Definicja 11.2.1. Niech V , W będą przestrzeniami liniowymi z iloczynem ska-larnym, zaś ϕ : V → W przekształceniem liniowym. Odwzorowanie ϕ nazywamy przekształceniem ortogonalnym, gdy zachowuje iloczyn skalarny, to znaczy gdy
(OM) ∀v1,v2∈V hϕ(v1), ϕ(v2)i = hv1, v2i
(po lewej stronie równości stosujemy iloczyn skalarny w przestrzeni W , a po prawej — w przestrzeni V ).
Stwierdzenie 11.2.2. Przekształcenia ortogonalne ustalonej przestrzeni eukli-desowej liniowej w siebie, z działaniem składania, stanowią grupę.
Dowód: Niech (V, h., .i) będzie przestrzenią euklidesową liniową.
Zauważmy, że każde przekształcenie ortogonalne ϕ : V → V jest różnowar-tościowe. Na mocy stw. 9.13 wystarczy pokazać, że jadro przekształcenia ϕ jest trywialne. Z faktu ϕ(v) = θ wynika na mocy definicji przekształcenia ortogo-nalnego, że hϕ(v), ϕ(v)i = 0 = hv, vi, co wraz z (IP3) daje v = θ.
Różnowartościowość przekształcenia ortogonalnego V → V zgodnie ze stw.
9.15 gwarantuje, że przekształcenie to jest izomorfizmem.
Wystarczy zatem pokazać, że przekształcenia ortogonalne przestrzeni V sta-nowią podgrupę jej izomorfizmów.
Biorąc przekształcenia ortogonalne ϕ oraz ψ przestrzeni V w nią samą otrzy-mujemy z definicji dla v1, v2∈ V :
hψ ◦ ϕ(v1), ψ ◦ ϕ(v2)i = hϕ(v1), ϕ(v2)i = hv1, v2i, co wraz ze stw. 9.6(2) daje ortogonalność przekształcenia ψ ◦ ϕ.
Ponadto ze stw. 9.6(3) wynika, że ϕ−1 jest izomorfizmem, a definicja prze-kształcenia ortogonalnego pociąga za sobą dla v1, v2∈ V równość
hϕ−1(v1), ϕ−1(v2)i = hϕ ◦ ϕ−1(v1), ϕ ◦ ϕ−1(v2)i = hv1, v2i,
co oznacza ortogonalność przekształcenia ϕ−1. Przykład 11.2.3. 1. Tożsamość jest przekształceniem ortogonalnym
dowol-nej przestrzeni z iloczynem skalarnym na siebie.
2. Symetria środkowa v 7→ −v jest przekształceniem ortogonalnym dowolnej przestrzeni z iloczynem skalarnym na siebie.
3. Sprzężenie z 7→ z jest przekształceniem ortogonalnym przestrzeni CR ze standardowym iloczynem skalarnym na siebie.
Definicja 11.2.4. Macierz A ∈ Mnn(R) nazywamy macierzą ortogonalną stop-nia n, gdy AAT = I.
Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych stopnia n oznaczamy przez O(n), a pozbiór zawierający te spośród nich, które mają wyznacznik 1 — przez SO(n).
Stwierdzenie 11.2.5. Zbiór O(n) z działaniem mnożenia macierzowego sta-nowi grupę, której podgrupą jest SO(n).
Dowód: Z definicji, tw. Cauchy’ego (12.17) i ze stw. 12.4 wynika, że macierz ortogonalna ma wyznacznik równy ±1.
Wystarczy więc pokazać, że O(n) jest podgrupą ogólnej grupy liniowej GL(n, R).
Dla A, B ∈ O(n) spełniony jest warunek AAT = I = BBT, co wraz ze własnościami transpozycji (stw. 11.18(3)) daje
(AB)(AB)T = (AB) BTAT = A BBT AT = AAT = I, czyli ortogonalność macierzy AB.
Dla dowodu ortogonalności macierzy A−1, gdzie A ∈ O(n), wystarczy za-uważyć, że A−1= AT i ATA = A−1A = AA−1= AAT = I, skąd natychmiast (stw. 11.8(4)) wynika, że
A−1 A−1T
= AT ATT
= ATA = I.
SO(n) jest podgrupą O(n) na mocy tw. Cauchy’ego. Przykład 11.2.6. Macierz A =
a b c d
jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki
a2+ b2= 1 ac + bd = 0 c2+ d2= 1
Z pierwszego i trzeciego z nich otrzymujemy istnienie takich α oraz β, że a = cos α, b = − sin α, c = sin β, d = cos β,
a wówczas z drugiego sin(β − α) = 0. Wystarczy rozważyć przypadki β = α lub β = π + α i obliczyć wyznaczniki, aby zauważyć, że
SO(2) =
cos α − sin α sin α cos α
; α ∈ [0, 2π)
oraz
O(2) = SO(2) ∪
cos α − sin α
− sin α − cos α
; α ∈ [0, 2π)
Stwierdzenie 11.2.7. A jest macierzą przekształcenia ortogonalnego prze-strzeni Rnze standardowym iloczynem skalarnym w siebie (w bazie kanonicznej) wtedy i tylko wtedy, gdy A ∈ O(n).
Dowód: W przestrzeni Rn standardowy iloczyn skalarny jest dany wzorem hv, wi = vTw
(wektory v, w ∈ Rntraktujemy jako macierze n×1). Zatem jeżeli A jest macierzą przekształcenia liniowego ϕ : Rn → Rn w bazie kanonicznej, to dla v, w ∈ Rn
hϕ(v), ϕ(w)i = hAv, Awi = vTATAw.
⇒) Jeżeli A jest macierzą przekształcenia ortogonalnego ϕ : Rn → Rn w bazie kanonicznej, to vTw = vTATAw dla dowolnych v, w ∈ Rn. Biorąc za v i w wektory bazy kanonicznej, odpowiednio ei i ej otrzymujemy, że wyraz (i, j) macierzy ATA jest równy δij, i, j = 1, . . . , n. Zatem ATA = I, czyli A ∈ O(n).
⇐) Jeżeli A ∈ O(n), to przekształcenie liniowe ϕ : v 7→ Av ma w bazie kanonicznej macierz A oraz zachowuje iloczyn skalarny, bo ATA = I. Definicja 11.2.8. Izometrią przestrzeni euklidesowej E nazywamy funkcję prze-kształcającą E na E i zachowującą odległość, to znaczy spełniającą warunek
(I) ∀x,y∈E |f (x)f (y)| = |xy|.
Zbiór wszystkich izometrii przestrzeni E oznaczamy przez Isom (E).
Stwierdzenie 11.2.9. Izometrie dowolnej przestrzeni euklidesowej z działa-niem składania tworzą grupę.
Dowód: Każda izometria jest przekształceniem różnowartościowym, bo z własności normy (N1) wynika równoważność
f (x) = f (y) ⇔−−−−−−→
f (x)f (y) = θ ⇔ |f (x)f (y)| = 0 ⇔ |xy| = 0 ⇔ −xy = θ ⇔ x = y.→ Zatem każda izometria f : E → E jako przekształcenie ńa”jest bijekcją i tym samym posiada przekształcenie odwrotne f−1. Wystarczy więc pokazać, że dla f, g ∈ Isom E spełnione są warunki f ◦g ∈ Isom E oraz f−1∈ Isom E, co wynika z definicji:
|f ◦ g(x), f ◦ g(y)| = |g(x), g(y)| = |xy|
f−1(x), f−1(y) =
f ◦ f−1(x), f ◦ f−1(y) = |xy|.
Przykład 11.2.10. 1. Translacja Tv : x 7→ x + v jest izometrią. Istotnie,
|Tv(x) Tv(y)| =
−−−−−−−−→
x + v, y + v
= k−xyk = |xy|.→ 2. W przestrzeni En przekształcenie dane wzorem
x 7→ A ·−→ θx + b
(lub krótko Ax + b), gdzie A ∈ O(n), b ∈ Rn, jest izometrią, bo jego prze-kształceniem liniowym jest przekształcenie ortogonalne (czyli zachowujące także normę) o macierzy A (por. stw. 22.7).
Definicja 11.2.11. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni eu-klidesowej E. Funkcję sH : E → E daną wzorem
sH(x) = x + 2−−−−−→
xπH(x) dla x ∈ E
(πH oznacza rzut ortogonalny na podprzestrzeń H) nazywamy symetrią wzglę-dem podprzestrzeni H.
Przykład 11.2.12. 1. Symetria środkowa sp = s{p} dla dowolnego p ∈ E jest dana wzorem
sp(x) = x + 2 −xp = p + −→ xp,→ bo rzutowanie πp odbywa się na jedyny punkt p.
2. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną w E, p ∈ H, a v jest jednostkowym wek-torem normalnym do H (innymi słowy H = p + v⊥), to symetria hiper-płaszczyznowa względem H wyraża się wzorem
sH(x) = x − 2h−px, viv,→
gdyż h−px, viv jest składową wektora −→ px równoległą do wektora v rozpina-→ jącego przestrzeń S(H)⊥, więc
πH(x) = p + projS(H)(−px) = p + −→ px − h−→ px, viv = x − h−→ px, viv.→ 3. W przestrzeni E2prosta jest hiperpłaszczyzną.
Jeżeli prosta L nie jest równoległa do drugiej osi, to ma równanie postaci y = mx + n, można więc przyjąć w poprzednim przykładzie p = (0, n) oraz v =√ 1
1+m2(m, −1), skąd
sL((x, y)) = (1 − m2)x + 2my − 2mn
1 + m2 ,2mx − (1 − m2)y + 2n 1 + m2
.
Jeżeli zaś prosta L jest równoległa do drugiej osi, to ma równanie postaci x = c. Wówczas p = (c, 0), v = (1, 0), skąd
sL((x, y)) = (2c − x, y).
Stwierdzenie 11.2.13. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni euklidesowej E. Symetria sH względem podprzestrzeni H ma następujące wła-sności:
1. sH jest inwolucją, tzn. sH◦ sH = idE; 2. sH jest izometrią;
3. podprzestrzeń H jest zbiorem wszystkich punktów stałych prekształcenia sH, tzn. sH(x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ H.
Dowód: Oznaczmy przez s symetrię względem podprzestrzeni H, a przez π
— rzut ortogonalny na tę podprzestrzeń.
1. Dla x ∈ E z uwagi na−−−→
2. Z definicji symetrii dla x, y ∈ E otrzymujemy
−−−−−→
i ostatni wektor, jako należący do S(H), jest ortogonalny do sumy dwóch pozostałych (bo każdy z nich należy do S(H)⊥). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
co wraz z wzajemną jednoznacznością s (wynika z inwolutywności) daje izometryczność tego przekształcenia.
3. Dla x ∈ E mamy
s(x) = x ⇔ 2−−−→
xπ(x) = θ ⇔ x = π(x) ⇔ x ∈ H.
Twierdzenie 11.2.14. (Mazura–Ulama) F Każda izometria przestrzeni eukli-desowej jest przekształceniem afinicznym.
Dowód: Niech E będzie przestrzenią euklidesową, f ∈ Isom(E) i niech p ∈ E, q = f (p). Wówczas dla x ∈ E
f (p) +−−−→
qf (x) = f (x) = f (p + −px) .→ Przyjmując ϕ (−px) =→ −−−→
qf (x) widzimy, że na mocy stwierdzenia 17.4 afiniczność przekształcenia f wynika z liniowości przekształcenia ϕ.
Pokażemy najpierw, że ϕ jest przekształceniem jednorodnym. Niech a ∈ R i x ∈ E. Kładąc x0 = x + a −px otrzymujemy→ −→
px0 = a −px. Tym samym punkty→ p, x, x0 są współliniowe, więc jeden z nich należy do odcinka o końcach w pozo-stałych punktach. Możliwe są więc przypadki:
I. x0∈ px
Jeżeli p 6= x, to z lematu o odcinku (stw. 19.15) wynika, że
|px0| + |x0x| = |px|, a ponieważ izometria f zachowuje odległości, także
|f (p)f (x0)| + |f (x0)f (x)| = |f (p)f (x)|.
Stosując ponownie lemat o odcinku wnioskujemy, że f (x0) ∈ qf (x). Zatem ist-nieje b ∈ [0, 1] takie, że −−−−→
qf (x0) = b−−−→
qf (x), co wraz z powyższymi warunkami na odległość daje dowód jednorodności w przypadku I. Przypadki II i III rozważamy analogicznie.
Aby wykazać addytywność przekształcenia ϕ zauważmy najpierw, że izome-tria na mocy lematu o odcinku zachowuje środek odcinka, tzn. dla x, y ∈ E
f 1
To z kolei wraz z udowodnioną właśnie jednorodnościa pociąga za sobą ciąg równości
Ostatecznie ϕ spełnia (LM1) i (LM2), jest więc przekształceniem liniowym,
a izometria f — przekształceniem afinicznym.
Wniosek 11.2.15. Isom(En) ∼= Rno O(n),
czyli grupa izometrii przestrzeni En (z działaniem składania) jest izomorficzna z iloczynem półprostym grup (Rn, +) oraz (O(n), ·).
Dowód: szkic Bridson, Haefliger, Metric Spaces of Nonpositive Curvature Uwaga 11.2.16. Klasyfikacja izometrii przestrzeni En stanowi, że wszystkie izometrie tej przestrzeni są postaci opisanej w przykładzie 11.2.10(2).
Uwaga 11.2.17. Podobnie można pokazać, że przekształcenie liniowe związane z izometrią jest ortogonalne, a dla dowolnej przestrzeni euklidesowej E mamy Isom(E) ∼= V o O(V ), gdzie V = S(E), zaś O(V ) jest grupą przekształceń ortogonalnych przestrzeni V w siebie.
Twierdzenie 11.2.18. Każda izometria n–wymiarowej przestrzeni euklideso-wej jest złożeniem symetrii hiperpłaszczyznowych w liczbie nie przekraczającej n + 1.