Kondensat Bosego-Einsteina

Rozważania w tym rozdziale opierają się głównie na pracy [49].

Wytworzenie ultra-zimnej materii bozonowej oraz przekroczenie granicy kondensa-cji Bosego-Einsteina pozwala na obserwację szeregu zjawisk natury kwantowej, które jednoznacznie identyfikują badany obiekt jako kondensat.

Aby dokładniej zrozumieć zjawiska zachodzące w chmurze atomów przechodzących w stan kondensatu, weźmy zestaw N cząstek będących bozonami, czyli cząstkami po-siadającymi całkowity spin. Cząstki te podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Wartość oczekiwana liczby cząstek w stanie o energii _i wyraża się wzorem:

n_i(_i) = ¹

e(i−µ)/k_bT + 1 ^(3.16) gdzie µ jest potencjałem chemicznym układu, k_B - stałą Boltzmanna, T - temperatu-rą cząstek. Potencjał chemiczny układu dla zadanej temperatury jest ustalony przez warunek zachowania całkowitej liczby cząstek

N =^X

i

hn_ii. (3.17)

Dla wysokich temperatur potencjał chemiczny jest ujemny, a rozkład jest bardzo do-brze przybliżany statystyką Boltzmanna. Wraz z obniżaniem się temperatury potencjał chemiczny zbliża się do wartości energii stanu podstawowego ₀, którą osiąga w tempe-raturze krytycznej T_C. Wtedy liczba cząstek okupujących stan podstawowy staje się ma-kroskopowo duża. Zjawisko to jest właśnie wspominaną kondensacją Bosego-Einsteina.

Zakładając, że N jest bardzo duże, możemy zamienić znak sumy w równaniu 3.17 na całkę po gęstości stanów g() oraz pozwolić sobie na założenie, że energia stanu podstawowego ₀ jest równa 0. W związku z tym, w temperaturze krytycznej również potencjał chemiczny µ wynosi 0. Możemy więc zapisać, że liczba cząstek znajdujących się w stanie innym niż podstawowy wynosi

N_ex(T_C, µ = 0) =

Z ∞

0

g() ¹

gdzie g() jest gęstością stanów energetycznych definiowaną przez kształt potencjału, w którym znajdują się cząstki.

Dla naszych celów (wykorzystanie pułapki dipolowej), najlepszym przybliżeniem jest potencjał harmoniczny o cylindrycznej symetrii wzdłuż osi ˆz.

V (r) = ¹

2m(ω²_rx²+ ω_r²y²+ ω²_zz²), (3.19) gdzie m - masa cząstki, a ω_r oraz ω_z to poprzeczne (radialne) i podłużne (aksjalne) częstości własne pułapki, odpowiednio.

W temperaturze T → T_C, zanim temperatura krytyczna zostanie osiągnięta, możemy założyć, że wszystkie cząstki znajdują się w stanie wzbudzonym, czyli N = N_ex, lecz najmniejsze nawet obniżenie energii układu doprowadzi do makroskopowego obsadzenia stanu podstawowego, czyli do kondensacji. Wielkość T_C można obliczyć w oparciu o wzór 3.18 przy zastosowaniu wyżej wspomnianych założeń [49]:

kBTC = ^¯h¯ωN^1/3

ζ(3)1/3 ≈ 0.94¯h¯ωN^1/3, (3.20)

przy czym ζ(3) jest funkcją zeta Riemanna, natomiast ¯ω =p3

ω2

rω_z jest średnią częstością oscylatora harmonicznego w potencjale pułapkującym.

Temperatura kondensacji jest więc zależna od liczby atomów, oraz od geometrii (roz-miarów) potencjału pułapkującego, a więc od gęstości n atomów w przestrzeni położeń. Fakt kondensacji można również wytłumaczyć wprowadzając długość termicznej fali de Broglie’a, która dla swobodnej cząstki wynosi

λ_T =

s

2π¯h²

mk_BT^{. (3.21)}

Dla rozrzedzonego gazu nieoddziałujących cząstek zamkniętych w kwadratowej stud-ni potencjału o sztywnych ściankach kondensacja zachodzi, gdy w centrum pułapki jest spełniony warunek

nλ³_T = 2.612, (3.22)

przy czym powyższy iloczyn jest nazywany gęstością w przestrzeni fazowej (PSD -

Pha-se - Space Density) i wskazuje ile cząstek znajduje się w objętości wyznaczonej przez

długość fali de Broglie’a. Przy zastosowaniu warunków bardziej zbliżonych do parame-trów eksperymentalnych, możemy powiedzieć, że kondensacja zachodzi wtedy, kiedy PSD zbliża się do liczby 1.

Jak widać z równania 3.22, kondensacja zachodzi, gdy długość fali de Broglie’a czą-stek jest porównywalna z odległością miedzy nimi. Jest to o tyle intuicyjny wynik, że atomy w stanie kondensatu bardzo mocno odczuwają swoją obecność, a ich funkcje fa-lowe przekrywają się w znacznym stopniu, przez co zachowują się jak pojedynczy super-obiekt kwantowy liczący sobie dziesiątki, a nawet setki tysięcy spójnych elementów, które w sposób koherentny oddziałują z otoczeniem.

Jednym z przejawów osiągnięcia stanu kondensacji jest zmiana profilu rozkładu gę-stości atomów wewnątrz potencjału pułapkującego. Niech każda z cząstek znajdujących się w podstawowym stanie potencjału harmonicznego posiada funkcję falową φ₀(r). Po-nieważ założyliśmy, że cząstki ze sobą nie oddziałują, rozkład gęstości cząstek będzie wyrażony poprzez iloczyn gęstości prawdopodobieństw dla każdej cząstki, czyli kwadra-tów wszystkich funkcji falowych z osobna, a więc

n(r) = N |φ₀(r)|². (3.23)

Dla trójwymiarowego (ˆx, ˆy, ˆz) potencjału harmonicznego funkcja falowa stanu

pod-stawowego przyjmuje postać

φ₀(r) = ¹

π3/4(a_xayaz)1/2e^−x2/2ax²e^−y2/2a2ye^−z2/2a2z, (3.24) przy czym szerokości rozkładów a_i wynoszą

ai=

s

¯

h

mω_i^{. (3.25)}

Dla porównania, rozkład gęstości dla chmury termicznej podlegającej statystyce Bolt-zmanna, a więc znacznie powyżej temperatury kondensacji, posiada szerokości R_izależne od temperatury T atomów, wynoszące

R_i= s 2k_BT mω2 i . (3.26)

Należy zauważyć, że stosunek R_i/ai jest znacznie większy od 1, więc pojawiająca się frakcja kondensatu będzie miała znacznie mniejsze rozmiary i będzie się pojawiała na tle chmury termicznej jako wyraźny, wąski pik. Niestety, zwykle wewnątrz pułapki struktury te są zbyt małe, aby można je było zaobserwować z dobrą rozdzielczością, atomy więc wypuszczane są z pułapki i po pewnym czasie swobodnej ekspansji wykonywane jest zdjęcie. Rozkład położeń atomów po czasie ekspansji oprócz początkowego rozkładu gęstości, zależy również od rozkładu pędów.

Dla funkcji rozkładu 3.24 wystarczy wykonać transformatę Fouriera, aby otrzymać funkcję rozkładu pędów, której szerokość wyniesie

c_i= ^¯h ai

=^pm¯hω_i. (3.27)

Z faktu, iż pułapka może być anizotropowa (a_x 6= a_y 6= a_z) wynika, że rozkład pędów również może być różny w tych kierunkach, i tak im węższy rozkład gęstości w pułapce, tym częstość oscylacji oraz szerokość rozkładu pędów większe. Jest to w zgodzie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, która mówi, że im lepiej cząstka jest zlokalizowana w przestrzeni, tym szersze będzie jej rozmycie pędowe.

Dla chmury atomów o temperaturach wyższych od temperatury kondensacji, gęstość

n(p) = Ce^−p2/2mkBT, (3.28) przy czym stała C jest niezależna od wartości pędu. Oznacza to, że rozkład ten jest jednorodny we wszystkich kierunkach i zależy jedynie od masy i temperatury cząstek. Porównując równania 3.27 oraz 3.28, można łatwo wysunąć wniosek, że jeśli pozwolimy chmurze atomów wypuszczonych z anizotropowej pułapki ekspandować do uzyskania rozmiarów znacznie większych od rozmiaru chmury w pułapce, to zobaczymy wyraźną różnicę pomiędzy chmurą termiczną a kondensatem. Ta pierwsza będzie miała kształt podobny jak potencjał, z którego została wypuszczona, podczas kiedy druga będzie wy-raźnie szersza w kierunku, który początkowo był bardziej ściśnięty.