Kierunki dalszych bada«

rozkªad logarytmiczno-normalny. Ta cz¦±¢ eksperymentu numerycznego miaªa na celu sprawdzenie odporno±ci na niespeªnienie zaªo»enia o normalno±ci bª¦du. Przed-stawione wyniki ±wiadcz¡, »e rozmiary omówionych testów nie ró»ni¡ si¦ znacz¡co od ich zaªo»onego poziomu istotno±ci w przypadku wybranych rozkªadów.

6.2. Kierunki dalszych bada«

• Widocznym elementem brakuj¡cym w tej rozprawie jest dyskusja na temat es-tymacji punktu zmiany. Dlatego nast¦pnym wa»nym krokiem wydaje si¦ by¢ po-szukiwanie i badanie wªasno±ci estymatora punktu zmiany. ›oª¡d¹ i inni zapropo-nowali estymator punktu zmiany oparty o V1

k. Do tej pory nie zbadano »adnych teoretycznych wªasno±ci tego estymatora. W pracy Noska i Szkutnika (2013) za-prezentowano rezultaty symulacji maj¡cych na celu porównanie tego estymatora oraz dwóch innych zaproponowanych w tej pracy, a tak»e estymatora sugerowanego przez Schwedera (1976). Uzyskane tam rezultaty wskazuj¡, »e procedury te mog¡ mie¢ tendencj¦ do wskazania zbyt wczesnego punktu zmiany.

• Inn¡ propozycj¡ dalszych bada« mo»e by¢ wykorzystanie kryteriów informacyj-nych dla modeli z ograniczeniami w postaci nierówno±ci. Uogólnienie kryterium Akaike na taki przypadek znajduje si¦ w pracy Kuipera i innych (2011). W ksi¡»ce Chena i Gupty (2000) mo»na znale¹¢ procedur¦ testow¡ z wykorzystaniem kry-terium Schwarza dla dwufazowego modelu regresji liniowej bez ogranicze« na para-metry po zmianie. Równie» Nosek (2010) wykorzystaª to kryterium do konstrukcji testów dla modelu (1.1) w przypadku, gdy nie nakªadamy ogranicze« na warto±ci odchyle« ci.

Dodatek A

Opis symulacji

Wszystkie symulacje komputerowe wykonano przy u»yciu j¦zyka C++. Wektory o rozkªadzie normalnym i niezale»nych skªadowych wygenerowano przy u»yciu proce-dury gasdev z Numerical Recipes (por. Press i inni, 1988, rozdz. 7.2). Przyj¦to punkty pomiarowe xi = i. Zaªo»ono równie», »e s = 3, tj. przynajmniej trzy punkty pochodz¡ z modelu liniowego. W celu numerycznego oszacowania rozmiarów oraz mocy oma-wianych testów wygenerowano 105 wektorów pseudolosowych Y z parametrami a = 1,

b = 0, σ = 0.1 przy zaªo»eniu hipotezy zerowej oraz przy zaªo»eniu ró»nych alternatyw. Nast¦pnie wyznaczono odpowiednie statystyki testowe i zliczono ich cz¦sto±ci wpadania do obszarów krytycznych testów. Zauwa»my, »e na mocy niezmienniczo±ci wszystkich rozwa»anych statystyk wzgl¦dem zmiany trendu liniowego oraz skali, ustalenie para-metrów prostej pocz¡tkowej nie wpªywa na warto±ci symulowanych rozmiarów i mocy testów.

Badaj¡c odporno±¢ testów na zªamanie zaªo»enia normalno±ci wygenerowano bª¦dy z rozkªadów t-Studenta oraz log-normalnego. W pierwszym przypadku wykorzystano algorytm zaproponowany przez Marsagli¦ (1980). W drugim przypadku wykorzystano zale»no±¢ mi¦dzy zmiennymi losowymi o rozkªadach normalnym i log-normalnym. Zmienne losowe o ujemnym wspóªczynniku asymetrii uzyskano zmieniaj¡c na prze-ciwny znak wygenerowanych bª¦dów z rozkªadu log-normalnego. Na rysunku A.1 po-równano wybrane wykresy g¦sto±ci rozkªadów wykorzystanych w tej cz¦±ci symulacji z g¦sto±ciami rozkªadu normalnego. W celu ªatwiejszego porównania g¦sto±ci zostaªy przeskalowane, tak aby rozkªady miaªy t¡ sam¡ warto±¢ oczekiwan¡ oraz odchylenie standardowe, co nie byªo konieczne w symulacjach bª¦du pierwszego rodzaju ze wzgl¦du na niezmienniczo±¢ statystyk.

W celu wyznaczenia wag dla modelu (1.1) z ograniczeniami (3.6) lub (3.7) wygene-rowano 107pseudolosowych wektorów ˆβββ. W pierwszej kolejno±ci, przy u»yciu procedury gasdev z Numerical Recipes (por. Press i inni, 1988 , rozdz. 7.2), wygenerowano wektor o rozkªadzie normalnym i niezale»nych skªadowych. Nast¦pnie wykorzystano

dekompo-(a) Z rozkªadem t-Studenta o 5 stopniach

swo-body. ^{(b) Z rozkªadem log-normalnym, wsp. asymetrii}0.302.

(c) Z rozkªadem log-normalnym, wsp. asymetrii

1.007. ^{(d) Z rozkªadem log-normalnym, wsp. asymetrii}2.939.

Rysunek A.1. Porównanie g¦sto±ci rozkªadu normalnego (linia przerywana) z g¦sto-±ciami wykorzystanymi do badania odporno±ci testów (linia ci¡gªa).

zycje Choleskiego macierzy kowariancji wektora ˆβββ. Tak wyznaczony wektor ˆβββ, przy po mocy algorytmu baz mieszanych, przedstawiono we wspóªrz¦dnych odpowiedniej bazy mieszanej, co pozwoliªo ustali¢, do którego KJ ten wektor nale»y (por. paragraf 3.3). Na koniec zliczono cz¦sto±¢ wyst¦powania generowanych wektorów w odpowiednich zbiorach KJ.

Dodatek B

Oznaczenia

CUSUM skumulowane sumy reszt

ENW estymator najwi¦kszej wiarygodno±ci

A domkni¦cie zbioru A

intA wn¦trze zbioru A

R zbiór liczb rzeczywistych

N_p(0, ΣΣΣ) p-wymiarowy rozkªad normalny o zerowym wektorze warto±ci oczekiwanej oraz macierzy kowariancji ΣΣΣ

t_m(δ, λ) podwójnie niecentralny rozkªad t-Studenta o m stopniach swobody

χ2

m(·) dystrybuanta rozkªadu χ2 o m stopniach swobody

B_p,q(·) dystrybuanta rozkªadu beta z parametrami p, q ˆ

β

ββ_k estymator najmniejszych kwadratów parametru βββ wyliczony na podstawie pierwszych k obserwacji

LR statystyka oparta na ilorazie wiarygodno±ci dla modelu ze znan¡ wariancj¡

LR^∗ statystyka oparta na ilorazie wiarygodno±ci dla modelu z nie-znan¡ wariancj¡ εεε_k εεε⁰_k = (ε, . . . , ε_k) Y_k Y_k⁰ = (Y₁, . . . , Y_k) x_i x⁰_i = (xi, 1) X_k X⁰_k = (x₁, . . . , x_k) X_(k) X⁰_(k) = (x_k+1, . . . , x_n)

c_k c⁰_k = (c₁, . . . , c_k)

c_(k) c⁰_(k) = (c_k+1, . . . , c_n)

c sygnaª, c = cn

A macierz restrykcji

R niezerowa podmacierz macierzy restrykcji A, tj. A = (0 R)

E⁰ transpozycja macierzy E

Ej j-ty wiersz macierzy E

k · k norma euklidesowa

k · k_E norma zwi¡zana z macierz¡ E, tj. kvk2

E = v⁰Ev

P

−→ zbie»no±¢ wedªug prawdopodobie«stwa

Bibliograa

[1] Brodsky B.E., Darkhovsky B.S., Nonparametric Methods in Change-Point Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1993.

[2] Brown R.L, Durbin J., Evans J.M., Techniques for testing the constancy of regression relationships over time (with discussion), Journal of the Royal Statistical Society B 37 (1975), 149192.

[3] Chen J., Gupta A.K., Parametric Statistical Change Point Analysis, Boston: Birkhaeuser 2000.

[4] Cherno H., Zacks S., Estimating the current mean of a normal distribution which is subject to changes in time, Ann. Math. Statist. 35 (1964), 9991028.

[5] Diniz C.A.R., Brochi L.C., Robustness of two-phase regression tests, REVSTAT-Statistical Journal 3 (2005), 118.

[6] Dykstra R.L., An algorithm for restricted least squares regression, Journal of the Ame-rican Statistical Association 78 (1983), 837842.

[7] Fraser D.A.S., Massam H., A mixed primal-dual bases algorithm for regression under in-equality constraints. Application to convex regression, Scandinavian Journal of Statistics 16 (1989), 6574.

[8] Frisén M, Andersson E. Pettersson K., Semiparametric estimation of outbreak regression, Statistics 44 (2010), 107117.

[9] Gill P.E., Murray W., Wright M.H., Practical Optimization, New York, Academic Press 1981.

[10] Gourieroux C., Holly A., Monfort A., Likelihood ratio test, Wald test, and Kuhn-Tucker test in linear models with inequality constraints on the regression parameters, Econome-trica 50 (1982), 6380.

[11] Hawkins, D.M., Diagnostics for use with regression recursive residuals, Technometrics 33 (1991), 221234.

[12] Hillier G.H., Joint tests for zero restrictions on nonnegative regression coecients, Bio-metrika 73 (1986), 657669.

[13] Hinkley D.V., Inference in two-phase regression, Journal of the American Statistical Association 66 (1971) 736743.

[14] Horváth L., Detecting changes in linear regressions, Statistics 26 (1995), 189208. [15] Horváth L., Horváth Z., Hu²ková M., Ratio tests for change point detection, IMS

Col-lections, 1 (2008), 293304.

[16] Hu²ková M., Kirch C., A note on studentized condence intervals for the change-point, Computational Statistics 25 (2010), 269289.

Bibliograa [17] Jouini J., Bootstrap methods for single structural change tests: power versus corrected

size and empirical illustration, Statistical Papers 51 (2010), 85109.

[18] Julious S.A. Inference and estimation in changepoint regression problem, The Statistician 50 (2001), 5161.

[19] Kianifard, F., Swallow, W.H., A review of the development and application of recursive residuals in linear models, Journal of the American Statistical Association 91 (1996), 391400.

[20] Kim H.-J., Tests for a change-point in linear regression Change-point problems, IMS Lecture Notes - Monograph Series, 23 (1994), 171176.

[21] Kim H.-J., Cai L., Robustness of the likelihood ratio test for a change in simple linear regression, Journal of the American Statistical Association 88 (1993), 864871.

[22] Kim H.-J., Siegmund, D., The likelihood ratio tests for a change-point in simple linear regression, Biometrika, 76 (1989), 409423.

[23] Krishnan M., The moments of a doubly noncentral t-distribution, Journal of the Ameri-can Statistical Association 62 (1967), 278287.

[24] Krishnan M., Series representations of the doubly noncentral t-distribution, Journal of the American Statistical Association 63 (1968), 10041012.

[25] Kuiper R.M.,Hoijtink H., Silvapulle M.J., An Akaike-type information criterion for mo-del selection under inequality constraints, Biometrika 98 (2011), 495501.

[26] Lehmann E.L., Testowanie hipotez statystycznych, PWN, Warszawawa 1968.

[27] Marsaglia G., Generating random variables with a t-distribution, Mathematics of Com-putation 34 (1980), 235236.

[28] Meyer M.C., A test for linear versus convex regression function using shape-restricted regression, Biometrika 90 (2003), 223232.

[29] Mukerjee H., Tu R., Order-restricted inferences in linear regression, Journal of the Ame-rican Statistical Association 90 (1995), 717728.

[30] Ninomiya Y., Information criterion for Gaussian change-point model, Statistics & Pro-bability Letters 72 (2005) 237247.

[31] Nosek K., Schwarz information criterion based tests for a change-point in regression models, Statistical Papers 51 (2010), 915929.

[32] Nosek K., Change-point detection in two-phase regression with inequality constraints on the regression parameters, (2012), w recenzji.

[33] Nosek K., Szkutnik Z., A power study of k-linear-r-ahead recursive residuals test for change-point in nite sequences, Journal of Statistical Computation & Simulation 78 (2008), 12011213.

[34] Nosek K., Szkutnik Z., Change-point detection in a shape-restricted regression model, Statistics (2013), w druku, DOI:10.1080/02331888.2012.760094.

[35] Perlman M.D., One-side testing problem in Multivariate Analysis, Ann. of Mathematical Statistics 40 (1969), 549567.

[36] Pfanzagl J., Ein Kombiniertes Test & Klassikations-Problem, Metrika 2 (1959), 1145. [37] Ploberger W., Krämer W., The CUSUM test with OLS residuals, Econometrica 60

(1992), 271285.

[38] Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A. and Vetterling, W.T., Numerical Recipes in C: the Art of Scientic Computing, Cambridge, Cambridge University Press 1988.

Bibliograa [39] Rao, C.R. and Toutenburg, H., Linear Models: Least Squares and Alternatives, New

York, Springer-Verlag 1995.

[40] Robertson T., Wright F.T., Dykstra R.L., Order Restricted Statistical Inference, New York, Wiley 1988.

[41] Schweder T., Some optimal methods to detect structural shift or outliers in regression, Journal of the American Statistical Association 71 (1976), 491501.

[42] Shen G., Ghosh J.K., Developing a new BIC for detecting change-points, Journal of Planning and Inference 141 (2011), 14361447.

[43] Siegmund D., Zhang H., Condence region in broken line regression, Change-point pro-blems, IMS Lecture Notes - Monograph Series, 23 (1994), 292316.

[44] Silvapulle M.J., Sen P.K., Constrained Statistical Inference: Inequality, Order, and Shape Restrictions, New York, Wiley 2005.

[45] Smith A.F.M., Cook D.G., Straight lines with a change-point: a Bayesian analysis of some renal transplant data. Applied Statistics 29 (1980) 180189.

[46] Wu, W. B., Woodroofe, M. and Mentz, G. Isotonic regression: another look at the change point problem, Biometrika 88 (2001), 793804.

[47] Wu Y., Inference for Change-Point and Post-Change Means After a CUSUM Test, New York, Springer 2005.

[48] ›oªad¹ J. A., Szkutnik Z., Majerczak J., Duda K., Detection of change point in oxygen uptake during an incremental exercise test using recursive residuals: relationship to the plasma lactate accumulation and blood acid base balance. European Journal of Applied Physiology 78 (1998), 369377.