Początkowo w wiekach XVII i XVIII były to koła z zębami ukształtowanymi intu-icyjnie według dowolnie wybranych krzywych, takich jak okręgi, łuki o różnej krzy-wiźnie, czy też odcinki prostej (rys. 1.1, 1.2). Później, w wiekach XVIII i XIX, do formowania kół zębatych zaczęto stosować krzywe cykloidalne (rys. 1.4, 1.5, 1.6). Pod koniec XIX wieku oraz w wieku XX stosowano już powszechnie zarysy ewol-wentowe, zarówno do zespołów kół o zazębieniach zewnętrznych, jak i wewnętrznych (rys. 1.7–1.11). Jednocześnie w wieku XX rozwijano koła o różnorodnych zarysach cykloidalnych (rys. 1.13–1.16). Wprowadzono także do budowy maszyn hydraulicz-nych koła o zarysach specjalhydraulicz-nych (rys. 1.17, 1.18). Największe jednak znaczenie mia-ły zarysy cykloidalne oraz wywodzące się z nich zarysy ewolwentowe. W związku z tym na rysunku 2.1 rozważano [17, 56] rodziny krzywych cykloidalnych, stanowiące podstawę do formowania uzębień kół zębatych maszyn hydraulicznych.
Wyróżnia się trzy podstawowe grupy krzywych, tzn. epicykloidy, ortocykloidy i hipocykloidy oraz dwie grupy dodatkowe, tzn. ewolwenty i pericykloidy. We wszyst-kich przypadkach krzywe cykloidalne kreśli punkt M, związany z kołem ruchomym o środku O i promieniu ρ, które toczy się bez poślizgu po kole nieruchomym o środku
O1 i promieniu rb. W dalszych etapach projektowania koło nieruchome nazywa się czę-sto kołem zasadniczym, co oznacza, że jest bazą do formowania zarysu zęba.
Odpowiednio – epicykloidy (rys. 2.1a) powstają przez przetaczanie koła o promie-niu ρ po zewnętrznej stronie koła zasadniczego o promieniu rb. Jeśli punkt M leży wewnątrz koła ruchomego, to otrzymuje się epicykloidę skróconą, jeśli na jego obwo-dzie, to otrzymuję się epicykloidę zwyczajną, jeśli na zewnątrz, to otrzymuje się epi-cykloidę wydłużoną.
Specjalnym przypadkiem epicykloid są ewolwenty (rys. 2.1b) – powstają podczas przetaczania koła o promieniu ρ = ∞, czyli prostej po zewnętrznej stronie koła zasad-niczego o promieniu rb. Jeśli punkt M leży wewnątrz koła ruchomego, to otrzymuje się ewolwentę skróconą, jeśli na jego obwodzie, to otrzymuje się ewolwentę zwyczajną, a jeśli na zewnątrz, to otrzymuje się ewolwentę wydłużoną.
Czasami w literaturze [18] wyróżnia się pericykloidy (rys. 2.1c) – krzywe te po-wstają podczas obtaczania koła o promieniu ρ po zewnętrznej stronie koła o promie-niu rb < ρ. Tak jak w poprzednich przypadkach, jeśli punkt M leży wewnątrz okręgu ruchomego, to otrzymuje się pericykloidę skróconą, jeśli na jego obwodzie, to otrzy-muje się pericykloidę zwyczajną, jeśli na zewnątrz okręgu ruchomego, to otrzyotrzy-muje
a) EPICYKLOIDY epicykloida skrócona
(epitrocho-ida skrócona)
epicykloida zwyczajna epicykloida wydłużona (epitro-choida wydłużona)
b) EWOLWENTY
ewolwenta skrócona ewolwenta zwyczajna ewolwenta wydłużona
c) PERICYKLOIDY pericykloida skrócona
(peritro-choida skrócona)
pericykloida zwyczajna pericykloida wydłużona (peritro-choida wydłużona)
d) ORTOCYKLOIDY ortocykloida skrócona
(ortotro-choida skrócona)
ortocykloida zwyczajna ortocykloida wydłużona (orto-trochoida wydłużona)
e) HIPOCYKLOIDY hipocykloida skrócona
(hipotro-choida skrócona)
hipocykloida zwyczajna hipocykloida wydłużona (hipo-trochoida wydłużona)
Rys. 2.1. Rodzina krzywych cykloidalnych
się pericykloidę wydłużoną. Pericykloidy są równoważne epicykloidom. Udowodnio-no to w [19], a pokazaUdowodnio-no na rysunku 2.2. Na rysunku widać, że epicykloidę zwyczajną rysuje punkt M1, znajdujący się na obwodzie koła o środku O1 i promieniu ρ1, które przetacza się po zewnętrznej stronie koła zasadniczego o promieniu rb1. Jednocześnie taką samą krzywą, nazywaną pericykloidą zwyczajną, rysuje punkt M2, znajdujący się na obwodzie koła o środku O2 i promieniu ρ2, które przetacza się po zewnętrznej stro-nie koła zasadniczego o promieniu rb2 = rb1. Podobstro-nie można wykazać równoważność epicykloidy skróconej i pericykloidy wydłużonej oraz epicykloidy wydłużonej i peri-cykloidy skróconej.
Ortocykloidy (rys. 2.1d) uzyskuje się, tocząc koło o promieniu ρ po kole zasadni-czym o promieniu rb = ∞, czyli po prostej zasadniczej. Również w tym przypadku punkt M może leżeć wewnątrz koła ruchomego i otrzymuje się ortocykloidę skróconą, gdy leży na jego obwodzie i otrzymuje się ortocykloidę zwyczajną, jak i na zewnątrz koła i otrzymuje się ortocykloidę wydłużoną.
Hipocykloidy (rys. 2.1e) powstają w wyniku obtaczania koła o promieniu ρ po wewnętrznej stronie okręgu koła zasadniczego rb. Jeśli punkt M leży wewnątrz koła
Rys. 2.2. Równoważność epicykloidy zwyczajnej (indeksy „1”) i pericykloidy zwyczajnej (indeksy „2”)
ruchomego, to otrzymuje się hipocykloidę skróconą, jeśli na jego obwodzie, to otrzy-muje się hipocykloidę zwyczajną, gdy zaś na zewnątrz, uzyskuje się hipocykloidę wydłużoną.
W literaturze można spotkać również termin krzywe trochoidalne, przy czym od-nosi się on raczej do krzywych wydłużonych lub skróconych [17]. W związku z tym na rysunku 2.1 obok poszczególnych krzywych podano oba terminy, którymi mogą być określane.
Zróżnicowanie nazewnictwa sprawia, że ta sama krzywa występuje w literaturze przedmiotu pod różnymi nazwami. Na przykład w pracy [20] mówi się o peritrocho-idach wydłużonych, w stosunku do krzywych nazywanych w pracy [21] epicykloida-mi skróconyepicykloida-mi, w pracy zaś [22] trochoidaepicykloida-mi. W ramach tej pracy zdecydowano się przyjąć nazwę epicykloida i hipocykloida wraz z bliższymi określeniami – skrócona,
zwyczajna lub wydłużona. Nazwa przyjętej krzywej będzie także określać rodzaj
zęba, uzębienia oraz zazębienia zespołu kół.
W budowie kół zębatych można wykorzystać jedynie część prezentowanych na ry-sunku 2.1 krzywych cykloidalnych. Z grupy tej eliminuje się:
• krzywe, które są rozwijane względem prostej zasadniczej, a nie względem okręgu zasadniczego, stanowiącego bazę do budowy koła zębatego,
• krzywe, które mają pętlę w pobliżu punktów zwrotu, ponieważ prowadzi to do interferencji zarysów zębów koła zębatego.
Ze względu na pierwsze zastrzeżenie nieprzydatne są ortocykloidy, a ze względu na drugie – epicykloidy wydłużone (pericykloidy skrócone), ewolwenty wydłużone i hipocykloidy wydłużone.
Ostatecznie przydatne okazują się:
• epicykloidy skrócone i zwyczajne oraz odpowiadające im pericykloidy wydłużone i zwyczajne,
• ewolwenty zwyczajne jako specjalny przypadek epicykloidy, • hipocykloidy skrócone i zwyczajne.
Krzywe cykloidalne przydatne do projektowania kół zębatych obramowano na ry-sunku 2.1 linią grubą.
Szczegółowy sposób wyznaczenia krzywych cykloidalnych przedstawiono na ry-sunku 2.3. Na podstawie ryry-sunku 2.3a wyprowadza się równania parametryczne epi-cykloidy postaci: ( ) ( cos cos ( ) ( sin sin b e b b e b r x r r y r ρ η ρ η λρ η ρ ρ η ρ η λρ η ρ ⎡⎛ + ⎞ ⎤ = + ) − ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡⎛ + ⎞ ⎤ = + ) − ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (2.1)
gdzie: xe, ye – współrzędne punktów epicykloidy, rb – promień koła zasadniczego,
ρ – promień koła toczącego się, η – kąt epicykloidy, λ = OM/ρ – współczynnik skró-cenia epicykloidy.
Po podstawieniu λ < 1 otrzymuje się epicykloidę skróconą, λ = 1 – epicykloidę zwyczajną, λ > 1 zaś – epicykloidę wydłużoną.
Równania parametryczne ewolwenty zwyczajnej zgodnie z rysunkiem 2.3b mają postać: ( ) cos sin ( ) sin cos ew b b ew b b x r r y r r η η η η η η η η = + = − (2.2)
gdzie xew, yew – współrzędne punktów ewolwenty, η – kąt ewolwenty.
Na podstawie rysunku 2.3c wyprowadza się równania parametryczne hipocykloidy o postaci: ( ) ( cos cos ( ) ( sin sin b h b b h b r x r r y r ρ η ρ η λρ η ρ ρ η ρ η λρ η ρ ⎡⎛ − ⎞ ⎤ = − ) + ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡⎛ − ⎞ ⎤ = − ) − ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (2.3)
Rys. 2.3. Wyznaczenie krzywych cykloidalnych: a) epicykloidy, b) ewolwenty, c) hipocykloidy
w których oznaczenie parametrów jest takie same jak dla epicykloid. Podobnie jak w przypadku epicykloid, podstawiając λ < 1 otrzymuje się hipocykloidę skróconą,
λ = 1 – hipocykloidę zwyczajną, λ > 1 – hipocykloidę wydłużoną.