Wierne jednopikowe porządki dodatnie

Udowodnimy teraz, że istnieje skończenie wiele dodatnich jednopikowych zbiorów czę-ściowo uporządkowanych, które są wierne w sensie definicji3.25oraz przedstawiamy pełną listę takich porządków, uzyskaną przy pomocy algorytmów kombinatorycznych przed-stawionych w dysertacji. Rezultaty te zastosujemy do wykazania, że współrzędne 𝑟_𝑖∈ ℤ pierwiastków 𝑟 = [𝑟₁, … , 𝑟_𝑚] ∈ R_𝐼 ⊆ ℤ𝑚dodatnich jednopikowych 𝑚-elementowych porządków 𝐼 spełniają nierówność |𝑟_𝑖| ⩽ Rmax_Dyn

𝐼⩽ 6(patrz twierdzenie3.34).

66 Wierne jednopikowe porządki dodatnie

Definicja 3.25. [80,102,117] Załóżmy, że 𝐼 jest skończonym 𝑛-elementowym zbiorem

czę-ściowo uporządkowanym.

(a) Wektor 𝑣 = [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛] ∈ ℤ^𝑛nazywamy wiernym (ang. sincere; omnipresent), jeśli 𝑣_𝑖≠ 0

dla wszystkich 1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑛.

(b) Zbiór częściowo uporządkowany 𝐼 nazywamy wiernym, jeśli istnieje wierny pierwiastek 𝑟 ∈ R_𝐼= {𝑣 ∈ ℤ^𝑛; 𝑞_𝐼(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝑛funkcjonału 𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤ(1.40).

(c) Jednopikowy porządek 𝐼 nazywamy Titsowo-wiernym, jeśli istnieje wierny pierwiastek 𝑟 ∈ ̂R_𝐼= {𝑣 ∈ ℤ^𝑛; ̂𝑞_𝐼(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝑛funkcjonału Titsa ̂𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤ(3.4).

Jako prosty wniosek z lematu3.6(a)otrzymujemy:

Wniosek 3.26. Jednopikowy zbiór częściowo uporządkowany 𝐼 jest wierny wtedy i tylko wtedy

gdy jest Titsowo-wierny. Ponadto, pierwiastki funkcjonałów 𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤoraz ̂𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤróżnią się tylko znakiem ostatniej współrzędnej.

Pokażemy, że |𝑟_𝑖| ⩽ 6dla dowolnego pierwiastka 𝑟 = [𝑟₁, … , 𝑟_𝑛] ∈ R_𝐼 ⊆ ℤ^𝑛 (lub 𝑟 ∈ ̂R_𝐼⊆ ℤ𝑛), gdzie 𝐼 jest dodatni i jednopikowy. Jest to szczególny przypadek bardziej ogólnego wyniku (patrz fakt2.16): współrzędne dowolnego pierwiastka 𝑟 ∈ ℤ𝑛 dodat-niego jednolitego funkcjonału kwadratowego 𝑞∶ ℤ𝑛 → ℤspełniają nierówność |𝑟_𝑖| ⩽ 6. Rezultat ten wynika z dość złożonego w dowodzie twierdzenia Ovsienki, które mówi o skończonej liczbie pierwiastków dodatnich słabo dodatnich jednolitych funkcjonałów kwa-dratowych (tj. 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤspełniających 𝑞(𝑣) > 0 dla 0 ≠ 𝑣 ∈ ℕ𝑛), patrz [96,102]. Dowód przedstawiony w dysertacji ma charakter kombinatoryczny i jest bardziej elementarny. Co więcej, pokazujemy że istnieje zależność pomiędzy maksymalną wielkością |𝑟_𝑖| ∈ ℕ a typem Coxetera-Dynkina porządku 𝐼.

Będziemy używać następujących lematów.

Fakt 3.27. Załóżmy, że 𝐼 ⊆ 𝐽 są zbiorami częściowo uporządkowanymi.

(a) Jeśli 𝐽 jest dodatni (nieujemny), to 𝐼 jest dodatni (nieujemny). (b) Jeśli 𝐼 nie jest dodatni (nieujemny), to 𝐽 nie jest dodatni (nieujemny).

Dowód. Rozważmy diagram

ℤ^𝐽 ℤ ℤ^𝐼 𝜏 𝜋 _𝑞 𝐼 𝑞_𝐽 ,

gdzie 𝜋 oraz 𝜏 oznaczają standardowe operacje rzutowania oraz zanurzenia (włożenia). (a) Dla dowolnego 𝑣 ∈ ℤ𝐼mamy 𝑞_𝐼(𝑣) = 𝑞_𝐽(𝜏(𝑣)), stąd dodatniość (nieujemność) 𝐽 implikuje dodatniość (nieujemność) 𝐼.

(b) Z założenia, istnieje wektor 0 ≠ 𝑣 ∈ ℤ𝐼, taki że 𝑞_𝐼(𝑣) = 0 (𝑞_𝐼(𝑣) < 0). Stąd, dla 𝑤 ∶= 𝜏(𝑣) ∈ ℤ^𝐽otrzymujemy 𝑞_𝐽(𝑤) = 𝑞_𝐼(𝜋(𝑤)) = 𝑞_𝐼(𝑣)i w konsekwencji porządek 𝐽 nie jest dodatni (nieujemny).

Lemat 3.28. Jeśli 𝐼 jest wiernym dodatnim zbiorem częściowo uporządkowanym, to 𝐼 jest spójny.

Dowód. Załóżmy, przez sprzeczność, że 𝐼 nie jest spójny, tj. 𝐼 = 𝐼₁∪ 𝐼₂, gdzie 𝐼₁, 𝐼₂≠ ∅. Zauważmy, że funkcjonały 𝑞_𝐼1∶ ℤ^𝐼1→ ℤoraz 𝑞_𝐼2∶ ℤ^𝐼2 → ℤsą dodatnie (fakt3.27(a)) oraz

Wierne jednopikowe porządki dodatnie 67 dla dowolnego 𝑥 ∈ ℤ𝐼mamy 𝑞_𝐼(𝑥) = 𝑞_𝐼1(𝑥|_𝐼1) + 𝑞_𝐼2(𝑥|_𝐼2). Jeśli 𝑤 ∈ R_𝐼= {𝑣 ∈ ℤ^𝐼; 𝑞_𝐼(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝐼jest wiernym pierwiastkiem porządku 𝐼, to 𝑤|_𝐼1≠ 0, 𝑤|_𝐼2≠ 0i w konsekwencji

1 = 𝑞_𝐼(𝑤) = 𝑞_𝐼1(𝑤|_𝐼1) + 𝑞_𝐼2(𝑤|_𝐼2) ⩾ 2.

Uzyskana sprzeczność pokazuje, że istnienie wiernego pierwiastka implikuje spójność dodatniego zbioru częściowo uporządkowanego.

Tabela 3.29. Serie porządków dodatnich ̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝 oraz ̂𝔻∗ 𝑛 ̂ 𝔸_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝∶ 1 2 3 𝑝−1 𝑝 𝑝+1 𝑝+2 𝑝+3 𝑛−1 𝑛 3 ⩽ 𝑛 2 ⩽ 𝑝 < 𝑛 ̂_𝔻∗ 𝑛∶ 1 2 3 𝑛−3 𝑛−2 ^𝑛−1 𝑛 4 ⩽ 𝑛

Lemat 3.30. Załóżmy, że 𝐼 ∈ {_𝑝𝔸∗ 𝑛, 𝔻∗

𝑛,̂𝔻∗

𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,_𝑠𝔻∗

𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝, ̂𝔸_𝑝 ⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,̂𝔻∗ 𝑛} jest zbiorem częściowo uporządkowanym, którego kołczan Hasse jest przedstawiony w tabeli3.18lub tabeli3.29.

(a) Porządek 𝐼 jest dodatni.

(b) Jeśli |𝐼| ⩾ 6, to 𝐼 nie ma pierwiastków wiernych.

Dowód. (a) Jeśli 𝐼 ∈ {_𝑝𝔸^∗_𝑛, 𝔻^∗_𝑛,̂𝔻_𝑝^∗⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,_𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝}, to teza wynika z równoważ-ności(a)⇔(g)twierdzenia3.17. W przypadku 𝐼 ∈ {̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,̂𝔻∗

𝑛}teza jest konsekwencją faktu3.27(a)(podzbiór dodatniego zbioru częściowo uporządkowanego jest dodatni) oraz poprzednich rozważań, ponieważ ̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝⊆ ̂𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝oraz ̂𝔻^∗_𝑛⊆_𝑠𝔻^∗_𝑛−2⋄ 𝔸_𝑛−2.

(b) Załóżmy, że 𝐼 ∈ {_𝑝𝔸^∗_𝑛, 𝔻^∗_𝑛,̂𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,_𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝, ̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,̂𝔻^∗_𝑛}oraz |𝐼| ⩾ 6. Zauważmy, że zbiór R_𝐼 = {𝑣 ∈ ℤ𝐼; 𝑞_𝐼(𝑣) = 1} jest skończony (fakt2.16) i można go obliczyć algorytmicznie (np. przy pomocy algorytmu2.21).

Dowód przeprowadzimy metodą indukcji zupełnej względem 𝑛 = |𝐼|. Prawdziwość tezy dla 𝑛 = 6 weryfikujemy przy pomocy obliczeń komputerowych (obliczenia zajmują ok. 1𝑠):

Etap 1∘ generujemy listę mats macierzy incydencji 𝐶_𝐼 ∈ 𝕄₆(ℤ)wszystkich zbiorów częściowo uporządkowanych 𝐼 ∈ {_𝑝𝔸∗ 5, 𝔻∗ 5,̂𝔻∗ 𝑝⋄ 𝔸_5−𝑝,_𝑠𝔻∗ 𝑝⋄ 𝔸_5−𝑝, ̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_6−𝑝,̂𝔻∗ 6} mających |𝐼| = 6 elementów (jest ich dokładnie 22),

Etap 2∘ dla każdej macierzy 𝐶_𝐼∈ mats:

Etap 2.1∘ wyznaczamy formę kwadratową 𝑞_𝐼∈ ℤ[𝑥₁, … , 𝑥₆], gdzie 𝑞_𝐼(𝑥) ∶= 𝑥 ⋅ 𝐶_𝐼⋅ 𝑥𝑡𝑟,

Etap 2.2∘ przy pomocy algorytmu2.21, zastosowanego do formy 𝑞_𝐼∈ ℤ[𝑥₁, … , 𝑥₆], obliczamy skończony zbiór pierwiastków R_𝐼= {𝑣 ∈ ℤ⁶; 𝑞_𝐼(𝑣) = 1} ⊆ ℤ⁶,

Etap 2.3∘ weryfikujemy, że zbiór R_𝐼⊆ ℤ⁶nie zawiera wektorów wiernych.

Dowód kroku indukcyjnego przeprowadzimy przez sprowadzenie do sprzeczności. Załóżmy, że 𝑛 ⩾ 6, teza jest prawdziwa dla wszystkich 𝐼 = ({1, … , 𝑛}, ⪯) ∈ {_𝑝𝔸^∗_𝑛−1, 𝔻^∗_𝑛−1, ̂_𝔻∗

𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝−1},_𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝−1}, ̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,̂𝔻^∗_𝑛}wielkości |𝐼| = 𝑛 oraz istnieje wierny zbiór częściowo uporządkowany 𝐽 = ({1, … , 𝑛 + 1}, ⪯) ∈ {_𝑝𝔸∗ 𝑛, 𝔻∗ 𝑛,̂𝔻∗ 𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,_𝑠𝔻∗ 𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝, ̂

𝔸_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝+1},̂𝔻^∗_𝑛+1}mający |𝐽| = 𝑛 + 1 elementów. Z lematuA.35(d)zastosowanego do funkcjonału jednolitego 𝑞_𝐽∶ ℤ^𝐽 → ℤ wynika, że istnieje wierny pierwiastek 𝑤 ∈ R_𝐽 =

68 Wierne jednopikowe porządki dodatnie R_𝑞

𝐽= {𝑣 ∈ ℤ^𝑛+1; 𝑞_𝐽(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝐽 oraz indeks 1 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑛 + 1, takie że 𝑤(𝑗) = [𝑤₁, … , 𝑤_𝑗−1, 𝑤_𝑗+1, … , 𝑤_𝑛+1] ∈ ℤ^𝑛jest pierwiastkiem wiernym funkcjonału 𝑞(𝑗)

𝐽 ∶ ℤ^𝑛→ ℤ, gdzie 𝑞^(𝑗)_𝐽 (𝑥) ∶= 𝑞_𝐽([𝑥₁, … , 𝑥_𝑗−1, 0, 𝑥_𝑗, … , 𝑥_𝑛])dla dowolnego 𝑥 ∈ ℤ𝑛. Zauważmy, że:

(i) 𝑞(𝑗)

𝐽 ∶ ℤ^𝑛→ ℤjest funkcjonałem kwadratowym stowarzyszonym z podzbiorem 𝐽′⊆ 𝐽 zbioru częściowo uporządkowanego 𝐽, gdzie 𝐽′ ∶= 𝐽 ∖ {𝑗}, w szczególności 𝐽′ jest wierny;

(ii) 𝐽′⊆ 𝐽jest spójny;

(iii) 𝐽′∈ {_𝑝𝔸^∗_𝑛−1, 𝔻^∗_𝑛−1,̂𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝−1},_𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝−1}, ̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,̂𝔻^∗_𝑛}. Prawdziwość (i) wynika z definicji wiernego funkcjonału 𝑞(𝑗)

𝐽 oraz definicji funkcjonału kwadratowego stowarzyszonego z 𝐽′ ∶= 𝐽 ∖ {𝑗}(1.40), natomiast(ii)jest konsekwencją lematu3.28. Ponieważ 𝐽′ ∶= 𝐽 ∖ {𝑗} ⊆ 𝐽jest spójny, (iii) wynika z definicji kształtów zbioru częściowo uporządkowanego 𝐽 ∈ {_𝑝𝔸^∗_𝑛, 𝔻^∗_𝑛,̂𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,_𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝, ̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝+1},̂𝔻^∗_𝑛+1}.

Stąd 𝐽′ ∈ {_𝑝𝔸^∗_𝑛−1, 𝔻^∗_𝑛−1,̂𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝−1},_𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝−1}, ̂𝔸_𝑝 ⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,̂𝔻^∗_𝑛} jest wiernym zbiorem częściowo uporządkowanym, który ma 𝑛 elementów. Uzyskaliśmy sprzeczność z założeniem indukcyjnym, co kończy dowód.

Każdy dodatni jednopikowy zbiór częściowo uporządkowany 𝐽 = ({1, … , 𝑛, ∗}, ⪯), który ma więcej niż 8 elementów, jest izomorficzny z porządkiem 𝐼 ∈ {_𝑝𝔸^∗_𝑛, 𝔻^∗_𝑛,̂𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,

𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝}(patrz równoważność (a)⇔(g) w twierdzeniu3.17) i stąd nie jest wierny (lemat3.30). Prawdziwe jest silniejsze stwierdzenie: 𝐽 nie ma pierwiastków prawie wiernych, tj. 𝑣 = [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛, 𝑣_∗] ∈ R_𝐽spełniających 𝑣₁≠ 0, … , 𝑣_𝑛≠ 0(por, [45, Proposition 3.3]).

Fakt 3.31. Załóżmy, że 𝐼 = ({1, … , 𝑛, 𝑛 + 1 = ∗}, ⪯) jest dodatnim jednopikowym zbiorem

częściowo uporządkowanym, z którym stowarzyszone są funkcjonały kwadratowe 𝑞_𝐼∶ ℤ^𝑛+1→ ℤ

(1.40) oraz ̂𝑞_𝐼∶ ℤ𝑛+1→ ℤ(3.4). Jeśli |𝐼| ⩾ 9, to:

(a) funkcjonał 𝑞_𝐼∶ ℤ𝑛+1→ ℤnie ma pierwiastków prawie wiernych,

(b) funkcjonał Titsa ̂𝑞_𝐼∶ ℤ^𝑛+1→ ℤnie ma pierwiastków prawie wiernych.

Dowód. Załóżmy, że 𝐼 jest spójnym dodatnim zbiorem częściowo uporządkowanym

oraz |𝐼| ⩾ 9. Z twierdzenia3.17wynika, że 𝐼 ∈ {_𝑝𝔸^∗_𝑛, 𝔻^∗_𝑛,̂𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,_𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝}. (a) Załóżmy, przez sprzeczność, że 𝑣 = [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛, 𝑣_∗] ∈ R_𝐼⊆ ℤ^𝑛+1jest pierwiastkiem spełniającym 𝑣₁ ≠ 0, … , 𝑣_𝑛 ≠ 0. Wtedy 𝑣_∗ = 0, ponieważ w przeciwnym przypadku 𝑣 ∈ ℤ𝑛+1byłby pierwiastkiem wiernym i otrzymalibyśmy sprzeczność z lematem3.30. Stąd

̌

𝑣 ∶= [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛] ∈ ℤ^𝑛jest pierwiastkiem wiernym zbioru częściowo uporządkowanego 𝐼^′ ∶= 𝐼 ∖ {∗}. Ponieważ 𝐼′ ∈ {_𝑝𝔸_𝑛−1^∗ , 𝔻^∗_𝑛−1,̂𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝−1},_𝑠𝔻^∗_𝑝⋄ 𝔸_{𝑛−𝑝−1}, ̂𝔸_𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,̂𝔻^∗_𝑛} oraz |𝐼′| ⩾ 8, otrzymujemy sprzeczność z lematem3.30.

(b) Wynika z (a), patrz wniosek3.26.

Twierdzenie 3.32. Załóżmy, że 𝐼 = ({1, … , 𝑛, 𝑛 + 1 = ∗}, ⪯) jest dodatnim jednopikowym

wiernym zbiorem częściowo uporządkowanym, którego typem Coxetera-Dynkina jest Dyn_𝐼 ∈ {A_𝑛+1, D_𝑛+1, E₆, E₇, E₈}(definicja3.9).

(a) Zbiór częściowo uporządkowany 𝐼 jest Titsowo-wierny. Ponadto, pierwiastki funkcjonałów 𝑞_𝐼∶ ℤ𝐼→ ℤoraz ̂𝑞_𝐼∶ ℤ𝐼→ ℤróżnią się tylko znakiem ostatniej współrzędnej.

(b) |𝐼| ⩽ 8.

Wierne jednopikowe porządki dodatnie 69

0𝔸^∗₀∶ ∗¹ ₀𝔸₁^∗∶ ¹ ∗² ₀𝔸^∗₂∶ ¹ 2

∗³

Ponadto, wektory₀𝑤₀= ±[ 1],₀𝑤₁ = ±[ 1, −1]oraz₀𝑤₂= ±[ 1, 1, −1]są jedynymi pierwiastkami wiernymi funkcjonałów 𝑞_0𝔸∗

0, 𝑞_0𝔸∗

1oraz 𝑞_0𝔸∗

2, odpowiednio.

(d) Jeśli Dyn_𝐼= D_𝑛+1, to |𝐼| = 𝑛+1 ⩽ 5 oraz 𝐼 jest jednym z następujących 8 zbiorów częściowo uporządkowanych (wypisanych wraz z pełną listą ich pierwiastków wiernych).

𝔻∗ 4∶ 1 2 3 4 ∗⁵ _1𝔻∗ 3⋄ 𝔸₀∶ 1 ² 3 ∗⁴ 𝑤₄= ±[ 1, 1, 1, −1, −1] ₁𝑤³₀= ±[ 1, −1, −1, 1] ̂_𝔻∗ 3⋄ 𝔸₁∶ 1 ^{2 3} 4 ∗⁵ _0𝔻∗ 2⋄ 𝔸₁∶ 1 2 3 4 ∗5 𝑤₁³= ±[ 1, −1, −1, −1, 1] ₁𝑤³₁= ±[ 1, −1, −1, −1, 1] 0𝔻^∗₃⋄ 𝔸₀∶ 1 2 3 ∗^{4 0} 𝔻^∗₂⋄ 𝔸₂∶ 1 2 3 4 ∗5 0𝑤³₀= ±[ 1, 1, −1, −1] ₀𝑤²₂= ±[ 1, 1, 1, 1, −2] 0𝔻∗ 3⋄ 𝔸₁∶ ¹ 2 3 4 ∗⁵ _1𝔻∗ 3⋄ 𝔸₁∶ 1 2 3 ∗4 0𝑤3 1 = ±[ 1, 1, −1, 1, −1] ₀𝑤2 1 = ±[ 1, 1, 1, −1] 0𝑤²₁ = ±[ 1, 1, 1, −2] (e) Jeśli Dyn_𝐼∈ {E₆, E₇, E₈}, to 𝐼 jest jednym ze 167 zbiorów częściowo uporządkowanych

przed-stawionych w [46, Table 6.1, Table 6.2, Table 6.3], które mają niezerową liczbę pierwiastków wiernych funkcjonału Titsa ̂𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤ(dla każdego 𝐼 liczba ta została zapisana w tabelach

„w kółku”: 𝑠_𝐼 ).

( f ) Całkowita liczba dodatnich jednopikowych zbiorów częściowo uporządkowanych, które są

wierne wynosi 178.

(g) Jeśli 𝑣 = [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛, 𝑣_𝑛+1] ∈ R_𝐼jest pierwiastkiem funkcjonału kwadratowego 𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤ, to max{|𝑣₁|, … , |𝑣_𝑛|, |𝑣_𝑛+1|} ⩽ Rmaxsinc∗ Dyn_𝐼 ^∶= ⎧ { { { { ⎨ { { { { ⎩ 1, jeśli Dyn_𝐼= A_𝑛+1, 𝑛 ≥ 0, 2, jeśli Dyn_𝐼= D_𝑛+1, 𝑛 ≥ 3, 3, jeśli Dyn_𝐼= E₆, 4, jeśli Dyn_𝐼= E₇, 6, jeśli Dyn_𝐼= E₈.

Innymi słowy, liczba Rmaxsinc∗

Dyn_𝐼^{∈ {1, … , 6}}wyznacza górne ograniczenie na |𝑣_𝑖|, gdzie

𝑣 = [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛+1] ∈ ℤ^𝐼jest wiernym pierwiastkiem dowolnego dodatniego jednopikowego zbioru częściowo uporządkowanego 𝐼 typu Dyn_𝐼∈ {A_𝑛+1, D_𝑛+1, E₆, E₇, E₈}.

Dowód. (a) Wynika z lematu3.6(por. wniosek3.26).

(b) Jest konsekwencją lematu3.30oraz równoważności(a)⇔(g)w twierdzeniu3.17. (c) – (g) Dowód ma charakter obliczeniowy.

70 Wierne jednopikowe porządki dodatnie

Etap 1∘ przy pomocy algorytmu3.52generujemy listę mats złożoną z górnotrójkątnych macierzy incydencji 𝐶_𝐼∈ 𝕄_𝐼(ℤ)wszystkich nieizomorficznych jednopikowych zbio-rów częściowo uporządkowanych 𝐼, które mają co najwyżej 8 elementów,

Etap 2∘ usuwamy z listy mats te macierze, których ostatnia kolumna nie składa się z samych jedynek, tj. macierze incydencji 𝐶_𝐼 ∈ 𝕄_𝐼(ℤ)porządków 𝐼, które nie są jednopikowe,

Etap 3∘ dla każdej macierzy 𝐶_𝐼∈ mats:

Etap 3.1∘ wyznaczamy formę kwadratową 𝑞_𝐼∈ ℤ[𝑥₁, … , 𝑥_|𝐼|], gdzie 𝑞_𝐼(𝑥) ∶= 𝑥 ⋅𝐶_𝐼⋅𝑥𝑡𝑟,

Etap 3.2∘ przy pomocy algorytmu2.21, zastosowanego do formy 𝑞_𝐼∈ ℤ[𝑥₁, … , 𝑥_|𝐼|], obliczamy skończony zbiór pierwiastków R_𝐼= {𝑣 ∈ ℤ^𝐼; 𝑞_𝐼(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝐼,

Etap 3.3∘ obliczamy liczbę wektorów wiernych należących do zbioru R_𝐼⊆ ℤ𝐼,

Etap 3.4∘ przy pomocy algorytmuB.24wyznaczamy typ Coxetera-Dynkina Dyn_𝐼∈ {A_|𝐼|, D_|𝐼|, E₆, E₇, E₈}porządku 𝐼.

Na podstawie uzyskanych wyników obliczeniowych: • weryfikujemy (g),

• pokazujemy (f): całkowita liczba wiernych dodatnich jednopikowych 𝐼 wynosi 178, • są to 𝐼 opisane w podpunktach (c) – (e).

Przedstawimy teraz analogiczne do twierdzenia3.32wyniki dla wszystkich (nieko-niecznie jednopikowych) zbiorów częściowo uporządkowanych 𝐼, które mają co najwyżej |𝐼| ⩽ 8elementów.

Lemat 3.33. Niech 𝐼 będzie dodatnim wiernym 𝑛-elementowym zbiorem częściowo

uporządko-wanym, gdzie 𝑛 = |𝐼| ⩽ 8, którego zbiorem pierwiastków jest R_𝐼= {𝑣 ∈ ℤ^𝑛; 𝑞_𝐼(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝑛.

(a) Jeśli Dyn_𝐼= A_𝑛, to 𝐼 ∈ {₀𝔸^∗₀,₀𝔸^∗₁,₀𝔸^∗₂}(patrz tabela3.18) lub 𝐼 jest jednym z

następują-cych siedmiu zbiorów częściowo uporządkowanych:

𝕊₁∶ 𝕊₂∶ 𝕊₃∶ 𝕊₄∶

𝕊₅∶ 𝕊₆∶ 𝕊₇

Ponadto, wektory 𝑤_𝐼 = ∑_{𝑗∈max 𝐼}𝑒_𝑗 − ∑_{𝑘∈min 𝐼}𝑒_𝑘 oraz −𝑤_𝐼, gdzie 𝐼 ∈ {𝕊₁, … , 𝕊₇}, są jedynymi pierwiastkami wiernymi funkcjonału 𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤ.

(b) Całkowita liczba #𝑠𝑖𝑛𝑐_𝐼 wiernych zbiorów częściowo uporządkowanych 𝐼 typu Coxetera-Dynkina Dyn_𝐼∈ {D_𝑛, E_𝑛} = {D₄, D₅, D₆, D₇, E₆, E₇, E₈}wynosi:

Dyn_𝐼 𝔻₄ 𝔻₅ 𝔻₆ 𝔻₇ 𝔼₆ 𝔼₇ 𝔼₈

#𝑠𝑖𝑛𝑐_𝐼 5 13 22 17 36 175 521

Wierne jednopikowe porządki dodatnie 71 (c) Dla 𝛥 ∈ {A_𝑛, D_𝑛, E₆, E₇, E₈}prawdziwa jest równość:

Rmax₈sinc_𝛥 ∶= max

R𝐼_𝛥^𝑛⩽8 {|𝑣₁|, … , |𝑣_𝑛|} = ⎧ { { { ⎨ { { { ⎩ 1, jeśli 𝛥 = A_𝑛, 2, jeśli 𝛥 = D_𝑛, 3, jeśli 𝛥 = E₆, 4, jeśli 𝛥 = E₇, 6, jeśli 𝛥 = E₈, gdzie R𝐼𝑛⩽8 𝛥 ∶= ⋃ 𝐼; |𝐼|=𝑛⩽8 Dyn_𝐼=𝛥 R_𝐼.

Innymi słowy, liczba |𝑣_𝑖|dla dowolnego pierwiastka 𝑣 = [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛] ∈ R_𝐼⊆ ℤ^𝑛dodatniego porządku 𝐼, który składa się z co najwyżej 8 elementów i ma typ Coxetera-Dynkina Dyn_𝐼= 𝛥 ∈ {A_𝑛, D_𝑛, E₆, E₇, E₈}, jest ograniczona z góry przez Rmax₈sinc_𝛥 ∈ {1, 2, 3, 4, 6}. Dowód. Dowód ma charakter obliczeniowy i jest analogiczny do dowodu lematu3.32

(podpunkty(c)–(g)). Używając algorytmu3.52, obliczamy wszystkie macierze incydencji 𝐶_𝐼∈ 𝕄_𝐼(ℤ)dodatnich zbiorów częściowo uporządkowanych 𝐼, złożonych z co najwyżej 𝑛 ∶= |𝐼| ⩽ 8elementów. Następnie, przy pomocy algorytmówB.24oraz2.21obliczamy typ Dynkina Dyn_𝐼= 𝛥 ∈ {A_𝑛, D_𝑛, E₆, E₇, E₈}oraz zbiór pierwiastków R_𝐼⊆ ℤ^𝑛i weryfikujemy prawdziwość lematu.

Twierdzenie 3.34. Niech 𝐼 ≡ ({1, … , 𝑛, 𝑛 + 1}, ⪯) będzie dodatnim (𝑛 + 1)-elementowym

jednopikowym zbiorem częściowo uporządkowanym. Jeśli wektor 𝑣 = [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛, 𝑣_𝑛+1] ∈ ℤ^𝐼jest

(a) pierwiastkiem funkcjonału kwadratowego 𝑞_𝐼∶ ℤ^𝑛+1→ ℤ(tj. 𝑞_𝐼(𝑣) = 1), lub (b) pierwiastkiem funkcjonału kwadratowego Titsa ̂𝑞_𝐼∶ ℤ^𝑛+1→ ℤ(tj. ̂𝑞_𝐼(𝑣) = 1),

to:

max{|𝑣₁|, … , |𝑣_𝑛|, |𝑣_𝑛+1|} ⩽ Rmax_Dyn 𝐼∶= ⎧ { { { { ⎨ { { { { ⎩ 1, jeśli Dyn_𝐼= A_𝑛+1, 𝑛 ⩾ 0, 2, jeśli Dyn_𝐼= D_𝑛+1, 𝑛 ⩾ 3, 3, jeśli Dyn_𝐼= E₆, 4, jeśli Dyn_𝐼= E₇, 6, jeśli Dyn_𝐼= E₈.

Dowód. Ponieważ pierwiastki funkcjonałów kwadratowych 𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤoraz ̂𝑞_𝐼∶ ℤ^𝐼→ ℤ, stowarzyszonych z 𝐼, różnią się tylko znakiem ostatniej współrzędnej (lemat3.6), dowód wystarczy przeprowadzić dla przypadku (a).

Załóżmy, że 𝐼 = ({1, … , 𝑛, 𝑛 + 1}, ⪯) jest dodatnim jednopikowym zbiorem częściowo uporządkowanym oraz 𝑣 = [𝑣₁, … , 𝑣_𝑛, 𝑣_𝑛+1] ∈ R_𝐼= {𝑣 ∈ ℤ^𝑛+1; 𝑞_𝐼(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝑛+1≡ ℤ^𝐼 jest pierwiastkiem funkcjonału 𝑞_𝐼∶ ℤ𝑛+1→ ℤ. Rozważmy 𝑚 ⩽ 𝑛 elementowy podzbiór częściowo uporządkowany 𝐽 ∶= supp 𝑣 ⊆ 𝐼, gdzie supp 𝑣 ∶= {𝑖 ∈ 𝐼; 𝑣_𝑖 ≠ 0}. Wprost z definicji wynika, że 𝑣(𝐽) ∶= 𝑣|_{supp 𝑣}∈ ℤ^𝐽≡ ℤ^𝑚jest pierwiastkiem wiernym funkcjonału 𝑞_𝐽∶ ℤ^𝐽→ ℤ. W konsekwencji 𝐽 jest spójny (lemat3.28) i dodatni (jako podzbiór dodatniego 𝐼, patrz fakt3.27(a)). W zależności od typu Coxetera-Dynkina Dyn_𝐼∈ {A_𝑛+1, D_𝑛+1, E₆, E₇, E₈}możliwe są następujące przypadki.

1) Dyn_𝐼= A_𝑛+1. Wtedy 𝐼 ≃_𝑝𝔸^∗_𝑛(twierdzenie3.17(g)) i stąd, jak pokazuje prosta analiza możliwych spójnych podzbiorów częściowo uporządkowanych 𝐽 ⊆ 𝐼, zachodzi 𝐽 ≃

𝑝′𝔸^∗_𝑚−1. W konsekwencji RmaxA_𝑛+1= Rmaxsinc∗

A_𝑚= 1na podstawie lematu3.32(g). 2) Dyn_𝐼= D_𝑛+1. Wtedy 𝐼 ∈ {𝔻∗

𝑛,̂𝔻∗

𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝,_𝑠𝔻∗

𝑝⋄ 𝔸_𝑛−𝑝}(twierdzenie3.17(g)). Analiza możliwych spójnych podzbiorów 𝐽 ⊆ 𝐼 pokazuje, że 𝐽 ∈ {_𝑝′𝔸^∗_𝑛′, 𝔻^∗_𝑛′,̂𝔻^∗_𝑝′⋄ 𝔸_𝑛′−𝑝′,

𝑠′𝔻^∗_𝑝′⋄ 𝔸_𝑛′−𝑝′, ̂𝔸_𝑝′⋄ 𝔸_𝑛′−𝑝′,̂𝔻^∗_𝑛′}, gdzie 𝑛′∶= 𝑚 − 1(patrz tabela3.29). Ponieważ 𝐽 jest dodatni i wierny, to z lematu3.30otrzymujemy |𝐽| ⩽ 5 i stąd oraz z lematu3.33wynika, że

RmaxD_𝑛+1=max{Rmax₈sinc_A

𝑚, Rmax₈sinc_D

72 Geometrie oczkowe pierwiastków

3) Dyn_𝐼= E₈. Ponieważ |𝐽| = 𝑚 ⩽ 8, to możliwym typem Coxetera-Dynkina 𝐽 jest Dyn_𝐽∈ {A_𝑚, D_𝑚, E₆, E₇, E₈}. Stąd, oraz z lematu3.33, otrzymujemy:

RmaxE₈=max{Rmax₈sinc_A

𝑚, Rmax₈sinc_D 𝑚, Rmax₈sinc_E 6, Rmax₈sinc_E 7, Rmax₈sinc_E 8} =max{1, 2, 3, 4, 6} = 6. 4) Dyn_𝐼∈ {E₇, E₆}. Rozumując analogicznie jak w przypadku 3) otrzymujemy:

RmaxE₇ =max{Rmax₈sinc_A

𝑚, Rmax₈sinc_D

𝑚, Rmax₈sinc_E

6, Rmax₈sinc_E 7} = =max{1, 2, 3, 4} = 4,

RmaxE₆ =max{Rmax₈sinc_A

𝑚, Rmax₈sinc_D

𝑚, Rmax₈sinc_E

6} =max{1, 2, 3} = 3.

W dokumencie Obliczenia symboliczne i algorytmy kombinatoryczne w spektralnej klasyfikacji skończonych zbiorów częściowo uporządkowanych (Stron 71-78)