Liniowa izometria R3 zachowuje 0. Każda izometria R3 zachowująca 0 jest liniowa.
Dowód. AB = {X : |AX| + |XB| + |AB|} =⇒ izometrie zachowują proste.
0, X, tX leżą na prostej =⇒ F (0) = 0, F (x), F (tX) leżą na prostej
=⇒ F (tX) = s F (X)
|s F (X)| = |F (tX)| = d F (0), F (tX)
= d(0, tX) =|tX| = |t F (X)| =⇒ s = t
=⇒ izometrie zachowujące 0 są jednorodne.
Izometrie zachowują kąty:
kąt w trójkącie daje się wyliczyć z długości boków (twierdzenie cosinusów)
=⇒ izometrie zachowują przekątne równoległoboków =⇒ są addytywne.
Przekształcenie liniowe R3 ma wektor własny. Izometria =⇒ wartość własna ±1.
+1
F (X) = X, ΠX – płaszczyzna ⊥ do X, F|ΠX – liniowa izometria R2
a) F |ΠX – obrót =⇒
F – obrót wokół osi wyznaczonej przez X.
b) F |ΠX – symetria względem 0Y =⇒ F – symetria względem płaszczyzny 0XY .
−1
F (X) =−X, ΠX – płaszczyzna ⊥ do X, F|ΠX – liniowa izometria R2
a) F |ΠX – obrót =⇒
F – „symetria obrotowa” (gdy o kąt π – symetria środkowa)
b) F |ΠX – symetria względem 0Y =⇒ F – obrót o π wokół 0Y .
Symetria płaszczyznowa
• jest inwolucją: SΠ◦ SΠ= Id;
• wystarczy podać płaszczyznę:
– jeśli przez 0 – dwuparametrowa rodzina, – jeśli niekoniecznie – trójparametrowa;
• zmienia orientację (wyznacznik), Obrót wokół osi
• jest inwolucją gdy kąt = π (symetria osiowa);
• trzeba podać oś i kąt, ale uwaga na kierunek obrotu;
• lepiej: oś zorientowana (wektor) i kąt: RαU
• zachowuje orientację.
Symetria obrotowa
• jest inwolucją gdy kąt = 0 (symetria płaszczyznowa) lub +π (symetria środkowa);
• trzeba podać:
– kąt, oś (zorientowaną) i płaszczyznę symetrii (prostopadłą, więc wystarczy punkt na osi), albo
– kąt, płaszczyznę, punkt na niej i wektor (swobodny) prostopadły do niej;
• zmienia orientację.
Uwaga: Powyższa lista opisuje wszystkie izometrie z punktem stałym.
Zadania
14.1. Podaj przykład dwóch izometrii, które komutują (mówimy, że odwzorowania F i G komutują, jeżeli F ◦ G = G ◦ F ) oraz dwóch takich, które nie komutują.
14.2. Pokaż, że izometrie przeprowadzają (proste w proste – było), płaszczyzny w płasz-czyzny, sfery w sfery i okręgi w okręgi.
14.3. Pokaż, że izometrie zachowują odległości punktu od prostej lub płaszczyzny, między prostymi, między płaszczyznami, pola, objetości, miary kątów (płaskich – było), dwu-ściennych, kątów między prostą a płaszczyzną itp. Spróbuj wymyślić coś, czego izome-trie nie zachowują.
14.4. Jakiego typu izometria liniowa przeprowadza punkt (x, y, z) na punkt:
a) (x, y, −z) b) (−y, x, z) c) (x, −y, −z) d) (y, z, x) e) (−x, −y, −z) f) (−y, x, −z) g) (y, −z, x) h) (y, −z, −x) i) (z, y, x) j) (x, y, z)?
15 Izometrie nieliniowe
Izometrie bez punktu stałego:
• translacje;
• złożenia liniowych z translacjami.
Każda izometria zapisuje się jako złożenie izometrii liniowej z translacją:
F = T−−−→0F (0)◦ Flin (gdzie Flin = T−−−→F (0)0◦ F ).
Złożenie obrotu z translacją: TV ◦ RUα = TprU(V )◦ TV −prU(V )◦ RαprU(V )
| {z }
• w każdej płaszczyźnie prostopadłej do U złożenie obrotu z przesunięciem: obrót!
Ruch śrubowy:
Złożenie TU ◦ RαU obrotu wokół osi z translacją w kierunku wektora równoległego do tej osi nazywamy ruchem śrubowym.
Uwagi:
• TU ◦ RαU = RαU◦ TU, ogólnie to nie jest prawda;
• ruch śrubowy ma punkt stały ⇐⇒ jest obrotem.
Złożenie symetrii z translacją: TV ◦ SΠ = TprΠ(V )◦ TV −prΠ(V )◦ SΠ
| {z }
• symetria w płaszczyźnie przesuniętej o V − prΠ(V )
/2 Symetria z poślizgiem:
Złożenie TVΠ◦SΠ symetrii płaszczyznowej z przesunięciem w kierunku pewnego wektora równoległego do tej płaszczyzny nazywamy symetrią z poślizgiem.
Uwagi:
• TVΠ◦ SΠ = SΠ◦ TVΠ, ogólnie to nie jest prawda;
• symetria z poślizgiem ma punkt stały ⇐⇒ jest symetrią.
Złożenie symetrii obrotowej z translacją:
TV◦RαP ◦ SΠ
| {z }
= TV −VΠ◦TVΠ ◦ RPα
| {z }◦SΠ = TV −VΠ ◦ RαP′
| {z }◦SΠ = RαP′◦TV −VΠ ◦ SΠ
| {z }
= RαP′ ◦ SΠ′
| {z } gdzie P ⊥Π obrót! RPα′ ruch symetria względem symetria (symetria obrotowa) P′ ⊥ Π śrubowy przesuniętej płaszczyzny obrotowa
To znaczy, że TV ◦ RPα ◦ SΠ ma punkt stały. Jak go znaleźć?
S
(
X
X
) (
X)
ΠS Π RPαo
albo układem rownań:
Przykład:
T(1,2,3)◦ R−π/2Oz ◦ SOxy
T ◦ R ◦ S(x, y, z) = (x, y, z) S(x, y, z) = (x, y,−z) R(x, y,−z) = (−y, x, −z)
T (−y, x, −z) = (−y + 1, x + 2, −z + 3) Zadania
15.1. O pewnej izometrii wiadomo, że każdą prostą przeprowadza na prostą do niej równo-legą. Czy ta izometria musi być translacją?
15.2. Pokaż, że dla dowolnego prostopadłościanu istnieje izometria, która ustawia go w następującym położeniu standardowym:
— jeden wierzchołek prostopadłościanu znajduje się w początku układu współrzęd-nych;
— trzy z jego krawędzi leżą na osiach układu współrzędnych.
Następnie ułóż i rozwiąż analogiczne zadanie dla kątów trójściennych (musisz najpierw ustalić, jak ma wyglądać położenie standardowe).
15.3. Wskaż możliwie dużo różnych izometrii, które przeprowadzają ustalony sześcian w siebie. Czy mogą być wśród nich izometrie bez punktu stałeego?
15.4. Zauważ, że:
a) symetria obrotowa z kątem obrotu π jest symetrią środkową (gdzie ma środek?);
c) złożenie obrotów wokół tej samej osi jest obrotem wokół tej samej osi o kąt równy sumie odpowiednich kątów obrotu.
Wywnioskuj z tego, że każdą symetrię obrotową można przedstawić jako złożenie symetrii środkowej i obrotu.
16 Twierdzenie o czterech odbiciach
Twierdzenie o czterech odbiciach:
Każda izometria R3 jest złożeniem ≤ 4 symetrii płaszczyznowych.
(liniowa) (≤ 3)
Dowód.
Lemat o czterech punktach:
Obrazy czterech niewspółpłaszczyznowych punktów wyznaczają izometrię.
F, G : A, B, C, D7→ A′, B′, C′, D′ =⇒ G−1 ◦ F (ABCD) = ABCD.
G−1◦ F (A) = A =⇒ G−1◦ F obrót, symetria lub symetria obrotowa
— w każdym przypadku A, B, C, D współpłaszczyznowe.
Rozkład na odbicia. F : A, B, C, D7→ A′, B′, C′, D′ a) Czy A = A′?
TAK: przejdź do b) z Ba= B, Ca = C, Da= D.
NIE: A – płaszczyzna symetralna AA′; SA(ABCD) = A′BaCaDa. b) Czy Ba = B′?
TAK: przejdź do c) z Cb = Ca, Db = Da.
NIE: B – płaszczyzna symetralna BaB′; B przechodzi przez A′, bo A′Ba= AB = A′B′; SB(A′BaCaDa) = A′B′CbDb.
c) Czy Cb = C′?
TAK: przejdź do d) z Dc = Db.
NIE: C – płaszczyzna symetralna CbC′; C przechodzi przez A′, B′, bo A′Cb = A′Ca = AC = A′C′, B′Cb = BaCa = BC = B′C′; SC(A′B′CbDb) = A′B′C′Dc.
d) Czy Dc = D′? TAK: zrobione!
NIE: D – płaszczyzna symetralna DcD′; D przechodzi przez A′, B′, C′ jw.,
SD(A′B′C′Dc) = A′B′C′D′, czyli SD ◦ SC ◦ SB ◦ SA(ABCD) = (A′B′C′D′).
Uwagi:
• translacja jest złożeniem dwóch symetrii;
• każde złożenie dwóch symetrii jest obrotem lub translacją;
• symetria obrotowa jest złożeniem trzech symetrii (względem płaszczyzn przecinają-cych się w jednym punkcie);
• ruch śrubowy jest złożeniem czterech symetrii (bo parzystej liczby, a nie dwóch);
• symetria z poślizgiem jest złożeniem trzech symetrii (w tym dwu względem równoleg-łych płaszczyzn).
Zadania
16.1. Pokaż, że izometria, która ma punkt stały, jest złożeniem co najwyżej trzech symetrii.
16.2. Pokaż, że izometria, która zachowuje punktowo pewną prostą, jest złożeniem co naj-wyżej dwóch symetrii. (Uwaga: mówimy, że odwzorowanie f : X → X zachowuje punktowo zbiór K ⊂ X, jeżeli f|K (f obcięte do K) jest identycznością.)
16.3. Czym może być izometria, która zachowuje punktowo pewną płaszczyznę?
16.4. Dane są cztery punkty A, B, C, D takie, że |AB| = |BC| = |CD| = |DA|. Czy z tego wynika, że istnieje izometria, która przeprowadza A na B, B na C, C na D i D na A?
Dygresja wysokowymiarowa
16.5. Na płaszczyźnie występują dwa rodzaje „symetrii” (tj. izometrii będących inwoluc-jami):
◦ symetria osiowa, która zmienia orientację, i
◦ symetria środkowa, która orientację zachowuje (bo jest obrotem o π).
W przestrzeni trójwymiarowej są trzy rodzaje:
◦ symetria płaszczyznowa (zmieniająca orientację),
◦ symetria osiowa (obrót o π) i
◦ symetria środkowa.
a) Czy ta ostatnia zachowuje orientację?
b) Jak myślisz, ile będzie rodzajów symetrii w przestrzeni czterowymiarowej? (A ile ich było na prostej?)
c) A w przestrzeni n-wymiarowej dla jakiegoś dużego n?
d) Ile z nich (i które) zachowuje orientację?
16.6. Jak wygląda analog twierdzenia o czterech odbiciach w przestrzeni czterowymiarowej?
A n-wymiarowej?
17 Składanie przekształceń Przykład. Dwa sześciany o krawędziach
równoległych do osi, stykające się krawę-dzią. Jakie izometrie przeprowadzają jeden na drugi?
• obrót o π wokół wspólnej krawędzi,
• obrót o π/2 wokół przekroju płaszczyzn zawierających ściany,
• przesunięcie,
• ruch śrubowy wzdłuż osi symetrii,
• symetria płaszczyznowa. . . Uwagi:
1. Wszystkich izometrii przeprowadzających S1 w S2 jest 8 · 3 · 2 = 48.
Dowód. Obrazy czterech wierzchołków wyznaczają izometrię, na pierwszy 8 możliwości, na drugi 3 (sąsiednie), na trzeci 2.
2. Jeżeli {F1, F2, . . . , Fn} – wszystkie izometrie przeprowadzające sześcian S1 w siebie, G – pewna izometria preprowadzająca S1 w S2, to zbiór wszystkich izometrii prze-prowadzających S1 w S2 ma postać {G ◦ F1, G◦ F2, . . . G◦ Fn}.
Dowód. H : S1 → S2 =⇒ G−1◦ H : S1 → S1 =⇒ G−1 ◦ H = Fk =⇒ H = G◦ (G−1◦ H) = G◦Fk.
Morał: musimy umieć składać izometrie.
Tabelka składania izometrii
ruch śrubowy symetria
identyczność (w tym translacja, obrót) z obrotem, z poślizgiem
ruch śrubowy ruch śrubowy symetria
(w tym translacja, obrót) (w tym tranlacja, obrót) z obrotem, z poślizgiem
symetria symetria ruch śrubowy
z obrotem, z poślizgiem z obrotem, z poślizgiem (w tym translacja, obrót) Uwagi:
• translacja ◦ translacja = translacja
• obrót ◦ obrót = obrót tylko gdy osie leżą w jednej płaszczyźnie:
Rpα◦ Rβl(A) = A =⇒ Rlβ(A) = A′, Rαp(A′) = A =⇒
d(A, l) = d(A′, l), d(A′, p) = d(A, p) =⇒ l, p⊂ symetralna(AA′).
• symetria obrotowa
z poślizgiem ◦ symetria obrotowaz poślizgiem
zachowuje orientację (trans-lacja lub obrót).
• translacja ◦ symetria = symetria z poślizgiem (było).
• translacja ◦ symetria z poślizgiem = symetria z poślizgiem bo Tu◦ (Tv◦ Shv,ui) = (Tu ◦ Tv)◦ Shv,ui.
• translacja ◦ symetria obrotowa = symetria obrotowa (było).
• obrót◦ symetria = symetria obrotowa o ile oś przecina płaszczyznę (punkt stały).
• jeśli p ∩ Π = ∅, to Rpα◦ SΠ nie ma punktu stałego, bo gdyby SΠ(A) = A′, Rαp(A′) = A, to Π – symetralna AA′, p ⊂ symetralnej AA′.
Zadania
17.1. Czym jest złożenie dwóch symetrii obrotowych w równoległych płaszczyznach?
17.2. Czym jest złożenie dwóch symetrii z poślizgiem w tej samej płaszczyźnie?
17.3. Złożenie pewnych dwóch symetrii (płaszczyznowych) jest a) translacją o wektor (−2, 0, 4);
b) obrotem o π/3 wokół osi Oz;
c) obrotem o π wokół prostej {(0, 0, 3) + t(0, 2, 1)}.
Jakie mogą być równania tych płaszczyzn? Napisz po jednym przykładzie dla każdego podpunktu.
17.4. Podaj przykład pięciu różnych izometrii, których złożenie (wszystkich pięciu, w pewnej kolejności) jest identycznością.
17.5. Niech Z1 i Z2 będą dwoma sześcianami o krawędziach długości 1 i równoległych do osi układu współrzędnych, mającymi jeden wspólny wierzchołek (patrz rysunek). Opisz możliwie dużo izometrii przekształcających Z1 na Z2.
17.6. Zauważ, że:
a) symetria obrotowa z kątem obrotu π jest symetrią środkową (gdzie ma środek?);
b) złożenie obrotów wokół tej samej osi jest obrotem wokół tej samej osi o kąt równy sumie odpowiednich kątów obrotu.
Wywnioskuj z tego, że każdą symetrię obrotową można przedstawić jako złożenie symetrii środkowej i obrotu.
18 Grupy przekształceń
Grupa przekształceń:
Zbiór G izometrii R3 spełniający warunki:
• Id ∈ G;
1a) translacje o wektory równoległe do osi Ox;
1b) translacje o wektory równoległe do płaszczyzny Oxy;
1c) translacje o wektory o współrzędnych całkowitych;
2) wszystkie obroty wokół osi Ox;
2a) wszystkie obroty wokół osi Ox o kąty będące całkowitą wielokrotnością 2π;
3) wszystkie obroty wokół osi przechodzących przez O.
4) wszystkie ruchy śrubowe, włącznie ze zdegenerowanymi ( ⇐⇒ izometrie zachowujące orientacj );
5) wszystkie izometrie liniowe ( ⇐⇒ zachowujące początek układu);
6) wszystkie izometrie przeprowadzające dany obiekt P w siebie (grupy izometrii włas-nych), na przykład:
6a) P – sfera (kula), ⇐⇒ 5);
6b) P – płaszczyzna, izometrie płaszczyzny „×” Z2 (dla każdej izometrii płaszczyzny istnieją dokładnie 2 rozszerzenia);
6c) P – czworościan; typowo jedna, ale np. czworościan foremny. . . Zadania
18.1. Zauważ, że obrót o kąt π/2 wokół osi Ox jest przekształceniem liniowym o macierzy
, zależy w którą stronę obracamy).
Napisz macierze obrotów o π/2 wokół osi Oy i Oz. Złożenie (dwu lub więcej) ta-kich obrotów jest przekształceniem liniowym (obrotem) o macierzy będącej iloczynem odpowiednich macierzy obrotów. Wylicz te macierze dla kilku interesujących przy-padków i znajdź ich wektory własne (będą one osiami obrotu tych złożeń).
18.2. W duchu poprzedniego zadania zbadaj złożenia obrotów o π wokół osi układu współ-rzędnych. Spróbuj wypisać wszystkie odwzorowania, które można dostać składając te obroty (nie ma ich wcale tak dużo).
19 Fenomen foremności
Wielościan foremny:
A [Szkolna encyklopedia matematyki]
• wypukły;
• wszystkie ściany foremne i przystające;
• każdy wierzchołek w tej samej liczbie ścian.
B [Zydler]
• wypukły;
• ściany foremne i przystające;
• kąty wielościenne jednakowe.
C [Hilbert, Cohn-Vossen]
• wszystkie wierzchołki równouprawnione;
• wszystkie krawędzie równouprawnione;
• wszystkie ściany równouprawnione;
• wszystkie ściany foremne.
(n, k)-wielościan foremny:
ściany są n-kątami i schodzą się po k w każdym wierzchołku.
schodzą się po
ściany 3 4 5 6
czworościan ośmiościan dwudziestościan parkietaż (tetraedr) (oktaedr) (ikosaedr) trójkątny sześcian parkietaż . . .
(heksaedr) kwadratowy dwunastościan . . .
(dodekaedr)
parkietaż . . . sześciokątny
. . .
Zadania
19.1. Pokaż, że wszystkie kąty dwuścienne w wielościanie foremnym są równe.
19.2. Ile (a) ścian (b) krawędzi (c) wierzchołków ma każdy z wielościanów foremnych?
Zrób odpowiednią tabelkę.
20 Sztuka rysowania wielościanów foremnych
1. Odręcznie.
2. W układzie współrzędnych.
Sześcian jest łatwy: (±1, ±1, ±1) lub 0 zamiast −1.
Czworościan wpisujemy w sześcian (co drugi wierzchołek):
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1).
Ośmiościan – wierzchołki na osiach: (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1).
Dwudziestościan – wpisujemy trzy prostokąty na płaszczyznach współrzędnych;
stosunek boków równy φ (bok i przekątna pięciokąta foremnego).
3. Siatki.
Wszystkie ściany rozłożone na płaszczyźnie.
4. Diagramy Schlegela.
Widok „perspektywiczny” wszystkich ścian (oprócz jednej).
Zadania
20.1. Czy następujące rysunki: są siatkami sześcianu?
20.2. Czy prawdą jest, że:
(a) wszystkie wierzchołki ośmiościanu foremnego leżą w pewnych dwóch równoległych płaszczyznach?
(b) wszystkie wierzchołki dwudziestościanu foremnego leżą w pewnych trzech równo-ległych płaszczyznach?
(c) wszystkie wierzchołki dwunastościanu foremnego leżą w pewnych czterech równo-ległych płaszczyznach?
20.3. Jak wyglądają przekroje ośmiościanu foremnego płaszczyznami prostopadłymi do jego głownej przekątnej? Jak się zmieniają, gdy płaszczyzna przekroju przemieszcza się wzdłuż owej przekątnej? (Opisz słowami albo narysuj komiks.)
20.4. Rozwiąż poprzednie zadanie dla sześcianu w miejsce ośmiościanu.
20.5. A co będzie, gdy zamiast płaszczyzn prostopadłych do głównej przekątnej weźmiemy płaszczyzny równoległe do pewnej ściany ośmiościanu (bądź sześcianu, ale to jest trywialne)?
20.6. Spróbuj przeanalizować w podobny sposób przekroje dwunasto- i dwudziestościanu.
20.7. Jaką bryłę otrzymamy, jeżeli od każdego naroża czworościanu foremnego odetniemy czworościanik foremny o dwa razy krótszej krawędzi?
20.8. Z kawałka kartonu w kształcie trójkąta równobocznego można — bez rozcinania, tylko zginając go odpowiednio — skleić czworościan foremny. Czy z pięciu takich kawałków można skleić foremny dwudziestościan?
Ćwiczenia do strony internetowej
http://www.jolanta.malczak.linuxpl.com/jpoly.htm (uwaga: może nie działać w pracowniach, wymaga javy)
Klikając na (polskie) nazwy brył możesz przejść do widoków poszczególnych wielościanów.
Klawisz v przełącza opcje między widokiem perspektywicznym a rzutem prostopadłym.
20.9. Pobaw się przez chwilę obracając wielościany myszką. (Uwaga: te bryłki mają coś w rodzaju momentu bezwładności. Raz energicznie popchnięte kręcą się dalej siłą rozpędu. Ponowne kliknięcie zatrzymuje obrót bryły.)
20.10. Ustaw dwunastościan foremny w położeniu ogólnym, tzn. tak żeby żadna krawędź nie zasłaniała żadnego wierzchołka i odwrotnie. (Chodzi o to, żeby było widać, co to za bryła.) Przerysuj ręcznie, co widzisz na ekranie. (Możesz najpierw wydrukować.) 20.11. Powtórz poprzednie ćwiczenie dla dwudziestościanu foremnego i dla każdej z
po-zostałych brył, której nie umiesz narysować.
Przełącz na rzut prostopadły i zbadaj (obracając wielościan), jak wyglądają różne jego rzuty. W szczególności:
20.12. Znajdź rzut czworościanu, który jest kwadratem.
20.13. Znajdź rzut czworościanu, który jest trójkątem równobocznym.
20.14. Znajdź rzut sześcianu, który jest prostokątem, ale nie kwadratem. Jaki jest maksy-malny stosunek długości boków?
20.15. Znajdź rzut sześcianu, który jest sześciokątem foremnym.
20.16. Znajdź rzut ośmiościanu, który jest kwadratem.
20.17. Znajdź rzut ośmiościanu, który jest prostokątem, ale nie kwadratem.
20.18. Znajdź rzut ośmiościanu, który jest rombem, ale nie kwadratem.
20.19. Znajdź rzut ośmiościanu, który jest sześciokątem foremnym.
20.20. Znajdź rzut dwunastościanu, który jest sześciokątem (nieforemnym).
20.21. Znajdź rzut dwunastościanu, który jest (jakimkolwiek) wielokątem foremnym.
20.22. Znajdź rzut dwudziestościanu, który jest sześciokątem. Czy może być sześciokątem foremnym?
21 Bryły archimedesowe P – punkt na ścianie czworościanu foremnego,
„ogólny” (nie wierzchołek, nie na krawędzi, nie na osi symetrii,. . . ).
24 obrazy P przez izometrie własne czworościanu:
wierzchołki pewnego wielościanu wypukłego, zwanego permutościanem:
4 + 4 = 8 ściany sześciokątne, 6 czworokątnych.
P
Uwagi:
(1) w każdym narożu spotykają się dwie ściany sześciokątne i jedna czworokątna;
(2) można wybrać P tak, aby dostać ściany foremne.
Wielościany półforemne:
Wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są foremne, a wszystkie naroża przys-tające, nazywamy półforemnym (albo bryłą archimedesową).
Jest ich 14 (w tym jeden fałszywy) plus dwie nieskończone serie.