145 LK pewnycn szczególnych przypadkach warunki (7.12), (7.15) mogą okazfać

się sprzeczne. Wyjaśnimy to bliżej. Aby mająt6k produkcyjny w sektorach n^e malał, potrzebne sę (począwszy od momentu początkowego t I inwesty­ cje na odtwarzanie przynajmniej tej jego częóci p.( m t)+m2 (t)), która zużywa się w procesie produkcji. Sektorem inwestycyjnym jest seKtor 1. Warunki (7.12), (7.15) b^dą sprzeczne, jeżeli w momencie początkowym t dochód (produlcja końcowa) tego sektora nie wystarczy na pokrycie po­ trzeb inwestycyjnych z tytułu zużycia najętku w obu sektorach, tzn. je­ żeli zaistnieje taka sytuacja, że >+m° ) < 0 . Aby uniknąć sprzeczności należy mieć co najmniej nieujemna inwestycje netto w momen­ cie początkowym tQ : m°+m°) ^.0.

Będziemy zakładać nieco więcej, a mianowicie, że dochód sektora in­ westycyjnego w momencie początkowym pokrywa nio tylko minimalna potrzeby inwestycyjne obu stktorów (na „podtrzymanie" stanu majątku) lecz pozwala także na podjęcie dodatkowych inwestycji przynajmniej w Jednym z sekto­ rów (lub w obu równocześnie).

V Z u ł o ż e n i e 7 . 2 . 1 J a ^ - p f m°+m|) > O . ▼

Interesują nas procesy wzrostu spełniające wa-unki (7.12), (7.15) op­ tymalne z punktu widzenia następujących kryteriów:

(a) maksymalizacji konsumpcji w ustalonym horyzoncie czasu T, tzn.roz­ wiązanie zaa.inia

max J a2m2 (t)dt (7.16)

T

przy ograniczeniach (7.12), (7.15)

(moment końcowy tj horyzontu (7;17) czasu T - ustalony),

(b) neksymalizacji konsumpcji w momencie Końcowym horyzontu czasu T; czyli rozwiązanie zadania

max a2m2 (t1 ) , (7.1B)

przy ograniczeniach (7.12), (7.15)

(moment końcowy tŁ - ustalony), (7.19)

(c) minimalli *tcj i czasu dojścia do założonego (tocelowego Doziomu kon­ sumpcji c1 « a2m2 c° “ a2m2 * a rozwiązanie zadania

min tt , (7,20)

przy ograniczeniach (7.12), (7.15)

i dodatkowym warunku: a nj>(tri ) ^ c* (7.21) (moment końcowy t1 - nie ustalony).

TZT

Ponieważ m° • (m°,m2 ) > 0 , zatem Jeżeli spełnione jest to założe­ nie, wtedy spełnione Jest także założenie 7.1.

7 . 3 . 2 . Z A D A N I A T O W N O W A Z N E

Sformułowane z a d a n a nie jg 8tand»rdo*»yni i r o n i a m i ita 0*1 .11. utore

p r z e d s t a w i l i ś m y w p a r a g r a f i e 3 . z e w : ? y l ę d u n u n i e r ó w n o ś ć 1 5 ) . N i e s t o ­ s u j ę s i ę d o n i c h w o b e c t e g o t a k ż e p o a a n e t a m w a r u n k i 00 " y m u l n o s c i .V c e l u p r z e d s t a w i e n i a z a d a ń ( 7 . 1 6 ) - ( 7 . 1 7 ) , ( 7 . 1 8 ) - ^7 .1 9 ) * , ' ( 7 . 2 0 ) - ( 7 . T l ) w p o s t a c i s t a n d a r d o w e j s k o r z y t a m y z n a s t ę r - u j ^ o y o t w i e r d z e n i a . □ T w i e r d z e n i e 7 . 3 . ^ P r z y . . t J a z e n i u 7 . 2 : ( i ) jeżeli p r o c e s (3, m ) p s p e ł n i a w a r u n k i ( 7 1 2 ) , ( 7 . 1 5 ) , t o r . s t n i e j a d o k ł a d n i e j e d n a t a k a f u n k c j a a : T — - [ o , 1 j , a t C ° [ t ] , ż e , s( t ) = p / S j * oi ( t ) vjn ml t ‘ t ) , g d z i e >J> (in(t))= ( j a) ( t ) - p m 2 ( th)-,, ( i i ) p r o c e s ( s , m ) T s p e ł n i a w a r u n k i ( 7 . XV.), ( 7 . 1 5 ) w t e d y i t y l k c w t e o y g d y p a r a ( a , m ) - p s p e ł n i a u k ł a d r ó w n a ń ^ m1( t) = <x( t) ^( m( r)) , ^■jr m ? ( t ) = (1- oc( t )) ^ ( m ( t )) , gdzie oc(t) 6 f O, lj , (X € Ć° |_"r ] • B U k ł a d - i w n a ń (■*) o p i s u j e p r z e k s z t a ł c a n i e s t a n ó w w e w n ę t r z n y c h g ł a d k i e g o , d w u w y m i f . w e g o , S C a c j o n a ^ n e g o s y s t e m u a y n a m i c z n t 3 0, k t ó r e g o s t a n e m w e w - n ę t r z n / m w m o m e n c i e c z a s u t j e s t w e k t o r m ( t ) ■= ( m ^ ! t ) , n> ^ O ) m a j ę t k u p r o d u k c y j n e g o w s e k t o r a c h , s t i r o w a n i e m - w s k a - . i i k Oi ( t ) p o d z i a ł u i n w e s t y ­ c j i ( n e t t o ) m i ę d z y s e k t o r y , s t a n e m w y j ś c i a - k o n s u m p c j e c ( t ) ( p r o d u k c j a k o ń c o w a s e k t o r a 2 ) . P r z e k s z t a ł c e n i e w y j ś c i a m a p o s t a ć ( 7 . 9 ) . Z b i o r e m s t e ­ r o w a ń j e s t p r z e d z i a ł [^0, l j . Z a d a n i e ( 7 . 1 6 ) - ( 7 .1.7 ) j e s t r ó w n o w a ż n e z n a s i < p u j ę c y m z a d a n i e m s t a r o ­ w a n i a o p t y m a l n e g o z u s t a l o n y m m o m e n t e m k o ń c o w y m t x : m a x j a2m2( t ) d t , T ^ ■ m ^ t ) = a ( t ) [( a x - p ; m3 ( t ) - u m 2 ( t ) ] , J - m2( t ) = ( l - ( X ( t ) ) [ ( a1- ^ ; m1( t ) - p . m 2 (' -) ], a ( t ) e [ o , i J ,c x£c° [t], ( m1( t0)."'2( t o ) ) ■= ( m ° , . n 2 )

__________

.

1 4 7

(nt^.nig > 0 ) . k ó w n o w a ż n o s ć r o z u m i e m y w t y m s e n s i e , że p r o c e s ( c x * , m * ) T b ę - d z .e r o z w i j a n i e m t e g o z a d a n i a w t e d y i t y l k o w t e o y , g d y r o z w i ę z a n i e m z a ­ d a n i a (7,lb) - (7.17) b ę d z i e p r o c e s ( s * , m * ) T < w k t ó r - y m s * ( t ) =

“ }-/Jl ł f ) [( ^ - p ) m?( t)-pm^f t)]/ajm^f t ) . W tym samym sensie zadanie '7.18) - (7.19) Jest równoważne z zadaniem

max a2m2 (t1 ) .

przy oę,r pniczeniach (7.17‘) (mo.nanr końcowy t^- ustalony).

a zadani« (7.20) - (7.21) - z zadanie

min t^ ,

przy ograniczeniach (7.17') i dodatkowym warunku: a2 H2**i) > c1 ( > o 2 m°=c°) (moment końcowy t^ - nie ustalony, zmienna decyzyjna zadania) .

(7.18 *)

(7.19')

(7.20')

(7.21')

D 7- w i e r d z e n i e 7.4.12 (i) Rozwięzaniem zadania (7.16’) - -(7.1/ ) przy założeniu 7.2 jest proces (a*,m*)T następujęcej postaci:

1 dla te ft ,t) ,_{L o '} 0 dla t€ 1_T , t «*(*) = ^ ( t ) = Ą{%) = dla f 6 [*0 ■ ^) dla te[t,rę] , dla ' -n( t-t)

gdzie d =y/(a1~^.. Jeżeli horyzont czaau T jest długi, |t| >b, wówczas ti - 6 > to' 9dzid 6 jest dodatriim pierwiastkiem równania

12

Dowód,zob.Dodatek matematyczny do paragrafu 7, twierdzenie 7.4 S. 265 e

1 -K(1_ “ Ł’H<? •

Oeżeli horyzont czasu T jest krotki, |t|<^b, to tQ .

(ii) Rozwiązaniem zadania (7.18‘) - l7.19‘) jest pro».e9 tej samej pos­ taci, lecz różniący się momentem „przełączenia" sterowania o<*. (z 1 r.a O), a wobec tego i oceną długości horyzontu czaau F: przez krótki w zadaniu (7.18') , (7.19') rozumiemy horyzont, którego długość |t|<^6 =

= |*-1ln [l+fVa2 ( Bj-p)] , przez długi horyzont, którego długość |t| > 0. Oeżeli |t| ^ 6, to ^ = inaczej

% • t 1- e > r o . ■

W zadaniu (7.20’) - (7.21') warunek kgńcowy a,m2(t1 ) ^ c1 Jest wiążą­ cy, tzn. w optymalnym procesie (a*,m*) ft t* 1 spełniony Jest z rów-

_ L o l - *

nością . Oest to więc typowa zadanie minimalnoczaeowe z ustalonym prawym krańcem trajektorii.Nie będziemy Jednak powt arzac całej procedury docho­ dzenia do rozwiązania tego zadania. Interesujące nas właściwości rozwią­ zania wynikają bowiem z rozwiązania zadania poprzedniego. Zadania (7.18') - (7.19') i (7.20') - (7.21*) są dualne w tym sennie, że Jeżeli proces (oc*m*)T Jest rozwiązaniem zadania (7.18') - (7.19') (z ustalonym hory­ zontem czasu), to Je9t on równocześnie rozwiązaniem zaoania (7.20’) -- (7.21'), z docelowym poziomem konsumpcji c1 równym poziomowi kon­ sumpcji c*(i ) osiągniętemu w optymalnym procesie w zadaniu (7.18') -- (7.19'). Odwrotnie, jeżeli proces (Ot*,m*) rt t* 1 Jet>t rozwią2 aniem -

za-L o ' 1 -J

dania (7.20')-(7.21') { t - najwcześniejszy moment dojścia do docelowego poziomu konsumpcji c1 ), i w zadaniu (7.18 ) - (7.19') przyjmiemy horyzont czi u T ■ T*» |"t . tj i . to proces ten pędzie równocześnie rozwiązaniem

te--H I* ¥ *1 go zadania.Innymi słowy,jeżeli optymalny horyzont czasu T * [t Q$t^Jpotrzebny na dojście do docelowego poziomu konsumpcji c1 w zadaniu (7.20') -- (7.21') jest krótki, |T*|48 -- p _1ln[l+/a2 («1--n)], to rozwiązaniem tego zadania Jest proces («*,m*)^^ , w którym

cx*(0 = 0,

nlJ(t) = m°, m2 ( t ) = (T,°-d'1m ° ) e ' ^ t' to)+d-:1m°

w każdym momencie czasu t € T*. Oeżeli optymalny horyzont czasu T * jest długi, |T*|>t9, to rozwiązaniem zadania jest proces {a* m*)T *takieJ samej

13 Ponieważ m*£ C° [t , t*] , zatem gdyby zachodziła nierówność a,m,? (t?) > c , wtedy znalazłaby się raka liczba Ł^>0, że prawdziwa była-

c. c.

149

postaci jak proces w (i) z momentem „przełączenia" sterowania X- t^-6, gdzie 6 = In [i + |ya2 ( 8^-^a) ] . Optymalny horyzont czasu T* wydłuża sly w miarę Jak rośnie docelowy | oziom konsumpcji c1 , przy czym tmienii. się (roanie) tylko długość faa.y pia.-wazej (przedział czasu [ to> t )) .

7.3.3. CHARAKTERYSTYKA ROZWIĄZAŃ

Trajektorie dochodu wytwarzanego w sektorach go&poJarki i inwestycji odpowiadająco optymalnym procesom we wszystkich trzech zadaniach otrzy­ mujemy z (7.2). ( 7 . 7 ) . Konsjmpcja c*(t)=y£(t). W stosunku do rozwiązania zadania (7.11) - (7.12) otrzymaliśmy pewną poprawę - w żadnym rozwiązaniu nie obserwujemy obecnie zjawiska zerowanie się inwestycji w sekto-ach,Nie wykluczyliśmy natomiast gwałtownych „skoków" w podziple inwestycji między sektory w momentach „przełączenia" sterowania. Tak Jak poprzednio,w krót­ kim horyzoncie czasu (a w zadaniu minimalnoczasowym - przy niskim docelo­ wym poziomie konsumpcji c1 ) cała nadwyżka inwestycji ponad tę ich wiel­ kość, któia Jest niezbędna dla „podtrzymania" na wyjściowym poziomie m® stanu majętku produkcyjnego w sektorze 1 kierowana jest na zwiększenie za­ sobu majętku produkcyjrego w sektorze 2. Oochód sektora 1 utrzymuje się ria stałym, wejściowym poziomie, dochód sektora 2 (konsumpcja) rośnie gas- nąco. vV długim horyzoncie czasu (a w zadaniu ininimalnoczasowym - przy wy­ sokim docelowym poziomie konsumpcji) obserwujemy dwie fazy wzrostu. W fa­ zie pierwszej - inwestycyjnej - szybko rośnie m a j ą t e K i produkcja sektora 1 wytwarzającego aobra inwestycyjne. Produkcja sektora 2 (konsumpcja) utrzymuje się a tym czasie na wyjściowym poziomie, zdecydowanie większa część inwestycji kierowana jest do sektora 1. Inwestycje w sektorze .2 umożliwiają jedynie podt rzyganie" majątku na stałym wyjściowym poziomie (zerowe inwestycje netto). Można by rzec, że rektor ten cz^ka na dogodne warunki „startu", które przygotowuje sektor inwestycyjny. W fazie dru­ giej - konsumpcyjnej - zostają zredukowane do minlmun, inwestycje w sek­ torze l(<io poziomu wystarczającego jedynie na podtrzymanie tego stanu ma­ jątku, oo którego sektor dochodzi pod koniec fazy pierwszej),natomiast ros­ ną inwestycje w sektorze 2. Majątek tego sektora oraz dochód (konsumpcja) rosną - jednak gasnęco. Warto zauważyć, że na stopę wzrostu dochodu w sak- torza 2 w fazie drugiej nie ma wpływu efektywność majętku w tym sektorze natomiast ma wpływ efektywność majętku w sektorze 1. O d efektyw­ ności ma, ętKu w sektorze 1 zależy bowiem m.in. wielkość inwestycji pono­ szonych w sektorze 2 w drugiej fazie wzrostu, d więc pośrednio wzrost pro­ dukcji tego sektora. Przejściu od inwestycyjnej fazy wzrostu do fazy kon­ sumpcyjnej towarzyszy Jednak, podobnie Jak w rozwięzaniu zadania (7.li) -- (7.12), natychmiastowy s p a d e k inwestycji w sektorze 1 i ich wzrost w

czasu

7.3.4. R0WN0.7AGA I STAdlLNOŚC OPTYMALNYCH PROCESÓW WZROSTU

Rozpatrzmy procesy wzrostu (cx, m) którym odpowiada stuła wielkość kon­ sumpcji tzn. takie procesy, dla których

b(m,c) = c (= a n ) = const.

Można wskazać dwa typy takich procesów. i

(A) Sterowaniu o<T tożsamosciowo równemu jedności odpowiacaję torie majętku produkcyjnego m-p i konsumpcji cT ,

° „ { -m) (t—t „) m1 (f ) = (ńij-d"^) 8 + '

•Hp (t ) a nip,

ć(t) = a2m°

►

w każdym momencie czasu t € T, gdzie i,i°, - dodatnie poczętkowe zasoby majętku w sektorach spełniające warunek m^ - d m ° > 0 ; d = p.( a1~(ji) .

i

(b) Dowolnemu innemu sterowaniu (X y odpowiadaję w G-równoweaze tra­ jektorie majętku mT 1 konsumpcji ćT ,

I

5 ^ ( 0 = F°, fn0 (t)= m°, crt) = a2 m| (7.23)

w każdym momencie czasu t £ T, gdzie m° jest dowolnę dodatnię poczętko wę nielkościę majątku produkcyjnego w sektorze 1, m£ « d_1T p (jest to stan klasycznej równowagi „statycznej” , por.rozdz.I , paragraf 2).

t r a i e k

151