesiąt dwa ożyli 52 1 t d.
Do pięciu dziesiątków pr zyłoźywazy j e szcze j eden dziesiątek, będzie dziesiątków sześć czyli sześćdziesiąt albo 0 0; dah;j j u ź będzie sześćdziesiąt j e d e n czyli 61, sześć
dziesiąt dwa czyli 62 i t. d. aż do 69 sześć
dziesięciu dziewięciu.
tJfACi*
Gdy zaś do sześciu dziesiątków przyda
my j eszcze je d en dziesiątek, otrzymamy ra
zem siedm dziesiątków czyli siedmdziesiąt — albo 70.
Do siedmiu dziesiątkow'przydawszy jeden, dwa, trzy, cztery, pięć i t. d. jedności pro
stych. Będziemy mieli siedmdziesiąt j eden , siedmdziesiąt d w a , siedmdziesiąt trzy i t d.
Gdy zaś do siedmiu dziesiątków dołożemy jes zc ze j ede n dziesiątek, otrzymamy dziesią
tków ośin czyli Jsrócij ośmdziesiąt albo 80 do 80 przydawszy jeden, dwa, trzy, cztet-y i t. d. będzie ośmdziesięt j e d e n ’, czyli 81, ośmdziesiąt dwa' czyli 82 i t. d.
Do ośmiu dziesiątków przydawszy j e sz c ze j ede n dziesiątek, będzie razem dziesiątków dziewięć czyli krócej wyrażamy to że j es t dziewięćdziesiąt albo 00; następnie do tej liczby przydając j e d e n , d w a , t r z y , cztery i t. d. , będziemy mieli dziewięćdziesiąt j e
d e n , dziewięćdziesiąt dwa, dziewięćdziesiąt trzy i t. d. t ■ '
Gdy zaś do dziewięciu dziesiątek p r z y
damy jes zc ze j eden dziesiątek, będziemy mieli dzics ątków dziesięć i to nazywa się s t o ; co j u ż się wyraża za pomocą trzech znaków i pisze się 100.
Uivaf/tt pierw sza. Skoro dzieci wprawią się w pisanie i czytanie wszystkich liczb zacząwszy od 1 aż do 100. — Nauczyciel winien zadawać im pytania treści następu
jącej, up. G5 z czego się składa? — O d p o wiedź z 6 dziesiątków i z 5 j edności.
(_Toż samo pow tórzyć na w szystkic h inny ch lic zb ach ,)
U w aga drugą. Rozbi ór wszelkich liczb w sposób podany w rozdziale pi er ws zym, aczkolwiek nie j ednemu wydawać się może rozwlekły i nudny, jednakże ułatwi on dzie
ciom zrozumienie i pojęcie działań ary
tmetycznych i przyzwyczai ich z wolną do stosownego tychże działań używania przy rozwiązywaniu rozlicznych, zagadnień z ży
cia praktycznego.
Z tego względu radzę nauczycielom z własnego doświadczenia, aby przejąwszy się wskazaną metodą, przeszli z uczniami swemi w dalszym ciągu rozbiory wszystkich innych liczb od 10 do 100 nie pomijając ż a d n e j .
Każdy który lego sposobu spróbuje, prz e
kona się sam, źc dla dzieci będzie ta praca miłą i korzystną.
P r z y rachunkach pamięciowych szczegól
niej daje się uczuwać potrzeba rozkładu
liczb w myśli , nadto postępując z dziećmi tą drogą przyzwyczajamy j e zwolna d° za
stanawiania się, a przy ciągiem w różnych postacyach powtarzaniu rozlicznych kombi- nacyj l iczbowych, dzieci dojdą do p ożą
danej wpr a wy i szybkości odbywania dzia
ł ań arytmetycznych.
P o d zi a ł liczb na upodobaną liczbę części doprowadza mimowolnie do leoryi.ułomków’, a dzieci nie wiedząc co j e s t ułamek wyko
nywają z niemi różne działania np.
Gdy mam podzielić liczbę 7 j a b ł e k mię
dzy czterech, widzę że każdy będzie miał po jednam j abł ku całćm, i pozostanie trzy do podziału między czterech, dzielę więc każde j abł ko pozostałe, na 4 części równe czyli 4 ćwiartki , a zntrm z pierwszego j a b ł ka d o stanie się każdemu po ćwiartce, z drugiego także po ćwiartce, z trzeciego po ćwiartcc- Kaźdy będzie miał j edno jabłko całe i trzy ćwiartek, cy.yli trzy czwarte części j ednego jabłka , co można dzieciom p o w i e d z i e ć , że te trzy ćwiartki j ednego, są czwart ą częścią trzech, pozostałych jabłek i zarazem wspo.
umieć , iż aby tę okoliczność wyrazić, z go
dzono się użyć dwóch liczi) z których j e dna wyobraża, liczbę j abłek całych a druga jaką cząstkę trzeba z nich wziąć, i że p i e r
wszą pisze się nad poziomą linijką np.
jaljłel; , lo j e s t z 3 całych j abł ek wzięta j es t część czwarta , lub jak im wytłóma- czyłern, ćwiartka czyli część czwarta z j e dnego jabł ka wzięta j est 3 razy, czyli takich ćwiartek jabłka bierzemy trzy.
Teraz przypuśćmy, ze chcemy podzielić te same 7 jabłek na pięciu. Rozumując j ak wy ż ej , dojdziemy, że każdy dostanie po jcdnćm j abł ku całćin i po dwie piątych j a b ł ka, czyli po | .
Gdybyśmy chcieli się przekonać o ile każdy z pierwszego podziału będzie miał więcej od każdego z drugiego podziału.
Rozumuję z dziećmi w sposób nastę-
P»jHcy.
Ponieważ w pierwszym i drugim p r z y p a d ku mają po j ab łk u, więc tu nie masz żadnej różnicy, ale W pierwszym razie dostają po jabłka, a w drugim po 2 jabłka, czyli w pier
wszym razie trzy kawałki a w drugim tylko dwa kawałki; ale że te kawałki nie są so
bie równe, przeto nie można powiedzieć że pierwszy bierze od drugiego o j e d e n ka
wałek więcej.
W tym celu każę dzieciom podzielić ka
żdą ćwiartkę j ab łk a na części równych pięć, a zatem całe j ąbł ko będzie ich miało 20.
4
W dalszym ciągu mówię :
1. Ponie waż ćwiartka ma kawałków 5, z któ
rych każdy j est dwudziestą częścią j abłka, więc ćwiartek t r z y będzie miało tych sa
mych kawałków 15.
2. Gdy całe j abłko ma kawałków 20, więc część j eg o piąta mieć idh będzie cztery. A po
nieważ z drugiego podziału dostaje się każdemu po dwie piątych-, więc każdy z nich bęrffcie miał dwa razy po 4 kawałki czyli 8 kawałków będących dwudziestą czę
ścią jabłka.
3. Pierwsi dostają po 15 k aw ał kó w, jakich drudzy tylko po 8, więc każdy z pierwszego podziału ina o 7 kawałków więcej od ka
żdego z drugiego podziału czyli o siedrn dwudziestych.
Chcąc się dowiedzieć ile to uczyni ra
zem co j e d e n z' pierwszego podziału i drugi z drugiego podziału dostanie powiadam;
pierwszy dostaje 1 j abłko i 15 kawałków drugi dostaje . . 1 j abł ko i 8 kawałków
Razem 2 j abł ka i 23 kawałków czyli 2 3 ; aźe na j edno j abł ko takich kawał ków idzie 2 0, więc z 23 kawałków tworzy się j e d no jabłko i 3 ka w a ł ki, było wp rz ód 2 j abł ka będzie razem 3 i 3^ j abłka.
P op rz e dz a j ąc y przykład ma służyć n a uczycielom za skazówkę postępowania przy odbywaniu ćwiczeń rachunkowych z ucznia
mi. — Nic j e s t to przedmiot trudny i dzieci nawet 8 - letnie mogą to wszystko z r ozu
mieć i poj ąć, przedstawiając im to z w ł a szcza w początkach zmysłowo.
W dalszym ciągu chcąc dać poznać dzieciom liczby większe ód stu i nauczyć ich takowe p i sać i wymawiać; wysypałem im na stół kilka
untów drobnego szrutu i zapytałem ile tu wszy
stkich j es t ziarek.
H e nr yś jako najstarszy i najlepiej rzecz p o j mujący o dp o wi e d z ia ł , źc- to j est ni epodobnem aby mógł to wszystko zliczyć, g d j ż dalej^racho
wać nie umie jak do stu.
A b y wyprowadzić go z kł opot u, postawiłem na stole szufladkę d ługą podzieloną na siedin komórek i zapowiedziałem żc za pomocą tej s zu fladki potrafią obliczyć ilość wszystkich ziarek.
Pamiętajcie tylko na to, źe mamy dziewięć zna
ków do wyrażenia wszystkich liczb, trzeba więc użyć pewnego s pos obu, który zasadza się na samem poł ożeni u względnem tych znaków , na przypadek gdy chcemy wszelkie inne liczby na pisać, j a k t oś c i c j u ż poznały pisząc liczby z ł ożone
Z dziesiątków i jedności.
Następnie zwróci łem ieh uwagę na pr z ezna
czenie komórek w szufladce ; mówiąc że do pier
wszej z nich od ręki prawej ku lewej składać się hędą same jednostki proste od 1 do 9 włą- czuie; do drugiej dziesiątki, to j e s t zbiory tychże samych jednostek pojedynczych po dziesięć r a ze m br a nych; do trzeciej wkładać się będą sta, to j es t zbiory dziesiątków po dziesięć razem bra
n y c h ; do c zw a rtej zbiory set po dziesięć razem branych , zbiory te nazywać będziemy tysiącami;
do piątej zbiory tysięcy po dziesięć razem b r a n y c h , które naz ywamy d/.iesięeio tysiącami; do szóstej zbiory dziesięćtysięcy po dziesięć na raz branych które inaczej będą sta tysiącami; do sió dm ej będą wkładane zbiory jednostek z których każda będzie w sobie miała dziesięć razy po sto t y si ęc y , które to j ednostki nazywać będziemy milionami. Dla lepszego wyjaśnienia r zecz y — poleciłem dzieciom aby każde z nich wzięło część leżącego na stole szrutu i układało kupki po dziesięć na każdą, co się nazywa dziesiątkiem, zawinęło każdą kupkę w papier, i na wierzchu napisało, dziesięć czyli j e d e n dziesiątek. * Gdy
* P r z y o b lic z an iu k u p e k dzie si ątkow ych rozmaicie im p o s t ę p o w a ć k a z a łe m , do j e d n y c h h ra ły po Z ia r k u , do d r u gich po 2 r a z e m , do trzeeiej po 3 r a z e m , da 4 ra zem po 5 i t d. przez co w p ra w iały się w sk ład lic zby 10 i zaraze m było to dla n ic h p o w tó rz en iem te go cze go się j u ż poprze-
się dzieci zajęły tą r obot ą, pilnowałem aby wszystko szło porządnie i dokładnie. P o ufor
mowaniu z całej ilości szrótu na stole leżącćgo, pakiccików mając j e b w sobie po dziesięć zia- rek , pozostało j eszcze ziarek sześć , które ka
za łe m wsypać do ostatniej po lewej ręce k o mórki na której b ył napis jednostki i zarazem zapowiedziałem aby dla pamięci, zanotowali so
bie ile ziarek do tej komórki wsypały.
Potem rzekłem do nieb bierzcie na raz po dziesięć kupek i zawijajcie w papier, wzięły się do tej roboty i po pewnym czasie ukończyły. Na każdej kupce napisały dziesięć dziesiątków czyli sto. Po obliczeniu pokazało się, iż pozostało kupek dziesiątkowych siedm, które kazałem w ł o żyć w komórkę driijją obok ostatniej na której był napis dziesiątki, i dla pamięci zanotować że ich j es t tam siedm.
Z pozostałych na stole kupek stu ziarkowych, kazałem zbierać po dziesięć* takich kupek na j c : dnę , obwijać w papier i na każdej napisać 10 set czyli tysiąc. P o obliczeniu znalazło się ku
pek tysiącznych pewna liczba i reszta z kupek sto-ziarko wych 8 — te osin kupek włożono do bo
dnio uc zy ły. I tak po 3 zia rek na r a z , trzeba było b rać trzy ra zy i d orzucić je d n o z ia r k o ; aby otrzy m ać ich tli ; po 4 tr ze b a było br ać d w a r a z y i d o r z u c i ć 2 aby otrzymać
10 i t. d.
morki trzeciej podł ug mojego zalecenia to j es t do tej , na której był napis sta.
Dalej zbierały kupek tysiącznych po 10 razem i obwijały j e w p ap i er , na każdej z takicli k a pek pisząc dziesięć tysięey — pozostałe kupek 5 tysiącznych wł oż ył y podług mego polecenia do czwartej komórki od końca, na której był napis tysiące.
Następnie kupki obejmujące każda po dziesięć tysięcy zbierano znowu po dziesięć razem, za
wijano w papier pisząc na każdej dziesięć razy po dziesięć tysięcy czyli sto tysięcy, po zebraniu zostało 2 kupek dzicsięciotysiączuycb i te z ł o żono w komórkę p iąt ą, na której był napis d z i e
sięciu tysięce.
Sto tysięczne kupki zbierano po dziesięć na je d nę , obwijano w papier i pisano na wierzchu dziesięć, razy po sto t ysi ęcy, czyli iniljon , t a kich było 2 i nic nie pozostało, a zatem komórka szósta j e t pusta gdyż nie zostało się pakiecików sto tysiącznych; dwa miliony, umieszczam w ko
mórce siódmej - i będz ie :
M ilio n y S t a ty sią c e
D z ie siąci o ty s ią c e
T y s ią c e S t a D z ie s i ą t k i
J e d n o s tk i
t 0 2 . 5 ' 8 7 6
'Albo napisawszy te liczby obok siebie bliżej będzie 2025876.
T eraz spodziew am się ze pow iecie łatw o ile je st zia re k w każdej kom órce?
Henryś o dez wał się, źc w pierwszej j es t dwa miliony, w drugiej nie masz nic; w łrzćcićj 2 razy po dziesięć tysięcy; w czwartej 5 tysięcy, w pią
tej 8 set, w szóstej 7 dziesiątków, a w ostatniej od prawej ręki G ziarek.
I l e ż w ięc ich je s t ra zem ?
W ł o d z i o odpowiedział; źe j e s t leli dwa miliony więcej dwadzieścia tysięcy, więcej pięć tysięcy, czyli dwadzieścia pięć tysięcy ośmset siedmdzie- siąt sześć, tizyli przeczytawszy gładko , powiemy źe jest ziarek dwa miliony dwadzieścia pięć t y
sięcy, ośmset siedmdziesiąt sześć.
Z tego przekonywacie sic, źc każda z komórek ma sobie właściwe przeznaczenie, i tak:
P ierw sza od prawej ręki, zawierać tylko może liczby których jednostka j es t pojedyncza i ta się zowie jednostką pierwszego rzędu.
D r u y a . ma w sobie liczby których jednostka jest z dziesięciu pojedynczych z ł o ż o n a , i taka jednostka zowie się dziesiątkiem czyli jednostką r zędu drugiego.
Trzecia ma takie tylko liczby których j edno- * slką j e s t liczba sto, z dziesięciu jednostek rzędu drugiego zł ożona czyli ma dziesięć razy po dzie
s i ęć — i zowie się jednost ką r zędu trzeciego.
C zioarta mieścić w sobie będzie liczby któ
rych jednostką j es t tysiąc, z dziesięciu j ednostek
r zędu trzeciego złożone czyli ina w sobie 10 razy po sto , i zowie się jednostką rzędu czwartej'©
P iąta ma liczby których j ednostka j e s t dziesięć tysięcy, czyli jednostka z dziesięciu jednostek rzędu czwartego złożona, czyli dziesięć razy po tysiąc i zowie się jednostką rzędu piątego.
Szósta ma liczby których jednostką j est sto ty
sięcy, j ednost ka z dziesięciu jednostek rzędu pią
tego złoźon ', czyli dziesięć razy po dziesięć t y
sięcy i zowie się jednostką rzędu szóstego.
Siódm a ma liczby których jednostką j es t milion, czyli jednostka z dziesięcin jednostek rzędu szó
stego z ł ożona , czyli dziesięć razy po sto tysięcy i zowie się jednostką rzędu siódmego.
Ó sm a 1 .gdyby było więcej komórek) ma liczby których jednostką j es t dziesięć milionów czyli j e dnostka z dziesięciu jednostek rzędu siódmego z ł o ż o n a , czyli 10 razy po milionie i zowie się jednostką rzędu ósmego.
D ziew iąta ma liczby których jednostką j est sto milionów czyli jednostka z dziesięciu jednostek rzędu ósmego złożona , czyli dziesięć razy po
* dziesięć milionów , i zowie się jednostką rzędu dziewiątego' i t. d.
Mając zatem w myśli komórki o których hyła mowa, możecie łatwo każdą liczbę daną przeczy
tać , pamiętając tylko, źc na pićrwszćm miejscu od ręki lewej są j edności rzędu p i e r w s z e g o ,. na
