Algebra liniowa z geometrią 2 Maciej Czarnecki 23 maja 2013

Algebra liniowa z geometrią 2

Maciej Czarnecki 23 maja 2013

Spis treści

5 Geometria płaszczyzny zespolonej 2

6 Macierze 3

6.1 Działania na macierzach . . . 3

6.2 Wyznacznik . . . 4

6.3 Rząd macierzy . . . 7

6.4 Układy równań liniowych . . . 8

7 Przestrzenie i przekształcenia afiniczne 8 7.1 Przestrzeń afiniczna . . . 8

7.2 Podprzestrzenie afiniczne . . . 9

7.3 Przekształcenia afiniczne . . . 9

8 Geometria iloczynu skalarnego 10 8.1 Norma, kąt i odległość . . . 10

8.2 Wyznacznik Grama i objętość . . . 11

8.3 Orientacja i iloczyn wektorowy . . . 14

9 Formy dwuliniowe i kwadratowe 17 9.1 Postać kanoniczna . . . 17

9.2 Formy rzeczywiste . . . 20

10 Endomorfizmy przestrzeni skończonego wymiaru 23 10.1 Wektory i wartości własne . . . 23

10.2 Diagonalizacja i postać Jordana . . . 25

11 Grupy przekształceń i geometrie nieeuklidesowe 28 11.1 Grupy i działania grup na przestrzeniach . . . 28

11.2 Izometrie przestrzeni euklidesowej . . . 30

5 Geometria płaszczyzny zespolonej

Definicja 5.0.1. Ciałem nazywamy zbiór F składający się z co najmniej dwóch elementów wraz z funkcjami + : F × F → F oraz · : F × F → F takimi, że (F, +) jest grupą abelową, 0 — elementem neutralnym działania +, (F \ {0}, ·) jest grupą abelową oraz a · (b + c) = (a · b) + (a · c) dla dowolnych a, b, c ∈ F.

Innymi słowy, w zbiorze F określone są funkcje + i · przypisujące dwóm elementom ze zbioru F jeden element ze zbioru F spełniające warunki:

(F1) ∀_a,b∈F a + b ∈ F (F2) ∀_a,b∈F a · b ∈ F

(F3) ∀_a,b,c∈F (a + b) + c = a + (b + c) (F4) ∃_0∈F ∀_a∈F a + 0 = 0 + a = a

(F5) ∀_a∈F ∃_−a∈F a + (−a) = (−a) + a = 0 (F6) ∀_a,b∈F a + b = b + a

(F7) ∀_a,b∈F\{0} a · b ∈ F \ {0}

(F8) ∀_a,b,c∈F (a · b) · c = a · (b · c) (F9) ∃_1∈F\{0} ∀_a∈F a · 1 = 1 · a = a

(F10) ∀_a∈F\{0} ∃_a⁻¹_∈F\{0} a · a⁻¹= a⁻¹· a = 1 (F11) ∀_a,b∈F a · b = b · a

(F12) ∀_a,b,c∈F a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

Przykład 5.0.2. Ciałami są R oraz Q ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia.

Stwierdzenie 5.0.3. stw. 4.1 Definicja 5.0.4. def. 4.2 Uwaga 5.0.5. po def. 4.2 Definicja 5.0.6. def. 4.3, 4.4

Wniosek 5.0.7. C jest przestrzenią liniową wymiaru 2 nad ciałem R. Jej bazą jest np. układ (1, i).

Definicja 5.0.8. Wielomianem o współczynnikach zespolonych nazywamy nie- skończony cią liczb zespolonych a0, a1, . . ., w którym tylko skończona liczba wy- razów jest różna od 0. Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach zespo- lonych oznaczamy przez C[z]. Dodawanie i mnożenie wielomianów zespolonych określa się tak sama analogicznie do wielomianów rzeczywistych.

Jeżeli n = min{j ; aj 6= 0}, to n nazywamy stopniem wielomianu f = (aj)_j∈N∪{0}, a wielomian zapisujemy w postaci f (z) = a0+ a1z + . . . + anzⁿ.

Liczba zespolona c jest pierwiastkiem wielomianu f , gdy f (c) = 0.

Twierdzenie 5.0.9. (zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony.

Wniosek 5.0.10. Kazdy wielomian o współczynnikach zespolonych rozkłada się na czynniki liniowe, tzn. dla wielomianu f (z) = a0+a1z +. . .+anzⁿo współ- czynnikach zespolonych, przy czym an6= 0, n ­ 1, istnieją liczby z1, . . . , zk ∈ C oraz l1, . . . , lk ∈ N spełniające warunek l1+ . . . + lk= n i takie, że

f (z) = a_n(z − z₁)^l1· . . . · (z − z_k)^lk.

Definicja 5.0.11. def. 4.4 Definicja 5.0.12. def. 4.6 Stwierdzenie 5.0.13. stw. 4.7

Stwierdzenie 5.0.14. stw. 4.5 (1),(5),(6),(7) Stwierdzenie 5.0.15. stw. 4.8

Definicja 5.0.16. def. 4.9 Twierdzenie 5.0.17. tw. 4.10 Wniosek 5.0.18. wn. 4.11

Definicja 5.0.19. Określmy dla ϕ ∈ R

e^iϕ= cos ϕ + i sin ϕ.

Stwierdzenie 5.0.20. (wzór Eulera) e^iπ+ 1 = 0.

Przykład 5.0.21. Notacja zespolona pozwala na łatwy zapis przekształceń geometrycznych płaszczyzny:

1. z 7→z jest symetrią osiową względem osi rzeczywistej, 2. z 7→ e^iϕz, gdzie ϕ ∈ R, jest obrotem o kąt ϕ dookoła 0, 3. z 7→ z + b, gdzie b ∈ C jest translacją o wektor b,

4. z 7→ kz, gdzie k ∈ R, k 6= 0, jest jednokładnością o środku 0 i skali k.

Stwierdzenie 5.0.22. 1. Funkcja liniowa C 3 z 7→ az + b ∈ C, gdzie a, b ∈ C, a 6= 0, jest złożeniem obrotu, jednokładności i translacji.

2. Funkcja antyliniowa C 3 z 7→ az + b ∈ C, gdzie a, b ∈ C, a 6= 0, jest złożeniem symetrii osiowej, obrotu, jednokładności i translacji.

6 Macierze

6.1 Działania na macierzach

Definicja 6.1.1. def. 11.1 uwaga 1 po def. 11.1 Definicja 6.1.2. def. 11.3 Definicja 6.1.3. def. 11.4

uwaga 2 po def 11.4 Stwierdzenie 6.1.4. 11.9 Definicja 6.1.5. def. 11.12

Wniosek 6.1.6. wn. 11.14 Definicja 6.1.7. def. 11.17 Stwierdzenie 6.1.8. stw. 11.18 Wniosek 6.1.9. wn. 11.19 Definicja 6.1.10. def. 11.20 Stwierdzenie 6.1.11. stw. 11.21 Wniosek 6.1.12. wn. 11.22

6.2 Wyznacznik

Niech dla n ∈ N Sⁿ oznacza zbiór wszystkich permutacji (tzn. bijekcji) zbioru n–elementowego {1, . . . , n}.

Definicja 6.2.1. def. 12.1 Definicja 6.2.2. def. 12.2 Przykład 6.2.3. przykł. 12.3 Stwierdzenie 6.2.4. stw. 12.4 Stwierdzenie 6.2.5. stw. 12.5 Stwierdzenie 6.2.6. stw. 12.6

Twierdzenie 6.2.7. ^F (Laplace’a) Niech A = [aij] ∈ Mnn(F ), zaś dla i, j = 1, . . . , n symbol Aij oznacza macierz (n−1)×(n−1) powstałą z macierzy A przez skreślenie w niej i−tego wiersza oraz j−tej kolumny. Wówczas dla dowolnego i = 1, . . . , n zachodzi równość

det A =

n

X

j=1

(−1)^i+ja_ijdet A_ij.

Określając dla k = 1, . . . , n funkcje t_k : {1, . . . , n} \ {k} → {1, . . . , n − 1}

wzorami

t_k(l) =

 l gdy l < k l − 1 gdy l > k możemy precyzyjnie określić macierz Aij jakoh

a_t−1

i (p),t⁻¹_j (q)

i

1¬p,q¬n−1. Do dowodu twierdzenia Laplace’a potrzebujemy dwóch lematów

Lemat 6.2.8. Jeżeli σ ∈ S_n jest taką permutacją, że σ(i) = j dla pewnych i, j ∈ {1, . . . , n}, to liczba inwersji w ciągu liczb bσ = (σ(1), . . . , σ(i − 1), σ(i + 1), . . . , σ(n)) ma tę samą parzystość co liczba #inv σ − (i + j).

Dowód: Jeżeli wśród pierwszych i − 1 wyrazów ciąguσ jest dokładnie m ­ 0b liczb większych niż j, to jest wśród nich i − 1 − m liczb mniejszych niż j. Zatem wśród liczb σ(i + 1), . . . , σ(n) liczb mniejszych niż j jest dokładnie j − 1 − (i − 1 − m) = j − i + m.

Tym samym w permutacji σ liczba j tworzy j − i + 2m = i + j + 2(m − i) inwersji, więc liczba inwersji w ciągu bσ różni się od liczby #inv σ o liczbę i + j

oraz pewną liczbę parzystą. 

Lemat 6.2.9. Dla ustalonych i, j = 1, . . . , n funkcja C_ij przypisująca dowolnej permutacji σ ze zbioru Z_ij= {σ ∈ S_n ; σ(i) = j} funkcję

tj◦ σ|{1,...,n}\{i}◦ t⁻¹_i jest bijekcją zbioru Zij na zbiór Sn−1.

Dowód: Z definicji funkcji ti, tj i zbioru Zij wynika, że złożenie jest dobrze określone, a funkcja Cij(σ), działająca ze zbioru {1, . . . , n − 1} w ten sam zbiór, jest bijekcją jako złożenie trzech bijekcji. Zatem Cij(σ) ∈ Sn−1.

Aby wykazać różnowartościowość Cij weźmy takie σ, τ ∈ Zij, że Cij(σ) = Cij(τ ). Wówczas składając obie strony lewostronnie z t⁻¹_j i prawostronnie z ti

otrzymujemy równość permutacji σ i τ na zbiorze {1, . . . , n} \ {i}. To zaś wraz z warunkiem σ(i) = j = τ (i) daje σ = τ .

Aby wykazać surjektywność C_ij weźmy dowolną permutację η ∈ S_n−1 i połóżmy

ηij(m) =

 t⁻¹_j ◦ η ◦ ti
(m) dla m ∈ {1, . . . , n} \ {i}

j dla m = i

Funkcja ηij ∈ Sn, bo jako złożenie bijekcji jest bijekcją; z jej definicji wynika także ηij ∈ Zij. Wreszcie Cij(ηij) = tj◦ t⁻¹_j ◦ η ◦ ti
◦ t⁻¹_i = η.  Dowód twierdzenia Laplace’a (12.7): Ustalmy i ∈ {1, . . . , n}. Z lematu 12.8 wynika, że dla dowolnego j ∈ {1, . . . , n} i dowolnej permutacji σ ∈ Z_ij spełniony jest warunek

(−1)^i+jsgn (C_ij(σ)) = sgn σ.

Stąd, z definicji wyznacznika i lematu 12.9 otrzymujemy det A = X

σ∈S_n

sgn σ a_1σ(1)· . . . · a_nσ(n)

=

n

X

j=1

aij

X

σ∈Zij

sgn σ

n

Y

k=1,k6=i

akσ(k)

=

n

X

j=1

(−1)^i+jaij

X

σ∈Zij

sgn (Cij(σ))

n

Y

k=1,k6=i

akσ(k)

=

n

X

j=1

(−1)^i+jaij

X

η∈Sn−1

sgn η

n

Y

k=1,k6=i

a_k,(^Cij⁻¹(η))^(k)

=

n

X

j=1

(−1)^i+jaij

X

η∈Sn−1

sgn η

n−1

Y

p=1

a_t⁻¹

i (p),(^t−1j ◦η◦ti))(^t−1i (p))

=

n

X

j=1

(−1)^i+jaij

X

η∈Sn−1

sgn η

n−1

Y

p=1

a_t⁻¹

i (p),t⁻¹_j (η(p))

=

n

X

j=1

(−1)^i+ja_ijdet A_ij



Wniosek 6.2.10. wn. 12.10 Definicja 6.2.11. defin. 12.11 Wniosek 6.2.12. wn. 12.12

Stwierdzenie 6.2.13. Dla A ∈ Mnn(F ) oraz k, l = 1, . . . , n, k 6= l spełniony jest warunek

det (skl(A)) = − det A.

Dowód: Dla ustalenia uwagi przyjmijmy k < l i niech skl(A) = B = [bij] ∈ Mnn(F ). Wówczas dla dowolnego j = 1, . . . , n mamy

b_ij = aij dla i /∈ {k, l}, b_kj= alj, b_lj= akj.

Jeżeli l = k + 1, to stosując rozwinięcie Laplace’a det B względem (k + 1)−szego wiersza otrzymujemy

det B =

n

X

j=1

(−1)^k+1+jdet Bk+1,j=

n

X

j=1

(−1)^k+1+jdet Ak,j

= −

n

X

j=1

(−1)^k+jdet Akj= − det A,

gdzie ostatnia równość wynika z rozwinięcia Laplace’a det A względem k−tego wiersza.

Zatem zamiana dwóch sąsiednich wierszy zmienia znak wyznacznika. Z dru- giej strony zamiana wiersza k−tego z l−tym wymaga (k − l) zamian sąsiednich, aby przeprowadzić wiersz l−ty na miejsce k-te, oraz (k − l − 1) zamian są- siednich, aby przeprowadzić stary wiersz k−ty (znajdujący się teraz na miejscu (k + 1)−szym) na miejsce l−te. Stąd

det(s_kl(A)) = (−1)^2(k−l)−1det A = − det A.

 Wniosek 6.2.14. wn. 12.14

Wniosek 6.2.15. wn. 12.15

Stwierdzenie 6.2.16. Jeżeli A ∈ Mnn oraz B ∈ Mmm, to 1.

det

 A θ

X B



= det A det B dla dowolnej macierzy X ∈ Mmn.

2.

det

 Y A

B θ



= (−1)^mndet A det B dla dowolnej macierzy Y ∈ Mnm.

Dowód: Macierz D = [d_ij] ∈ M_m+n,m+n dana w postaci blokowej D =

 A θ

X B



ma wyrazy

dij =











aij dla 1 ¬ i, j ¬ n

bi−n,j−n dla n + 1 ¬ i, j ¬ m + n

0 dla 1 ¬ i ¬ n, n + 1 ¬ j ¬ m + n xi−n,j dla n + 1 ¬ i ¬ m + n, 1 ¬ j ¬ n

1. Indukcja względem n. Dla n = 1 wzór wynika z rozwinięcia Laplace’a względem pierwszego wiersza.

Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla pewnego stopnia k ∈ N macierzy A.

Przypuśćmy teraz, że A ∈ Mk+1,k+1 i rozwińmy wyznacznik macierzy D względem pierwszego wiersza i skorzystajmy z założenia indukcyjnego

det D =

k+1+m

X

j=1

(−1)^1+jd_1jdet D_1j =

k+1

X

j=1

(−1)^1+ja_1jdet

 A_1j θ Xj B



=

k+1

X

j=1

(−1)^1+ja1jdet A1jdet B = det A det B

(Xj oznacza tu macierz X, w której skreślono j−tą kolumnę).

2. Wystarczy przestawić w macierzy

 Y A

B θ



pierwszych n wierszy z za- chowaniem kolejności na koniec (potrzeba na to po m zamian na każdy wiersz), skorzystać z pierwszej części stwierdzenia i ze stw. 12.13.

 Twierdzenie 6.2.17. tw. 12.17

Wniosek 6.2.18. wn. 12.18 Stwierdzenie 6.2.19. stw. 12.19

6.3 Rząd macierzy

Stwierdzenie 6.3.1. stw. 12.20 Definicja 6.3.2. def. 12.21 Wniosek 6.3.3. wn. 12.22 Stwierdzenie 6.3.4. stw. 12.23 Wniosek 6.3.5. wn. 12.24 Stwierdzenie 6.3.6. ^F stw. 12.15

6.4 Układy równań liniowych

Definicja 6.4.1. def. 13.1 Definicja 6.4.2. def. 13.2 Definicja 6.4.3. def. 13.3 Przykład 6.4.4. przykł. 13.4 Definicja 6.4.5. def. 13.5 Stwierdzenie 6.4.6. stw. 13.6 Stwierdzenie 6.4.7. stw. 13.7 Definicja 6.4.8. def. 13.8 Twierdzenie 6.4.9. tw. 13.9 Twierdzenie 6.4.10. tw. 13.11 Uwaga 6.4.11. uwaga 2 po tw. 13.11 Stwierdzenie 6.4.12. stw. 13.12 Definicja 6.4.13. def. 13.13 Wniosek 6.4.14. wn. 13.14 Stwierdzenie 6.4.15. stw. 13.15 Twierdzenie 6.4.16. ^F tw. 13.16 Wniosek 6.4.17. wn. 13.17

7 Przestrzenie i przekształcenia afiniczne

7.1 Przestrzeń afiniczna

Definicja 7.1.1. def. 14.1 Stwierdzenie 7.1.2. stw. 14.2 Przykład 7.1.3. przykł. 14.3 Definicja 7.1.4. def. 14.4 Stwierdzenie 7.1.5. stw. 14.5 Definicja 7.1.6. def. 14.6 Przykład 7.1.7. przykł. 14.7 Definicja 7.1.8. def. 14.9 Stwierdzenie 7.1.9. stw. 14.10 Przykład 7.1.10. przykł. 14.12

Definicja 7.1.11. def. 14.14 Przykład 7.1.12. przykł. 14.15

Załóżmy teraz, że przestrzeń afiniczna (E, V, →) jest rzeczywista tzn, że V jest przestrzenia liniową nad ciałem R.

Definicja 7.1.13. def. 16.1 Stwierdzenie 7.1.14. stw. 16.2 Definicja 7.1.15. def. 16.3 Przykład 7.1.16. przykł. 16.4 Twierdzenie 7.1.17. tw. 16.5 Definicja 7.1.18. def. 16.9 Definicja 7.1.19. def. 16.10 Definicja 7.1.20. def. 16.11 Przykład 7.1.21. przykł. 16.12

7.2 Podprzestrzenie afiniczne

Definicja 7.2.1. def. 15.1 Stwierdzenie 7.2.2. stw. 15.2 Stwierdzenie 7.2.3. stw. 15.3 Definicja 7.2.4. def. 15.4 Definicja 7.2.5. def. 15.5 Przykład 7.2.6. przykł. 15.6 Stwierdzenie 7.2.7. stw. 15.7 Definicja 7.2.8. def. 15.9 Stwierdzenie 7.2.9. stw. 15.10 Stwierdzenie 7.2.10. stw. 15.11

7.3 Przekształcenia afiniczne

Załóżmy, że V, V⁰ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F , zaś (E, V, →) oraz (E⁰, V⁰, →⁰) — przestrzeniami afinicznymi

Definicja 7.3.1. def. 17.1 Przykład 7.3.2. przykł. 17.2 Stwierdzenie 7.3.3. stw. 17.3 Stwierdzenie 7.3.4. stw. 17.4

Wniosek 7.3.5. wn. 17.5 Wniosek 7.3.6. wn. 17.6 Definicja 7.3.7. def. 17.7 Stwierdzenie 7.3.8. stw. 17.8 Stwierdzenie 7.3.9. stw. 17.9 Definicja 7.3.10. def. 17.10 Twierdzenie 7.3.11. def. 17.11

8 Geometria iloczynu skalarnego

8.1 Norma, kąt i odległość

Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym h., .i.

Definicja 8.1.1. def. 19.1 Przykład 8.1.2. przykł. 19.2 Twierdzenie 8.1.3. tw. 19.3 Stwierdzenie 8.1.4. stw. 19.4 Stwierdzenie 8.1.5. stw. 19.5 Stwierdzenie 8.1.6. stw. 19.6 Definicja 8.1.7. def. 19.7 Stwierdzenie 8.1.8. stw. 19.9 Wniosek 8.1.9. wn. 19.10 Wniosek 8.1.10. wn. 19.11

Definicja 8.1.11. Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń afiniczną, której przestrzeń liniową jest skończonego wymiaru i określony w niej jest ilo- czyn skalarnym.

W przestrzeni euklidesowej E odległością (lub metryką) nazywamy funkcję przypisującą dwóm punktom p, q ∈ E liczbę rzeczywistą |pq| = k−→pqk.

Stwierdzenie 8.1.12. stw. 19.13 Przykład 8.1.13. przykł. 19.14 Stwierdzenie 8.1.14. stw. 19.15 Definicja 8.1.15. def. 19.16

8.2 Wyznacznik Grama i objętość

Definicja 8.2.1. Dla danych wektorów v1, . . . , vk z przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym h., .i macierz

G(v1, . . . , vk) = [hvi, vji]1¬i,j¬k

nazywamy macierzą Grama wektorów v1, . . . , vk, zaś jej wyznacznik det G(v1, . . . , v_k) — wyznacznikiem Grama tychże wektorów.

Przykład 8.2.2. 1. det G(v₁) = kv₁k²

2. det G(v₁, v₂) = kv₁k²kv₂k²− hv₁, v₂i²= kv₁k²kv₂k²(1 − cos²^(v1, v₂)) = (kv1k kv2k sin ^(v1, v2))²

Stwierdzenie 8.2.3. W przestrzeni Rⁿ ze standardowym iloczynem skalarny dla v1, . . . , vn∈ Rⁿ zachodzi związek

det G(v1, . . . , vn) =





det





 v₁

... v_n













2

Dowód;

 Stwierdzenie 8.2.4. W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym h., .i dla v₁, . . . , v_k spełnione są warunki:

1. det G(v1, . . . , vk) ­ 0,

2. det G(v1, . . . , vk) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy układ (v1, . . . , vk) jest liniowo zależny.

Dowód:

 Stwierdzenie 8.2.5. W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym h., .i dla v1, . . . , vk spełnione są warunki:

1.

∀σ∈Sk det G(v_σ(1), . . . , v_σ(k)) = det G(v₁, . . . , v_k) 2.

∀_a∈R det G(av₁, v₂, . . . , v_k) = a²det G(v₁, . . . , v_k) 3.

∀a₂,...,a_k∈R det G



v1+

k

X

j=2

ajvj, v2, . . . , vk



= det G(v1, . . . , vk)

Dowód:



Stwierdzenie 8.2.6. W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym h., .i dla v₁, . . . , v_k spełnione są warunki:

1. det G(v1, . . . , vk) ¬ kv1k²· . . . · kvkk²,

2. przy założeniu v₁, . . . , v_k 6= θ równość det G(v₁, . . . , v_k) = kv₁k²· . . . · kv_kk² zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy układ (v₁, . . . , v_k) jest ortogonalny.

Dowód:

 Definicja 8.2.6¹₄ def. 18.11

Stwierdzenie 8.2.6¹₂ Dla dowolnej podprzestrzeni afinicznej H przestrzeni eu- klidesowej E i dowolnego punktu p ∈ E jego rzut ortogonalny πH(p) jest jedy- nym punktem przestrzeni E odległym od H o d(p, H).

Stwierdzenie 8.2.6³₄ stw. 18.12

Stwierdzenie 8.2.7. Jeżeli (p; v₁, . . . , v_k) jest układem współrzędnych w pod- przestrzeni afinicznej H przestrzeni euklidesowej E, to odległość punktu q ∈ E od podprzestrzeni H wyraża się wzorem

d(q, H) = s

det G (v₁, . . . , v_k, −→pq) det G(v1, . . . , vk) Dowód:

 Definicja 8.2.8. Ścianą l–wymiarową sympleksu k–wymiarowego conv (p0, . . . , pk), gdzie 0 ¬ l ¬ k, nazywamy każdy sympleks postaci conv (pi₀, . . . , pi_l), gdzie (i0, . . . , il) jest podciągiem ciągu (0, . . . , k).

Definicja 8.2.9. Kompleksem symplicjalnym w przestrzeni afinicznej E nazy- wamy taki skończony układ sympleksów (S1, . . . , Sm) z tej przestrzeni, że dla dowolnych i, j = 1, . . . , m zbiór Si∩ Sj jest pusty lub jest wspólną ścianą sym- pleksów Si oraz Sj.

Pozdbiór przestrzeni E, który dla pewnego k ∈ N ∪ {0} można przedstawić jako sumę sympleksów pewnego kompleksu symplicjalnego zawierającego tylko sympleksy k–wymiarowe, nazywamy k–wymiarowym wielościanem.

Podział wielościanu na sumę sympleksów pewnego kompleksu symplicjalnego nazywamy triangulacją.

Wielościan dwuwymiarowy zawarty w płaszczyźnie nazywamy wielokątem.

Przykład 8.2.10. 1. Każdy zbiór skończony jest 0–wymiarowym wielościa- nem.

2. Sumę sympleksów kompleksu zawierającego tylko sympleksy co najwyżej jednowymiarowe nazywamy grafem skończonym.

Twierdzenie 8.2.11. Dla dowolnego k ∈ N pryzma k–wymiarowa jest k–

wymiarowym wielościanem.

Pewna triangulacja pryzmy Q(conv (p⁰, . . . , pk−1), v) składa się z k symplek- sów, z których każdy rozpięty jest na k wektorach postaci

ε1−−→p0p1+ . . . + εk−1−−−−→p0pk−1+ εv, gdzie ε1, . . . , εk−1, ε ∈ {−1, 0.1}.

Dowód: Moszyńska, Święcicka, Geometria z algebrą liniową.

 Twierdzenie 8.2.12. Dla dowolnego k ∈ N równoległościan k–wymiarowy jest k–wymiarowym wielościanem.

Pewna triangulacja równoległościanu P(p0; v₁, . . . , v_k) składa się z k! sym- pleksów, z których każdy rozpięty jest na k wektorach postaci

ε1v1+ . . . + εkvk, gdzie ε1, . . . , εk ∈ {−1, 0.1}.

Dowód: Moszyńska, Święcicka, Geometria z algebrą liniową.

 Definicja 8.2.13. Niech k ∈ N. Objętością k–wymiarową (lub miarą k–wymiarową) układu punktów (p0, . . . , p_k) z przestrzeni afinicznej E z iloczynem skalarnym h., .i nazywamy liczbę

vol (p₀, . . . , p_k) = 1 k!

q

det G (−−→p₀p₁, . . . , −−→p₀p_k).

Jeżeli wielościan k–wymiarowy P ma triangulację postaci



∆i= conv

p⁽ⁱ⁾₀ , . . . , p⁽ⁱ⁾_k 

1¬i¬m

i sympleksy tej triangulacji są parami różne, to k–wymiarową objętością wielo- ścianu P nazywamy liczbę

volk(P) =

m

X

i=1

volk



p⁽ⁱ⁾₀ , . . . , p⁽ⁱ⁾_k  .

Zamiast vol2piszemy czasem P , zamiast vol3 — V , a vol1 jest zwykłą odle- głością punktów |. .|.

Można udowodnić, że definicja objętości wielościanu nie zależy od wyboru jego triangulacji.

Niech odtąd E będzie przestrzenią afiniczną o przestrzeni nośnej V , w której określony jest iloczyn skalarny h., .i.

Stwierdzenie 8.2.14. Dla dowolnego k ­ 2 i dowolnego układu punktów (p₀, . . . , p_k) z przestrzeni E zachodzi równość

vol_k(p₀, . . . , p_k) = 1

kd(p_k, H) · vol_k−1(p₀, . . . , p_k−1), gdzie H = af (p₀, . . . , p_k−1).

Dowód:

 Przykład 8.2.15. 1. Pole trójkąta:

P (∆ABC) = vol2(A, B, C) =1

2vol1(A, B) · d(C, AB) = 1

2|AB|hC

2. Objętość czworościanu:

V (conv (A, B, C, D)) =vol₃(A, B, C, D) = 1

3vol₂(A, B, C) · d(D, ABC)

=1

3P (∆ABC)h_D

Stwierdzenie 8.2.16. (objętość sympleksu, pryzmy i równoległościanu) Niech (p₀, . . . , p_k) będzie układem punktów z przestrzeni E w położeniu ogólnym, vi = −−→p0pi dla i = 1, . . . , k oraz v ∈ V \ lin (v1, . . . , vk−1). Wówczas

1. volk(conv (p0, . . . , pk)) = _k!¹pdet G(v1, . . . , vk),

2. volk(Q(conv (p⁰, . . . , pk−1), v)) = _(k−1)!¹ pdet G(v1, . . . , vk−1, v), 3. volk(P(p⁰; v1, . . . , vk)) =pdet G(v1, . . . , vk).

Dowód:



8.3 Orientacja i iloczyn wektorowy

Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową skończonego wymiaru.

Stwierdzenie 8.3.1. W zbiorze B wszystkich baz przestrzeni V określamy relację ∼ jako posiadanie macierzy przejścia o dodatnim wyznaczniku

(inaczej B ∼ C ⇐⇒ det MCB> 0) . Wówczas

1. ∼ jest relacją równoważności w zbiorze B, 2. ∼ ma dwie klasy abstrakcji.

Dowód:

1. Zwrotność relacji ∼ wynika z faktu, że macierzą przejścia od bazy do tej samej bazy jest macierz jednostkowa o wyznaczniku 1 > 0.

Aby wykazać symetrię załóżmy, że B ∼ C, co oznacza, że det M_CB > 0.

Wówczas z twierdzenia Cauchy’ego otrzymujemy, że det M_BC= det (M_CB)⁻¹= 1

det M_CB > 0, czyli C ∼ B.

Przechodniość wynika z wniosku 11.16 i twierdzenia Cauchy’ego; jeżeli B ∼ C i C ∼ D, to

det M_DB= det (M_DC· M_CB) = det M_DC det M_CB> 0, skąd B ∼ D.

2. Niech B = (v₁, . . . , v_n−1, v_n) ∈ B. Wówczas bazą przestrzeni V jest także D = (v₁, . . . , v_n−1, −v_n).

Niech C ∈ B. Macierz przejścia od bazy do bazy jest nieosobliwa, więc det M_CB > 0 albo det M_CB< 0. W pierwszym przypadku C ∼ B. Rozwa- żając przypadek drugi zauważmy najpierw, że licząc wyznacznik macierzy diagonalnej dostajemy

det M_DB=          

1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 −1

= −1.

Zatem ponowne zastosowanie twierdzenia Cauchy’ego pociąga za sobą det MCD = det (MCB· MBD) = det MCB det MBD = − det MCB> 0, czyli C ∼ D.

Tym samym B, D ∈ B wyznaczają jedyne dwie klasy abstrakcji relacji ∼.

 Definicja 8.3.2. W rzeczywistej przestrzeni liniowej V skończonego wymiaru każdą z klas abstrakcji relacji wiążacej bazy o macierzy przejścia, która ma dodatni wyznacznik, nazywamy orientacją przestrzeni V .

Mówimy, że dwie bazy należące do tej samej orientacji są zgodnie zoriento- wane, a bazy należące do różnych orientacji — przeciwnie zorientowane.

Przestrzeń z wybraną orientacją nazywamy przestrzenią zorientowaną, a bazę należącą do wybranej orientacji w tej przestrzeni — bazą dodatnio zo- rientowaną.

Stwierdzenie 8.3.3. Niech (v1, . . . , vn) będzie bazą przestrzeni liniowej V . Wtedy

1. ∀_a∈R (v₁, . . . , v_n) ∼ (v₁, . . . , av_n) ⇐⇒ a > 0,

2. ∀_σ∈Sn (v₁, . . . , v_n) ∼ (v_σ(1), . . . , v_σ(n)) ⇐⇒ sgn σ = 1.

Dowód: Wystarczy zastosować odpowiednie operacje elementarne do ma- cierzy jednostkowej, która jest macierzą przejścia od danej bazy do niej samej.



Niech odtąd V oznacza zorientowaną przestrzeń euklidesową liniową.

Stwierdzenie 8.3.4. Niech dany będzie liniowo niezależny układ wektorów (v1, . . . , vn−1) w n–wymiarowej zorientowanej przestrzeni euklidesowej liniowej V . Istnieje dokładnie jeden wektor v ∈ V taki, że

(VP1) v ⊥ lin (v₁, . . . , v_n−1) (VP2) kvk =p

det G(v1, . . . , vn−1)

(VP3) baza (v1, . . . , vn−1, v) jest dodatnio zorientowana

Dowód: Uzupełnijmy liniowo niezależny układ wektorów (v₁, . . . , v_n−1) wek- torem u do bazy przestrzeni V . Oznaczmy przez w rzut ortogonalny wektora w na podprzestrzeń lin (v1, . . . , vn−1). Wówczas w 6= θ oraz w ⊥ lin (v1, . . . , vn−1).

Połóżmy

v =pdet G(v₁, . . . , v_n−1)

kwk w.

Mamy niezmiennie w ⊥ lin (v1, . . . , vn−1) oraz kvk = pdet G(v1, . . . , vn−1), czyli wektor v spełnia warunki (VP1) i (VP2).

Jeżeli baza (v1, . . . , vn−1, v) jest dodatnio zorientowana, to wektor v spełnia rónież warunek (VP3). W przeciwnym wypadku warunek ten spełnia wektor −v (stw. 21.4(2)) czyniąc cały czas zadość pozostałym warunkom.

Przypuśćmy, że wektor v⁰ spełnia warunki (VP1)–(VP3). Wówczas na mocy (VP1) wraz z wektorem v należy do jednowymiarowej podprzestrzeni (lin (v1, . . . , vn−1))^⊥ (bo układ (v1, . . . , vn−1) jest liniowo niezależny, a dim V = n). Istnieje więc liczba a taka, że v⁰ = av. Warunek (VP2) implikuje |a| = 1, jednak zgodnie ze stw. 21.4(2) a = −1 powodowałoby zaprzeczenie warunku

(VP3). Stąd v⁰ = v. 

Definicja 8.3.5. Niech v1, . . . , vn−1 będą wektorami n–wymiarowej zoriento- wanej przestrzeni euklidesowej liniowej V . Wektor v ∈ V określony jako:

• θ, gdy układ (v1, . . . , vn−1) jest liniowo zależny,

• jedyny wektor spełniający warunki (VP1)–(VP3), gdy układ (v1, . . . , vn−1) jest liniowo niezależny,

nazywamy iloczynem wektorowym wektorów v1, . . . , vn−1i zapisujemy v1× . . . × vn−1.

Stwierdzenie 8.3.6. Iloczyn wektorowy w zorientowanej n–wymiarowej przest- rzeni euklidesowej liniowej V jest

1. skośnie symetryczny, tzn. dla dowolnych v₁, . . . , v_n−1∈ V oraz permutacji σ ∈ S_n−1spełniony jest warunek

v_σ(1)× . . . × v_σ(n−1)= sgn σ v1× . . . × vn−1

2. (n − 1)–liniowy, tzn. dla dowolnych k = 1, . . . , n − 1, v₁, . . . , v_n−1, v_k⁰ ∈ V oraz a, a⁰ ∈ R spełniony jest warunek

v1× . . . × vk−1× (avk+ a⁰v⁰_k) × vk+1× . . . × vn−1

= a v1× . . . × vk−1× vk× vk+1× . . . × vn−1

+ a⁰v1× . . . × vk−1× v⁰_k× vk+1× . . . × vn−1

Dowód: Fakty te wynikają z definicji iloczynu skalarnego — uzyskujemy wtedy warunek (VP1), stw. 20.6 — (VP2) i stw. 21.4 — (VP3).  Wniosek 8.3.7. W przestrzeni liniowej Rⁿ ze standardowym iloczynem ska- larnym i orientacją daną przez bazę kanoniczną iloczyn wektorowy wyraża się wzorem

v1× . . . × vn−1= (−1)¹⁺ⁿdet A1, . . . , (−1)ⁿ⁺ⁿdet An
,

gdzie macierz A ∈ M_n−1,n ma jako kolejne wiersze współrzędne wektorów v₁, . . . , v_n−1, a dla każdego j = 1, . . . , n macierz A_jpowstaje z A przez skreślenie j–tej kolumny.

Dowód: Oznaczmy przez aj = (−1)^j+ndet Aj, j = 1, . . . , n i niech w = (a1, . . . , an).

Jeżeli wektory v1, . . . , vn−1 są liniowo zależne, to r A < n − 1, więc każdy z minorów stopnia n − 1 macierzy A (a takimi są det Aj, j = 1, . . . , n) jest równy 0, skąd

v1× . . . × vn−1= θ = w.

Załóżmy teraz, że v1, . . . , vn−1 są liniowo niezależne. Wówczas r A = n − 1 i w 6= θ. Pokażemy, że wektor w spełnia (VP1)–(VP3), czyli jest iloczynem wektorowym danych wektorów.

Zauważmy, że rozwinięcie Laplace’a wzgledem ostatniego wiersza daje dla dowolnego u = (u₁, . . . , u_n) ∈ Rⁿ równość

hw, ui =

n

X

j=1

ajuj =

n

X

j=1

(−1)^n+jujdet Aj = det









 v1

... vn−1

u











(1)

Zatem hw, vli = 0, l = 1, . . . , n − 1, do wówczas wyznacznik w (1) ma taki sam wiersz l–ty i n–ty. Zatem w spełnia warunek (VP1).

Biorąc w (1) u = w dostajemy

kwk²= det









 v₁

... v_n−1

w











, (2)

skąd natychmiast wynika (VP3).

Ponadto uwzględniając wzór (2), stwierdzenie 20.3 i (VP1) uzyskujemy

kwk⁴=









 det









 v1

... vn−1

w





















2

= det G(v1, . . . , vn−1, w) = det G(v1, . . . , vn−1)kwk²,

co wraz z niezerowością wektora w pozwala na wywnioskowanie warunku (VP2).



9 Formy dwuliniowe i kwadratowe

9.1 Postać kanoniczna

Załóżmy, że V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem F charakterystyki różnej od 2.

Definicja 9.1.1. Funkcjonałem dwuliniowym (lub formą dwuliniową) na przest- rzeni liniowej V nad ciałem F nazywamy funkcję f : V × V → F spełniającą warunki

(BF1) ∀u,v,w∈V ∀_a,b∈F f (au + bv, w) = af (u, w) + bf (v, w) (BF2) ∀u,v,w∈V ∀_a,b∈F f (u, av + bw) = af (u, v) + bf (u, w)

Zbiór wszystkich funkcjonałów dwuliniowych na przestrzeni V oznaczamy przez L(V²; F).

Stwierdzenie 9.1.2. Każdy funkcjonał dwuliniowy jest jednoznacznie okre- ślony przez swoje wartości na bazie przestrzeni.

Dokładniej, jeżeli (e1, . . . , e_n) jest bazą przestrzeni liniowej V , to dla

x =

n

X

i=1

c_ie_i, y =

n

X

j=1

d_je_j∈ V

mamy

f (x, y) =

n

X

i,j=1

aijcidj,

gdzie aij = f (ei, ej) dla i, j = 1, . . . , n.

Dowód: wynika bezpośrednio z definicji. 

Stwierdzenie 9.1.3. Jeżeli (e₁, . . . , e_n) jest bazą przestrzeni liniowej V_F, zaś A = [a_ij] ∈ M_nn(F), to istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy f na V taki, że f (ei, ej) = aij.

Definicja 9.1.4. Załóżmy, że E = (e₁, . . . , e_n) jest bazą przestrzeni liniowej V_F i niech f będzie funkcjonałem dwuliniowym na V . Macierz

M_E(f ) = [f (e_i, e_j)]_1¬i,j¬n nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego f w bazie E .

Stwierdzenie 9.1.5. Jeżeli A jest macierzą funkcjonału dwuliniowego f ∈ L(V²; F) w bazie E , a C jest macierzą przejścia od bazy E do bazy B, to

M_B(f ) = C^TAC.

Dowód: Niech E = (e₁, . . . , e_n) oraz B = (v₁, . . . , v_n) będą bazami prze- strzeni V , f ∈ L(V²; F ). Niech M_E(f ) = A = [a_ij] zaś C = [c_ij] niech będzie macierza przejścia od bazy E do bazy B. Wówczas f (ei, ej) = aij, skąd

f (vi, vj) = f

n

X

k=1

ckiek,

n

X

l=1

cljel

!

=

n

X

k=1 n

X

l=1

ckicljakl =

n

X

l=1 n

X

k=1

c^∗_ikakl

! clj,

gdzie [c^∗_ik] = C^T. Zatem [f (vi, vj)] = C^TAC.  Definicja 9.1.6. Mówimy, że funkcjonał dwuliniowy f ∈ L(V²; F) jest symet- ryczny, gdy

∀u,v∈V F (v, u) = f (u, v).

Stwierdzenie 9.1.7. 1. Jeżeli funkcjonał liniowy jest symetryczny, to jego macierz w dowolnej bazie jest symetryczna.

2. Jeżeli w pewnej bazie funkcjonał dwuliniowy ma macierz symetryczną, to ten funkcjonał jest symetryczny.

Dowód:

1. oczywiste.

2. wynika ze stw. 23.5 i własności transpozycji (stw. 11.8). Jeżeli macierz A = ME(f ) jest symetryczna, czyli A^T = A, to dla dowolnej macierzy przejścia C od bazy E do innej bazy przestrzeni V mamy

C^TAC
^T

= C^TA^TC = C^TAC,

a więc symetryczność macierzy funkcjonału dwuliniowego f w nowej bazie.

 Definicja 9.1.8. Niech f ∈ L(V²; F ). Funkcję F : V → F daną wzorem

F (x) = f (x, x) dla x ∈ V

nazywamy formą kwadratową generowaną przez funkcjonał dwuliniowy f . Stwierdzenie 9.1.9. Dla dowolnej formy kwadratowej F na przestrzeni V_F istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy symetryczny na V generujacy formę F .

Dowód: Załóżmy, że F jest formą kwadratową na V generowaną przez pe- wien funkcjonał dwuliniowy g ∈ L(V²; F). Kładąc

f (x, y) = 1

2(F (x + y) − F (x) − F (y))

można łatwo zauważyć, że f (x, y) = g(x, y), czyli f jest funkcjonałem dwulinio- wym generującym formę kwadratową F .

Jeżeli f jest symetryczny, to jest poszukiwanym funkcjonałem. Jeżeli f nie jest symetryczny, to funkcja f₁: V × V → F dana wzorem

f₁(x, y) = 1

2(f (x, y) + f (y, x))

jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym oraz f₁(x, x) = f (x, x) = F (x) dla x ∈ V .

Przypuścmy, że k jest dwuliniowym funkcjonałem symetrycznym takim, że k(x, x) = F (x) dla x ∈ V . Wówczas

f1(x, y) = 1

2(F (x + y) − F (x) − F (y)) = k(x, y) dla x, y ∈ V,

czyli k = f1. 

Iloczyn skalarny jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym (i dodat- kowo dodatnio określonym). Jego formą kwadratową jest kwadrat normy.

Definicja 9.1.10. Macierzą formy kwadratowej w pewnej bazie nazywamy ma- cierz generującego ją funkcjonału dwuliniowego symetrycznego w tej bazie.

Mówimy, że forma kwadratowa F jest w postaci kanonicznej w bazie E , gdy macierz formy F w bazie E jest diagonalna. Taką bazę nazywamy bazą kanoniczną formy F .

Jeżeli E = (e1, . . . , en) jest bazą kanoniczną formy F , to istnieją λ1, . . . , λn∈ F takie, że

F (x) =

n

X

i=1

λix²_i dla x =

n

X

i=1

xiei.

Twierdzenie 9.1.11. ^F(Lagrange’a) Dla dowolnej formy kwadratowej F okre- ślonej na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem F charakte- rystyki różnej od 2 istnieje taka baza przestrzeni V , w której forma F ma postać kanoniczną.

Dowód: Gleichgewicht, Algebra.

 Przykład 9.1.12.

Twierdzenie 9.1.13. ^F (Jacobiego) Jeżeli forma kwadratowa F określona na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem F charakterystyki róż- nej od 2 ma w pewnej bazie macierz A = [a_ij]_1¬i,j¬n taką, że

∆_k= det[a_ij]_1¬i,j¬k 6= 0 dla k = 1, . . . , n,

to istnieje baza E = (e₁, . . . , e_n) przestrzeni V , w której forma F ma postać kanoniczną

F (x) =

n

X

k=1

∆k−1

∆k

x²_k dla x =

n

X

k=1

x_ke_k.

przy dodatkowej umowie ∆₀= 1.

Dowód: Jefimow, Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymia- rową.



9.2 Formy rzeczywiste

Definicja 9.2.1. Forma kwadratowa F jest w postaci normalnej, gdy jest w postaci kanonicznej i wszystkie jej współczynniki należą do zbioru {−1, 0, 1}.

Stwierdzenie 9.2.2. Każdą formę kwadratową określoną na rzeczywistej prze- strzeni liniowej skończonego wymiaru można przedstawić w postaci normalnej.

Dowód: Niech F będzie formą kwadratową na rzeczywistej przestrzeni li- niwej V wymiaru n. Z twierdzenia Lagrange’a (23.11) wynika, że istnieje baza (e1, . . . , en), w której forma F ma postać kanoniczną

F (x) =

n

X

i=1

λix²_i.

Niech I = {i ; λ_i= 0} oraz dla i = 1, . . . , n

e⁰_i=

( ei dla i ∈ I

√1

|λi|ei dla i ∈ {1, . . . , n} \ I

Wówczas baza (e⁰₁, . . . , e⁰_n) jest nadal bazą kanoniczną dla formy F oraz dla i ∈ {1, . . . , n} \ I

F (e⁰_i) = λi

1

|λi| = ±1.

 Twierdzenie 9.2.3. (Sylvestera o bezwładności) Niech F będzie formą kwa- dratową określoną na rzeczywistej przestrzeni liniowej V skończonego wymiaru.

Jeżeli E i B są dwiema bazami kanonicznymi formy F , to forma F ma w bazie E i w bazie B tę samą liczbę współczynników dodatnich.

Dowód: Ze stwierdzenia 23.14 i jego dowodu wynika, że formę kwadratową na rzeczywistej przestrzeni wymiaru n można sprowadzić z postaci kanonicznej do postaci normalnej nie zmieniając liczby współczynników dodatnich, ujemnych ani zerowych.

Niech forma F ma w bazie E = (e1, . . . , en) postać normalną

F (x) = x²₁+ . . . + x²_p− x²_p+1− . . . − x²_p+q dla x =

n

X

i=1

xiei,

czyli

λ_i =







1 dla i = 1, . . . , p

−1 dla i = p + 1, . . . , p + q 0 dla i = p + q + 1, . . . , n

i analogicznie forma F ma w bazie B = (v1, . . . , vn) postać normalną

F (y) = y₁²+ . . . + y²_s− y²_s+1− . . . − y²_s+t dla y =

n

X

i=1

yivi.

Przypuśćmy, że p > s. Wówczas podprzestrzenie V⁰ = lin (e₁, . . . , e_p) oraz V⁰⁰= lin (v_s+1, . . . , v_n) mają wymiary odpowiednio p oraz n−s > n−p, których suma wynosi p+n−s > n = dim V . Zatem istnieje niezerowy wektor w ∈ V⁰∩V⁰⁰ (stw. 8.17). Można go więc zapisać w postaci

x1e1+ . . . + xpep= w = ys+1vs+1+ . . . + ynsn

przy czym jeden ze współczynników xi jest niezerowy.

Zatem stosując do wektora w obie postacie normalne otrzymujemy 0 < x²₁+ . . . + x²_p= F (w) = −y_s+1² − . . . − y_n²¬ 0.

Otrzymana sprzeczość dowodzi, że p ¬ s. Analogicznie pokazujemy, że s ¬ p,

czyli ostatecznie p = s. 

Wniosek 9.2.4. Formą kwadratową na rzeczywistej przestrzeni liniowej skoń- czonego wymiaru ma w dowolnej postaci kanonicznej tę samą liczbę współczyn-

ników ujemnych. 

Definicja 9.2.5. Mówimy, że forma kwadratowa F określoną na rzeczywistej przestrzeni liniowej V wymiaru n ma sygnaturę (r, −s), gdzie r + s ¬ n, gdy w pewnej swojej bazie kanonicznej ma dokładnie r współczynników dodatnich i dokładnie s współczynników ujemnych.

Definicja 9.2.6. Mówimy, że forma kwadratowa F określona na rzeczywistej przestrzeni liniowej V jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) określona, gdy

∀_{x∈V \{θ}} F (x) > 0 odpowiednio ∀_{x∈V \{θ}} F (x) > 0
. Stwierdzenie 9.2.7. Forma kwadratowa F określoną na rzeczywistej prze- strzeni liniowej V wymiaru n jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) określona wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnej bazie przestrzeni V forma F ma macierz A = [a_ij]_1¬i,j¬n spełniającą warunki:

∆_k = det[a_ij]_1¬i,j¬k> 0 dla k = 1, . . . , n (odpowiednio

(−1)^k∆k = (−1)^kdet[aij]1¬i,j¬k> 0 dla k = 1, . . . , n

Dowód: Przeprowadzimy rozumowanie dla formy ujemnie określonej. Za- łóżmy, że forma kwadratowa F jest określona na przestrzeni V wymiaru n.

⇒) Jeżeli F jest ujemnie określona, to na mocy twierdzenia Lagrange’a (23.11) istnieje baza E = (e1, . . . , en), w której forma F ma postać kanoniczną

F (x) = λ1x²₁+ . . . + λnx²_n

Po podstawieniu wektorów bazy E otrzymujemy, że λi < 0 dla i = 1, . . . , n.

Minory główne diagonalnej macierzy formy F w bazie E są równe

∆k = λ1· . . . · λk, k = 1, . . . , n co wraz z ujemnością wszystkich λ_i daje

(−1)^k∆_k = (−1)^2k|λ1| · . . . · |λk| > 0.

⇐) Załóżmy, że minory główne ∆ksą w pewnej bazie B na przemian ujemne i dodatnie. Spełnione są więc założenia twierdzenia Jacobiego (23.12), więc ist- nieje baza E , w której forma kwadratowa F ma postać kanoniczną

F (x) =

n

X

k=1

∆k−1

∆k

x²_k.

Wszystkie współczynniki λk =^∆_∆^k−1

k = ⁽⁻¹⁾₍₋₁₎^k−1_k^|∆_|∆^k−1|

k| są ujemne, więc dla v 6= θ

mamy F (v) < 0. 

Uwaga 9.2.8. Iloczyn skalarny można określić w przestrzeni liniowej skończo- nego wymiaru nad dowolnym ciałem żądając, aby był to funkcjonał dwuliniowy, symetryczny i niezdegenerowany, to znaczy np. żeby jego macierz była nieoso- bliwa.

Innym sposobem sposobem uogólnienia iloczynu skalarnego na przestrzenie zespolone jest określenie iloczynu hermitowskiego: liniowego ze względu na pierw- szą zmienną, z częściową symetrią daną przez warunek g(v, u) = g(u, v) i do- datnią określonością analogiczną do tej w przestrzeni rzeczywistej (bo g(v, v) = g(v, v) ∈ R).