1 Wektory, proste i płaszczyzny w przestrzeni Punkty w R

1 Wektory, proste i płaszczyzny w przestrzeni

Punkty w R³ opisujemy trójkami liczb (współrzędnymi): A = (x_A, y_A, z_A).

Wektory zaczepione to pary punktów −−→AB; wektory swobodne (albo po prostu wektory) to klasy równoważności wektorów zaczepionych względem odpowiedniej relacji.

Na wektorach swobodnych określone jest dodawanie i mnożenie przez skalary, czyli tworzą one przestrzeń liniową. Przestrzeń tę można uważać za tożsamą z R³, utożsamiając punkt A z klasą równoważności wektora −→OA (tu i dalej O = (0, 0, 0)).

Prosta przechodząca przez O jest podprzestrzenią liniową wymiaru 1, więc ma bazę składającą się z jednego wektora V . Prostą taką można zapisać jako p₀ = {tV : t ∈ R}.

Prosta nieprzechodząca przez zero jest warstwą pewnej jednowymiarowej podprzestrzeni piniowej i może być zapisana jako p = {P + tV : t ∈ R}, albo we współrzędnych: x = p₁+ tv₁, y = p₂+ tv₂, z = p₃+ tv₃. Taki zapis nazywamy równaniem parametrycznym prostej.

Równanie parametryczne prostej:

p ={P + tV }, czyli X = P + tV lub

( x = p₁+ tv₁ y = p₂+ tv₂ z = p₃+ tv₃

Z równania parametrycznego można wyrugować zmienną t, dostając t = (x−p1)/v₁ = (x− p2)/v₂ = (x− p2)/v₂. Taka postać równania prostej nazywa się równaniem zwy- czajnym.

Równanie zwyczajne prostej:

x− p1

v₁ = y− p2

v₂ = z − p3

v₃

Płaszczyzna to również podprzestrzeń liniowa lub jej warstwa, ale wymiaru 2. Rów- nanie parametryczne płaszczyzny można zapisać analogicznie do równania prostej.

Równanie parametryczne płaszczyzny:

p ={P + tV + sW : t, s ∈ R}, czyli X = P + tV + sW lub

( x = p₁+ tv₁+ sw₁ y = p₂ + tv₂ + sw₂ z = p₃+ tv₃+ sw₃

Równanie to można zinterpretować w terminach iloczynu skalarnego.

Iloczyn skalarny:

V ◦ W = v1w1 + v2w2+ v3w3 dla V = (v1, v2, v3) i W = (w1, w2, w3) Własności iloczynu skalarnego:

• U◦V = V ◦ U (symetryczny);

• U ◦ (V + W ) = U ◦ V + U ◦ W , U ◦ tV = t(U ◦ V ) (dwuliniowy);

• V ◦ V = |V |² ≥ 0, V ◦ V = 0 tylko dla V = 0 (dodatnio określony);

• U ◦ V = 0 wtedy i tylko wtedy gdy U ⊥ V (twierdzenie Pitagorasa);

• U ◦ V = |U| · |V | · cos(<⁾ U V ).

Dla ustalonego wektora A = (a, b, c) zbiór wektorów X do niego prostopadłych tworzy podprzestrzeń liniową zadaną równaniem ax + by + cz = 0:

{X : X ◦ A = 0} = {(x, y, z) : ax + by + cz = 0}

i że dowolna warstwa tej podprzestrzeni zadana jest równaniem ax + by + cz + d = 0:

{X = X0+ Y : Y ◦ A = 0} = {X : (X − X0)◦ A = 0}

={(x, y, z) : a(x − x0) + b(y− y0) + c(z− z0) = 0}

={(x, y, z) : ax + by + cz + (−ax0− by0− cz0)

| {z }

d

= 0}.

Można zadać prostą jako część wspólną dwóch płaszczyzn. Układ dwóch (liniowo niezależnych) równań liniowych (równań ogólnych nierównoległych płaszczyzn) nazywa się równaniem krawędziowym prostej.

Równanie krawędziowe prostej:

a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0

Równanie krawędziowe prostej oraz równanie parametryczne płaszczyzny definiują wyznaczany obiekt przy pomocy dwóch wektorów U i V . Równanie parametryczne (bądź zwyczajne) prostej oraz równanie ogólne płaszczyzny wykorzystują tylko jeden wektor W , prostopadły do U i V . Aby przejść od równania krawędziowego do parametrycznego prostej bądź od równania parametrycznego do ogólnego płaszczyzny, trzeba więc umieć wyznaczyć (jakiś) wektor prostopadły do dwóch danych. Można to zrobić przy pomocy iloczynu wektorowego:

Iloczyn wektorowy:

U × V = (u2v₃− u3v₂,−u1v₃+ u₃v₁, u₁v₂− u2v₁) dla U = (u1, u2, u3), V = (v1, v2, v3)

Mnemotechnika:

U × V = det





u1 v1 E1

u₂ v₂ E₂ u3 v3 E3



= u₁v₂E₃+ v₁E₂u₃+· · · = (u2v₃− u3v₂)E₁+

+(−u1v3+ u3v1)E2+ (u1v2− u2v1)E3. Własności iloczynu wektorowego:

• U × V = −V × U (antysymetryczny);

• U × (V + W ) = U × V + U × W , U × tV = t(U × V ) (dwuliniowy);

• U × V ⊥ U, U × V ⊥ V ;

• |U × V | = |U| · |V | · sin <⁾(U, V ) (pole równoległoboka rozpiętego przez U i V , czyli 2×pole trójkąta);

• iloczyn mieszany (U ×V )◦W = det(U, V, W ) (objętość równoległościanu rozpiętego przez U, V i W , czyli 6×objętość czworościanu.

Przykład. Dana jest prosta o równaniu krawędziowym p = 2x + 3y − 3z + 5 = 0 x + 3y− 2 = 0.

Oznacza to, że prosta ta leży w pewnej płaszczyźnie prostopadłej do wektora U = (2, 1,−3), jak również w płaszczyźnie prostopadłej do wektora V = (1, 3, 0). Prosta prostopadła jednocześnie do wektorów U i V musi być równoległa do wektora W = U ×V = (9,−3, 5). Jej równanie parametryczne ma więc postać p = {P + t(9, −3, 5) : t ∈ R}, gdzie P jest dowolnym punktem należącym do p, np. P = (2, 0, 3).

Przejście w drugą stronę (od danego równania p = {(2, 0, 3) + t(9, −3, 5) : t ∈ R} do dowolnego równania krawędziowego danej prostej) wymaga znalezienia dwóch nierówno- ległych wektorów prostopadłych do (9, −3, 5), np. (3, 9, 0) i (0, 5, 3).

Zadania 1.1. Czy każda prosta ma równanie zwyczajne?

1.2. Sprawdź, że iloczyn skalarny zdefiniowany podanym wzorem rzeczywiście ma wszys- tkie wymienione wlasności.

1.3. Sprawdź, że iloczyn wektorowy zdefiniowany podanym wzorem rzeczywiście ma wszys- tkie wymienione wlasności.

1.4. Sprawdź, czy prosta o równaniu x = 2 − t, y = −3 + 2t, z = 1 + t a) przechodzi przez punkty A(1, −1, 4), B(0, 1, 3);

b) leży na płaszczyźnie x − 2y + 3z = 9.

1.5. Podaj równanie płaszczyzny

a) przechodzącej przez punkt A(−3, 1, 0) i równoległej do płaszczyzny x + 3y − 2z + 5 = 0;

b) przechodzącej przez punkty (1, 4, 2), (−1, 0, 2), (3, 5, 1).

1.6. Dla jakich wartości a i b punkty (−2, 4, a) i −2, b, 3) leżą na płaszczyżnie 4x − 3y − z + 2 = 0?

2 Kąty między wektorami, prostymi, płaszczyznami

Kąty między wektorami:

cos <)(U, V ) = U ◦ V

|U| · |V | sin <)(U, V ) = |U × V |

|U| · |V |

Kąt między prostymi to mniejszy z dwu kątów między ich wektorami kierunk- owymi.

Kąt między prostymi:

<⁾(p, l) = <⁾(U, V ) dla p = {P + tU : t ∈ R}, l = {L + sV : s ∈ R} i <⁾(U, V )≤ π 2

Można go wyznaczyć również wtedy, gdy proste się nie przecinają. (Proste, które się nie przecinają ani nie są równoległe, nazywamy skośny mi.)

proste skośne

NIERÓWNOLEGŁE

RÓWNOLEGŁE

PRZECINAJĄCE SIĘ NIEPRZECINAJĄCE SIĘ

Przykład. Proste wyznaczone przez dwie nieprzecinające się krawędzie sześcianu są skośne i prostopadłe.

Dwie płaszczyzny Π i Λ w przestrzeni albo są równoległe, albo przecinają się wzdłuż pewnej prostej k.

Kąt między płaszczyznami:

<⁾(Π, Λ) =

0 jeżeli Π k Λ;

<⁾(p, l) jeżeli Π∩ Λ = k, Π ⊃ p ⊥ k, Λ ⊃ l ⊥ k.

Fakt. Kąt między płaszczyznami jest równy kątowi między ich wektorami normalnymi (wybieramy znak wektora normalnego tak, aby kąt ten nie przekraczał π/2).

Prosta p i płaszczyzna Λ albo są równoległe (wliczając w to przypadek, kiedy p ⊂ Λ), albo się przecinają.

Kąt między prostą a płaszczyzną:

<)(p, Λ) =

0 jeżeli p k Λ;

<⁾(p, l) jeżeli l = Λ∩ Π, p ⊂ Π ⊥ Λ.

Fakt. <⁾(p, Λ) = π

2− <⁾(p, N_Λ) (gdzie N_Λ jest wek- torem normalnym do Λ o takim zwrocie, że <⁾(p, NΛ) nie przekracza π

2).

Zadania

2.1. Dla jakich wartości parametru α płaszczyzny αx +y −α²z + 1 = 0 i x + αy + z−α = 0 są a) równoległe

b) prostopadłe?

2.2. Wyznacz kąty między przekątnymi ścian sześcianu (rozważ wszystkie możliwe pary przekątnych).

2.3. Płaszczyzny Π i Λ przecinają się pod kątem π/3. Proste p i l leżą odpowiednio w płaszczyznach Π i Λ. Jakie wartości może przyjmować kąt między prostymi p i l?

2.4. Proste k i l są skośne, a punkt P nie leży na żadnej z nich. Czy zawsze istnieje prosta przechodząca przez P i przecinająca obie dane proste? Czy może być więcej niż jedna taka prosta?

2.5. Proste p, k i l są parami skośne. Pokaż, że istnieje nieskończenie wiele prostych przecinających wszystkie trzy dane proste.

(Alternatywne definicje kąta)

2.6. Prosta p oraz płaszczyzna Λ przechodzą przez początek układu współrzędnych. Dla

3 Odległości, pola i objętości

Odległość punktu A od punktu B to to samo, co długość wektora −−→AB:

d(A, B) =|−−→AB|.

Odległość punktu A od prostej p lub płaszczyzny Π:

d(A, p) = d(A, P ), gdzie P ∈ p i −→AP ⊥ p;

d(A, Π) = d(A, P ), gdzie P ∈ Π i −→AP ⊥ Π.

Weźmy p = BC w danym trójkącie ABC. Mamy Pole(ABC) = ¹₂|−−→BA× −−→BC|, ale

−−→BA× −−→BC = (−−→BP + −→P A)× −−→BC = −−→BP × −−→BC + −→P A× −−→BC i |−−→BP × −−→BC| = 0, zaś −→P A⊥ −−→BC, czyli |−−→BA× −−→BC| = |−→P A× −−→BC| = |−→P A||−−→BC| – dostajemy znany wzór na pole trójkąta:

Pole(ABC) = ¹₂ · (podstawa) · (wysokość).

Weźmy Π = BCD w danym czworościanie ABCD. Wówczas Objętość(ABCD) =

1

6|(−−→BC× −−→BD)◦ −−→BA|, ale (−−→BC× −−→BD)◦ −−→BA = (−−→BC × −−→BD)◦ (−−→BP + −→P A = (−−→BC × −−→BD)◦

−−→BP + (−−→BC× −−→BD)◦ −→P A i (−−→BC× −−→BD)◦ −−→BP = 0, bo −−→BC× −−→BD ⊥ BCD ∋ −−→BP czyli |(−−→BC×

−−→BD)◦ −→P A| = 2Pole(ABC)|−→P A| sin <⁾(−→P A, BCD) – dostajemy znany wzór na objętość czworościanu Objto(ABCD) = ¹₃(pole podstawy) · (wysokość)

Odległość prostej (lub płaszczyzny) od prostej (lub płaszczyzny):

d(p, l) = d(P, L), gdzie P ∈ p, L ∈ l i −→P L⊥ p, −→P L⊥ l d(Π, Λ) = d(P, L), gdzie P ∈ Π, L ∈ Λ i −→P L ⊥ Π, −→P L⊥ Λ.

d(p, Λ) = d(P, L), gdzie P ∈ p, L ∈ Λ i −→P L ⊥ p, −→P L⊥ Λ.

Zadania

3.1. Podaj równanie opisujące zbiór punktów równo odległych od punktów (−2, 0, 2) i (2, 2, 4). Jaki to zbiór?

3.2. Oblicz odległość między przeciwległymi krawędziami czworościanu foremnego o kra- wędzi długości 1.

3.3. Oblicz odległość między płaszczyznami wyznaczonymi przez dwie przeciwległe ściany ośmiościanu foremnego o krawędzi a.

3.4. Podaj przykład trzech prostych k, l, m parami skośnych o tej własności, że odległość d(k, l) = 3, d(l, m) = 4 a d(m, k) = 5.

(Alternatywna definicja odległości)

3.5. Dla dowolnych podzbiorów przestrzeni A i B niech dist(A, B) = min d(A, B), gdzie A i B są dowolnymi punktami odpowiednio w A i B ∈ B. Pokaż, że jeżeli A i B są zbiorami jednopunktowymi, prostymi lub płaszczyznami, to dist(A, B) = d(A, B).

4 Rzuty prostopadłe

Rzut prostopadły na prostą p to odwzorowanie pr_p : R³ → p zdefiniowane następująco:

Rzut prostopadły na prostą:

pr_p(A) = A^′ takie, że −−→AA^′ ⊥ p

Uwaga: A ∈ p ⇐⇒ prp(A) = (A).

Przykład. Rzuty prostopadłe wierzchołków prostopadłościanu o krawędziach a, b, c na przekątną prostopadłościanu nie zawierającą tego wierzchołka.

Wybieramy układ współrzędnych z początkiem w jednym z końców krawędzi i z osiami wzdłuż krawędzi. Równanie parametryczne krawędzi to p = {t(a, b, c) : t ∈ R}. Będziemy rzutować wierzchołek A = (a, 0, 0). Rzut A^′ leży na p, więc A^′ = t(a, b, c) dla pewnego t, zaś −−→AA^′ ⊥ p, czyli (ta − a, tb, tc) ⊥ (a, b, c). Wobec tego ta² − a² + tb² + tc² = 0, skąd t = a²

a²+ b²+ c². Mamy A^′ = a²

a²+ b²+ c²(a, b, c).

Ćwiczenie: Znajdź pozostałe rzuty.

Rzut prostopadły na płaszczyznę Π to odwzorowanie pr_Π : R³ → Π zdefiniowane następująco:

Rzut prostopadły na płaszczyznę:

pr_Π(A) = A^′ takie, że −−→AA^′ ⊥ Π

Uwaga: skoro −−→AA^′ ⊥ Π, to znaczy, że−−→

AA^′ = t·NΠdla pewnego t, czyli A^′ ={A+tNΠ : t ∈ R}∩Π. Dlatego szczególnie łatwo jest znajdować rzuty punktów na płaszczyznę zadaną równaniem ogolnym.

Przykład. Rzut punktu A = (1, 5, 2) na płaszczyznę Π = {(x, y, z) : x + 2y − z + 3 = 0}

N_Π = (1, 2,−1), więc A^′ = (1, 5, 2) + t(1, 2,−1). Kiedy (1 + t, 5 + 2t, 2 − t) ∈ Π?

Wstawiamy do równania: (1 + t) + 2(5 + 2t) − (2 − t) + 3 = 0, skąd t = −2, czyli A^′= (−1, 1, 4).

Uwaga: jak poprzednio, pr_Π(A) = A ⇐⇒ A ∈ Π.

Fakt: Rzut prostopadły na prostą lub płaszczyznę jest złożeniem przekształcenia liniowego i przesunięcia: pr(X) = MX + V .

Własności rzutów:

• |prp(A)| ≤ |A| tj. rzut nie zwiększa długości wektora, a dokładniej:

|prp(V )| = |V | cos <⁾(p, V );

• rzut trójkąta jest trójkątem (być może zdegenerowanym) o polu nie większym niż pole oryginalnego trójkąta:

Pole(pr_Oxy(OAB))≤ Pole(OAB), bo Pole(OAB) = 1

2|A × B| =   

det





a₁ b₁ E₁ a₂ b₂ E₂ a₃ b₃ E₃



   

=|(c1, c₂, c₃)|,

zaś Pole(pr_OxyOAB) = 1

2|prA × prB| =   

det





a₁ b₁ E₁ a₂ b₂ E₂ 0 0 E₃



   

=|(0, 0, c3)|.

Wniosek:

pr_OxyA × prOxyB = pr_Oz(A × B), zatem Pole(prOxyOAB) = |prOxyA × prOxyB| =

|prOz(A× B)| = |(A × B)| cos <⁾(N0AB, Oz) = Pole(OAB) cos <⁾(OAB, Oxy).

Przykład. Jak się zmienia kąt między wektorami A i B przy rzucie pr = pr_Oxy? cos <⁾(A, B) = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

|A||B| , zaś cos <⁾(prA, prB) = a₁b₁ + a₂b₂+ a₃b₃

|prA||prB| . Niech na przykład A = (1, 0, z), B = (0, 1, z). Wtedy

cos <⁾(A, B) = z²

1 + z² _z→∞−→ 1, czyli <⁾(A, B)→ 0.

Z drugiej strony, dla A = (1, 0, −z), B = (0, 1, z) mamy cos <⁾(A, B) = −z²

1 + z² _z→∞−→ − 1, czyli <⁾(A, B)→ π.

Ale jeżeli wiadomo, że a₃b₃ ≤ 0 (tzn. A i B leżą po przeciwnych stronach płaszczyzny, na którą rzutujemy) i <⁾(A, B) jest ostry, to

0≤ a1b₁+ a₂b₂+ a₃b₃ ≤ a1b₁+ a₂b₂

|A||B| ≥ |prA||prB|

=⇒ cos <⁾(A, B) ≤ cos <⁾(prA, prB)

<⁾(A, B) ≤ <⁾(prA, prB) Zadania

4.1. Można napisać 3³ różnych zdań postaci: Rzut prostopadły bździągwy na bździągwę może być bździągwą, zastępując słowo bździągwa słowami punkt, prosta bądź płasz- czyzna w odpowiedniej formie gramatycznej. Które z tych zdań są prawdziwe?

4.2. Znajdź punkty, które są rzutami:

a) wierzchołków sześcianu na prostą zawierającą przekątną jego ściany;

b) wierzchołków czworościanu na jedną z jego krawędzi.

4.3. Dany jest wielościan wypukły wykonany z nieznanego materiału o zmiennej gęstości.

Pokaż, że co najmniej jedna ze ścian tego wielościanu ma tę własnośc, że rzut środka ciężkości wielościanu na płaszczyznę ściany leży wewnątrz tej ściany. (Wskazówka:

postaw wielościan na stole i patrz, czy się przewróci.)

5 Kąty wielościenne

Kąt wielościenny (inaczej naroże) to podzbiór przestrzeni ograniczony pewną liczbą kątów płaskich k₁, k₂, . . . , k_n, z których każda para k_i, k_i+1 (wliczając parę k_n, k₁) ma wspólne ramię, wszystkie mają wspólny wierzchołek, a poza tym się nie przecinają.

Kąt wielościenny wypukły to otoczka wypukła skończenie wielu pólprostych o wspólnym początku albo równoważnie przekrój skończenie wielu pólprzestrzeni, których brzegi przecinają się w jednym punkcie.

Analogia z wielokątem:

wielokąt ←→ kąt wielościenny boki ←→ kąty płaskie

kąty ←→ kąty dwuścienne

wielokąt wypukły ←→ kąt wielościenny wypukły otoczka wypukła punktów ←→ otoczka wypukła półprostych

przekrój półpłaszczyzn ←→ przekrój półprzestrzeni

Opis analityczny kąta wielościennego wypukłego jako przekroju półpłaszczyzn:

{X : X ◦ A1 ≥ 0, X ◦ A2 ≥ 0, . . . , X ◦ An≥ 0}.

Ćwiczenie 5.1. Ile różnych kątów trójściennych wyznaczają trzy proste przecinające się w jednym punkcie? A trzy półproste o wspólnym wierzchołku?

Nierówności o kątach trójściennych

Oznaczenia: wierzchołek O; półproste a, b, c; kąty płaskie α = <⁾(b, c), β = <⁾(c, a), γ = <⁾(a, b); kąty dwuścienne <⁾ a przy półprostej a, <⁾b przy b, <⁾ c przy c; w razie potrzeby punkty A ∈ a, B ∈ b, C ∈ c.

Nierówność trójkąta:

α + β > γ Dowód.

Jeśli γ ≤ β, to już. Jeśli γ > β, to weźmy punkty A, B oraz C^′ na odcinku AB tak, aby

<⁾ AOC^′ = <⁾AOC. Wybierzmy C tak, aby OC = OC^′. Porównując trójkąty OBC i OBC^′ mamy <⁾BOC > <) BOC^′, zatem

α + β = <⁾BOC + <⁾ AOC > <⁾BOC^′+ <⁾ AOC^′ = <⁾ AOB = γ.

<⁾ AOB + <⁾ BOC + <⁾COA < <⁾ AO^′B + <⁾ BO^′C + <⁾ CO^′A =

= 2π

max{<⁾AO^′B, <⁾BO^′C, <⁾CO^′A}

(w zależności od położenia punktu O^′: wewnątrz czy na zewnątrz trójkąta ABC).

Suma kątów dwuściennych wypukłego kąta trójściennego:

<⁾ a + <⁾ b + <⁾ c > π.

Pojęcie potrzebne w dowodzie:

Kąt biegunowy danego wypukłego kąta trójściennego to kąt trójścienny o tym samym wierzchołku i krawędziach a^′, b^′, c^′, gdzie:

a^′ ⊥ bc, a i a^′ po przeciwnych stronach bc;

b^′ ⊥ ac, b i b^′ po przeciwnych stronach ac;

c^′ ⊥ ab, c i c^′ po przeciwnych stronach ab.

Własności kąta biegunowego:

• kąt biegunowy kąta wypukłego jest wypukły;

• relacja biegunowości jest symetryczna: a ⊥ b^′c^′, bo b^′ ⊥ a i c^′ ⊥ a;

• zachodzi następujący związek między kątami dwuściennymi danego kąta trójściennego a kątami płaskimi jego kąta biegunowego (i odwrotnie):

Lemat o kącie biegunowym:

α^′+ <⁾ a = β^′+ <⁾b = γ^′+ <⁾ c = π Dowód. α^′ = <⁾(b^′, c^′) = <⁾(N_ac,±Nab) = π− <⁾(ab, ac) = π− <⁾a.

Dowód (twierdzenia o sumie kątów dwuściennych kąta trójściennego).

<) a + <) b + <)c = π− α^′+ π− β^′+ π− γ^′ = 3π− (α^′+ β^′+ γ^′) > π.

Twierdzenie o kącie w kącie:

Jeśli z dwóch kątów trójściennych o wspolnym wierzchołku jeden („mniejszy”) zawiera się w drugim („większym”), to:

• suma kątów płaskich mniejszego kąta trójściennego jest mniejsza niż suma kątów płaskich większego kąta trójściennego;

• suma kątów dwuściennych mniejszego kąta trójściennego jest mniejsza niż suma kątów dwuściennych większego kąta trójściennego;

Dowód.

Przypadek 1:

d – półprosta zawarta w kącie płaskim γ, d₁+ d₂ = π, γ₁+ γ₂ = γ

α + γ₂+ δ <

nier.

trójk.

α + γ₂+ (γ₁+ β) = α + γ + β

c₁c₂

γ2

d₂ d₁ γ1

c

δ α β b

d a

Przypadek 2

(półprosta d wewnątrz kąta trójściennego, d^′ – prosta przecięcia płaszczyzn ad i bc):

P

kątów płaskichabd < P

kątów płaskichabd^′ <P

kątów płaskichabc P

kątów dwuściennychabd <P

kątów dwuściennychabd^′<P

kątów dwuściennychabc Przypadek 3

(kąt cde, półprosta d wewnątrz kąta ab, półprosta e wewnątrz kąta ac):

P

kątów płaskichcde < P

kątów płaskichacd <P

kątów płaskichabc P

kątów dwuściennychcde <P

kątów dwuściennychacd <P

kątów dwuściennychabc Itd.

Przykłady: kąty czworościenne.

a) wypukły (wszystkie 4 kąty dwuścienne < π) 2π > (α + α^′) + β + (γ + γ^′) > α + β + γ + δ b) „siodłowaty”

Zadanie ze Zwardonia: Punkt O leży we wnętrzu czworościanu ABCD. Pokazać, że

<⁾ AOB + <⁾BOC + <⁾ COD + <⁾DOA > 2π.

α

α

γ

γ

β δ

’

’

Zadania

5.1. Podaj przykłady dwóch niewypukłych kątów trójściennych: takiego, który spełnia nierówność trójkąta, i takiego, który jej nie spełnia.

5.2. Czy istnieje kąt trójścienny w którym

a) dokładnie dwa z kątów dwuściennych są proste;

b) wszystkie kąty dwuścienne są ostre;

c) jeden z kątów dwuściennych jest prosty, a dwa pozostałe są rozwarte;

d) jeden z kątów dwuściennych jest prosty, a dwa pozostałe są ostre?

5.3. Zastanów się, jak mogą wyglądać uogólnienia poznanych nierówności o kątach trój- ściennych (nierówność trójkąta, suma kątów płaskich < 2π, suma kątów dwuściennych

> π) na przypadek wypukłych kątów wielościennych.

5.4. Udowodnij następujący fakt (zwany czasem twierdzeniem o trzech prostopadłych):

prosta p zawarta w płaszczyźnie Π jest prostopadła do danej prostej l nieprostopadłej do płaszczyzny Π wtedy i tylko wtedy gdy jest prostopadła do rzutu l^′ prostej l na płaszczyznę Π.

5.5. Wykorzystując twierdzenie o trzech prostopadłych udowodnij, że jeśli w czworościanie

6 Twierdzenia sinusów i cosinusów dla kątów trójściennych

Oznaczenia: wierzchołek O; półproste a, b, c; kąty płaskie α = <)(b, c), β = <)(c, a), γ = <⁾(a, b); kąty dwuścienne <⁾ a przy półprostej a, <⁾b przy b, <⁾ c przy c; w razie potrzeby punkty A ∈ a, B ∈ b, C ∈ c.

Twierdzenie sinusów:

sin <⁾ a

sin α = sin <⁾b

sin β = sin <⁾c sin γ Dowód.

A^′ – rzut A na płaszczyznę prostych b i c;

B – rzut A (więc i A^′) na prostą b;

C – rzut A (więc i A^′) na prostą c;

AC ⊥ c, więc AC = OA sin β, podczas gdy AA^′ = AC sin <) c = OA sin β sin <)c analogicznie AB ⊥ b, AB = OA sin γ, AA^′ = AB sin <⁾b = OA sin γ sin <⁾ b stąd sin β sin <⁾ c = sin γ sin <⁾ b, czyli sin <⁾b

sin β = sin <⁾ c sin γ

A’

A

C

B Twierdzenia cosinusów:

cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos <⁾a cos <⁾ a =− cos <⁾b cos <⁾ c + sin <⁾b sin <⁾ c cos α Dowód.

|−→OA| = |−−→OB| = |−−→OC| = 1, <⁾(−→U , −→V ) = <⁾ a

−−→OB = −→OA cos γ + −→U , −→U ⊥ −→OA,|−→U| = sin γ

−−→OC = −→OA cos β + −→V , −→V ⊥ −→OA,|−→U| = sin β

−−→OB◦ −−→OC =|−−→OB||−−→OC| cos α = cos α

−−→OB◦ −−→OC = (−→OA cos γ + −→U )◦ (−→OA cos β + −→V ) =

= cos γ cos β + sin β sin γ cos <⁾a czyli cos α = cos γ cos β + sin β sin γ cos <⁾a i to samo dla kąta biegunowego

cos α^′ = cos γ^′ cos β^′+ sin β^′ sin γ^′ cos <⁾ a^′ gdzie α^′ = π− <⁾ a, β^′ = π− <⁾ b,

γ^′ = π− <⁾ c, <⁾a^′ = π− α,

czyli cos α^′ =− cos <⁾ a, cos β^′ =− cos <⁾ b, cos γ^′ =− cos <⁾ c, sin β^′ = sin <⁾ b,

sin γ^′ = sin <⁾ c, cos <⁾ a^′ =− cos α

A

B

C U

V

skąd − cos <⁾a = (− cos <⁾c)(− cos <⁾ b) + sin <⁾ b sin <⁾ c (− cos α).

Przykład (zadanie pana Kaźmierczaka).

p⊂ Π, k^′ = pr_Π(k), <)(p, k^′) = ^π₃.

Jakie wartości może przyjmować <⁾(p, k)?

Jaki trzeba wziąć <⁾(k, k^′), żeby dostać zadany <)(p, k)?

α = <⁾(p, k), β = <⁾(k, k^′), <⁾ k^′ = ^π₂. Twierdzenie cosinusów:

cos α = cos β cos ^π₃ + sin β sin^π₃ cos^π₂, ale cos^π₃ = ¹₂ i cos^π₂ = 0,

czyli wystarczy wziąć takie β, że cos β = 2 cos α. p k

k’

α β

Ale: 0 ≤ β ≤ ^π₂ =⇒ 1 ≥ cos β ≥ 0 =⇒ ¹₂ ≥ ¹₂ cos β = cos α ≥ 0 =⇒ ^π₃ ≤ α ≤ ^π₂. Zadania

6.1. Wskaż, gdzie w dowodzie twierdzenia sinusów dla kąta trójściennego używa się twier- dzenia o trzech prostopadłych (patrz zadanie 5.4).

6.2. Wyznacz kąty dwuścienne w kącie trójściennym, znając kąty płaskie α = β = π/3 i wiedząc, że kąt dwuścienny przy ich wspólnym ramieniu wynosi π/2.

6.3. Pokaż, że jeśli dwa kąty płaskie kąta trójściennego są równe, to dwa jego kąty dwu- ścienne też są równe (i odwrotnie).

6.4. Pokaż, że kąty między dwusiecznymi kątów płaskich danego kąta trójściennego są albo wszystkie trzy ostre, albo wszystkie trzy proste, albo wszystkie trzy rozwarte.

6.5. W pewnym kącie trójściennym wszystkie kąty płaskie są równe, a ich dwusieczne są parami prostopadłe. Znajdź kąty dwuścienne tego kąta.

6.6. Wyznacz kąty dwuścienne między sąsiednimi ścianami czworościanu foremnego. Zrób to samo dla kilku innych swoich ulubionych brył.

6.7. Udowodnij, że jeśli wszystkie kąty płaskie w kącie trójściennym są rozwarte, to wszys- tkie kąty dwuścienne też są rozwarte. Czy prawdą jest, że jeśli dwa z kątów płaskich są rozwarte, to przynajmniej jeden kąt dwuścienny jest rozwarty?

6.8. Czy prawdą jest, że:

a) jeżeli wszystkie kąty płaskie kąta trójściennego są ostre, to wszystkie kąty dwu- ścienne też są ostre;

b) jeżeli jeden z kątów płaskich kąta trójściennego jest prosty, to co najmniej jeden z kątów dwuściennych jest prosty?

7 Wewnętrzna geometria sfery Geometria: punkty, proste, odległości, kąty.

Punkty na sferze.

Proste: koła wielkie (najkrótsze drogi, tzw. geodezyjne).

Odległości: mierzone na sferze (długość łuku koła wielkiego, nie odcinka;

d(N, S) = πR, nie 2R).

Ustalmy R = 1; wtedy d(N, S) = π i ogólnie d(A, B) = <⁾(−→OA, −−→OB).

Kąty: między „prostymi”, tj. łukami kół wielkich (ich wektorami stycznymi).

Koło wielkie wyznacza płaszczyznę przez środek sfery; kąt między kołami wielkimi to kąt (dwuścienny) między odpowiednimi płaszczyznami.

<⁾(Π, Λ) = <⁾(NΠ, NΛ)

Wektory normalne do płaszczyzn kół wielkich: bieguny. Kąt między kołami to od- ległość między ich biegunami.

Trójkąty Trójkąt:

3 punkty (wierzchołki), nie leżące na jednym kole wielkim;

łączące je łuki kół wielkich.

Uwaga:

są dwa łuki AB, bierzemy krótszy (trójkąt eulerowski).

(wypukłe) (eulerowskie) kąty trójścienne ←→ trójkąty sferyczne

kąty płaskie ←→ boki kąty dwuścienne ←→ kąty

Twierdzenia o trójkątach sferycznych Przeniesione z kątów trójściennych:

• Nierówność trójkąta, obwód < 2π, suma kątów > π.

• Twierdzenie sinusów, twierdzenia cosinusów (zwykłe i dualne).

• Wnioski z powyższych: cechy przystawania trójkątów.

Dwa trójkąty sferyczne są przystające, jeśli można jeden na drugi nałożyć ⇐⇒

odpowiednio równe kąty i boki.

BBB α = α^′, β = β^′, γ = γ^′

=⇒ <⁾ A = <) A^′, <)B = <)B^′, <) C = <)C^′ Dowód: twierdzenie cosinusów.

KKK <⁾ A = <⁾ A^′, <⁾B = <⁾B^′, <⁾ C = <⁾C^′

=⇒ α = α^′, β = β^′, γ = γ^′

Dowód: dualne twierdzenie cosinusów.

Uwaga: na sferze nie ma podobieństw!

α

β γ

A

B C

β A’

C’

B’

’

α’ γ’

BKB α, <⁾C, β =⇒ trzeci bok z twierdzenia cosinusów i dalej jak poprzednio.

KBK <⁾ A, γ, <⁾B =⇒ trzeci kąt z dualnego

twierdzenia cosinusów i dalej jak poprzednio.

Zadania

7.1. Czy dwa trójkąty sferyczne o takich samych kątach mają takie same obwody?

7.2. Oblicz pozostałe kąty i boki trójkąta sferycznego, wiedząc że:

a) jego boki wynoszą π/2, π/3 i π/4;

b) jego kąty wynoszą π/2, π/3 i π/4;

c) dwa z jego boków wynoszą π/2 i π/3, a kąt między nimi jest π/4;

d) dwa z jego kątów wynoszą π/2 i π/3, a bok między nimi jest π/4;

e) dwa z jego kątów wynoszą π/2 i π/3, a bok naprzeciw kąta π/3 ma długość π/4;

f) i tym podobne wedle własnych upodobań.

7.3. Jakie są zależności logiczne między poniższymi zdaniami (które wynikają z których, które są równoważne)?

a) Trójkąt sferyczny ABC ma wszystkie boki krótsze od π.

b) Trójkąt sferyczny ABC ma wszystkie kąty mniejsze od π.

c) Trójkąt sferyczny ABC ma pole mniejsze od 2π.

d) Trójkąt sferyczny ABC ma obwód mniejszy od 3π.

e) Kąt trójścienny związany z trójkątem sferycznym ABC jest wypukły.

f) Trójkąt sferyczny ABC jest zawarty w pewnej półsferze.

7.4. Dla trójkąta sferycznego ABC wysokość opuszczona z wierzchołka C oznacza naj- krótszy łuk koła wielkiego łączący C z kołem wielkim zawierającym bok AB. Oblicz długość wysokości, mając dane długości boków.

7.5. Czy istnieje taki trójkąt sferyczny, że trójkąt biegunowy względem niego jest do niego przystający? Spróbuj opisać wszystkie takie trójkąty.

7.6. Dane są dwa trójkąty sferyczne ABC i A^′B^′C^′. Wiadomo, że <⁾ A = <⁾ A^′, AB > AB^′ i AC ≥ AC^′. Pokaż, że pole ABC jest większe od pola A^′B^′C^′.

7.7. W trójkącie sferycznym ABC wysokość CC^′jest jednocześnie dwusieczną. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?

7.8. W trójkącie sferycznym ABC wysokość CC^′ jest jednocześnie środkową. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?

7.9. W trójkącie sferycznym ABC dwusieczna CC^′jest jednocześnie środkową. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?

8 Pola wielokątów sferycznych

Zakładamy promień sfery R = 1. Pole obszaru na sferze = kąt bryłowy (ogólnie:

Pole = R · kąt bryłowy). Jednostka: steradian (kąt bryłowy pełny ma 4π steradianów).

Pole dwukąta o kącie A:

= A

2π · 4π = 2A

(pole pary dwukątów = 4A) Trójkąt jako przekrój dwukątów:

4A + 4B + 4C = 4π + 4· P oleABC

P oleABC = A + B + C− π

| {z }

defekt trójkąta sferycznego

A

Twierdenie Brożka:

Pole n-kąta sferycznego (niekoniecznie wypukłego) o kątach A₁, A₂, . . . , A_n jest równe defektowi tego wielokąta Defekt(W ) = cA₁+ A₂+· · · + An− (n − 2)π.

C_n−2 C_n−3

A

B

C₁ C₂

A A A A_n−2

n −3

2 1

B C_n

C’1

C₁

C2 ²

C’

C_n−3

n−3

−2 C’

Dowód

(dla wielokąta wypukłego;

ogólny przypadek nastręcza trudności technicznych).

Wybieramy jeden wierzchołek wielokąta A, łączymy przekątnymi (łukami kół wielkich) z pozostałymi wierzchołkami (B, C₁, . . . , C_n−2).

Defekt wielokąta: Defekt(W ) =

= A + B + C₁+ C₂+· · · + Cn−2− (n − 2)π =

= (A₁+ A₂+· · · + An−2) + B + (C₁+ C₁^′)+

+(C₂+ C₂^′) +· · · + (Cn−3+ C_n−3^′ ) + C_n−2− (n − 2)π =

= (A₁+ B + C₁)− π + (A2+ C₁^′ + C₂)− π + · · · + (An−2+ C_n−3^′ + C_n−2)− π =

= Defekt(ABC₁) + Defekt(AC₁C₂) +· · · + Defekt(ACn−3C_n−2) =

= suma pól trójkątów = pole wielokąta.

Przykład: pole trójkąta prostokątnego.

• sin Defekt(ABC)

= sin(A + B + C− π) = − sin(A + B + C) =

=− sin(A + B + π/2) = − cos(A + B) = sin A sin B − cos A cos B Z twierdzenia cosinusów:

cos C = − cos A cos B + sin A sin B cos γ, cos C = 0,

=⇒ − cos A cos B = − sin A sin B cos γ.

• sin Defekt(ABC)

= sin A sin B (1− cos γ) B α π/2

γ β

A

C

Z twierdzenia sinusów: sin α

sin A = sin γ

sin C =⇒ sin A = sin α

sin γ, podobnie sin B = sin β sin γ

• sin Defekt(ABC)

= sin A sin B (1− cos γ) = sin α sin β

sin²γ (1− cos γ) =

= sin α sin β 1− cos γ

1− cos²γ = sin α sin β 1 + cos γ

Z dualnego twierdzenia cosinusów: cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos C = cos α cos β.

• sin Defekt(ABC)

= sin α sin β

1 + cos γ = sin α sin β 1 + cos α cos β Uwaga: gdy α, β → ∞ (trójkat coraz mniejszy),

pole △ sferycznego

pole △ euklidesowego = sin α sin β/(1 + cos α cos β)

αβ/2 = sin α

α

sin β β

2

1 + cos α cos β → 1 Zadania

8.1. Kąty trójkąta sferycznego wynoszą π/2, π/3 i π/4. Jakie jest jego pole?

8.2. Dwa kąty trójkąta sferycznego wynoszą π/3 i π/4, a jego pole jest równe π/2. Ile wynosi trzeci kąt?

8.3. Czy dwa trójkąty sferyczne o tej samej podstawie i długości wysokości muszą mieć równe pola?

8.4. Czy dwa trójkąty sferyczne o równych polach mają takie same obwody?

8.5. Wysokość CC^′ dzieli trójkąt sferyczny ABC na dwa trójkąty o równych polach. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?

8.6. Dwusieczna CC^′ dzieli trójkąt sferyczny ABC na dwa trójkąty o równych polach. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?

8.7. Środkowa CC^′ dzieli trójkąt sferyczny ABC na dwa trójkąty o równych polach. Czy trójkąt ABC musi być równoramienny?

8.8. Wielokąt sferyczny nazywamy foremnym, jeżeli ma równe wszystkie boki i równe wszystkie kąty. Wyznacz miary kątów oraz obwód n-kąta foremnego jako funkcje pola. (Rozpatrz zwłaszcza przypadki n = 3, 4, 5.) Jakie są przedziały zmienności miar kątów i obwodu?

9 Twierdzenie ˇCevy ABC trójkąt sferyczny;

A^′ na boku BC, B^′ na boku CA, C^′ na bku AB.

A C’

B A’

C

B’

S

Twierdzenie ˇCevy:

AA^′, BB^′, CC^′ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy sin AC^′

sin BC^′ · sin CB^′

sin AB^′ · sin BA^′ sin CA^′ = 1 Dowód. (⇒)

sin AC^′

sin BC^′ · sin CB^′

sin AB^′ · sin BA^′ sin CA^′ =

= sin AC^′

sin ASC^′ · sin ASC^′

sin A^′C · sin BSC^′

sin BC^′ · sin CB^′

sin B^′SC · sin ASB^′

sin AB^′ · sin A^′B sin A^′SB =

↓^△ASC′ ↓^△A′SC ↓^△BSC′ ↓^△B′SC ↓^△ASB′ ↓^△A′SB

= sin AS^′

sin AC^′S · sin CA^′S sin CS ·

sin BC^′S sin BS ·

sin CS

sin CB^′S · sin AB^′S sin AS ·

sin BS sin BA^′S =

= sin BC^′S

sin AC^′S · sin CA^′S

sin BA^′S · sin AB^′S

sin CB^′S = 1· 1 · 1 = 1 (⇐)

BB^′, CC^′ przecinają się; poprowadźmy AA^′. Jeśli przez punkt przecięcia, mamy sin BA^′

sin CA^′ = 1

sinAC^′

sinBC^′ · ^sin_sin^CB_AB^′′

. Dla różnych A^′ dostajemy rożne stosunki:

CA^′ = x, BA^′= α− x; A^′′C = y, BA^′′ = α− y;

gdyby sin BA^′

sin CA^′ = sin BA^′′

sin CA^′′, to mamy sin(α − x)

sin x = sin(α − y) sin y , czyli sin α cos x − cos α sin x

sin x = sin α cos y + cos α sin y

sin y ,

więc sin α ctg x + cos α = sin α ctg y + cos α =⇒

=⇒ ctg x = ctg y =⇒ x = y z różnowartościowości cotangensa.

Wnioski (vel przyklady) 1. Środkowe trójkąta sferycznego przecinają się w

jednym punkcie.

sin AC^′

sin BC^′ · sin CB^′

sin AB^′ = 1· 1 · 1 = 1

A C’

B A’

C

B’

S

2. Dwusieczne kątów trójkąta sferycznego przecinają się w jednym punkcie.

Lemat (twierdzenie o dwusiecznej).

sin AD

sin BD = sin AC sin BC Dowód:

sin AD

sin(C/2) = sin AC sin D1

, sin BD

sin(C/2) = sin BC

sin D2 A B

C

D

D1D=π−D_{2 1} C C

_ _

2 2

Dowód wniosku 2.

sin AC^′

sin BC^′ · sin BA^′

sin CA^′ · sin CB^′

sin AB^′ = sin AC sin BS ·

sin AB sin AC ·

sin BC sin AB = 1.

3. Wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

sin AC^′

sin ACC^′ = sin AC

sin(π/2) = sin CC^′ sin A

cos A = cos ACC^′ cos(π/2) + sin ACC^′ sin(π/2) cos CC^′ sin ACC^′ = cos A

cos CC^′ sin AC^′ = sin CC^′

sin A ·sin ACC^′ = sin CC^′ sin A ·

cos A

cos CC^′ = ctg A tg CC^′ analogicznie sin BC^′ = ctg B tg CC^′, więc

sin AC^′

sin BC^′ = ctg A tg CC^′

ctg B tg CC^′ = ctg A ctg B stąd mamy

sin AC^′

sin BC^′ · sin BA^′

sin CA^′ · sin CB^′

sin AB^′ = ctg A ctg B ·

ctg B ctg C ·

ctg C ctg A = 1.

A B

C

B’ A’

C’

Zadania

9.1. W trójkącie sferycznym ABC zachodzi AC = BC. Punkty A^′ i A^′′ dzielą bok BC na trzy równe części, podobnie punkty B^′ i B^′′ dzielą bok AC na trzy równe części, zaś punkt C^′ jest środkiem boku AB. Które trzy spośród pięciu odcinków (łuków kół wielkich) AA^′, AA^′′, BB^′, BB^′′, CC^′ przecinają się w jednym punkcie? Na ile części te odcinki dzielą trójkąt ABC?

9.2. Przeprowadź alternatywny dowód tego, że wysokości trójkąta sferycznego przecinają się w jednym punkcie, korzystając z wektorów normalnych i iloczynu wektorowego.

10 Dygresja: współrzędne geograficzne

Ustalone koło wielkie (równik) i jego bieguny N i S.

Szerokość geograficzna:

Szerokość geograficzna φ(X) punktu X na sferze to kąt między wektorem −−→OX a płaszczyzną równika.

−90^◦ ≤ φ ≤ 90^◦

Umowa: zamiast −a^◦ piszemy a^◦S, zamiast a^◦ piszemy a^◦N .

Zbiór punktów o ustalonej szerokości geograficznej to równoleżnik. Równoleżnik jest okręgiem powstałym z przecięcia sfery płaszczyzną równoległą do równika.

Fakt. Równoleżnik jest okręgiem w geometrii sferycznej (o środku w biegunie).

Dowód. d(X, N) = 90^◦− φ(X).

Ustalamy półpłaszczyznę o krawędzi NS (południk zerowy).

Długość geograficzna:

Długość geograficzna θ punktu X to zorientowany kąt między półpłaszczyzną o krawędzi NS przechodzącą przez punkt X a półpłaszczyzną południka zerowego.

−180^◦ ≤ θ ≤ 180^◦

Umowa: zamiast −b^◦ piszemy b^◦E, zamiast b^◦ piszemy b^◦W .

Zbiór punktów o ustalonej długości geograficznej to południk. Południk jest pół- okręgiem; południki b^◦E i (180− b)^◦W tworzą razem koło wielkie.

Zadania

10.1. Wyprowadź wzór na odległość (sferyczną) dwóch punktów o danych współrzędnych geograficznych.

10.2. Sprawdź w atlasie, czy najkrótsza droga z Warszawy do Honolulu prowadzi przez Biegun Północny.

10.3. Pokaż, że na każdym trójkącie sferycznym można opisać okrąg.

11 Bryły obrotowe: pola i objętości

Objętość kuli MY

RR

−Rπr²dz =RR

−Rπ(R²− z²) dz =

= 2R· πR²− πRR

−Rz²dz =

= 2πR³− πh

z³ 3

iR

−R =

= 2πR³− ²₃πR³= ⁴₃πR³

Archimedes

na każdym poziomie pole koła o promieniu r to różnica pól kół o promieniach R i z

πr² = πR²− πz²

V (kuli) = V (walca)− V (stożka) =

= πR²· 2R − 2 · ¹₃ · πR²· R = ⁴₃πR³

z r

R

Objętość walca: (pole podstawy) · (wysokość) Objętość stożka: ¹₃ · (pole podstawy) · (wysokość)

Pole sfery: d dR

 4 3π R³



= 4π R² albo inaczej:

α

∆z 2πr

N

∆z cosα= ∆z

r/R

• Pole sfery jest równe polu powierzchni bocznej walca, czyli polu prostokąta 2R × 2πR (= 4πR²).

• Pole czapeczki o wysokości (strzałce) h wynosi 2πRh

(jeśli dany kąt rozwarcia α, to h = R − R cos^α₂)

α h

• Pole pasa zależy tylko od jego wysokości i jest równe 2πRh.

Zadanie. Koło o średnicy n można pokryć n paskami szerokości 1. Czy mniejsza liczba wystarczy?

Uwaga: pole koła = ¹₄πn². Np. dla n = 10 pole koła to 25π < 80. Czy wystarczy 8 pasków? A może 9?

Rozwiązanie: koło = rzut sfery. Każdy pasek pokrywa najwyżej 1 sfery. Czyli nie.

Zadania

11.1. Oblicz pole koła oraz długość okręgu o promieniu r na sferze jednostkowej (tzn. pole czaszy kulistej wyciętej przez stożek o kącie rozwarcia 2r oraz długość okręgu będącego jej brzegiem). Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, jedna z tych funkcji jest pochodną drugiej. Która której i dlaczego?

11.2. (Zadanie dla posiadaczy kalkulatorków.) Sprawdź, która z następujących stref zajmuje największą powierzchnię na Ziemi: strefa międzyzwrotnikowa (szerokości geograficzne od −23^◦27^′ do 23^◦27^′, okołobiegunowa (szerokości geograficzne poniżej −66^◦33^′ lub powyżej 66^o33^′) czy umiarkowana (pozostała część powierzchni Ziemi: dwa pasy za- warte między zwrotnikiem a kołem podbiegunowym).

11.3. Oblicz objętość i pole powierzchni najmniejszego walca zawierającego sześcian o kra- wędzi 3.

11.4. Oblicz objętość i pole powierzchni stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku 5.

12 Bryły obrotowe: przekroje

Dlaczego bryły obrotowe?

Sfera powstaje przez obrót okręgu wokół średnicy.

Walec powstaje przez obrót prostej wokól prostej do niej równoległej.

Stożek powstaje przez obrót prostej wokół prostej ją przecinającej.

Przekroje walca a) poziome: koło (okrąg)

b) pionowe: prostokąt / odcinek / pas c) ukośne: elipsa

sfery Dandelina: wpisane w walec, styczne do płaszczyzny przekroju

|P T1| =p

|P S1|²− |T1S₁|² =p

|P S1|²− r²

|P T2| =p

|P S2|²− |T2S₂|² =p

|P S2|²− r²

|P T1| + |P T2| = |S1S2|

T1

T2

P S

S1 2

Przekroje stożka

P

S T

S₁

T1

2 2

P

P 1

2

a) poziome: koło (okrąg) b) przez wierzchołek: kąt

c) ukośne, o nachyleniu mniejszym niż na- chylenie tworzącej: elipsa

jak poprzednio:

|P T1| =p

|P S1|²− r²

|P T2| =p

|P S2|²− r²

|P T1| + |P T2| = |P1P2|

Analogicznie pokazuje się, że przekrój stożka płaszczyzną o nachyleniu większym od nachy- lenia tworzącej jest hiperbolą.

Natomiast przekrój stożka płaszczyzną o nachyleniu równym nachyleniu tworzącej jest parabola.

|P T |² =|P S|²− r² =|P P^′|²

P’

S

Pytanie: Co powstaje z obracania prostej wokół prostej skośnej?

Odpowiedź: Hiperboloida jednopowłokowa o równych półosiach a i b.

Ogólnie:

x² a² + y²

b² − z² c² = 1 y²

b² − z²

c² = 1− x² a²

 y b − z

c

  y b + z

c

= 1− x

a

 1 + x a



y b − ^z_c

1− ^x_a = 1 + ^x_a

y

b + ^z_c =: p (parametr)





 y b − z

c = p 1− x

a

 (płaszczyzna) 1 + x

a = p y b + z

c

 (płaszczyzna)

=⇒ równanie krawędziowe prostej (po jednej dla każdego parametru).

Ale uwaga: można było napisać

y b − ^z_c

1 + ^x_a = 1− ^x_a

y

b + ^z_c =: q

=⇒ druga rodzina prostych.

Jeśli przez każdy punkt powierzchni można poprowadzić prostą zawartą w tej powierzchni, to taką powierzchnię nazywamy prostokreślną.

Stożek (cały) i walec też są prostokreślne.

Stożek i walec jako graniczne przypadki hiperboloidy:

a = t, b = t, =¸ t/r, t → ∞ : x² t² + y²

t² − r²z² t² = 1

x²+ y² = r²z²+ 1/t² _t→∞−→ x²+ y² = r²z² a = r, b = r, =¸ rt, t → ∞ : x²

r² + y² r² − z²

r²t² = 1

x²+ y² = z²/t²+ r² _t→∞−→ x²+ y²= r² Zadania

12.1. Pokaż, że dwa okręgi przecinające się w dwu punktach leżą na jednej sferze.

12.2. Uzupełnij klasyfikację przekrojów stożka o przypadek hiperboli.

12.3. Dwie sfery o promieniach R1 i R2 są styczne do siebie nawzajem, a także do płasz- czyzny Π. Niech A i B będą punktami styczności sfer i płaszczyzny. Znajdź d(A, B).

12.4. Znajdź kąt (pół)rozwarcia stożka opisanego na dwu stycznych sferach o danych pro- mieniach.

12.5. Czy dowolna hiperboloida jednopowłokowa ma przekrój będący okręgiem?

Wskazówka: zbadaj przekrój hiperboloidy sferą o promieniu równym dłuższej półosi.

12.6. Uzasadnij (bez żadnych rachunków) że ani elipsoida, ani hiperboloida dwupowłokowa nie są prostokreślne.

13 Bryły obrotowe: siatki

Stożek i walec są nie tylko prostokreślne, są rozwijalne (lokalna geometria taka jak na płaszczyźnie ⇐⇒ można zrobić model z nierozciągliwej kartki papieru).

Walec – łatwe: zwijamy w rulon. Siatka – pas o szerokości 2πr.

Stożek – kąt rozwarcia a kąt siatki:

Kąt rozwarcia α dla stożka x²+ y²= r²z²: cos α = 1

R = 1

1 + r² Kąt siatki β dla tego stożka: βR = 2πr =⇒ β = 2πr

√1 + r² = 2π sin α

2πr

2πr r

R α

1

β R

Sfera ani hiperboloida nie są rozwijalne: nie da się zrobić siatek.

Zadania

13.1. Wyprowadź wzór na pole powierzchni stożka o zadanym promieniu podstawy i wyso- kości.

13.2. Mikołajek robi z papieru zabawki choinkowe w formie sześciu stożków o wspólnym wierzchołku sklejonych wzdłuż tworzących, w ten sposób, że podstawy stożków są kołami wpisanymi w ściany sześcianu o boku 10 cm. Ile papieru potrzebuje na jedną zabawkę? (Ile kartek A4?)

14 Izometrie liniowe

Cel: uściślić pojęcie „takich samych” obiektów.

Przystające ⇐⇒ „można nałożyc” przez izometrię.

Izometria:

F : R³ → R³ takie że ∀X, Y d F (X), F (Y )

= d(X, Y )

Uwagi:

— Pojęcie izometrii ma sens w dowolnych przestrzeniach metrycznych

— Izometria jest zawsze 1-1 (oczywiście) i „na” (w R³ fakt, ogólnie część definicji.

Przykłady izometrii R³

przesunięcie symetria (płaszczyznowa)

obrót wokół osi symetria środkowa

w tym: symetria osiowa (obrót o π) symetria z poślizgiem Klasyfikacja izometrii R³

A. Izometrie liniowe (przypomnienie z algebry liniowej) Izometrie liniowe:

Liniowa izometria R³ zachowuje 0. Każda izometria R³ zachowująca 0 jest liniowa.

Dowód. AB = {X : |AX| + |XB| + |AB|} =⇒ izometrie zachowują proste.

0, X, tX leżą na prostej =⇒ F (0) = 0, F (x), F (tX) leżą na prostej

=⇒ F (tX) = s F (X)

|s F (X)| = |F (tX)| = d F (0), F (tX)

= d(0, tX) =|tX| = |t F (X)| =⇒ s = t

=⇒ izometrie zachowujące 0 są jednorodne.

Izometrie zachowują kąty:

kąt w trójkącie daje się wyliczyć z długości boków (twierdzenie cosinusów)

=⇒ izometrie zachowują przekątne równoległoboków =⇒ są addytywne.

Przekształcenie liniowe R³ ma wektor własny. Izometria =⇒ wartość własna ±1.

+1

F (X) = X, Π_X – płaszczyzna ⊥ do X, F|Π^X – liniowa izometria R²

a) F |Π^X – obrót =⇒

F – obrót wokół osi wyznaczonej przez X.

b) F |Π^X – symetria względem 0Y =⇒ F – symetria względem płaszczyzny 0XY .

−1

F (X) =−X, ΠX – płaszczyzna ⊥ do X, F|ΠX – liniowa izometria R²

a) F |^ΠX – obrót =⇒

F – „symetria obrotowa” (gdy o kąt π – symetria środkowa)

b) F |Π^X – symetria względem 0Y =⇒ F – obrót o π wokół 0Y .