Serie jednopikowe

Głównym celem niniejszego podrozdziału jest przedstawienie wyników analogicznych do zawartych w twierdzeniach3.17oraz 4.26, dla przypadku jednopikowych zbiorów częściowo uporządkowanych korangi dwa. W szczególności pokazujemy, że jeśli 𝐼 jest 𝑛-elementowym jednopikowym porządkiem korangi dwa, gdzie 𝑛 ⩽ 15, to:

• 𝐼 jest kwadratowo ℤ-równoważny z jednym z rozszerzonych diagramów Euklidesa korangi dwa 𝐷≈

∈ {𝔻^≈2 𝑛−2, 𝔼^≈2

6, 𝔼^≈2 7, 𝔼^≈2

8}przedstawionych w tabeli5.3. Ponadto: ⋄ jeśli 𝐼 ∼_ℤ 𝐷^≈2

𝑛−2, to 𝐼 jest izomorficzny z jednym z czternastu typów 𝕯≈(1)

𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈(2) 𝑚,𝑠, 𝕯^≈(3)_{𝑚,𝑠,𝑝}, 𝕯≈(4) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(5) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(6) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈(7) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(8) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟, 𝕯≈(9) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟, 𝕯≈(10) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(11) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯^≈(12)_{𝑚,𝑠,𝑝}, 𝕯≈ (13) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (14)

𝑚,𝑠,𝑝,𝑟porządków przedstawionych w tabeli5.43; ⋄ jeśli 𝐼 ∼_ℤ𝐷^≈, gdzie 𝐷≈

∈ {𝔼^≈2 6, 𝔼^≈2

7, 𝔼^≈2

8}, to 𝐼 jest izomorficzny z jednym 426 jedno-pikowych porządków 𝐼 typu 𝐷≈

𝐼 ∈ {𝔼^≈I₆, 𝔼^≈I₇, 𝔼^≈I₈}.

• 𝐼 nie jest kwadratowo ℤ-równoważny z rozszerzonym diagramem Euklidesa korangi dwa 𝔸≈

2 𝑛−1.

• 𝐼 nie jest dwuliniowo ℤ-równoważny z rozszerzonym diagramem Euklidesa korangi dwa 𝐷≈

∈ {𝔸^≈2_𝑛−1, 𝔻^≈2_𝑛−2, 𝔼^≈2₆, 𝔼^≈2₇, 𝔼^≈2₈}.

Na zakończenie podrozdziału przedstawiamy dowód twierdzenia5.5, pokazującego, że spójne porządki korangi dwa, z dokładnością do relacji ∼_ℤ, można sklasyfikować przy pomocy porządków Euklidesa korangi dwa 𝔸≈

I_𝑚−2, 𝔻^≈I_𝑚−2, 𝔼^≈I₆, 𝔼^≈I₇, 𝔼^≈I₈(tabela5.4).

Tabela 5.43. Jednopikowe porządki korangi dwa

𝕯^≈(1)_{𝑚,𝑠,𝑝} ∶1 𝑠 𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3 𝑠+4 𝑠+5 𝑠+6 𝑝 _𝑚+2 𝑝−1 𝑠+7 𝕯^≈(8)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟}∶ ^𝑠 𝑠+1 𝑠+2 𝑝+1 𝑝+2 𝑝+3 _𝑚+2 𝑟−1 𝑞+3 1 ^𝑞+1 𝑟 𝑞+2 𝑞 𝑠+3 ^𝑝 0⩽𝑠⩽𝑝−7⩽𝑚−5; 𝑚⩾5 0⩽𝑠⩽𝑝−3⩽𝑞−6⩽𝑟−9⩽𝑚−7; 𝑚⩾7 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑠+3+𝑒_𝑠+4 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑝+1+𝑒_𝑝+2 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑠+5+𝑒_𝑠+6 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑞+1+𝑒_𝑞+2 𝕯^≈(2)_𝑚,𝑠 ∶ 𝑠 𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3 𝑠+4 𝑠+6 𝑚+1 𝑠+5 𝑚+2 1 𝕯^≈(9)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟}∶ ^𝑝 𝑝+1 𝑝+2 𝑠+3 𝑞+1 𝑞+2 𝑞+3 𝑠 𝑠+1 𝑠+2 1 𝑟 𝑟−1 𝑚+2 𝑚+1 𝑝+3 𝑞 0⩽𝑠⩽𝑚−5; 𝑚⩾5 0⩽𝑠⩽𝑝−2⩽𝑞−5⩽𝑟−8⩽𝑚−6; 𝑚⩾6 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑠+3+𝑒_𝑠+4 h₁=−𝑒_𝑝+1−𝑒_𝑝+2+𝑒_𝑞+1+𝑒_𝑞+2 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2−𝑒_𝑠+5+𝑒_𝑚+1+𝑒_𝑚+2 h₂=−𝑒_𝑝+1−𝑒_𝑝+2−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+2⋅𝑒_𝑚+2

Serie jednopikowe 167 𝕯^≈(3)_{𝑚,𝑠,𝑝} ∶ 𝑠 𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3 𝑠+4 𝑠+5 𝑚+1 1 𝑚+2 𝑝+1 𝑝 𝕯^≈(10)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑟} ∶¹ 𝑝+3 𝑚+2 𝑟−1 𝑠^𝑠+1_𝑠+2 𝑝+1 𝑝+2 𝑟 𝑠+3 𝑝 2⩽𝑝⩽𝑠⩽𝑚−4; 𝑚⩾6 1⩽𝑠⩽𝑝−3⩽𝑟−7⩽𝑚−5; 𝑚⩾6 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑠+3+𝑒_𝑠+4 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑝+1+𝑒_𝑝+2 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2−𝑒₁+𝑒_𝑚+1+𝑒_𝑚+2 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2−𝑒_𝑟−1+𝑒₁+𝑒_𝑚+2 𝕯^≈(4)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑟}∶ ^𝑝 𝑝+1 𝑝+2 𝑝+3 𝑝+4 𝑟 𝑚+2 𝑟−1 𝑝+5 𝑠+3 𝑠+1 𝑠+2 𝑠 1 𝕯^≈(11)_{𝑚,𝑠,𝑝} ∶ 𝑝+1 𝑝+2 𝑝+3 1 𝑚+2 𝑠 _𝑚+1 𝑠+1 𝑝 _𝑚 0⩽𝑠⩽𝑝−3⩽𝑟−8⩽𝑚−6; 𝑚⩾6 1⩽𝑠⩽𝑝−1⩽𝑚−4; 𝑚⩾5 h1=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑝+1+𝑒_𝑝+2 h1=−𝑒₁−𝑒_𝑠+1+𝑒_𝑚+𝑒_𝑚+1 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑝+3+𝑒_𝑝+4 h₂=−𝑒₁−𝑒_𝑝+1−𝑒_𝑝+2+𝑒_𝑚+𝑒_𝑚+2 𝕯^≈(5)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑟}∶ 𝑠 𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3 𝑠+4 𝑠+5 𝑚+2 𝑟−1 𝑝+3 1 𝑟 𝑝+1 𝑝+2 𝑝 𝕯^≈(12)_{𝑚,𝑠,𝑝} ∶ ^𝑠 𝑠+1 𝑠+2 1 _𝑠+^𝑠₄⁺³𝑝+1 𝑠+5 𝑚+2 𝑝 0⩽𝑠⩽𝑝−5⩽𝑟−8⩽𝑚−6; 𝑚⩾6 1⩽𝑠⩽𝑝−5⩽𝑚−4; 𝑚⩾5 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑠+3+𝑒_𝑠+4 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑠+3+𝑒_𝑠+4 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑝+1+𝑒_𝑝+2 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2−𝑒_𝑝+𝑒₁+𝑒_𝑚+2 𝕯^≈(6)_{𝑚,𝑠,𝑝} ∶ ^𝑠+𝑠¹ 𝑠+2 𝑝+1 𝑝+2 𝑝+4 1 𝑠+3 𝑝 𝑚+1 𝑝+3 𝑚+2 𝕯^≈(13)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑟} ∶ 𝑠+1 𝑠+2 ^𝑟+1 𝑝 𝑝+1 𝑝+2 𝑠+3 𝑝+3 𝑚+2 𝑟 1 𝑠 0⩽𝑠⩽𝑝−3⩽𝑚−6; 𝑚⩾6 1⩽𝑠⩽𝑝−2⩽𝑟−5⩽𝑚−4; 𝑚⩾5 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑝+1+𝑒_𝑝+2 h₁=−𝑒_𝑝+1−𝑒_𝑝+2−2⋅𝑒₁+𝑒_𝑠+1+𝑒_𝑠+2+2⋅𝑒_𝑟 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2−𝑒_𝑝+3+𝑒_𝑚+1+𝑒_𝑚+2 h₂=−𝑒_𝑝+1−𝑒_𝑝+2−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+2⋅𝑒_𝑚+2 𝕯^≈(7)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑟}∶ ^𝑠+𝑠¹ 𝑠+2 𝑟+1 𝑟+2 𝑟+3 𝑝+1 _𝑠+3 𝑟 𝑚+1 1 𝑝𝑚+2 𝕯^≈(14)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑟} ∶ ^𝑝 𝑝+1 𝑝+2 𝑠+3 𝑝+3 𝑝+4 𝑝+5 𝑠 𝑠+1 𝑠+2 1 𝑟 𝑟−1 𝑚+2 𝑚+1 2⩽𝑝⩽𝑠⩽𝑟−3⩽𝑚−5; 𝑚⩾7 0⩽𝑠⩽𝑝−2⩽𝑟−7⩽𝑚−5; 𝑚⩾5 h₁=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+𝑒_𝑟+1+𝑒_𝑟+2 h₁=−𝑒_𝑝+1−𝑒_𝑝+2+𝑒_𝑝+3+𝑒_𝑝+4 h₂=−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2−𝑒₁+𝑒_𝑚+1+𝑒_𝑚+2 h₂=−𝑒_𝑝+1−𝑒_𝑝+2−𝑒_𝑠+1−𝑒_𝑠+2+2⋅𝑒_𝑚+2 Lemat 5.44. Jeśli 𝐼 ∈ {𝕯≈ (1) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (2) 𝑚,𝑠, 𝕯≈ (3) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (4) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (5) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (6) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (7) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (8) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟, 𝕯^≈(9)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟}, 𝕯≈ (10) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (11) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (12) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (13) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (14)

𝑚,𝑠,𝑝,𝑟}jest jednym z czternastu zbiorów częścio-wo uporządkowanych przedstawionych w tabeli5.43, to:

(a) 𝐼 jest porządkiem korangi dwa, którego jądro Ker 𝑞_𝐼= ℤ ⋅ h₁⊕ ℤ ⋅ h₂⊆ ℤ^𝑚+2generowane jest przez wektory h₁, h₂∈ ℤ^𝑚+2przedstawione w tabeli5.43,

(b) 𝐼 jest kwadratowo ℤ-równoważny z rozszerzonym diagramem Euklidesa korangi dwa 𝔻≈ 2 𝑚,

(c) Dyn_𝐼= D_𝑚oraz 𝐷≈

168 Serie jednopikowe

Dowód. Dowód przedstawimy dla zbioru częściowo uporządkowanego 𝐼 ∶= 𝕯≈ (1) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝐶_𝐼= [𝑐_𝑖𝑗] = 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0

1

1

0

1 𝑠 𝑠+3 𝑠+5 𝑠+7 𝑝 𝑚+2 𝑖 𝑖′ 1 𝑠 𝑠+3 𝑠+5 𝑠+7 𝑝 𝑚+2 𝑖 𝑖′ ∈ 𝕄_𝑚+2(ℤ).

Pozostałe przypadki dowodzi się analogicznie.

(a) W dowodzie używamy opisu struktury spójnych zbiorów częściowo uporządkowa-nych korangi dwa przestawionej w twierdzeniu5.33.

Rozważmy 𝑚-elementowy zbiór częściowo uporządkowany 𝐽 ∶= 𝐼 ∖ {𝑠 + 3, 𝑠 + 5} = 𝐼^{(𝑠+3,𝑠+5)}⊆ 𝐼oraz wektory 𝑟₁∶= h^{(𝑠+3,𝑠+5)}₁ = −𝑒_𝑠+1− 𝑒_𝑠+2+ 𝑒_𝑠+4∈ ℤ^𝑚i 𝑟₂∶= h^{(𝑠+3,𝑠+5)}₂ = −𝑒_𝑠+1− 𝑒_𝑠+2+ 𝑒_𝑠+6 ∈ ℤ^𝑚. Zauważmy, że H(𝐽) ∶ 1 𝑠 𝑠+1 𝑠+2 𝑠+3 𝑠+4 𝑠+5 𝑠+6 𝑝 _𝑚+2 𝑝−1 𝑠+7 ≃ 1 𝑠′ 𝑠′+1 𝑠′+2 𝑠′+3 𝑚 𝑚−1 𝑝′+1 𝑝′ ∶ H(_𝑠′𝔻^∗_𝑝′ ⋄ 𝔸_𝑚−𝑝′),

gdzie 𝑠′∶= 𝑠oraz 𝑝′ ∶= 𝑚 − 𝑝 + 𝑠 + 6. Stąd, w świetle twierdzenia3.17, 𝐽 jest porządkiem dodatnim. Przypomnijmy, że kołczan Hasse H(𝐽) (fakt 1.38(a)) jednoznacznie koduje macierz incydencji 𝐶_𝐽 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ)(fakt1.38(b)), a stąd również funkcjonał kwadratowy 𝑞_𝐽∶ ℤ^𝑚→ ℤ(1.40) zdefiniowany wzorem 𝑞_𝐽(𝑥) ∶= 𝑥 ⋅ 𝐶_𝐼⋅ 𝑥^𝑡𝑟. Dlatego, na podstawie kształtu kołczanu H(𝐽), łatwo obliczyć wartość funkcjonału 𝑞_𝐽∶ ℤ^𝑚→ ℤna wektorach 𝑟₁, 𝑟₂∈ ℤ^𝑚, tj. 𝑞_𝐽(𝑟₁) = 𝑞_𝐽(𝑟₂) = 12+ 12+ 12− 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 = 1i stąd 𝑟₁, 𝑟₂∈ R_𝐽⊆ ℤ𝑚.

Łatwo sprawdzić, że prawdziwe są równości: 𝑐_𝑠𝑡= 𝑟₁⋅ ̂𝐶_𝐽⋅ 𝑟𝑡𝑟

2 = 1oraz [𝑐_1𝑖, … , 𝑐_𝑠+2𝑖, 𝑐_𝑖𝑠+4, 𝑐_𝑖𝑠+6, 𝑐_𝑖𝑠+7, … , 𝑐_𝑖𝑝−1, 𝑐_𝑖𝑝, … , 𝑐_𝑖𝑚+1, 𝑐_𝑖𝑚+2] = −𝑟₁⋅ ̂𝐶_𝐽= =[ 1 , … , 1 , 0 , 1 , 0 , … , 0 , 1 , … , 1 , 1 ], [𝑐_1𝑖′, … , 𝑐_𝑠+2𝑖′, 𝑐_𝑠+4𝑖′, 𝑐_𝑖′𝑠+6, 𝑐_𝑖′𝑠+7, … , 𝑐_𝑖′𝑝−1, 𝑐_𝑖′𝑝, … , 𝑐_𝑖′𝑚+1, 𝑐_𝑖′𝑚+2] = −𝑟₂⋅ ̂𝐶_𝐽= =[ 1 , … , 1 , 1 , 0 , 0 , … , 0 , 1 , … , 1 , 1 ], gdzie 𝑖 ∶= 𝑠 + 3, 𝑖′ ∶= 𝑠 + 5, 𝐶_𝐽∶= 𝐶^{(𝑠+3,𝑠+5)}_𝐼 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ)oraz ̂𝐶_𝐽∶= 𝐶_𝐽+ 𝐶^𝑡𝑟_𝐽 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ). Stąd, na podstawie twierdzenia5.33, 𝐼 jest zbiorem częściowo uporządkowanym korangi dwa a wektory h₁, h₂∈ 𝕄_𝑚+2(ℤ)są (𝑖, 𝑖′)-specjalną ℤ-bazą jądra Ker 𝑞_𝐼⊆ ℤ𝑚+2.

(c) Na podstawie dowodu stwierdzenia (a) wiemy, że 𝐼(𝑠+3,𝑠+5)≃_𝑠′𝔻^∗_𝑝′⋄ 𝔸_𝑚−𝑝′ a wek-tory h₁, h₂∈ ℤ^𝑚+2stanowią (𝑠+3, 𝑠+5)-specjalną ℤ-bazę jądra Ker 𝑞_𝐼⊆ ℤ^𝑚+2. Z definicji typu Dynkina porządku korangi dwa (definicja5.12), twierdzenia3.17(g)oraz lematu5.14

wynika, że Dyn_𝐼= Dyn_𝐼(𝑠+3,𝑠+5) = Dyn 𝑠′𝔻∗

𝑝′⋄𝔸_{𝑚−𝑝′} = D_𝑚. oraz 𝐷≈

𝐼 = 𝔻^≈I_𝑚. (b) Ponieważ 𝐷≈

𝐼 = 𝔻^≈I_𝑚na podstawie stwierdzenia (c), teza jest konsekwencją definicji typu Euklidesa porządku korangi dwa (definicja5.13).

Pokażemy, że analogicznie jak w przypadku skończonych jednopikowych porządków głównych (patrz twierdzenie4.26(a)), w przypadku skończonych jednopikowych porząd-ków 𝐼 korangi dwa Dyn_𝐼≠ A_|𝐼|−2.

Serie jednopikowe 169

Twierdzenie 5.45. Jeśli 𝐼 jest 𝑚 + 2 elementowym jednopikowym zbiorem częściowo

uporząd-kowanym korangi dwa, to Dyn_𝐼≠ A_𝑚.

Dowód. Niech 𝐼 = ({1, … , 𝑚 + 2}, ⪯_𝐼)będzie jednopikowym zbiorem częściowo upo-rządkowanym korangi dwa, którego jedynym elementem maksymalnym jest 𝑚 + 2. Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy założyć, że macierz incydencji 𝐶_𝐼∈ 𝕄_𝑚+2(ℤ) (fakt1.38(b)) porządku 𝐼 jest górnotrójkątna, patrz uwaga1.45i stąd 𝐼 możemy utożsamiać z bigrafem 𝛥_𝐼(1.41), gdzie ̌𝐺_𝛥𝐼∶= 𝐶_𝐼∈ 𝕄_𝑚+2(ℤ).

Załóżmy, przez sprzeczność, że Dyn_𝐼= A_𝑚. Na podstawie wniosku5.9(a)wiemy, że istnieją wektory h_𝐼, h^′_𝐼∈Ker 𝑞_𝐼⊆ ℤ^𝑚+2stanowiące (𝑖, 𝑖′)-specjalną ℤ-bazę jądra Ker 𝑞_𝐼⊆ ℤ𝑚+2, gdzie 1 ⩽ 𝑖 < 𝑖′ ⩽ 𝑚 + 2. Z lematu5.10(a), zastosowanego do bigrafu 𝛥_𝐼, wynika, że 𝐼(𝑖) ∶= 𝐼 ∖ {𝑖} ⊆ 𝐼jest jednopikowym porządkiem głównym typu Dyn_𝐼(𝑖) = A_𝑚, co jest sprzeczne z twierdzeniem4.26(a).

Uwaga 5.46. Wyniki eksperymentalne sugerują, że prawdziwe jest silniejsze

twierdze-nie: jeśli 𝐼 jest 𝑚 + 2 elementowym zbiorem częściowo uporządkowanym korangi dwa, to

Dyn_𝐼≠ A_𝑚. Dowód w przypadku porządków 𝐼 wielkości |𝐼| ⩽ 15 można przeprowadzić obliczeniowo (patrz tabela5.24), natomiast przypadek |𝐼| > 15 pozostaje otwartym pro-blemem. Jednym z możliwych sposobów na jego rozwiązanie jest przygotowanie opisu wszystkich (wielopikowych) porządków głównych 𝐽 typu Dyn_𝐽= A_|𝐽|−1i przeprowadze-nie rozumowania analogicznego do użytego w dowodzie twierdzenia4.26.

Przypomnijmy, że w przypadku jednopikowych dodatnich 𝑛-elementowych zbiorów częściowo uporządkowanych 𝐼, kwadratowa ℤ-równoważność 𝐼 ∼_ℤ 𝐷, gdzie 𝐷 ∈ {𝔸_𝑛, 𝔻_𝑛, 𝔼₆, 𝔼₇, 𝔼₈} (tabelaB.17), implikuje dwuliniową ℤ-równoważność 𝐼 ≈_ℤ 𝐷𝐼, patrz twierdzenie3.17. Podobnie, w przypadku głównych 𝑛-elementowych jednopikowych porządków 𝐼, kwadratowa ℤ-równoważność 𝐼 ∼_ℤ 𝐷^∼, gdzie 𝐷^∼ ∈ {𝔸^∼_𝑛, 𝔻^∼_𝑛, 𝔼^∼₆, 𝔼^∼₇, 𝔼^∼₈} (tabela 4.4), implikuje dwuliniową ℤ-równoważność 𝐼 ≈_ℤ 𝐷^∼, patrz twierdzenie 4.24. Lemat5.48dowodzi, że taka implikacja nie zachodzi w przypadku jednopikowych zbiorów częściowo uporządkowanych korangi dwa.

Tabela 5.47. Bigrafy korangi dwa dwuliniowo ℤ-równoważne z jednopi-kowymi zbiorami częściowo uporządkowanymi korangi dwa

𝒫𝔼^≈2 6∶ 1 2 3 4 5 6 7 8 𝒫𝔼^≈2 7∶ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝒫𝔼^≈2 8∶ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝒫𝔻^≈2 5∶ 1 2 3 4 5 6 7 𝒫𝔻^≈2 𝑚∶ 1 2 3 4 5 6 𝑚−1 𝑚 𝑚+1 𝑚+2 (𝑚 > 5);

Lemat 5.48. Załóżmy, że 𝐼 jest jednopikowym zbiorem częściowo uporządkowanym korangi

dwa, złożonym z co najwyżej 𝑚 + 2 = |𝐼| ⩽ 15 elementów.

(a) 𝐼 ≉_ℤ 𝔸^≈2 𝑚.

(b) Jeśli 𝐷≈

𝐼 = 𝔻^≈I_𝑚, to:

• 𝐼 jest jednym z 4224 porządków (z dokładnością do izomorfizmu), które należą do 14 serii przedstawionych w tabeli5.43,

𝐷^≈𝐼 𝔻^≈I₅ 𝔻^≈I₆ 𝔻^≈I₇ 𝔻^≈I₈ 𝔻^≈I₉ 𝔻^≈I₁₀ 𝔻^≈I₁₁ 𝔻^≈I₁₂ 𝔻^≈I₁₃

170 Serie jednopikowe

• cox_𝐼(𝑡) = 𝑡^𝑚+2+𝑡^𝑚+1−2𝑡^𝑚−2𝑡^𝑚−1+𝑡^𝑚−2+𝑡^𝑚−3+𝑡⁵+𝑡⁴−2𝑡³−2𝑡²+𝑡+1 ∈ ℤ[𝑡], • 𝐼 ≉_ℤ 𝔻^≈2

𝑚oraz 𝐼 ≈_ℤ 𝒫𝐷^≈, gdzie 𝒫𝐷≈

∶= 𝒫𝔻^≈2

𝑚jest grafem krawędziowo-dwudzielnym, który przedstawiono w tabeli5.47.

(c) Jeśli 𝐷≈

𝐼 = 𝔼^≈I₆, to:

• 𝐼 jest izomorficzny z jednym z 18 porządków zwartych w [43] i przedstawionych w ta-beli5.49,

• cox_𝐼(𝑡) = 𝑡8+ 𝑡7+ 𝑡6− 2𝑡5− 2𝑡4− 2𝑡3+ 𝑡2+ 𝑡 + 1 ∈ ℤ[𝑡], • 𝐼 ≉_ℤ 𝔼^≈2₆oraz 𝐼 ≈_ℤ 𝒫𝐷^≈, gdzie 𝒫𝐷≈

∶= 𝒫𝔼^≈2₆jest grafem krawędziowo-dwudzielnym, który przedstawiono w tabeli5.47.

(d) Jeśli 𝐷≈

𝐼 = 𝔼^≈I₇, to:

• z dokładnością do izomorfizmu, 𝐼 jest jednym z 79 porządków zwartych w [43], • cox_𝐼(𝑡) = 𝑡⁹+ 𝑡⁸− 2𝑡⁵− 2𝑡⁴+ 𝑡 + 1 ∈ ℤ[𝑡],

• 𝐼 ≉_ℤ 𝔼^≈2₇oraz 𝐼 ≈_ℤ 𝒫𝐷^≈, gdzie 𝒫𝐷≈

∶= 𝒫𝔼^≈2₇jest grafem krawędziowo-dwudzielnym, który przedstawiono w tabeli5.47.

(e) Jeśli 𝐷≈

𝐼 = 𝔼^≈I₈, to:

• z dokładnością do izomorfizmu, 𝐼 jest jednym z 329 porządków zwartych w [43], • cox_𝐼(𝑡) = 𝑡¹⁰+ 𝑡⁹− 𝑡⁷− 𝑡⁶− 𝑡⁴− 𝑡³+ 𝑡 + 1 ∈ ℤ[𝑡],

• 𝐼 ≉_ℤ 𝔼^≈2

8oraz 𝐼 ≈_ℤ 𝒫𝐷^≈, gdzie 𝒫𝐷≈

∶= 𝒫𝔼^≈2

8jest grafem krawędziowo-dwudzielnym, który przedstawiono w tabeli5.47.

Tabela 5.49. Jednopikowe porządki korangi dwa typu Dynkina E₆

𝒫²₁∗ 𝒫²₂∗ 𝒫²₃∗ 𝒫²₄ ∗ 𝒫₅² ∗ 𝒫²₆∗ 𝒫²₇∗ 𝒫²₈∗ 𝒫²₉ ∗

𝒫_{10 ∗} 𝒫_{11 ∗} 𝒫_{12 ∗} 𝒫_{13∗ 𝒫14 ∗} 𝒫_{15 ∗} 𝒫_16∗ 𝒫_17∗ 𝒫²_{18 ∗}

Dowód. (a) Wynika z twierdzenia5.45oraz lematu5.14. Dowód stwierdzeń (b) oraz (c) ma charakter obliczeniowy.

Etap 1∘ Przy pomocy algorytmu4.28generujemy górnotrójkątne macierze incydencji 𝐶_𝐼∈ 𝕄_𝐼(ℤ)wszystkich (z dokładnością do izomorfizmu) zbiorów częściowo uporząd-kowanych 𝐼 korangi dwa wielkości |𝐼| ⩽ 15. Jest ich dokładnie 1 198 672.

Etap 2∘ Wybieramy macierze incydencji porządków jednopikowych (tj. macierze 𝐶_𝐼∈ 𝕄_𝐼(ℤ), których ostatnia kolumna składa się z samych jedynek). Jest ich dokładnie 4 650, por. tabela4.33.

Serie jednopikowe 171

Etap 3∘ Przy pomocy algorytmu5.22i standardowych obliczeń algebry komputerowej dzielimy uzyskany zbiór według typów Dynkina Dyn_𝐼∈ {A_|𝐼|−2, D_|𝐼|−2, E₆, E₇, E₈}oraz wielomianów Coxetera cox_𝐼(𝑡) ∈ ℤ[𝑡].

Tabela 5.50. Liczba jednopikowych porządków 𝐼 korangi dwa wielkości |𝐼| ⩽ 15pogrupowanych względem typu Coxetera-Dynkina

𝑛 Dyn_𝐼cox_𝐼(𝑡) #𝐼 𝑛 Dyn_𝐼 cox_𝐼(𝑡) #𝐼

7 D₅ 𝑡7+𝑡6−𝑡5−𝑡4−𝑡3−𝑡2+𝑡+1 6 10 E₈ 𝑡10+𝑡9−𝑡7−𝑡6−𝑡4−𝑡3+𝑡+1 329 8 D₆ 𝑡8+𝑡7−2𝑡6−𝑡5+2𝑡4−𝑡3−2𝑡2+𝑡+1 25 11 D₉ 𝑡11+𝑡10−2𝑡9−2𝑡8+𝑡7+𝑡6+𝑡5+𝑡4−2𝑡3−2𝑡2+𝑡+1 260 8 E₆ 𝑡8+𝑡7+𝑡6−2𝑡5−2𝑡4−2𝑡3+𝑡2+𝑡+1 18 12 D₁₀ 𝑡12+𝑡11−2𝑡10−2𝑡9+𝑡8+𝑡7+𝑡5+𝑡4−2𝑡3−2𝑡2+𝑡+1 441 9 D₇ 𝑡9+𝑡8−2𝑡7−2𝑡6+2𝑡5+2𝑡4−2𝑡3−2𝑡2+𝑡+1 66 13 D₁₁ 𝑡13+𝑡12−2𝑡11−2𝑡10+𝑡9+𝑡8+𝑡5+𝑡4−2𝑡3−2𝑡2+𝑡+1 700 9 E₇ 𝑡9+𝑡8−2𝑡5−2𝑡4+𝑡+1 79 14 D₁₂ 𝑡14+𝑡13−2𝑡12−2𝑡11+𝑡10+𝑡9+𝑡5+𝑡4−2𝑡3−2𝑡2+𝑡+1 1056 10 D₈ 𝑡10+𝑡9−2𝑡8−2𝑡7+𝑡6+2𝑡5+𝑡4−2𝑡3−2𝑡2+𝑡+1 140 15 D₁₃ 𝑡15+𝑡14−2𝑡13−2𝑡12+𝑡11+𝑡10+𝑡5+𝑡4−2𝑡3−2𝑡2+𝑡+1 1530

Stąd, na podstawie lematu5.14oraz definicji5.13, 𝐼 ∼_ℤ 𝐷^≈, dla 𝐷≈

∈ {𝔻^≈2_|𝐼|−2, 𝔼^≈2₆, 𝔼^≈2₇, 𝔼^≈2₈} gdzie 𝐷≈

𝐼 ∈ {𝔻^≈I_|𝐼|−2, 𝔼^≈I₆, 𝔼^≈I₇, 𝔼^≈I₈}, odpowiednio. Ponadto: • pokazujemy, że 𝐼 ≉_ℤ𝐷^≈, ponieważ

𝐼 ≈_ℤ 𝐷^≈ ⇒ cox_𝐼(𝑡) =cox_𝐷≈(𝑡), patrz fakt1.55(c), natomiast

cox_𝔻≈2 𝑚(𝑡) =𝑡𝑚+2− 𝑡𝑚+1− 𝑡𝑚+ 𝑡𝑚−1+ 𝑡3− 𝑡2− 𝑡 + 1, cox_𝔼≈2 6(𝑡) =𝑡8− 𝑡7− 𝑡6+ 2𝑡4− 𝑡2− 𝑡 + 1, cox_𝔼≈2 7(𝑡) =𝑡9− 𝑡8− 𝑡7+ 𝑡5+ 𝑡4− 𝑡2− 𝑡 + 1, cox_𝔼≈2 8(𝑡) =𝑡10− 𝑡9− 𝑡8+ 𝑡6+ 𝑡4− 𝑡2− 𝑡 + 1, patrz [55, Proposition 2.2];

• pokazujemy, że każdy 𝐼 spełniający Dyn_𝐼 = D_|𝐼|−2 jest izomorficzny z jednym z 14 typów porządków jednopikowych przedstawionych w tabeli5.43,

• pokazujemy, że porządki 𝐼 typu Dyn_𝐼 ∈ {E₆, E₇, E₈}zawarte są w [43], w szcze-gólności, porządki 𝐼 typu Dyn_𝐼= E₆są izomorficzne z porządkami 𝒫2

1, … , 𝒫²₁₈, których kołczan Hasse przedstawiony jest w tabeli5.49.

Etap 4∘ Przy pomocy algorytmu4.44(oraz algorytmu5.28) pokazujemy, że 𝐼 ≈_ℤ 𝒫𝐷^≈, gdzie 𝒫𝐷≈

∈ {𝒫𝔻^≈2_|𝐼|−2, 𝔼^≈2₆, 𝔼^≈2₇, 𝔼^≈2₈}, jeśli Dyn_𝐼∈ {D_|𝐼|−2, E₆, E₇, E₈}, odpowiednio. To jest, stosując algorytm4.44do macierzy górnotrójkątnych 𝐶_𝐼∈ 𝕄_|𝐼|(ℤ) oraz ̌𝐺_𝒫𝐷≈ ∈ 𝕄_|𝐼|(ℤ) (por. uwaga 4.45(b)), obliczamy ℤ-odwracalną macierz 𝐵 ∈ Gl(|𝐼|, ℤ), która spełnia równość 𝐶_𝐼= 𝐵^𝑡𝑟⋅ ̌𝐺_𝒫𝐷≈⋅ 𝐵. Przykładowo, w przypadku nastę-pującego zbioru częściowo uporządkowanego 𝐼 korangi dwa typu Dyn_𝐼= E₆:

H(𝐼) ∶ 1 2 3 4 5 6 7 8, 𝐶_𝐼= 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐺^̌_𝒫𝔼≈ 2 6 = 1 ̂1 0 0 ̂1 1 0 1 0 1 0 ̂1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ̂1 0 0 0 0 0 0 0 1 ̂1 0 ̂1 0 0 0 0 0 1 ̂1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐵 = ̂ 1 ̂1 ̂1 ̂1 1 0 0 1 ̂ 1 ̂1 0 ̂1 1 0 0 1 ̂ 1 0 ̂1 ̂1 0 0 ̂1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 ̂1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .

172 Serie jednopikowe

Twierdzenie 5.51. Niech 𝐼 będzie |𝐼| = 𝑚 + 2 elementowym jednopikowym zbiorem częściowo

uporządkowanym korangi dwa, którego typem Euklidesa jest 𝐷≈

𝐼 ∈ {𝔻^≈I_𝑚, 𝔼^≈I₆, 𝔼^≈I₇, 𝔼^≈I₈}

(defini-cja5.13). Jeśli |𝐼| ⩽ 15, to: (a) 𝐼 ≉_ℤ 𝐷^≈, gdzie 𝐷≈ ∈ {𝔸^≈2 𝑚−2, 𝔻^≈2 𝑚−2, 𝔼^≈2 6, 𝔼^≈2 7, 𝔼^≈2 8}, (b) 𝐼 ≈_ℤ 𝒫𝐷^≈, gdzie 𝒫𝐷≈

∈ {𝒫𝔻^≈2_|𝐼|−2, 𝒫𝔼^≈2₆, 𝒫𝔼^≈2₇, 𝒫𝔼^≈2₈}jest grafem krawędziowo-dwudzielnym korangi dwa przedstawionym w tabeli5.47,

(c) 𝐼 ≈_ℤ 𝐷^≈𝐼, gdzie 𝐷≈

𝐼 ∈ {𝔻^≈I_𝑛, 𝔼^≈I₆, 𝔼^≈I₇, 𝔼^≈I₈}jest porządkiem Euklidesa korangi dwa przedsta-wionym w tabeli5.4,

(d) 𝐼 jest izomorficzny z jednym z czternastu typów porządków 𝕯≈ (1) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (2) 𝑚,𝑠, 𝕯≈ (3) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (4) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯^≈(5)_{𝑚,𝑠,𝑝,𝑟}, 𝕯≈ (6) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (7) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (8) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟, 𝕯≈ (9) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟, 𝕯≈ (10) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (11) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (12) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈ (13) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈ (14) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟 przedstawionych w tabeli 5.43(jeśli Dyn_𝐼 = D_𝑚) lub 𝐼 jest izomorficzny z jednym 426

jednopikowych porządków 𝐼 typu Dyn_𝐼∈ {E₆, E₇, E₈}.

Jeśli 𝐽 jest jednopikowym porządkiem korangi dwa, to następujące warunki są równoważne.

(e) 𝐼 ∼_ℤ 𝐽,

( f ) 𝐼 ≈_ℤ 𝐽,

(g) specc_𝐼= specc_𝐽,

(h) Dyn_𝐼= Dyn_𝐽(⇔ 𝐷≈

𝐼 = 𝐷^≈𝐽).

W szczególności, każdy 𝑚 + 2 = |𝐼| ⩽ 15 elementowy jednopikowy zbiór częściowo uporządko-wany 𝐼 korangi dwa, jest wyznaczony jednoznacznie, z dokładnością do dwuliniowej ℤ-równoważ-ności, przez:

• spektrum Coxetera specc_𝐼⊆ ℂ, • typ Dynkina Dyn_𝐼∈ {D_𝑚, E₆, E₇, E₈}.

Dowód. Stwierdzenia (a)–(d) oraz równoważność (e)⇔(f) są konsekwencją lematu5.48

oraz przechodniości relacji dwuliniowej ℤ-równoważności ≈_ℤ. (f)⇒(g) Wynika z faktu1.55(c).

(g)⇒(h) Jest konsekwencją lematu5.48, który pokazuje, iż spektrum Coxetera specc_𝐼⊆ ℂjednoznacznie wyznacza typ Dynkina Dyn_𝐼∈ {D_𝑚, E₆, E₇, E₈}jednopikowego porządku 𝐼korangi dwa wielkości |𝐼| ⩽ 15, por. tabela5.50.

(h)⇒(f) Wynika z (b) oraz przechodniości relacji dwuliniowej ℤ-równoważności ≈_ℤ: 𝐼 ≈^𝐵_ℤ^𝐼 𝐷^≈𝐼²_𝑚 = 𝐷^≈𝐽_𝑚² ≈^𝐵_ℤ^𝐽 𝐽

implikuje 𝐼 ^𝐵𝐽⋅𝐵_𝐼

≈_ℤ 𝐽.

Uwaga 5.52. Wyniki eksperymentalne przedstawione w lemacie5.48(patrz też tabe-la5.24) sugerują, że twierdzenie5.51ma ogólny charakter i jest prawdziwe dla wszystkich jednopikowych zbiorów częściowo uporządkowanych korangi dwa, por. twierdzenie4.24

oraz twierdzenie4.26. Jednym z możliwych sposobów na udowodnienie tej hipotezy jest zastosowanie rozumowania analogicznego do użytego w dowodzie twierdzenia4.26.

Serie jednopikowe 173

Etap 1∘ Pokazujemy, że 14 serii jednopikowych zbiorów częściowo uporządkowanych przedstawionych w tabeli5.43opisuje w pełni wszystkie porządki jednopikowe 𝐼 koran-gi dwa. Dowód tego faktu można przeprowadzić w oparciu o opis struktury spójnych porządków korangi dwa (twierdzenie5.33) oraz opis jednopikowych porządków do-datnich (twierdzenie3.17), analogicznie jak w dowodzie twierdzenia4.26.

Etap 2∘ Dowodzimy silniejszą wersję lematu5.44, tj. pokazujemy, że każdy 𝐼 ∈ {𝕯≈ (1) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯^≈(2)_𝑚,𝑠, 𝕯≈(3) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈(4) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(5) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(6) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯≈(7) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(8) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟, 𝕯≈(9) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑞,𝑟, 𝕯≈(10) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(11) 𝑚,𝑠,𝑝, 𝕯^≈(12)_{𝑚,𝑠,𝑝}, 𝕯≈(13) 𝑚,𝑠,𝑝,𝑟, 𝕯≈(14)

𝑚,𝑠,𝑝,𝑟}przedstawiony w tabeli5.43jest dwuliniowo ℤ-równoważ-ny z grafem krawędziowo-dwudzielℤ-równoważ-nym 𝒫𝔻≈

2

𝑚, który przedstawiono w tabeli5.43, np. wskazując jawnie macierze definiujące ℤ-równoważność, por. lemat 3.19 oraz lemat4.57.

Ze względu na złożoność oraz techniczny charakter proponowanych rozumowań, nie przedstawiamy omawianych dowodów w dysertacji.

Dowód twierdzenia5.5

Podrozdział kończymy dowodem twierdzenia 5.5, które analogicznie do twierdze-nia1.56oraz twierdzenia4.6, opisuje wszystkie, z dokładnością do relacji kwadratowej ℤ-równoważności ∼_ℤ, spójne porządki 𝐼 korangi dwa (definicja5.1(b)). Mówiąc precy-zyjniej, pokażemy że każdy spójny zbiór częściowo uporządkowany 𝐼 korangi dwa jest kwadratowo ℤ-równoważny z jednym z rozszerzonych diagramów Euklidesa korangi dwa 𝐷≈

∈ {𝔸^≈2_|𝐼|−2, 𝔻^≈2_|𝐼|−2, 𝔼^≈2₆, 𝔼^≈2₇, 𝔼^≈2₈} przedstawionych w tabeli 5.3. Ponadto pokażemy, że porządki 𝐼 korangi dwa, składające się z co najwyżej |𝐼| = 𝑛 ⩽ 15 elementów, z do-kładnością do relacji ∼_ℤklasyfikuje się przy pomocy porządków Euklidesa korangi dwa 𝐷

≈

𝐼 ∈ {𝔻^≈I_𝑛, 𝔼^≈I₆, 𝔼^≈I₇, 𝔼^≈I₈}, które przedstawione są w tabeli5.5.

Dowód twierdzenia5.5. Równoważność(a)⇔(b)wynika z faktu5.2. Aby udowodnić równoważność(c)⇔(e)wystarczy pokazać, że każdy 𝐷≈

𝐼 ∈ {𝔻^≈I_𝑚−2, 𝔼

≈

I₆, 𝔼^≈I₇, 𝔼^≈I₈}jest porządkiem korangi dwa, ponieważ w takim przypadku teza jest konse-kwencją lematu5.48, przechodniości relacji ≈_ℤoraz faktu, iż ≈_ℤ ⇒ ∼_ℤ(patrz fakt1.55(a)). Do wykazania, iż 𝐷≈

𝐼 ∈ {𝔻^≈I_𝑚−2, 𝔼^≈I₆, 𝔼^≈I₇, 𝔼^≈I₈}jest porządkiem korangi dwa wystarczy zastosować argumenty użyte w dowodzie lematu5.44(a), gdyż:

𝔼^≈I₆∶ 1 2 3 4 5 6 7 8 𝔼 ≈ I₇∶ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝔼^≈I₈∶ 1 2 ^{3 4 5} 6 7 8 9 10 h₁= 𝑒₁−𝑒₅−𝑒₆−𝑒₇+𝑒₈ h₁= 𝑒₁−𝑒₆−𝑒₇−𝑒₈+𝑒₉ h₁= 𝑒₁−𝑒₇−𝑒₈−𝑒₉+𝑒₁₀ h₂= 𝑒₂+𝑒₃+𝑒₄+𝑒₅+ h₂= 𝑒₂+𝑒₃+𝑒₄+𝑒₅+ h₂= 𝑒₂+𝑒₃+𝑒₄+𝑒₅+ +𝑒₆+𝑒₇−3⋅𝑒₈ +𝑒₆+2⋅𝑒₇+𝑒₈−4⋅𝑒₉ +2⋅𝑒₆+2⋅𝑒₇+3⋅𝑒₈+𝑒₉−6⋅𝑒₁₀ oraz 𝔻≈ I_𝑚= 𝕯^≈(1)_𝑚,0,7.

(b)⇔(c)Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy założyć, że macierz incydencji 𝐶_𝐼∈ 𝕄_𝑚(ℤ)stowarzyszona ze zbiorem częściowo uporządkowanym 𝐼 (fakt1.38(b)) jest górnotrójkątna, patrz uwaga1.45. Stąd porządek 𝐼 możemy utożsamiać z bigrafem 𝛥_𝐼(1.41), gdzie ̌𝐺_𝛥𝐼 ∶= 𝐶_𝐼∈ 𝕄_𝑚(ℤ), i teza wynika z twierdzenia5.11.

(d)⇒(a)Diagram 𝐷≈

𝐼 ∈ {𝔸^≈2_𝑚−2, 𝔻^≈2_𝑚−2, 𝔼^≈₆², 𝔼^≈2₇, 𝔼^≈2₈}jest bigrafem korangi dwa, którego jądro ma postać Ker 𝐷≈

𝐼 = ℤ ⋅ h

𝐷 ≈

𝐼⊕ ℤ ⋅ h′

𝐷^≈𝐼⊆ ℤ𝑚(patrz [55, Proposition 2.2] oraz dowód twierdzenia5.11). Zauważmy, że porządek 𝐼 jest nieujemny, ponieważ 𝑞_𝐼(𝑣) = 𝑞_𝐷≈

174 Serie jednopikowe 𝑞

𝐷 ≈

𝐼(ℎ⁻¹(𝑣)) ⩾ 0dla dowolnego 𝑣 ∈ ℤ𝑚. Ponadto, Ker 𝑞_𝐼= ℤ⋅ℎ⁻¹(h

𝐷^≈𝐼)⊕ℤ⋅ℎ⁻¹(h^′

𝐷 ≈

𝐼) ⊆ ℤ^𝑚, co pokazuje, że 𝐼 jest porządkiem korangi dwa.

(c)⇒(d)Z założenia istnieje macierz 𝐵 ∈ Gl(𝑚; ℤ) spełniająca równość 𝐺_𝐷≈

𝐼= 𝐵^𝑡𝑟⋅ 𝐺_𝐼⋅ 𝐵. Łatwo sprawdzić, że automorfizm ℎ∶ ℤ𝑚 → ℤ𝑚 zdefiniowany wzorem ℎ(𝑥) ∶= 𝑥 ⋅ 𝐵𝑡𝑟

spełnia równość 𝑞_𝐼∘ ℎ = 𝑞

Dodatek A

Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz

formy kwadratowe

Niniejszy dodatek zawiera podstawowe informacje na temat grafów krawędziowo-dwudzielnych (ang. edge-bipartite graphs) w sensie [111] oraz ich związku z jednolitymi funkcjonałami kwadratowymi (ang. unit quadratic forms). Przedstawimy najważniejsze twierdzenia oraz fakty używane w rozprawie. Dodatek został przygotowany na podstawie prac [8,81,97,111,113,119] oraz monografii [4,28,102].

Grafy oznakowane (ang. signed graphs) zostały zdefiniowane przez Harary’ego [64] (patrz też [126]) jako grafy posiadające jeden z dwóch rodzajów krawędzi: krawędzie do-datnie 𝐿+oraz ujemne 𝐿−. Innymi słowy, są to grafy, których krawędzie zostały pokoloro-wane dwoma kolorami. Grafy krawędziowo-dwudzielne (bigrafy) zostały wprowadzone w [111] jako klasa grafów oznakowanych, w której żąda się, aby dowolne dwa wierzchołki łączył tylko jeden rodzaj krawędzi.

Definicja A.1. [111, Definition 2.1] Grafem krawędziowo-dwudzielnym (w skrócie: bigrafem)

nazywamy parę 𝛥 = (𝛥₀, 𝛥₁), gdzie 𝛥₀= {1, … , 𝑚} ≠ ∅jest skończonym zbiorem wierzchołków, natomiast 𝛥₁= 𝛥⁺₁ ∪ 𝛥⁻₁ ⊆ {{𝑖, 𝑗}; 𝑖, 𝑗 ∈ 𝛥₀}jest multizbiorem krawędzi (w tym pętli) spełniają-cym warunek 𝛥+

1 ∩ 𝛥⁻₁ = ∅. Przez 𝛥₁(𝑖, 𝑗)oznaczamy multizbiór krawędzi łączących wierzchołki

𝑖oraz 𝑗. Ponadto:

(a) Bigraf 𝛥 = (𝛥₀, 𝛥⁺₁ ∪ 𝛥⁻₁), który nie zawiera pętli (tj. 𝛥₁(𝑖, 𝑖) = ∅dla dowolnego 𝑖 ∈ 𝛥₀)

oraz wielokrotnych krawędzi nazywamy prostym (jednorodnym).

(b) Dowolny bigraf 𝛥 = ({1, … , 𝑚}, 𝛥₁= 𝛥⁺₁ ∪ 𝛥−

1)przedstawiamy graficznie w przestrzeni euklidesowej zgodnie z następującą konwencją: elementy multizbiorów 𝛥−

1, 𝛥+

1 przedstawiamy w postaci krawędzi ciągłych 𝑖 𝑗 oraz przerywanych 𝑖 𝑗.

(c) Dowolny graf 𝛥′ = (𝛥₀, 𝛥₁)utożsamiamy z bigrafem 𝛥 = (𝛥₀, 𝛥₁), w którym 𝛥−

1 = 𝛥₁, tj. zbiór krawędzi przerywanych 𝛥+

1 jest pusty.

(d) Każdy bigraf 𝛥 = ({1, … , 𝑚}, 𝛥₁= 𝛥⁺₁∪ 𝛥−

1)bez pętli, kodujemy w postaci niesymetrycznej macierzy Grama ̌𝐺_𝛥 ∈ 𝕄_𝛥(ℤ) ≡ 𝕄_𝑚(ℤ), ̌ 𝐺_𝛥= 1 𝑑𝛥 12 𝑑𝛥 13 𝑑𝛥 1𝑚 1 𝑑𝛥 23 𝑑𝛥 2𝑚 𝑑𝛥 𝑚−1𝑚 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0

∈ 𝕄_𝑚(ℤ), gdzie 𝑑𝛥 𝑖𝑗= ⎧ { { ⎨ { { ⎩ 1, jeśli 𝑖 = 𝑗, 0, jeśli 𝑖 > 𝑗, |𝛥⁺₁(𝑖, 𝑗)|, jeśli (𝑖, 𝑗) ∈ 𝛥+ 1, −|𝛥⁻₁(𝑖, 𝑗)|, jeśli (𝑖, 𝑗) ∈ 𝛥− 1

oraz symetrycznej macierzy Grama 𝐺_𝛥∶= ¹₂( ̌𝐺_𝛥+ ̌𝐺^𝑡𝑟_𝛥) ∈ 𝕄_𝛥(¹₂ℤ) ≡ 𝕄_𝑚(¹₂ℤ).

176 Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz formy kwadratowe

(e) Bigraf 𝛥 = (𝛥₀, 𝛥₁) nazywamy spójnym, jeśli graf 𝛥′ = (𝛥^′₀, 𝛥^′₁) powstały z 𝛥 przez zamianę krawędzi przerywanych 𝑖 𝑗 na ciągłe 𝑖 𝑗 (tj. 𝛥′−

1 ∶= 𝛥⁺₁ ∪ 𝛥⁻₁ oraz

𝛥′+

1 ∶= ∅) jest spójny. Równoważnie: 𝛥 = (𝛥₀, 𝛥₁)nazywamy spójnym, jeśli dla dowolnych wierzchołków 𝑢, 𝑤 ∈ 𝛥₀istnieje taki ciąg wierzchołków (𝑣₁, … , 𝑣_𝑠) ∈ (𝛥₀)^𝑠, że 𝑣₁ ∶= 𝑢,

𝑣_𝑠 ∶= 𝑤oraz (𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗) ∈ 𝛥₁wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑗 = 𝑖 + 1, por. [28].

Izomorfizm grafów krawędziowo-dwudzielnych definiuje się analogicznie do izomor-fizmu grafów prostych, por. definicja1.5.

Definicja A.2. Grafy krawędziowo-dwudzielne 𝛥 = (𝛥₀, 𝛥₁) oraz 𝛥′ = (𝛥^′₀, 𝛥^′₁), gdzie

𝛥₁= 𝛥⁺₁ ∪ 𝛥⁻₁, 𝛥+

1 ∩ 𝛥⁻₁ = ∅oraz 𝛥′

1= 𝛥^′+₁ ∪ 𝛥^′−₁ , 𝛥′+

1 ∩ 𝛥^′−₁ = ∅nazywamy izomorficznymi, jeśli istnieje taka bijekcja 𝑓∶ 𝛥₀→ 𝛥′

0, że dla dowolnych 𝑖, 𝑗 ∈ 𝛥₀zachodzi: • |𝛥+ 1(𝑖, 𝑗)| = |𝛥^′+₁ (𝑓 (𝑖), 𝑓 (𝑗))|oraz • |𝛥− 1(𝑖, 𝑗)| = |𝛥′− 1 (𝑓 (𝑖), 𝑓 (𝑗))|, gdzie symbolami 𝛥+ 1(𝑖, 𝑗) ⊆ 𝛥⁺₁ oraz 𝛥−

1(𝑖, 𝑗) ⊆ 𝛥⁻₁ oznaczamy multizbiory krawędzi łączących wierzchołki 𝑖 oraz 𝑗.

W rozprawie analizujemy skończone zbiory częściowo uporządkowane z dokładnością do kwadratowej oraz dwuliniowej ℤ-równoważności (definicja1.53). Są to równoważności analogiczne do słabej ∼_ℤoraz silnej ≈_ℤℤ-kongruencji Grama bigrafów, zdefiniowanych w pracy [111] (patrz też [115]).

Definicja A.3. Niech 𝛥, 𝛥′, będą grafami krawędziowo-dwudzielnymi, które mają 𝑚 wierzchoł-ków, a ̌𝐺_𝛥, ̌𝐺_𝛥′ ∈ 𝕄_𝑚(ℤ)oraz 𝐺_𝛥, 𝐺_𝛥′ ∈ 𝕄_𝑚(¹₂ℤ)stowarzyszonymi z nimi niesymetrycznymi oraz symetrycznymi macierzami Grama. Bigrafy 𝛥 oraz 𝛥′nazywamy:

(a) słabo ℤ-kongruentnymi (oznaczenie 𝛥 ∼_ℤ 𝛥^′), jeśli 𝐺_𝛥 ∼_ℤ 𝐺_𝛥′, tzn. istnieje taka ℤ-od-wracalna macierz 𝐵 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ), że 𝐺_𝛥= 𝐵^𝑡𝑟⋅ 𝐺_𝛥′⋅ 𝐵;

(b) silnie ℤ-kongruentymi (oznaczenie 𝛥 ≈_ℤ 𝛥^′), jeśli ̌𝐺_𝛥 ∼_ℤ 𝐺^̌_𝛥′, tzn. istnieje taka ℤ-od-wracalna macierz 𝐵 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ), że ̌𝐺_𝛥= 𝐵𝑡𝑟⋅ ̌𝐺_𝛥′⋅ 𝐵.

W rozprawie używamy notacji „∼𝐵_ℤ” oraz „ 𝐵

≈_ℤ”, aby wskazać macierz 𝐵 ∈ Gl(𝑚; ℤ) definiującą kongruencję Grama.

Definicja A.4. [111] Załóżmy, że 𝛥 = ({1, … , 𝑚}, 𝛥₁)jest grafem krawędziowo-dwudzielnym bez pętli a ̌𝐺_𝛥 ∈ 𝕄_𝑛(ℤ)jest niesymetryczną macierzą Grama (definicjaA.1(d)).

(a) Macierzą Coxetera Cox_𝛥∈ 𝕄_𝑛(ℤ)nazywamy całkowitoliczbową macierz kwadratową

Cox_𝛥 ∶= − ̌𝐺_𝛥⋅ ̌𝐺^−𝑡𝑟_𝛥 ∈ 𝕄_𝑛(ℤ), gdzie ̌𝐺^−𝑡𝑟_𝛥 ∶= ( ̌𝐺⁻¹_𝛥 )^𝑡𝑟= ( ̌𝐺^𝑡𝑟_𝛥)⁻¹.

(b) Transformacją Coxetera 𝛷_𝛥∶ ℤ^𝑛→ ℤ^𝑛bigrafu 𝛥 nazywamy funkcję liniową zdefiniowa-ną wzorem 𝛷_𝛥(𝑣) ∶= 𝑣 ⋅Cox_𝛥, dla każdego 𝑣 ∈ ℤ𝑛.

(c) Wielomianem Coxetera cox_𝛥(𝑡) ∈ ℤ[𝑡]nazywamy wielomian charakterystyczny macierzy

Cox_𝛥∈ 𝕄_𝑛(ℤ), tj.

cox_𝛥(𝑡) ∶=det (𝑡 ⋅ 𝐸 − Cox_𝛥) ∈ ℤ[𝑡].

(d) Spektrum Coxetera specc_𝛥⊆ ℂnazywamy multizbiór wszystkich 𝑛 wartości własnych macierzy Coxetera Cox_𝛥lub, równoważnie, wszystkich 𝑛 rozwiązań równania cox_𝛥(𝑡) = 0.

Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz formy kwadratowe 177 ( f ) Jądrem bigrafu 𝛥 nazywamy zbiór Ker 𝑞_𝛥 ∶= {𝑣 ∈ ℤ^𝑛; 𝑞_𝛥(𝑣) = 0} ⊆ ℤ^𝑛.

Pokażemy teraz, że transformacja Coxetera 𝛷_𝛥∶ ℤ^𝑛→ ℤ^𝑛grafu krawędziowo-dwu-dzielnego 𝛥 (bez pętli) jest nietrywialnym automorfizmem grupy ℤ𝑛, który przeprowadza pierwiastki 𝛥 w pierwiastki 𝛥.

Lemat A.5. Załóżmy, że 𝛥 = ({1, … , 𝑛}, 𝛥₁) jest skończonym bigrafem (bez pętli) oraz

𝛷_𝛥∶ ℤ𝑛→ ℤ𝑛, 𝛷_𝛥(𝑣) = 𝑣 ⋅Cox_𝛥 jest transformacją Coxetera 𝛥.

(a) Funkcja 𝛷_𝛥∶ ℤ𝑛→ ℤ𝑛jest automorfizmem grupy wolnej ℤ𝑛oraz 𝛷_𝛥 ≠ 𝑖𝑑_ℤ𝑛.

(b) 𝑞_𝛥(𝛷_𝛥(𝑣)) = 𝑞_𝛥(𝑣)dla każdego 𝑣 ∈ ℤ𝑛.

(c) 𝛷_𝛥(R_𝛥) = R_𝛥, gdzie R_𝛥 ∶= {𝑣 ∈ ℤ^𝑛; 𝑞_𝛥(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝑛.

Dowód. Załóżmy, że ̌𝐺_𝛥 = [𝑑^𝛥_𝑖𝑗]_{1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛}∈ 𝕄_𝑛(ℤ)jest niesymetryczną macierzą Grama stowarzyszoną z bigrafem 𝛥 (definicjaA.1(d)).

(a) Zauważmy, że funkcja 𝛷_𝛥∶ ℤ^𝑛→ ℤ^𝑛jest homomorfizmem, ponieważ dla dowol-nych 𝑢, 𝑤 ∈ ℤ𝑛zachodzi 𝛷_𝛥(𝑢+𝑤) = (𝑢+𝑤)⋅Cox_𝛥= 𝑢⋅Cox_𝛥+𝑤⋅Cox_𝛥= 𝛷_𝛥(𝑢)+𝛷_𝛥(𝑤). Ponadto, funkcja 𝛷−1

𝛥 ∶ ℤ𝑛→ ℤ𝑛, 𝛷−1

𝛥 (𝑣) ∶= 𝑣 ⋅Cox−1

𝛥 jest dobrze zdefiniowana, ponieważ det(Cox_𝛥) =det(− ̌𝐺_𝛥⋅ ̌𝐺^−𝑡𝑟_𝛥 ) =det(− ̌𝐺_𝛥) ⋅det (( ̌𝐺⁻¹_𝛥 )^𝑡𝑟) = (−1)^𝑛⋅det( ̌𝐺_𝛥)

det( ̌𝐺_𝛥) ^{= (−1)}

𝑛.

Łatwo sprawdzić, że 𝛷_𝛥∘ 𝛷⁻¹_𝛥 = 𝛷⁻¹_𝛥 ∘ 𝛷_𝛥 = 𝑖𝑑_ℤ𝑛a stąd 𝛷_𝛥jest bijekcją i w konsekwencji automorfizmem grupy ℤ𝑛.

Pokażemy, przez sprzeczność, że 𝛷_𝛥 ≠ 𝑖𝑑_ℤ𝑛. Załóżmy, że 𝛷_𝛥(𝑣) = 𝑣dla dowolnego 𝑣 ∈ ℤ^𝑛. Stąd 𝛷_𝛥(𝑒_𝑖) = 𝑒_𝑖⋅Cox_𝛥 = 𝑒_𝑖dla 1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑛 i w konsekwencji Cox_𝛥 = 𝐸 ∈ 𝕄_𝑛(ℤ)jest macierzą identycznościową. Z definicji macierzy Coxetera (definicjaA.4(a)) otrzymujemy:

Cox_𝛥 = 𝐸 ⇔ − ̌𝐺_𝛥⋅ ̌𝐺−𝑡𝑟

𝛥 = 𝐸 ⇔ − ̌𝐺_𝛥=𝐺^̌𝑡𝑟 𝛥

a stąd −𝑑𝛥

𝑖𝑖 = 𝑑^𝛥_𝑖𝑖 ⇒ 𝑑^𝛥_𝑖𝑖 = 0dla każdego 1 ⩽ 𝑖 ⩽ 𝑛. Podsumowując, założenie równości 𝛷_𝛥 = 𝑖𝑑_ℤ𝑛 prowadzi do sprzeczności, ponieważ 𝑑𝛥

𝑖𝑖 = 1z definicji niesymetrycznej macie-rzy Grama (definicjaA.1(d)).

(b) Wprost z definicji, dla dowolnego 𝑣 ∈ ℤ𝑛otrzymujemy:

𝑞_𝛥(𝛷_𝛥(𝑣)) = 𝑞_𝛥(𝑣 ⋅Cox_𝛥) = (−𝑣 ⋅ ̌𝐺_𝛥⋅ ̌𝐺^−𝑡𝑟_𝛥 ) ⋅ ̌𝐺_𝛥⋅ (−𝑣 ⋅ ̌𝐺_𝛥⋅ ̌𝐺^−𝑡𝑟_𝛥 )^𝑡𝑟= = 𝑣 ⋅ ̌𝐺_𝛥⋅ ̌𝐺^−𝑡𝑟_𝛥 ⋅ ̌𝐺_𝛥⋅ ̌𝐺⁻¹_𝛥 ⋅ ̌𝐺^𝑡𝑟_𝛥 ⋅ 𝑣^𝑡𝑟 = 𝑣 ⋅ ̌𝐺_𝛥⋅ 𝑣^𝑡𝑟= 𝑞_𝛥(𝑣). (c) Wynika z(a)oraz(b).

Macierzowe morsyfikacje grafów krawędziowo-dwudzielnych

Ważną rolę w spektralnej klasyfikacji Coxetera grafów krawędziowo-dwudzielnych 𝛥 (w tym porządków) odgrywają macierzowe morsyfikacje stowarzyszone z 𝛥, wprowadzone w pracy [110] (patrz też [111–113]). Odwołujemy się do nich w twierdzeniu3.41, które stanowi podstawę algorytmu3.47stanowiącego rozwiązanie problemu3(sformułowanego we wstępie) dla przypadku spójnych dodatnich zbiorów częściowo uporządkowanych 𝐼, które mają co najwyżej |𝐼| ⩽ 14 elementów lub dokładnie jeden element maksymalny.

Definicja A.6. [113, Definition 2.3] Niech 𝛥 = ({1, … , 𝑛}, 𝛥₁)będzie skończonym spójnym grafem krawędziowo-dwudzielnym, który nie ma pętli. Nieosobliwą macierz 𝐴 ∈ 𝕄_𝑛(ℚ) nazywa-my macierzową morsyfikacją bigrafu 𝛥, jeśli:

(a) 𝐴 + 𝐴𝑡𝑟= 2 ⋅ 𝐺_𝛥,

178 Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz formy kwadratowe

Innymi słowy, macierzową morsyfikacją 𝛥 nazywamy nieosobliwą macierz 𝐴 ∈ 𝕄_𝑛(ℚ), która:(a) dla każdego 𝑣 ∈ ℤ𝑛 spełnia 𝑣 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑣𝑡𝑟 = 𝑣 ⋅ 𝐺_𝛥 ⋅ 𝑣^𝑡𝑟; (b) wyznacza macierz Coxetera Cox_𝐴 ∶= −𝐴 ⋅ 𝐴−𝑡𝑟o współczynnikach całkowitych. Z definicji, macierze mor-syfikacji bigrafu 𝛥 wyznaczają ten sam zbiór pierwiastków R_𝛥, ale (potencjalnie) różne transformacje Coxetera 𝛷_𝐴∶ ℤ^𝑛 → ℤ, 𝛷_𝐴(𝑣) ∶= 𝑣 ⋅Cox_𝐴. Co za tym idzie, wyznaczają różne geometrie 𝛷_𝐴-oczkowe 𝛤(R_𝛥, 𝛷_𝐴)(patrz definicja3.38oraz uwaga3.39). Przykłady różnych geometrii oczkowych tego samego bigrafu, można znaleźć np. w pracy [114].

Na podstawie [113, Theorem 3.3] dowolna morsyfkacja 𝐴 ∈ 𝕄_𝑚(ℚ)dodatniego grafu krawędziowo-dwudzielnego 𝛥 jest wyznaczona jednoznacznie przez macierz Coxetera Cox_𝐴= −𝐴 ⋅ 𝐴^−𝑡𝑟∈ 𝕄_𝑚(ℤ). Innymi słowy, prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie A.7. Niech 𝐺_𝛥∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ)będzie symetryczną macierzą Grama stowarzyszoną z dodatnim bigrafem 𝛥 = ({1, … , 𝑛}, 𝛥₁)bez pętli. Załóżmy, że 𝐴 ∈ 𝕄_𝑛(ℚ) jest macierzową morsyfikacją 𝛥 oraz Cox_𝐴 ∶= −𝐴 ⋅ 𝐴^−𝑡𝑟. Jeśli 𝐵 ∈ 𝕄_𝑛(ℚ) jest macierzową morsyfikacją 𝛥 spełniającą równość Cox_𝐵 =Cox_𝐴, to 𝐵 = 𝐴.

Dowód. Ponieważ Cox_𝐴=Cox_𝐵= −𝐵 ⋅ 𝐵^−𝑡𝑟⇔Cox_𝐴⋅ 𝐵^𝑡𝑟+ 𝐵 = 0oraz 𝐵 = 2 ⋅ 𝐺_𝛥− 𝐵^𝑡𝑟 na podstawie definicji macierzy morsyfikacji, to:

0 =Cox_𝐴⋅ 𝐵𝑡𝑟+ 𝐵 =Cox_𝐴⋅ 𝐵𝑡𝑟+ 2 ⋅ 𝐺_𝛥− 𝐵𝑡𝑟 = (Cox_𝐴− 𝐸) ⋅ 𝐵𝑡𝑟+ 2 ⋅ 𝐺_𝛥.

Z założenia, bigraf 𝛥 jest dodatni i w konsekwencji 1 nie jest wartością własną macierzy Cox_𝐴(patrz [111, Lemma 2.1(b)]). Stąd macierz Cox_𝐵− 𝐸jest odwracalna. Podsumowując:

𝐵^𝑡𝑟= −(Cox_𝐴− 𝐸)⁻¹⋅ 2 ⋅ 𝐺_𝛥 ⇔ 𝐵 = −2 ⋅ 𝐺_𝛥⋅ (Cox_𝐴− 𝐸)^−𝑡𝑟= 2 ⋅ 𝐺_𝛥⋅ (𝐸 −Cox_𝐴)^−𝑡𝑟. Stąd każda macierz 𝐵 morsyfikacji bigrafu 𝛥 spełniająca Cox_𝐵 = −𝐵 ⋅ 𝐵−𝑡𝑟 = Cox_𝐴jest jednoznacznie wyznaczona przez macierz Cox_𝐴. W szczególności 𝐵 = 𝐴.

Funkcjonały kwadratowe

Każdy graf krawędziowo-dwudzielny, który nie zawiera pętli, można utożsamiać z jednolitym funkcjonałem kwadratowym (patrz [8,97,102,111]).

Definicja A.8. Jednolitym funkcjonałem kwadratowym nazywamy funkcję 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤ zdefi-niowaną przez formę kwadratową (jednorodny wielomian stopnia dwa), tj. określoną wzorem

𝑞(𝑥) = 𝑥²₁+ ⋯ + 𝑥²_𝑛+ ∑

𝑖<𝑗

𝑞_𝑖𝑗⋅ 𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗, gdzie 𝑞_𝑖𝑗 ∈ ℤ. (A.9) (a) Niesymetryczna oraz symetryczna macierz Grama funkcjonału 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤmają postać

̌ 𝐺_𝑞 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 𝑞₁₂ 𝑞_1𝑛 1 𝑞_𝑛−1𝑛 1

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ∈ 𝕄_𝑛(ℤ) oraz 𝐺_𝑞 ∶= ¹₂( ̌𝐺_𝑞+ ̌𝐺^𝑡𝑟_𝑞) ∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ).

Zauważmy, że 𝑞(𝑥) można jednoznacznie przedstawić w postaci 𝑞(𝑥) = 𝑥⋅𝐺_𝑞⋅𝑥^𝑡𝑟= 𝑥⋅ ̌𝐺_𝑞⋅𝑥^𝑡𝑟.

(b) Grafem krawędziowo-dwudzielnym 𝛥_𝑞funkcjonału 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤjest bigraf wyznaczony przez niesymetryczną macierz Grama ̌𝐺_𝛥𝑞 ∶=𝐺^̌_𝑞 ∈ 𝕄_𝑛(ℤ).

Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz formy kwadratowe 179 (c) Jednolity funkcjonał kwadratowy 𝑞_𝛥∶ ℤ^𝛥0→ ℤ, zdefiniowany wzorem

𝑞_𝛥(𝑥) = 𝑥 ⋅ ̌𝐺_𝛥⋅ 𝑥^𝑡𝑟= 𝑥 ⋅ 𝐺_𝛥⋅ 𝑥^𝑡𝑟,

gdzie 𝛥 = (𝛥₀, 𝛥₁)jest grafem krawędziowo-dwudzielnym bez pętli oraz ℤ𝛥₀≡ ℤ^𝑚, nazy-wamy funkcjonałem Grama bigrafu 𝛥.

(d) Funkcjonał 𝑞∶ ℤ𝑚→ ℤnazywamy spójnym, jeśli bigraf 𝛥_𝑞jest spójny.

(e) Zbiorem pierwiastków funkcjonału 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤnazywamy zbiór R_𝑞 ∶= {𝑣 ∈ ℤ𝑛; 𝑞(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝑛.

Uwaga A.10. Funkcjonał kwadratowy 𝑞_𝛥∶ ℤ^𝑚 → ℤ(definicjaA.8(c)), wyznaczony przez bigraf 𝛥 = ({1, … , 𝑚}, 𝛥₁)bez pętli, można jednoznacznie przedstawić w postaci:

𝑞_𝛥(𝑥) = 𝑥²₁+ ⋯ + 𝑥²_𝑚+ ∑

𝑥_𝑖 𝑥_𝑗

𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗− ∑

𝑥_𝑖 𝑥_𝑗

𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗, (A.11)

gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich krawędziach ze zbioru 𝛥₁. Ponadto: • dla dowolnego funkcjonału jednolitego 𝑞∶ ℤ𝑚→ ℤ(A.8) zachodzi:

𝑞(𝑣) = 𝑞_𝛥𝑞(𝑣)dla każdego 𝑣 ∈ ℤ𝑚(ponieważ ̌𝐺_𝑞 =𝐺^̌_𝛥𝑞),

• dla dowolnego bigrafu 𝛥 (bez pętli) o 𝑚 wierzchołkach prawdziwa jest równość: 𝛥 = 𝛥_𝑞𝛥 (ponieważ ̌𝐺_𝛥 =𝐺^̌_𝑞𝛥).

Dlatego utożsamiamy funkcjonał 𝑞∶ ℤ𝑚 → ℤ z bigrafem 𝛥_𝑞 a bigraf 𝛥 z funkcjonałem 𝑞_𝛥∶ ℤ^𝑚→ ℤ, jeśli nie prowadzi to do nieporozumień.

W rozprawie analizujemy jednolite funkcjonały kwadratowe 𝑞∶ ℤ𝑚→ ℤ, które są do-datnie [nieujemne], tj. dla dowolnego 0 ≠ 𝑣 ∈ ℤ𝑚spełniają 𝑞(𝑣) > 0 [𝑞(𝑣) ⩾ 0] (jest to defi-nicja używana powszechnie w teorii reprezentacji algebr, patrz np. [4, Definition VII.3.1]). Ponieważ każdy jednolity funkcjonał 𝑞∶ ℤ𝑚→ ℤjest wyznaczony jednoznacznie przez symetryczną macierz Grama 𝐺_𝑞 ∈ 𝕄_𝑚(¹₂ℤ) ⊆ 𝕄_𝑚(ℝ)(definicjaA.8(a)), naturalne jest pytanie o związek dodatniości [nieujemności] funkcjonału 𝑞∶ ℤ𝑚→ ℤz dodatnią okre-ślonością [półokreokre-ślonością] macierzy 𝐺_𝑞 ∈ 𝕄_𝑚(ℝ). Następujący fakt pokazuje, że są to pojęcia równoważne i, w szczególności, dowodzi poprawności definicji1.29.

Fakt A.12. Niech 𝐴 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ) ⊆ 𝕄_𝑚(ℝ)będzie symetryczną macierzą kwadratową.

(a) Macierz 𝐴 jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑞_𝐴(𝑣) = 𝑣 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑣^𝑡𝑟 > 0dla dowolnego 0 ≠ 𝑣 ∈ ℤ𝑚.

(b) Macierz 𝐴 jest dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑞_𝐴(𝑣) = 𝑣 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑣^𝑡𝑟⩾ 0dla dowolnego 𝑣 ∈ ℤ𝑚.

Dowód. Zauważmy, że 𝑞_𝐴(𝑣) > 0(𝑞_𝐴( ̃𝑣) ⩾ 0) dla 0 ≠ 𝑣 ∈ ℤ𝑚( ̃𝑣 ∈ ℤ𝑚) wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑞_𝐴(𝑤) > 0(𝑞_𝐴(̃𝑤) ⩾ 0) dla 0 ≠ 𝑤 ∈ ℚ𝑚(̃𝑤 ∈ ℚ^𝑚), ponieważ

𝑞_𝐴(𝑤) = 𝑞_𝐴(_𝑤^𝑤″^′) = ¹

(𝑤″)2𝑞_𝐴(𝑤^′), gdzie 𝑤′ ∈ ℤoraz 0 ≠ 𝑤″∈ ℤ.

Dlatego, bez zmniejszenia ogólności rozważań, udowodnimy, że macierz 𝐴 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ) ⊆ 𝕄_𝑚(ℚ) ⊆ 𝕄_𝑚(ℝ) jest dodatnio określona (półokreślona) wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑞_𝐴(𝑤) > 0(𝑞_𝐴(̃𝑤) ⩾ 0) dla dowolnego 0 ≠ 𝑤 ∈ ℚ𝑚(̃𝑤 ∈ ℚ𝑚).

Ponieważ implikacja „⇒” wynika wprost z definicji dodatniej określoności (półokre-śloności), wystarczy pokazać „⇐”.

(a) Załóżmy, że 𝑞_𝐴(𝑤) > 0dla każdego 0 ≠ 𝑞 ∈ ℚ. Stosując argumenty użyte w induk-cyjnym dowodzie kryterium Sylvestera przedstawionym w [91, Twierdzenie 7, str. 349], łatwo pokazać, że każdy (wymierny) wiodący minor główny macierzy 𝐴 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ) ⊆ 𝕄_𝑚(ℚ)jest dodatni. Stąd macierz 𝐴 ∈ 𝕄_𝑚(ℤ) ⊆ 𝕄_𝑚(ℝ)spełnia warunki kryterium Sylvestera (twierdzenie2.4(a)) i w konsekwencji jest dodatnio określona.

180 Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz formy kwadratowe

(b) Zauważmy, że funkcja 𝑞_𝐴∶ ℚ^𝑚 → ℚ, gdzie 𝑞_𝐴(𝑤) ∶= 𝑤 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑤^𝑡𝑟 dla każdego 𝑤 ∈ ℚ^𝑚jest ciągła oraz, z założenia, 𝑞_𝐴(𝑣) ⩾ 0dla dowolnego 𝑣 ∈ ℚ𝑚. Ponieważ zbiór ℚ𝑚jest gęsty w ℝ𝑚, każdy wektor 𝑢 ∈ ℝ𝑚może zostać przedstawiony jako granica ciągu 𝑟 =lim_𝑖→∞𝑤^𝑢_𝑖 elementów 𝑤𝑢 𝑖 ∈ ℚ^𝑚i w konsekwencji 𝑞(𝑢) = 𝑞 (lim 𝑖→∞𝑤𝑢 𝑖) = lim 𝑖→∞𝑞 (𝑤𝑢 𝑖) ⩾ 0.

Załóżmy, że 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤjest funkcjonałem kwadratowym zdefiniowanym wzorem (A.9) 𝑞(𝑥) = 𝑥²₁+ ⋯ + 𝑥²_𝑛+ ∑

𝑖<𝑗

𝑞_𝑖𝑗⋅ 𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗= 𝑥 ⋅ 𝐺_𝑞⋅ 𝑥^𝑡𝑟, gdzie 𝑞_𝑖𝑗∈ ℤ,

gdzie 𝐺_𝑞∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ)jest symetryczną macierzą Grama (definicjaA.8(a)). Z funkcjonałem 𝑞 ∶ ℤ^𝑛 → ℤ stowarzyszamy ℤ-dwuliniowy funkcjonał symetryczny (tzw. polaryzację) 𝑏_𝑞∶ ℤ𝑛× ℤ𝑛→ ℤzdefiniowany wzorem

𝑏_𝑞(𝑥, 𝑦) = ¹₂[𝑞(𝑥 + 𝑦) − 𝑞(𝑥) − 𝑞(𝑦)] = 𝑥 ⋅ 𝐺_𝑞⋅ 𝑦^𝑡𝑟 (A.13) oraz pochodne cząstkowe 𝐷_𝑘𝑞 ∶ ℤ^𝑛→ ℤ:

𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = ^𝜕𝑞

𝜕𝑥_𝑘^{(𝑥) ∶= 2 ⋅ 𝑥𝑘+ ∑}_𝑖<𝑘^{𝑞𝑖𝑘⋅ 𝑥𝑘+ ∑}_𝑘<𝑖^{𝑞𝑘𝑖⋅ 𝑥𝑘.} (A.14)

Lemat A.15. Jeśli 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤjest nieujemnym funkcjonałem kwadratowym zdefiniowanym wzorem (A.9), to:

(a) dla dowolnego 𝑥 ∈ ℤ𝑛prawdziwe są równoważności:

𝑞(𝑥) = 0 ⇔ 𝐺_𝑞⋅ 𝑥𝑡𝑟= 0 ⇔ 𝑏_𝑞(−, 𝑥) = 𝑏_𝑞(𝑥, −) = 0, (A.16) (b) jądro Ker 𝑞 = {𝑣 ∈ ℤ; 𝑞(𝑣) = 0} ⊆ ℤ𝑛jest podgrupą grupy ℤ𝑛postaci

Ker 𝑞 = U_ℤ( ̂𝐺_𝑞) = {𝑣 ∈ ℤ𝑛; ̂𝐺_𝑞⋅ 𝑣𝑡𝑟= 0} ⊆ ℤ𝑛, (A.17)

gdzie 𝐺_𝑞∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ)jest symetryczną macierzą Grama (definicjaA.8(a)), a 𝑏_𝑞∶ ℤ^𝑛× ℤ^𝑛→ ℤ(A.13) jest polaryzacją funkcjonału 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤ.

Dowód. (a) Przedstawiony dowód opiera się na ideach zawartych w [4, str. 261-262]. Z funkcjonałem 𝑞∶ ℤ𝑛 → ℤstowarzyszamy jego rozszerzenie do przestrzeni ℝ𝑛, tj. funkcjonał 𝑞∶ ℝ𝑛 → ℝ, gdzie 𝑞(𝑥) = 𝑥2

1+ ⋯ + 𝑥²_𝑛+ ∑_𝑖<𝑗𝑞_𝑖𝑗⋅ 𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗 = 𝑥 ⋅ 𝐺_𝑞 ⋅ 𝑥^𝑡𝑟, gdzie 𝑥 = [𝑥₁, … , 𝑥_𝑛] ∈ ℝ𝑛, polaryzację 𝑏_𝑞∶ ℝ𝑛× ℝ𝑛 → ℝzdefiniowaną wzorem (A.13) oraz pochodne cząstkowe 𝐷_𝑘𝑞 ∶ ℝ^𝑛→ ℝzdefiniowane wzorem (A.14). Pokażemy, że

𝑞(𝑥) = 0 ⇔ ∀_{𝑘∈{1,…,𝑛}}𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = 0 ⇔ 𝐺_𝑞⋅ 𝑥^𝑡𝑟= 0 ⇔ 𝑏_𝑞(−, 𝑥) = 𝑏_𝑞(𝑥, −) = 0 (A.18) dla dowolnego 𝑥 ∈ ℝ𝑛. Dowód składa się z trzech kroków.

Krok 1∘Prawdziwa jest równość

𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = 2 ⋅ 𝑏_𝑞(𝑒_𝑘, 𝑥), (A.19)

gdzie 1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 oraz 𝑥 = [𝑥₁, … , 𝑥_𝑛] ∈ ℝ^𝑛. Z definicji (A.13) otrzymujemy: 2 ⋅ 𝑏_𝑞(𝑒_𝑘, 𝑥) = 𝑞(𝑒_𝑘+ 𝑥) − 𝑞(𝑒_𝑘) − 𝑞(𝑥) =

Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz formy kwadratowe 181 + ∑ 𝑖<𝑗<𝑘 𝑞_𝑖𝑗⋅ 𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗+ ∑ 𝑘<𝑖<𝑗 𝑞_𝑖𝑗⋅ 𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗+ ∑ 𝑖<𝑘<𝑗 𝑞_𝑖𝑗⋅ 𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗+ + ∑ 𝑖<𝑘 𝑞_𝑖𝑘⋅ 𝑥_𝑖⋅ (𝑥_𝑘+ 1) + ∑ 𝑘<𝑖 𝑞_𝑘𝑖⋅ (𝑥_𝑘+ 1) ⋅ 𝑥_𝑖− 1 − 𝑞(𝑥) = = 𝑥²₁+ ⋯ + 𝑥²_𝑛+ ∑ 𝑖<𝑗 𝑞_𝑖𝑗⋅ 𝑥_𝑖⋅ 𝑥_𝑗+ 2 ⋅ 𝑥_𝑘+ 1+ + ∑ 𝑖<𝑘 𝑞_𝑖𝑘⋅ 𝑥_𝑘+ ∑ 𝑘<𝑖 𝑞_𝑘𝑖⋅ 𝑥_𝑘− 1 − 𝑞(𝑥) = = 𝑞(𝑥) + 𝐷_𝑘𝑞(𝑥) + 1 − 1 − 𝑞(𝑥) = 𝐷_𝑘𝑞(𝑥). Krok 2∘Równoważność 𝑞(𝑥) = 0 ⇔ ∀_{𝑘∈{1,…,𝑛}}𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = 0.

„⇒” Ponieważ 𝑞∶ ℝ𝑛 → ℝjest funkcją ciągłą oraz 𝑞(𝑣) ⩾ 0 dla dowolnego 𝑣 ∈ ℝ𝑛

(faktA.12(a)), to warunek 𝑞(𝑥) = 0 implikuje istnienie minimum globalnego w punkcie 𝑥 ∈ ℝ^𝑛. W konsekwencji 𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = 0dla każdego 1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛.

„⇐” Jeśli 𝑥 = [𝑥₁, … , 𝑥_𝑛] ∈ ℝ^𝑛oraz 𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = 0dla 1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛, to:

𝑞(𝑥) = 𝑏_𝑞(𝑥, 𝑥) = 𝑏_𝑞(𝑒₁⋅ 𝑥₁+ ⋯ + 𝑒_𝑛⋅ 𝑥_𝑛, 𝑥) = 𝑥₁⋅ 𝑏_𝑞(𝑒₁, 𝑥) + ⋯ + 𝑥_𝑛⋅ 𝑏_𝑞(𝑒₁, 𝑥) = 0,

ponieważ 𝑏_𝑞(𝑒_𝑖, 𝑥) = ¹₂𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = 0, patrz (A.19).

Krok 3∘Prawdziwość równoważności 𝐺_𝑞⋅ 𝑥^𝑡𝑟 = 0 ⇔ 𝑏_𝑞(−, 𝑥) = 𝑏_𝑞(𝑥, −) = 0wynika z definicji polaryzacji (A.13), natomiast równoważność ∀_{𝑘∈{1,…,𝑛}}𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = 0 ⇔ 𝑏_𝑞(−, 𝑥) = 0jest konsekwencją równości (A.19).

Zauważmy, że dla dowolnych 1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 oraz 𝑥 ∈ ℤ𝑛 ⊆ ℝ^𝑛mamy 𝐷_𝑘𝑞(𝑥) = 𝐷_𝑘𝑞(𝑥) oraz 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) i stąd równoważności (A.18) implikują (A.16).

(b) Na podstawie (a) zachodzi równość (A.17). Stąd wynika (b), gdyż U_ℤ( ̂𝐺_𝑞) ⊆ ℤ𝑛jest podgrupą grupy ℤ𝑛.

Następujący fakt (wersja twierdzenia Kroneckera-Capellego) pokazuje, że jądro Ker 𝑞 = {𝑣 ∈ ℤ^𝑛; 𝑞(𝑣) = 0} ⊆ ℤ^𝑛 nieujemnego funkcjonału kwadratowego 𝑞∶ ℤ𝑛 → ℤ

(defi-nicja1.29(b)) jest grupą wolną, której ranga równa jest rzędowi symetrycznej macierzy Grama 𝐺_𝑞 ∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ).

Fakt A.20. Niech 𝑞∶ ℤ𝑛 → ℤbędzie jednolitym nieujemnym funkcjonałem kwadratowym a 𝐺_𝑞 ∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ) ⊂ 𝕄_𝑛(ℚ)symetryczną macierzą Grama (definicjaA.8(a)).

(a) Jądro Ker 𝑞 = {𝑣 ∈ ℤ𝑛; 𝑞(𝑣) = 0} ⊆ ℤ^𝑛jest grupą ℤ-wolną rangi

rank(Ker 𝑞) = 𝑛 − rz_ℚ𝐺_𝑞,

(b) rank(Ker 𝑞) = |{𝜆; 0 ≠ 𝜆 jest wartością własną macierzy 𝐺_𝑞∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ)}|.

Dowód. (a) Na podstawie lematuA.15(b), Ker 𝑞 ⊆ ℤ𝑛jest podgrupą grupy ℤ𝑛, więc jest grupą ℤ-wolną rangi rank(Ker 𝑞) = 𝑠, gdzie 𝑠 ⩽ 𝑛, patrz [103, Theorem 10.17]. Załóżmy, że wektory ℎ₁, … , ℎ_𝑠tworzą ℤ-bazę grupy Ker 𝑞 ⊆ ℤ𝑛. Zauważmy, że Ker 𝑞 = U_ℤ(𝐺_𝑞)jest podgrupą przestrzeni liniowej

U_ℚ(𝐺_𝑞) = {𝑢 ∈ ℚ^𝑛; 𝐺_𝑞⋅ 𝑢^𝑡𝑟= 0} ⊆ ℚ^𝑛.

Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że dim_ℚU_ℚ(𝐺_𝑞) = 𝑛 − 𝑟, gdzie 𝑟 =

182 Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz formy kwadratowe

więc są również ℚ-liniowo niezależne i na podstawie twierdzenia Steinitza zachodzi nierówność 𝑠 ⩽ 𝑛 − 𝑟.

Aby zakończyć dowód (a) wystarczy udowodnić, że 𝑛 − 𝑟 ⩽ 𝑠. W tym celu załóżmy, że 𝑢₁, … , 𝑢_𝑛−𝑟 ∈ U_ℚ(𝐺_𝑞) ⊆ ℚ^𝑛jest ℚ-bazą przestrzeni U_ℚ(𝐺_𝑞) ⊆ ℚ^𝑛. Ponieważ współrzędne wektorów 𝑢₁, … , 𝑢_𝑛−𝑟są liczbami wymiernymi, więc istnieje taka liczba 𝑐 ∈ ℤ, że wektory 𝑢₁∶= 𝑐⋅𝑢₁, … , 𝑢_𝑛−𝑟∶= 𝑐⋅𝑢_𝑛−𝑟należą do ℤ𝑛, a tym samym należą do U_ℤ(𝐺_𝑞) = U_ℚ(𝐺_𝑞)∩ℤ𝑛. Łatwo sprawdzić, że wektory 𝑢₁, … , 𝑢_𝑛−𝑟są liniowo niezależne. Zatem tworzą one ℤ-bazę grupy 𝑀 ∶= ℤ⋅𝑢₁+⋯+ℤ⋅𝑢_𝑛−𝑟⊆ U_ℤ(𝐺_𝑞)generowanej przez 𝑢₁, … , 𝑢_𝑛−𝑟. Stąd wynika nierówność 𝑛 − 𝑟 = rank(𝑀) ⩽ rank U_ℤ(𝐺_𝑞) = 𝑠, co kończy dowód stwierdzenia (a).

(b) Symetryczną macierz 𝐺_𝑞 ∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ) ⊆ 𝕄_𝑛(ℝ)można przedstawić w postaci 𝐺_𝑞 = 𝑃_𝑞⋅ 𝐷_𝑞⋅ 𝑃−1

𝑞 , gdzie 𝑃_𝑞jest macierzą ortogonalną, a 𝐷_𝑞=diag(𝜆₁, … , 𝜆_𝑛)jest macierzą, na której przekątnej znajdują się wartości własne macierzy 𝐺_𝑞(patrz [70, Corollary 2.5.11(a)]). Ponieważ mnożenie przez macierz nieosobliwą nie zmienia rzędu macierzy (patrz [70, 0.4.6(b)]) otrzymujemy rz_ℚ𝐺_𝑞= rz_ℚ(𝑃_𝑞⋅𝐷_𝑞⋅𝑃−1

𝑞 ) = rz_ℚ𝐷_𝑞i stąd rank(Ker 𝑞) = rz_ℚ𝐺_𝑞 = |{𝜆; 0 ≠ 𝜆jest wartością własną macierzy 𝐺_𝑞 ∈ 𝕄_𝑛(¹₂ℤ)}|.

Uwaga A.21. Zauważmy, że dowód faktuA.20nie przedstawia metody znajdowania wektorów generujących jądro

Ker 𝑞 = {𝑣 ∈ ℤ𝑛; 𝑞(𝑣) = 0} = {𝑣 ∈ ℤ^𝑛; ̂𝐺_𝑞⋅ 𝑣^𝑡𝑟= 0} ⊆ ℤ^𝑛,

ale pozwala na wyznaczenie ich liczby. Rozwiązywanie systemu liniowych równań Dio-fantycznych postaci ̂𝐺_𝑞⋅ 𝑣^𝑡𝑟= 0jest złożonym zagadnieniem, patrz [21].

Przypomnijmy, że dodatnie jednolite funkcjonały kwadratowe mają skończony zbiór pierwiastków, patrz fakt2.16. W przypadku jednolitych funkcjonałów nieujemnych, które nie są dodatnie, zbiór pierwiastków jest nieskończony.

Fakt A.22. [109, Theorem 3.2(a)] Niech 𝑞∶ ℤ𝑛 → ℤbędzie jednolitym nieujemnym funk-cjonałem kwadratowym. Jeśli ℎ ∈ Ker 𝑞 ∶= {𝑣 ∈ ℤ𝑛; 𝑞(𝑣) = 0} ⊆ ℤ^𝑛, to 𝑞(𝑣 + 𝑘 ⋅ h) = 𝑞(𝑣) dla dowolnych 𝑣 ∈ ℤ𝑛oraz 𝑘 ∈ ℤ. W szczególności, zbiór R_𝑞 ∶= {𝑣 ∈ ℤ^𝑛; 𝑞(𝑣) = 1} ⊆ ℤ^𝑛

pierwiastków funkcjonału 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤjest nieskończony, jeśli 𝑞∶ ℤ𝑛→ ℤnie jest dodatni. Dowód. Niech 𝑏_𝑞∶ ℤ^𝑛 × ℤ^𝑛 → ¹₂ℤ będzie polaryzacją funkcjonału 𝑞∶ ℤ𝑛 → ℤ, tj. 𝑏_𝑞(𝑥, 𝑦) = ¹₂[𝑞(𝑥 + 𝑦) − 𝑞(𝑥) − 𝑞(𝑦)], patrz (A.13). Ponieważ 𝑞(𝑥) = 𝑏_𝑞(𝑥, 𝑥)oraz 𝑞(𝑥) = 0 ⇔ 𝑏_𝑞(−, 𝑥) = 0 ⇔ 𝑏_𝑞(𝑥, −) = 0(lematA.15), dla dowolnych 𝑣 ∈ ℤ𝑛oraz 𝑘 ∈ ℤ prawdziwa jest równość

𝑞(𝑣 + 𝑘 ⋅ h) = 𝑏_𝑞(𝑣 + 𝑘 ⋅ h, 𝑣 + 𝑘 ⋅ h) =

= 𝑏_𝑞(𝑣, 𝑣) + 𝑘 ⋅ 𝑏_𝑞(𝑣, h) + 𝑘 ⋅ 𝑏_𝑞(h, 𝑣) + 𝑘²⋅ 𝑏_𝑞(h, h) = 𝑏_𝑞(𝑣, 𝑣) = 𝑞(𝑣). Aby zakończyć dowód, zauważmy że 𝑞(𝑒₁) = 1(ponieważ funkcjonał 𝑞 jest jednolity). Stąd istnienie wektora 0 ≠ ℎ ∈ Ker 𝑞 = {𝑣 ∈ ℤ𝑛; 𝑞(𝑣) = 0} ⊆ ℤ^𝑛implikuje nieskończoność zbioru pierwiastków R_𝑞 ⊇ {𝑒₁+ 𝑘 ⋅ h; 𝑘 ∈ ℤ} ⊆ ℤ𝑛.

Inflacje grafów krawędziowo-dwudzielnych

Przedstawimy teraz definicję operacji inflacji grafu krawędziowo-dwudzielnego (bez pętli i wielokrotnych krawędzi) w sensie [111] (patrz też [81]). Jest to ważne narzędzie w spektralnej analizie Coxetera skończonych bigrafów oraz zbiorów częściowo uporząd-kowanych, którego używamy w dowodzie lematu4.60.

Definicja A.23. [111, Definition 3.1] Załóżmy, że 𝛥 = ({1, … , 𝑚}, 𝛥₁)jest grafem krawę-dziowo-dwudzielnym (definicjaA.1) bez pętli oraz 𝑑𝛥

Grafy krawędziowo-dwudzielne oraz formy kwadratowe 183 (a) Inflacją 𝛥 w punkcie 𝑎 ∈ 𝛥₀nazywamy bigraf t−

𝑎𝛥uzyskany z 𝛥 przez zmianę wszystkich krawędzi przerywanych 𝑎 𝑏na ciągłe oraz ciągłych 𝑎 𝑏na przerywane.

W dokumencie Obliczenia symboliczne i algorytmy kombinatoryczne w spektralnej klasyfikacji skończonych zbiorów częściowo uporządkowanych (Stron 172-200)