W niniejszym rozdziale podejmuję, między innymi, zagadnienie natury matematyki. Z matematyką, jako fizyk, zżyty jestem od dawna (będzie już ponad 40 lat), lubię ją i cenię. Do podjęcia w tej książce tematu natury matematyki przygotowywałem się starannie. Aby mieć przegląd podstawowych problemów matematycznych oraz w celu głębszego ich zrozumienia zająłem się między innymi przekładem na język polski książki Williama Dunhama, The Mathematical Universe. An Alphabetical Journey Through the
Great Proofs, Problems, and Personalities, John Wiley & Sons, Inc. (William Dunham, Matematyczny Wszechświat. Podróż przez wielkie dowody, problemy i osobowości matematyczne, Zysk I S-KA, Poznań 2001). Jestem przekonany, że wyczuwam istotę
matematyki. Ale oczywiście mogę się mylić...
Fizykalna redukcja jakości wtórnych do pierwotnych
„...żadna myśl nie może się zrodzić w naszym mózgu niezależnie od naszych pięciu zmysłów” 57 (Albert Einstein).
Wrota zmysłowości wtórnej nie są pominięte w nowożytnej fizyce. W rozwiniętej fizyce zmysły zdają się spełniać ważne funkcje kontrolne. Fizyczne wyobrażenia świata nie są jednak wyprowadzane bezpośrednio z danych zmysłowych.
Powstaje pytanie, jak umysł uwalnia nasze poznanie, przynajmniej w obszarze fizyki nowożytnej, od konieczności uwzględniania explicite wtórnych jakości zmysłowych w obiektach fizyki takich jak na przykład masa bezwładna, dipol magnetyczny czy elektron. Takie obiekty fizyki nie są przecież ani kolorowe, ani pachnące. Gdy jednak założymy, że wrota zmysłowości wtórnej nie są pomijane w nowożytnej fizyce, rodzi się pytanie: w jaki więc sposób implicite wtórne jakości zmysłowe zawarte są w takich obiektach? Jaka jest ogólna forma redukcji zmysłowości wtórnej do pierwotnej i matematyki?
W przypadku obiektów mechaniki klasycznej takich jak masa bezwładna lub grawitacyjna tym, co przydaje im realności obiektów rozciągłych i ukształtowanych, a przy tym pozbawionych wtórnych jakości zmysłowych, jest matematyka (między innymi geometria euklidesowa i stereometria), wykorzystywana jako tworzywo własne praw i zasad mechaniki. Za sprawą matematyki masy jako najogólniejsze obiekty mechaniki newtonowskiej mogą być powiązane z punktami matematyki lub bryłami stereometrii.
57
Jednakże realne ciała makroskopowe bywają barwne i pachnące. Ich zmysłowe jakości wtórne są w fizyce wyjaśniane właściwościami mikroobiektów, takich, które same ze swej natury – jako nie naoczne - nie wykazują wtórnych jakości zmysłowych z zasady.
To, co ma wyjaśniać naturę wtórnych jakości zmysłowych, samo nie może takich jakości posiadać, niezależnie od tego, czy istnieje jako takie, czy jest tylko wytworem umysłu. Podstawą wyjaśniania jakości wtórnych nie mogą więc być bezpośrednio naoczne ciała makroskopowe.
A priori odpowiedni mikroobiekt (lub ich zbiór, a także na przykład superpozycja fal
stojących wypełniających jakąś „czarną skrzynkę”) powinien więc posiadać takie właściwości, by – sam jakości wtórnych nie wykazując - z konieczności przyczyniał się do ich powstawania, odpowiednio przejawiając się w świecie makro (np. atom wodoru z „przeskakującym” elektronem, emitujący fotony, czy chaotycznie poruszające się cząstki „gazu doskonałego”, wypełniające cylinder z tłokiem, i przydające ściankom tego cylindra temperatury).
Fizyka nie ignoruje zmysłowości wtórnej, zawiera ją w sobie, co wyrazić można powyżej użytym określeniem „z konieczności”.
Ogólna forma redukcji zmysłowości wtórnej do pierwotnej przedstawia się, w pewnym szczególnym aspekcie, następująco. Ciała makroskopowe są "pozbawiane" wtórnych jakości zmysłowych drogą ich matematyzacji. Matematyka jest wtedy "tworzywem własnym" odpowiednich teorii makroskopowych (np. mechaniki klasycznej). Jednakże, po dokonaniu takiej abstrakcji, realne ciała nadal posiadają jakości wtórne; nie posiadają ich jedynie obiekty odpowiedniej teorii. Powstaje potrzeba sprowadzenia jakości wtórnych ciał realnych do jakości pierwotnych pewnych (mikro)obiektów, co jest możliwe na poziomie nieobserwowalnym bezpośrednio, i "wywiezienia" tych mikroobiektów, w ich zjawiskowych przejawach, na poziom makroskopowy.
Dobrym przykładem może tu służyć proces powstawania teorii gazu doskonałego. Będzie on omówiony szczegółowo w części, poświeconej dziejom fizyki. Jako inny przykład można przywołać ruchy Browna, w momencie, w którym została wyjaśniona ich natura (1905 r.). Bezpośrednio obserwujemy przez mikroskop chaotyczny ruch drobin zawiesiny jako obiektów mikroskopowych, spowodowany termicznym ruchem
mikroobiektów fizyki, takich jak na przykład cząsteczki wody (ówcześnie nie do
zaobserwowania bezpośredniego). Zauważmy, że drobiny zawiesiny (obiekty mikroskopowe) posiadają wtórne jakości zmysłowe (usypany z nich stos będzie barwny i być może pachnący). Nie dawało się jednak pomyśleć stosu barwnego i pachnącego, usypanego z cząsteczek wody.
wtórną można odnaleźć na przykład w specyfice mikroobiektów, pozbawionych wprawdzie wtórnych jakości zmysłowych, lecz tak uformowanych przez rozum, że przyczyniających się do ich powstawania.
Zauważmy, że ze względu na konieczność posiadania powyżej określonych właściwości odpowiednie mikroobiekty – jeżeli nie zostaną wykryte w przyrodzie – mogłyby zostać skonstruowane jako takie i postulatywnie wniesione w przyrodę (np. cząstki gazu doskonałego w początkach odpowiedniej teorii). Istnieje także możliwość pośrednia, mianowicie taka, że odpowiednie mikroobiekty są niezależnie wykrywane w przyrodzie (np. elektron). Przy czym miałoby tu zastosowanie nieco zmodyfikowane twierdzenie Immanuela Kanta („Warunki możliwości doświadczenia są zarazem warunkami możliwości przedmiotu doświadczenia”58): 'ogólne warunki możliwości eksperymentu makroskopowego, dotyczącego właściwości mikroobiektu, są zarazem warunkami możliwości przejawiania się na poziomie makro samego mikroobiektu jako uprawnionego obiektu fizyki.'
Jeżeli jednak odpowiednie mikroobiekty nie zostały (jeszcze) niezależnie wykryte, to umysł wpierw je specyficznie konstruuje, jako pozbawione wtórnych jakości zmysłowych i zdolne do przejawiania się w świecie makro, przypisując im wstępnie dobrze określone właściwości wzięte z fizyki makroświata, w tym także właściwości matematyczne, i wnosi je w mikroświat po to, by w ogóle umożliwić sobie rozumienie tego, co się tam dzieje, a dopiero później stara się obiekty te urealnić. Występuje wtedy pewne przesunięcie fazowe na rzecz kreatywnej aktywności umysłu, przygotowującego w mikroświecie miejsce dla rozumu.
Forma redukcji zmysłowości wtórnej do pierwotnej i matematyki, usytuowana jest przed konkretnymi już i swoistymi właściwościami, przypisywanymi mikrocząstkom na bazie eksperymentalnej. Na przykład najpierw powstał ogólny model gazu doskonałego, z pomocą którego zamierzano wyjaśnić zjawiska cieplne, a dopiero potem konkretyzowano ten model, urealniając jego obiekty do szczególnych już rodzajów mikrocząstek (np. model van der Waalsa), odpowiednio do wyników różnorodnych eksperymentów makroskopowych, utrzymując przy tym możliwości rozumienia świata mikro.
Wiemy, że wiele ze wstępnych założeń dotyczących mikroświata legło w gruzach wraz z powstaniem mechaniki kwantowej. Rozum ustaje, próbując na przykład zrozumieć czaso-przestrzennie przeskok elektronu z orbity na orbitę atomu i w zderzeniu z rzeczywistością częściowo wycofuje się z wygodnego pomieszczenia, uprzednio przygotowanego w mikroświecie.
58
Zakotwiczenie matematyki
Mając na uwadze wszystko to, co powiedziano już i napisano o subiektywności jakości wtórnych i obiektywności pierwotnych, rozdzielę jakości pierwotne i wtórne według kryterium, korespondującym z konstruktywną naturą umysłu.
Różnicuję jakości zmysłowe na pierwotne i wtórne z perspektywy konstruktywnych właściwości ducha, przejawiających się matematyką, nie zaś – jak to się czyni tradycyjnie – z perspektywy naocznego oglądu uświadamialnych obiektów świata i intelektualnego różnicowania ich właściwości.
Zakładam, że duch matematyczny wyodrębnia ze świata i swoiście przetwarza to wszystko, co tradycja filozoficzna nazywa pierwotnymi jakościami zmysłowymi. Można by rzec, że jakości pierwotne są naturalnym tworzywem dla matematyki. Albo inaczej: matematyka jest swobodnie rozwijaną przez ducha teorią pierwotnych jakości zmysłowych.
Nie mając zwrotnych odniesień do empirii (zaawansowane teorie matematyczne nie podlegają empirycznej sprawdzalności w świecie zewnętrznym) duch rozwija matematykę swobodnie, na miarę swoich konstruktywnych właściwości, funkcjonujących tutaj bez żadnych dodatkowych, degradujących uwarunkowań, takich jak ego czy wola59. Jest tak, jak mówił Michał Heller w jednym z wywiadów: "...matematyka to absolut, jedyny obszar ludzkiej działalności, który nie został dotknięty grzechem pierworodnym. W matematyce wszystko jest tak, jak powinno być. Nie może być inaczej."
To, co filozofia nazywa jakościami pierwotnymi, gdy zostanie rozłożone przez umysł na czynniki elementarne, można postrzegać jako źródłowe zakotwiczenie matematycznego umysłu. W pewnym sensie idzie tutaj o elementarności, leżące u podstawy pojęć pierwotnych i aksjomatów systemów takich, jak geometria Euklidesa czy arytmetyka liczb naturalnych – przy czym mamy tam do czynienia z pewną już intelektualizacją tych podstaw.
Duch matematyczny zakotwiczony jest w świecie zewnętrznym za pośrednictwem obiektów omówionego wcześniej „pasa granicznego", bezpośrednio umysłowi dostępnych i odnoszących się także do świata zewnętrznego względem umysłu.
Elementarności matematyczne, jako wydobyte z naocznych obiektów pasa granicznego, oczyszczonych przez umysł z jakości wtórnych, obiektywizują teorie
59
Choć znany jest przypadek odwołania się E.J Goodwina, pewnego amerykańskiego (pseudo)matematyka, do ciał ustawodawczych stanu Indiana w USA, żądającego, by Senat stanu zadekretował poprawność jego (błędnej) metody obliczenia wartości liczby pi (uzyskał pi=4).
matematyczne, sprawiając, że ich przedmioty nie są obiektami baśniowymi, dowolnie skonstruowanymi.
Skąd jednak „matematyczny” umysł wie, gdy działa prawidłowo, w zgodzie ze swoją naturą, z czego oczyścić powinien naoczne obiekty pasa granicznego; skąd wie, co jest nie matematycznego w tych obiektach?
Zauważmy, że uświadomienie sobie zieleni liści, zapachu kwiatów czy huku startującego odrzutowca nie wymaga ze strony podmiotu jakiegokolwiek ruchu myśli. Jakości wtórne są w bezpośrednim odbiorze obiektami zindywidualizowanymi i dopiero fizyka doszukuje się w nich tego, co wspólne i ogólne. Wystarcza świadomość sensoryczna. W przypadku takich właśnie jakości myślenie uruchamiane jest dopiero wtedy, gdy chcemy wytworzyć ferię barw, kaskadę dźwięków, perfumy o egzotycznym zapachu, potrawę o wykwintnym smaku, albo wtedy, gdy poszukujemy w ramach fizyki odpowiednich praw i zasad, dotyczących sposobu generowania tych jakości, i to myślenie stowarzyszone musi być z odpowiednim działaniem. Tymczasem obserwacja jakości pierwotnych, takich jak na przykład objętość czy kształt, ze względu na niczym nieograniczoną wielość bezpośrednio obserwowanych kształtów i objętości i ich przemian, uruchamia myślenie bezpośrednio, bez jakiejkolwiek uprzedzającej akcji w świecie. Matematyczny umysł, stając się, abstrahuje od tego wszystkiego w obiektach naocznych, co nie generuje bezpośrednio i samoczynnie ruchu myśli; w tym abstrahuje od jakości wtórnych.
Można by rzec, że matematyka staje się za sprawą samoistnej ekspansji ducha w tworzywo jakości pierwotnych.
Jakości współwarunkowane biologicznie, których jednoznaczna percepcja nie wymaga ruchu myśli, nie są bezpośrednim przedmiotem zainteresowania matematycznego umysłu, który - wyodrębniając jednorodną całość jakości pierwotnych - odrzuca je jako nieistotne.
Matematyka a fizyka
Czy sama matematyka mówi coś o rzeczywistości?
Michał Heller: "Świat ma tę bowiem dziwną właściwość, że można go badać matematycznie. Nie wiemy, na czym ta właściwość polega, ale właśnie dlatego nauka jest możliwa."
Gdy fizyka pragnie sprowadzić wiedzę do jakiejś teorii podstawowej, w której nie występowałyby zmysłowe jakości wtórne, to ma już pod ręką odpowiednie tworzywo – matematykę – w którym osadzić może swoje prawa i zasady. Dlatego bywa
wykorzystywana zarówno w fizyce makroświata, jak również w fizyce mikroświata.
Nie powinno dziwić, że matematyka jest tak przydatna w fizyce, a przynajmniej wtedy, gdy założymy, że - będąc swobodnie rozwijaną przez umysł teorią jakości pierwotnych - źródłowo dotyczy tego poziomu świata, na którym ostatecznie sprawdzamy empirycznie wszelkie hipotezy.
Jednakże nie powinniśmy zastępować fizyki matematyką (czy na przykład czystą fizyką matematyczną). Matematyka czasami przesłania istotę zjawisk fizycznych. Doskonale zdawali sobie z tego sprawę fizycy tacy, jak na przykład Bohr, Einstein, Faraday, Feynman, utrzymując matematykę w tle swoich badań. Także Newton zapewne miał najpierw pomysł na spójną mechanikę (a z całą pewnością dotyczy to np. Roberta Hooka; zob. rozdział, dotyczący powstania fizyki nowozytnej), a dopiero potem poszukiwał środków matematycznego wyrazu dla jej zasad i praw (np. rachunek fluksji i fluent).
Gdy bliżej przyjrzymy się źródłom matematyki, to może uzasadnione staje się pytanie, czy fizycy nie za bardzo wierzą w matematykę, jako w narzędzie, otwierające wrota do rzeczywistości? Tymczasem może jest tak, że matematyka nie wykracza w swoich odniesieniach do przyrody poza makroskopową powierzchnię zjawisk, całą swoją moc i złożoność czerpiąc głównie z umysłu, który ją tworzy i rozwija według praw własnych? Może jest tak, jak pisał Bertrand Russell, że „...fizyka jest matematyczna nie dlatego, że tak dużo wiemy o świecie fizycznym, lecz dlatego, że wiemy o nim tak mało: jego właściwości matematyczne są jedynymi, które potrafimy odkryć”60.
Może jako fizycy czy filozofowie ulegamy czasami złudzeniu, że to matematyka jest dziedziną, ontologicznie najdonioślejszą (np. Roger Penrose czy Michał Heller)?
Przy czym matematyka nie jest – jak się często uważa, cytując przy tym pewną wypowiedź Galileusza – tylko językiem fizyki. Nie jest także fizyką. Matematyka współtworzy fizykę nowożytną jako jej konstytutywne i niezbywalne tworzywo, czasami – jak na przykład w przypadku mechaniki klasycznej – jako "tworzywo własne", z którego specyficznie, w kontekście aktywności ukierunkowanej na zewnątrz, są wytwarzane ogólne prawa fizyki.
Nie sposób jednak oprzeć się wrażeniu, że sama czysta matematyka, rozszerzając świat pierwotnych jakości zmysłowych, także coś mówi o rzeczywistości; że w matematycznym tworzywie fizyki implicite zawarte są pewne prawdy, dotyczące wprost rzeczywistości, z której wydobywany jest materialny świat fizyki. Matematyczne tworzywo fizyki zdaje się momentami żyć własnym ukrytym życiem poznawczym,
60
Bertrand Russell, An Outline of Philosophy, London: George Allen and Unwin. Repr. as Philosophy, New York: W.W. Norton, 1927, s. 163.
dotyczącym świata materialnego. Postrzega to wielu i tradycja pitagorejska w filozofii nauki nigdy nie zaginęła. Bywała także bardzo płodna w dziejach fizyki, by podać przykład Keplera, którego badaniami pitagoreizm sterował explicite. Heinrich Hertz, zauroczony siłą równań Maxwella napisał: „Trudno jest oprzeć się poczuciu, że wzory matematyczne są obdarzone niezależnym istnieniem i własną inteligencją, że są mądrzejsze od nas, mądrzejsze nawet od swych odkrywców, że wyciągamy z nich więcej, niż pierwotnie w nie włożono”. Matematycznego tworzywa fizyki nie można więc porównywać z plasteliną bezwolnie poddającą się woli fizyka kształtującego ilościowe prawa, ma ono własny ukryty charakter, żyje własnym życiem i jak dotąd zdaje się sprzyjać wysiłkom poznawczym fizyków.