Rozdziaª 3. Metoda oparta na ilorazie wiarygodno±ci dla modeli
3.8. Test ilorazu wiarygodno±ci dla modeli z mo»liwym punktem zmiany
przypadku dowodu twierdzenia 3.1 wykorzystuje idee zawarte w pracy Meyer (2003). Inny dowód przedstawiaj¡ Silvapulle i Sen (2005). Ró»nice zostan¡ omówione w pod-rozdziale 3.9.
Twierdzenie 3.3. Przy zaªo»eniu H0, statystyka
LR∗ = 1 − (λ(Y))2n = kY − X˜βββk2− kY − Xβββ∗k2
kY − X˜βββk2 ma mieszany rozkªad beta, postaci
P (LR∗ < c) =
m
X
j=0
Bj/2,(m−j+n−k)/2(c) · p(j, A, X0X) .
W powy»szym wzorze Bp,q(c) oznacza warto±¢ dystrybuanty rozkªadu beta z parame-trami p, q w punkcie c, gdzie dla p = 0 przyjmuje si¦ umow¦, i» rozkªad jest skupiony w zerze. Ponadto p(j, A, X0X)jest okre±lone przez wzór (3.8). W przypadku nieznanej wariancji warto zauwa»y¢, i» wagi nie zale»¡ od σ2. Stwierdzenie to, sformuªowane w postaci poni»szego lematu, ma zastosowanie przy wyznaczaniu wag za pomoc¡ sy-mulacji.
Lemat 3.1. Warto±¢ p(j, A, X0X) nie zale»y od σ2.
Równie» w przypadku nieznanej wariancji test oparty na ilorazie wiarygodno±ci ma wªasno±¢ zgodno±ci przy stosunku sygnaªu do szumu d¡»¡cym do niesko«czono±ci. Twierdzenie 3.4. Rozpatrzmy rodzin¦ modeli (3.1) w których macierze X i A s¡ ustalone, a parametry βββ i σ mog¡ si¦ zmienia¢. Wówczas przy zaªo»eniu hipotezy H1 (tzn. Aβββ 0 i Aβββ 6= 0), dla ka»dego c ∈ (0, 1) zachodzi
lim
kAβββk σ →∞
P (LR∗ > c) = 1 ,
tzn. moc testu d¡»y do jedynki przy dowolnym, ustalonym poziomie istotno±ci.
Kolejn¡ wªasno±ci¡ statystyki LR∗ jest niezmienniczo±¢ wzgl¦dem pewnej grupy przeksztaªce«.
Lemat 3.2. Przy zaªo»eniu modelu (3.1), statystyka LR∗ jest niezmiennicza wzgl¦dem grupy przeksztaªce« G = {g(v,ζ)y = (y − Xv)/ζ : Av = 0, ζ > 0}.
Konsekwencje tego lematu w przypadku rozwa»anego w niniejszej rozprawie mo-delu z punktem zmiany b¦d¡ omówione w nast¦pnym podrozdziale.
3.8. Test ilorazu wiarygodno±ci dla modeli z mo»liwym
punktem zmiany
Dla modelu z mo»liwym punktem zmiany (1.1) z ograniczeniem monotonicznym (3.6) lub z ograniczeniem wypukªym (3.7) w twierdzeniach sformuªowanych w poprzed-nim podrozdziale m = n−s, k = n−s+2. Zatem prawdziwy jest nast¦puj¡cy wniosek z twierdzenia 3.1 i z twierdzenia 3.3:
3.8. Test ilorazu wiarygodno±ci dla modeli z mo»liwym punktem zmiany
Wniosek 3.1. Je»eli speªnione s¡ zaªo»enia modelu (1.1), to przy zaªo»eniu hipotezy zerowej o zgodno±ci modelu z regresj¡ liniow¡ mamy
P (LR < c) = n−s X j=0 χ2j(c) · p(j, A, X0X) , P (LR∗ < c) = n−s X j=0 Bj/2,(n−2−j)/2(c) · p(j, A, X0X) ,
tzn. statystyki testowe LR, LR∗ maj¡ rozkªady mieszane odpowiednio χ2, beta.
W rozwa»anych modelach zwi¡zanych z punktem zmiany V = {v : Av = 0} =
{v : Xv = Xna, dla pewnego a ∈ R2}, gdzie Xn = (x1, . . . xn)0. Zatem z lematu 3.2 wynika, »e statystyka LR∗ jest niezmiennicza ze wzgl¦du na zmian¦ trendu liniowego oraz skali. Oznacza to, »e rozkªad statystyki nie zale»y od wspóªczynników prostej pocz¡tkowej. Natomiast moc testu opartego na statystyce LR∗ zale»y od stosunku sygnaªu do szumu, czyli od wektora c/σ, gdy» jest on maksymalnym niezmiennikiem wzgl¦dem indukowanej grupy w przestrzeni parametrów.
Wniosek 3.2. Je»eli speªnione s¡ zaªo»enia modelu (1.1) z ograniczeniem monotonicz-nym (3.6) lub z ograniczeniem wypukªym (3.7), to statystyka LR∗ jest niezmiennicza wzgl¦dem grupy przeksztaªce« G = {g(a,ζ)y = (y − Xna)/ζ : a ∈ R2, ζ > 0}. Zatem statystyka LR∗ jest niezmiennicza ze wzgl¦du na zmian¦ trendu liniowego oraz skali.
Ponadto kAβββk/σ d¡»y do niesko«czono±ci tylko wtedy, gdy kc(s)k/σ d¡»y do nie-sko«czono±ci, gdzie βββ = (a, b, cs+1, . . . , cn)0 oraz c(s) = (cs+1, . . . , cn)0. Zatem na pod-stawie twierdzenia 3.4 test oparty na statystyce LR∗ ma wªasno±¢ zgodno±ci przy stosunku sygnaªu do szumu d¡»¡cym do niesko«czono±ci.
Wniosek 3.3. Rozpatrzmy rodzin¦ modeli (1.1) z ograniczeniem monotonicznym (3.6) lub z ograniczeniem wypukªym (3.7), w których s i n s¡ ustalone, a pozostaªe parametry mog¡ si¦ zmienia¢. Wówczas test oparty na statystyce LR∗ jest zgodny przy stosunku sygnaªu do szumu d¡»¡cym do niesko«czono±ci, tzn.
lim
kc(s)k/σ→∞P (LR∗ > c) = 1 ,
dla ka»dego c ∈ (0, 1).
Jak ju» byªo wspomniane, aby wykorzysta¢ znajomo±¢ rozkªadów przy zaªo»eniu hipotezy zerowej, kluczowe jest wyznaczenie warto±ci wag. W tym celu wykorzystano symulacje komputerowe zakªadaj¡c, i» punkty xis¡ równoodlegªe (tj. xi+1−xi = const) oraz s = 3. Wygenerowano 107 pseudolosowych wektorów ˆβββ przy zaªo»eniu H0 i zli-czono cz¦sto±¢ ich wyst¦powania w obszarach KJ dla #J = n − s − j. Dokªadniejszy opis symulacji znajduje si¦ w dodatku A. Tabele 3.1 oraz 3.2 przedstawiaj¡ wagi wy-znaczone poprzez symulacje dla modelu (1.1) z ograniczeniem odpowiednio (3.6) oraz (3.7).
3.8. Test ilorazu wiarygodno±ci dla modeli z mo»liwym punktem zmiany
Tablica 3.1. Symulowane wagi dla modelu (1.1) z monotonicznym odchyleniem od prostej pocz¡tkowej, dla s = 3 i równoodlegªych punktów xi
n = 8 n = 9 n = 10 n = 11 j p(j, A, X0X) 0 0.012443 0.003512 0.000901 0.000219 1 0.094693 0.036603 0.012316 0.003737 2 0.265734 0.146939 0.067041 0.026416 3 0.351486 0.293505 0.187734 0.098752 4 0.221937 0.312376 0.298308 0.217016 5 0.053708 0.169844 0.273066 0.292095 6 0.037221 0.133628 0.235854 7 0.027006 0.105868 8 0.020042
Tablica 3.2. Symulowane wagi dla modelu (1.1) z wypukª¡ funkcj¡ regresji, dla s = 3 i równoodlegªych punktów xi
n = 8 n = 9 n = 10 n = 11 j p(j, A, X0X) 0 0.265314 0.244870 0.228864 0.215879 1 0.454076 0.440771 0.429321 0.419260 2 0.230986 0.249035 0.262233 0.272311 3 0.045824 0.058604 0.069852 0.079615 4 0.003698 0.006398 0.009113 0.011918 5 0.000102 0.000316 0.000599 0.000975 6 0.000006 0.000018 0.000042 7 0.000000 0.000001 8 0.000000
Tak wyznaczone wagi wykorzystano do wyznaczenia punktów krytycznych z rów-no±ci danych wzorami we wniosku 3.1. W tym celu wykorzystano metod¦ bisekcji do numerycznego rozwi¡zania równa«
n−s X j=0 χ2j(c) · p(j, A, X0X) = 1 − α , n−s X j=0 1 − Bj/2,(n−2−j)/2(c)· p(j, A, X0X) = α .
Wyst¦puj¡ce w równaniach warto±ci χ2
j(c) oraz 1 − Bj/2,(n−2−j)/2(c) wyznaczono przy u»yciu funkcji gammq oraz betai z Numerical Recipes (por. Press i inni, 1988, pod-rozdz. 6.2, 6.3). W tabelach 3.3 oraz 3.4 przedstawiono punkty krytyczne dla poziomów istotno±ci 0.01, 0.05, 0.1 odpowiednio dla modeli z monotonicznym oraz wypukªym odchyleniem od prostej pocz¡tkowej.
W celu sprawdzenia odporno±ci testu ilorazu wiarygodno±ci na niespeªnienie zaªo-»enia o normalno±ci bª¦du, zostaªo oszacowane prawdopodobie«stwo bª¦du pierwszego rodzaju przy εi z rozkªadu t-Studenta o ró»nych stopniach swobody oraz ze scentrowa-nego rozkªadu log-normalscentrowa-nego z ró»nymi wspóªczynnikami asymetrii (ujemny wspóª-czynnik uzyskano poprzez przemno»enie przez minus jeden zmiennej losowej o
rozkªa-3.8. Test ilorazu wiarygodno±ci dla modeli z mo»liwym punktem zmiany
Tablica 3.3. Punkty krytyczne testów ilorazu wiarygodno±ci dla modelu (1.1) z monotonicznym odchyleniem od prostej pocz¡tkowej,
dla s = 3 i równoodlegªych punktów xi
poziom istotno±ci n = 8 n = 9 n = 10 n = 11 test LR α = 0.01 11.764816 13.159338 12.452408 15.875399 α = 0.05 8.009441 9.213427 8.422410 11.583882 α = 0.1 6.332791 7.430340 6.622856 9.609185 test LR∗ α = 0.01 0.993984 0.992193 0.990533 0.988876 α = 0.05 0.948527 0.944594 0.942054 0.939827 α = 0.1 0.888980 0.887875 0.888184 0.888331 Tablica 3.4. Punkty krytyczne testów ilorazu wiarygodno±ci dla modelu (1.1)
z wypukª¡ funkcj¡ regresji,dla s = 3 i równoodlegªych punktów xi
poziom istotno±ci n = 8 n = 9 n = 10 n = 11 test LR α = 0.01 7.746587 7.991052 8.188318 8.355227 α = 0.05 4.530586 4.726816 4.886128 5.020947 α = 0.1 3.173925 3.343102 3.481075 3.597986 test LR∗ α = 0.01 0.864885 0.809589 0.757593 0.710337 α = 0.05 0.675115 0.613169 0.560997 0.516969 α = 0.1 0.538579 0.483970 0.439504 0.402822
dzie logarytmiczno normalnym). Rezultaty symulacji przy zaªo»eniu bª¦du z rozkªadu
t-Studenta zaprezentowano w tabeli 3.5. Przy dopuszczaniu alternatyw o monotonicz-nym odchyleniu od prawdziwej prostej frakcja bª¦dnych odrzuce« hipotezy zerowej jest niewiele mniejsza od zaªo»onego poziomu istotno±ci α = 0.05. Natomiast dla modelu z wypukª¡ funkcj¡ regresji cz¦sto±¢ bª¦dnych odrzuce« zerowej hipotezy nieznacznie przekracza zaªo»ony poziom istotno±ci. Podobne obserwacje mo»na poczyni¢ dla innych poziomów istotno±ci (α = 0.01, czy te» α = 0.1). Mo»emy zatem wyci¡gn¡¢ wniosek, »e omawiane testy ilorazu wiarygodno±ci dziaªaj¡ poprawnie tak»e w przypadkach, w których bª¡d ma rozkªad symetryczny o ci¦»kich ogonach. W tabeli 3.6 przedstawiono wyniki symulacji przy zaªo»eniu bª¦du z rozkªadu log-normalnego oraz dla poziomu istotno±ci testów α = 0.05. W przypadku modelu z potencjalnym odchyleniem mono-tonicznym od prostej pocz¡tkowej rozmiar testu nie przekracza zaªo»onego poziomu istotno±ci zarówno dla ujemnego jak i dla dodatniego wspóªczynnika asymetrii. Ró»-nice mi¦dzy symulowanymi a teoretycznymi (przy zaªo»onej normalno±ci) warto±ciami prawdopodobie«stw bª¦du pierwszego rodzaju nie s¡ du»e. W przypadku modelu z mo»liwym wypukªym odchyleniem od prostej pocz¡tkowej ró»nice te s¡ wi¦ksze. W tym przypadku symulowany rozmiar nie przekracza warto±ci teoretycznej dla ujemnego wspóªczynnika asymetrii oraz przekracza dla dodatniej warto±ci tego wspóªczynnika. Znacz¡ce ró»nice w porównaniu z zaªo»onym rozmiarem α odnotowujemy dla do±¢