Von Dr. Cäcilie Fröhlich, Berlin.
Zw ei s e h r d ü n n e lange geradlinige S trö m e ij und i2 und d e r e n Riiekleitungen — /, und — f2
seien in einer E b e n e parallel zueinander a n g e o fd - net. Da die K om ponente d e r m a g n etisch en F e ld s tä rk e in R ichtung d e r S trö m e v e rs c h w in d e t, g e nügt es, den V erlauf d e r v o n diesen S trö m e n h er- rü h re n d e n Kraftlinien in einer Ebene se n k re c h t zur S tro m ric h tu n g zu untersu ch en . In d ie se r Ebene seien die D u rc h sto ß u n g sp u n k te der S trö m e i v i2,
— — i2 in bezug auf ein rechtw inkliges K oor
d in a te n s y s te m die P u n k te
P11 ( — I 0), P „ ( — 2'0), P IS( + 1 0 ) , Pz2 (-f- 2 ‘0).
Die A b stän d e eines beliebigen P u n k t e s P (x y ) d er Ebene von den S tr ö m e n seien (Abb. l)
D i =
V
( I —r
2|' = j/ (2 —x Y + y \ As = j/(l r22 = V (2 -(- *)2 -)-
y - .Die m agnetische F e ld s tä rk e in diesem P u n k te sei
|) ; ihre K om p o n en ten in R ichtung der K o o rd in aten ach sen sind:
H ‘ t i j
___________
U y,
* (1 - x y + y * (1 I 2 I 2/2
, h y ____________ h y
^ { 2 - x Y + ; f ( 2 + x) 2 + ?y2’
rj h ( I x ) I fi (1 ~|~ x ) | 0 - » ) * + » * O + ^ ’ + r _1_ 4 (2 — x ) . 4 (2 —j— a;)
( 2 — x ) 2-j-?y2 (2 + x ) ! - f y 2
Die Differentialgleichung d e r Kraftlinien a ls d e rje nigen Kurven, d e re n Richtung in jedem P u n k t mit d e r R ichtung d e r d o r t h e rrs c h e n d e n F e ld s tä rk e übereinstim m t, lautet
Hx d y — H y d x = 0.
Ihre Integration liefert die Gleichung d e r Kraft
linienschar:
[( , + [ ( 2 - x ) 2+ ? y !F '
-[() + [ ( 2 + *)* + ^ L’
in a n d e r e r F o r m :
Sie erlaubt in allen Fällen eine einfache g e o m etrische Deutung.
I m f o l g e n d e n w i r d d e r F a l l i x = 1, r2 = — 2 u n t e r s u c h t .
Hier ist für jede Kraftlinie A i _ r A, 2
2 ’
A s A s
') F ü r n S t r ö m e erh ält man bei e n ts p re c h e n d e n V erh ältn iss en die Gleic hung:
r. d i . r u h . . . r„A = r .i'i. r„‘2. . . n n<-
vgl. H e m jn c t e r. Arch. f. Ei. 15 (1925) S. 202.
d as heißt: B e t r ä g t d as V erhältnis des ä u ß e re n zum inneren S tr o m e — 2 :1, so sind die Kraftlinien der g eo m e trisc h e O r t für alle die P u n k te , für die das V erhältnis d er E ntfernungen von d e m in n eren S tro m und seiner Rückleitung proportional ist dem V erhältnis d e r Q u a d r a t e d e r E n tfern u n g en von d em ä u ß eren S tro m und seiner Rückleitung.
Die P u n k te P einer Kraftlinie C = Cy w e rd e n d a h e r folg en d erm aß en e r h a lte n (Abb. 2): Man kon
s tr u ie r t die S c h a r d e r Apollonischen Kreise üb er der S tre c k e P21 P22 und die S c h a r der Apollonischen Kreise über d e r S tr e c k e P n P n und bringt den Kreis d e r e r s te n S char, d e r die S tr e c k e P21 P22
im V erhältnis v : 1 teilt, zum S ch n itt mit d e m
jenigen Kreis d e r z w e ite n S ch ar, d e r die S tre c k e P u P n im Verhältnis Co»»2 : 1 teilt.
J e d e r P a r a m e t e r | C | > 1 liefert zw ei g esch lo s
sene K u rv e n z ü g e (Abb. 3), von d en en der eine nur den P u n k t P 21, d e r a n d e re nur P, 2 umschlingt.
D er P a r a m e t e r liefert die zu diesen beiden spiegelbildlich g elegenen K urv en zü g e, v o n denen also d e r eine nur P 22, d e r a n d e re nur P n u m schließt. D e r P a r a m e t e r C =■ 1 liefert die y Achse und, s y m m e trisc h zu dieser, zw ei, die P u n k te P n b zw . P12 um schließende K urvenzüge.
Um zu zeigen, d a ß es k e i n e Kraftlinie gibt, die einen K u rv e n z u g enthält, d er sow ohl den P u n k t P j , als a u c h den P u n k t P s i (bzw. P n und P 22) umschlingt, b e n u tz e ich die Gleichung der Kraftlinien in K a rte sisc h e n K o o rd in aten :
470 E lek trotech n ik und M asch inenb au, 47. Jah rg., 1929, H eft 22 2. Juni 1929
[(1 + x ) 2 - + i / 2] [ ( 2 — * ) 2 + 2/ T “ —
- c 2 [ 0 - x y + i f m + x y - { - y r = o . Es ergibt sich d an n :
I. D i e K r a f t l i n i e n C 4= l b e s t e h e n n u r a u s g e s c h l o s s e n e n K u r v e n z ü g e n ,
S c h re ib t m an nämlich, um d a s V erh alten der K urv en im U nendlichen zu untersuchen, ihre Glei
chung in hom ogenen Koordinaten, indem m an s e tz t:
Xt X i
X X i ’ ^ Xi
so e rg ib t sich für die S c h n ittp u n k te d e r K urven mit d e r unendlich fern en G e ra d e n
»3 = 0 die B eziehung
( l - C l) ( x , * + x . i) , = 0,
Abb. 3.
die reell für C 4 = l nicht erfüllbar ist. Es gibt d a her keineKraftlinie C + l, die ins Unendliche v e r
läuft. |
II. D i e K r a f 11 i n i e n C =}= 1 h a b e n k e i n e
r e e l l e n S c h n i t t p u n k t e mi t
d e ry
A c h s e .
Denn die B esthm m tugsgleichung für diese Schn ittp u n k te
(1 — C 2) (1 -j— i/2) (4 -j- 2/2) 2 = 0 hat für C 4 = l keine reellen Lösungen.
III. J e d e K r a f t l i n i e C 4= 1 s c h n e i d e t d i e x A c h s e i n g e n a u v i e r r e e l l e n P u n k t e n.
D enn die Gleichung, die die Sch n ittp u n k te mit der x A chse liefert:
1 C2 1_i_ c2
x 6- ] _ Q i x 5+ 9 x 4 + 8 — — q - x *~ 2 4 x 2+ 16 = 0 hat ste ts g enau vier reelle Lösungen. Sie zerfällt nämlich in z w e i Gleichungen dritten G rad es
[x 3 3 k x 2 - + 4 Ar] [ x 3— ^-x2 + - f ] = 0,
k k
d e re n e rs te für C > 0 S), d as heißt | * | > 1, stets
•’) F ü r C < 0 v e r t a u s c h e n die beid en Gleichunge n ihre Rollen: es ist a b e r ü b e rh a u p t nicht nötig, diesen Fall zu b e tr a c h te n , weil ja d em P a r a m e t e r — C die
selbe Gleichung en ts p rich t w ie dem P a r a m e t e r + C.
d r e i reelle Lösungen, d e re n z w e ite s te ts e i n e solche besitzt, weil die D iskrim inante d e r e rste n
0 , = 4 k 2 ( k 'i — 1)
für |Ar| > 1 positiv, und die D iskrim inante der zw eiten
im gleichen Fall neg ativ ausfällt.
IV. D i e F u n k t i o n
/ ( x , y, C) = [(1 x) 2 + y°] [(2 — x) 2 + - i/ 2] 2 —
— C 2 [(1 — x ) 2 —(— r/2] [(2 —j— x ) 2 —
2
/"]2h a t i m P u n k t e P , 2 ( + 1 0 ) s t e t s d a s g 1 e i- c h e V o r z e i c h e n w i e i m P u n k t e P21
(— 2-0 ) ; d a s V o r z e i c h e n i n d e n P u n k t e n P n (— 10) u n d P22 ( + 2 - 0 ) a b e r i s t v o n d i e s e m v e r s c h i e d e n 3).
Aus I., II., III. und IV. folgt:
Alle Kraftlinien C 4= 1 b esteh en au s z w e i ein
fach g esch lo ssen en K u rv en zü g en e n tw e d e r d e r a r t, daß d e r eine nur den P u n k t P 12, d e r a n d e r e nur P 21, o d e r d e r a r t, d a ß d er eine P u , d er a n d e re P22
umschließt. E s u m s c h l i n g t a b e r k e i n K u r- v e n z u g g l e i c h z e i t i g P n u n d P a o d e r P j 2 u n d P 22.
Auch die Kraftlinie C = i 1 enthält keinen sol
chen K urvenzug. D enn sie zerfällt in die y Achse und eine s y m m e tr is c h zu d ieser gelegene K urve v ie r te r O rd n u n g
3 x 4-+r/4+ - 4 x 2y 2 — 4 x 2-|-5 y - — 0, die im Nullpunkt einen D oppelpunkt h a t und die
2 — x Achse au ß e rd e m in den P u n k te n d u rc h
setzt. :
-3) B erü c k sic h tig t m a n nur 1, II, III, so kann eine K urv e d e r S c h a r noch beispielsw eise die du rc h n a c h ste h e n d e S kiz z e v e ra n s c h a u li c h te G estalt haben.
Hier ist d a s V orzeic hen d e r Fun ktion, die gleich Null g e s e t z t die G le ic hung d e r K urve liefert, in den vie r P u n k te n Pn ,P n , P u , P«, da alle im „ In n e r n “ d e r Kurve, das gleiche. Bei d e r tatsächlic h v o rh a n d e n e n V o rzeich en a n o rd n u n g (H 1 o d e r 1--- 1-) a b e r muß die F unktion z w isc h e n je dem V orz e ic h e n w e c h se l auf der x -A c h se eine Nullstelle (o der eine u n g e r a d e Anzahl von Nullstellen) haben, weil ein Po ly n o m infolge seiner Ste tig k eit d a s V orz eic hen nur beim D u rc h g a n g durch 0 w echselt. Infolg edess en und w egen 1 und II kom men für die v ie r (nach III) v o rh a n d e n e n Nullstellen nu r felgende beiden Lagen in F r a g e :
E n t w e d e r o d e r
2. Juni 1929 E lek trotech n ik lind M asch in en b au , 47. Jah rg., 1929, H eft 22 471 Quenzm essungen eigentlich rech t ungeeig net, weil sie rech t viele F eh le rm öglie hkeite u besitzen und weil
472 E lek trotech n ik und M asch inenb au, 47. Jah rg., 1929, H eit 22 2. Juni 1929 Die Entw icklung der Starkstrom -L eitungsnetze in Ungarn w ird von E. T h e i ß an Hand d e r S ta tis tik des kgl, ung. M inisterium s für H andel und V e r k e h r b e s p r o chen.
Die T a b e lle I gib t eine Z usam m en stellu n g d e r in
2. Juni 1929 E. u. M. H e it 22 S e ite X V