OPTYMALNE TRAJEKTORIE WZKOSTU W MODELACH JEDNOSEKTOROWYCH
107 Jętku produKcy]nogo, dochodu narodovyego 1 konsumpcji, a także technicz
6.4. Procesy wzrostu z ciągłymi trajekłoi ami inwestycji i konsumpcji
w rozwięzaniach obu poprzednich zaa iń optymalne trajektorie Inwestycji i koneumpcyji były niecięgie, pomijajęc mało ciekawy przypadek krótkiego horyzontu czasu T. Z ekonomicznego punktu widzenia rozwięzanla takie sę nierealne, na co niejednokrotnie zwracaliśmy uwn^ę, analizując pro cesy wzrostu w modelach Jadncczynnikowych. Zadania (6.15) - (6.16), (6.20') - (6.21') były zadaniami sterowania optymalnego gładkimi systema mi Jednowymiarowymi. Stan wewnętrzny tych systemów charaKteryzował poziom technicznego uzbrojenia pracy, at_»nem wejścia (sterowaniem) w zadaniu (6.15) - (6.16) był udział inwestycji w oocnodzle narodowy*, natomiast w zadaniu (6..20') - (6.2i') - udział inwestycji w części dochodu narodowego pozostającej po oaliczenlu pewnego „Minimum konsumpcyjnego" oraz nakł idów na odtworzenie zużytego majętku 1 Jego wzrost ze stopę równę stopie wzros tu ludności. W celu sformułowania zadania sterowania optymalnego z clęgły- ml trajektoriami inwestycji 1 konsumpcji rozpatrzymy gładki dwuwymiaro w y system, w którym Jednę współrzędny trajektorii stanów wewnętrznych bę dzie kapitałochłonnośc produkcji, drugę - udział Inwestycji w dochodzie narodowyp (stopa inwestycji). Zatem przekształcenie stanów wewnętrznych takiego systemu opisywać będzie układ dwóch równań - równanie wzrostu ka- pitałochłonności 1 równanie wzrostu udziału inw«etycjl w dochodzie naro dowym.
50 i
Warunek (i) otrzymujemy, przyj-nujęc: 6 - max (v ln , d 2 ) .Je żeli poczętkowe techniczne uzbrojenie pracy u° 6 (u . u ) l 6 - d -te-
. , . o r „ max 2* J
żeli u ■ uj 6 « m_x {d,, , ■J,2 in d4 J > J**ell u" < u (oceny parame trów d t , u, umax podnle twierdzenia 6.4). Dowód (ii) pomijamy -- n biega podobnie. Jak dowód twierdzenia 6.2 (ii). Podobnie zachowuję się opt rmalne ti d j e k t o n e majętku produkcyjnego, dochodu narodowego, wy dajności pracy, konsumpcji 1 koneumpcjl r osobę.
6.4.1. SFORMUŁOWANIE ZADANIA
Załóżmy, że wzrost majętku opisuje równanie (zob.(6.7))
m(t) = i (t )-pm( t )
a współdziałanie majątku 1 pracy w tworzeniu dochodu narodowego - statycz na funkcja produkcji postaci (6.6), tzn. (przy założeniu, że ludność roś nie ze stopę A ):
y(t) = .mŁ(t)[ęil0e?V( °^J
((j- wskaźnik aktywności zawodowej ludności w sferze produkcyjnej). Wprowadźmy oznaczenie:
k(t) « m(t)/y(t) - kapitałochłonność produkcji w mo mencie czasu t (wymiar: R).(6.2b)
Po wprowadzeniu tej zmiennej do wyjściowego równania wzrostu majętku otrzymujemy równanie wzrostu kapitałochłonnoścl
& k{t) = (Ł-l) (p+A)k( t ) + (1— Ł,)s(t) , (6.27)
gdzie s(t) jest wskaźnikiem udziału inwestycji w dochodzie narodowym w momencie czasu t. Niech T oznacza horyzont czasu z u stalonym momen tem poczętkowym tQ i dowolnie wybranym momentem końcowym t j ^ 00 Przez Ot0 > 0 oznaczmy minimalny , a przez oc1 > oi ° - maksymŁlnle do puszczalny i udział inwestycji w dochodzie narodowym, [cx°,u C
Interesuję nas clęyłe, przedziałami gładkie funkcje sT z wartościami w oi1]. Warunki te spełnia na przykład rozwięzanie równanie
rfp s( t ) =<o(cx (t)-s(t)) ' 6.28)
(GJ _> 0) z dowo] nym warunkiem poczętkowym s(tQ ) £ rcx “.C*1 ] i' funkcję OC£C°[t], z wartościami w [(*' o ł ) w każdym momencie czasu t € T . ^ Je- żeli <X(t) > s( t) ( O « to ds(t)/dt > 0 « ) i udział Inwestycji w do chodzie rośnie (maleje). Oeżeli oc(t) » s(t) w pewnym okresie, wtedy
•dział inwestycji w docnodzie narodowym utrzymuje się w tym okresie czasu na stałym poziomie. Funkcje z klasy C° [t] graję rolę sterowiń. Tra jektorie sT z rozwięzania równania (6.28) sę ich „przybliżeniami"w kla sie funkcji C*[t] . Równanie (6.28) określa reguły „nadężania" (śledze nia) trajektorii udziału inwestycji w dochodzie narodowym sT za trajek torię • starowaniem) (\n .
cg
Paraactr co ma wymiar l/R, współczynnik tfft), podobnie Jak s(t), jest wielkości* niemlanowanę.
1 2 9
Przyjmijmy, podobnie jak dotychczas, że stanem wyjścia systemu Jest konsumpcja na osobę. Po prostych przekształceniach otrzymujemy
y(t)- <f(l-s(t))a1/(1’ Ł)kŁ/(1-Ł){t) .' (6.29)
Fara równań (6.27) - (6.28) opisuje przekształcenie stanów wewnętrznych gładkiego, dwuwymiarowego systemu dynamicznego. Współrzędnymi wektora Je go stanu wewnętrznego s ą : kapitałochłonność produkcji k (t) i udział in westycji w dochodzie s(t) (stopa inwestycji). Sterowaniem Jest funkcja 0<T udziału Inwestycji w dochodzie naredow/m z k-nsy funkcji t [t], za którą .nadąża" zgodnie z (6.28) cięgła t'ajektoria udziału inwestycji w oocho- dzie narodowym s-j-. Zbiorem sterowań Jest przedział [«°,CX*] . Równanie (6.29) Jest przekształceniem wyjścia systemu. Oznaczmy przez I 0 > 0 po czątkową kapitałochłonność produkcji, przez s° € [c x0 ,c k1 | - początkowy udział inwestycji w dochodzie narodowym i załóżmy, że horyzont czasu T = = T t Q + oo ). Wszystkie rozwlęzaria (s,k)^t 4 oo ) układu równań(6.27) - (6.28) z warunkiem początkowym (k( *) , e(t°)) = (k°,s°) i sterowaniem
r + ^ ^ z wartościami w ^ot°,cx^J są równomiernie ograniczone na ca- łej°półosi czasu l ,+ oo ): &( t ) €[cx°, ot J oraz 0 < k ( t ) ^ max |k° ,0c^/ (|a+ *K) w każdym momencie czasu t£[tQ ,+ oo ). Innymi słowy przy czasie t — •- + oo kapitałochłonność produkcji nie może rosnąc ni«ogr9niczenie. Pooobnie równomiernie ograniczone są trajektorie konsumpcji na osobę ^[t , -t- oo ) .
1 <
Oznaczmy przez j docelową wielkość konsumpcji na osobę,
s 1 > f - 9 d ^ ) . 1/(i ’£\k°)£/(1- f-) .
Interesuje nas proces wzrostu spełniający warunki (6.27), (6.28J i prowa dzący w najkrótszym czasie do docelowego poziomu konsumpcji tzn.roz wiązanie zadania: min tj , (6.30) k ( t ) - (Ł -l)(p.+ A ) k ( t ) + ! l - Ł ) s ( t ) , J f 5 ( t ) = OJ (oć (t)—s(t)) , 0t(t)6 [oc0 ,^1] . « . € C ° J | 0 .t1] , (6.31) (k(to ),s (tQ )) = (k ° ,s°), {k(t1 ),s(tIl)>e*1 = {(k.s):: <?(l-s)a1/'l- £V /(l- Ł) =
i 1}
l i( k ° > 0 ; e0 € | oc°, Of1 J ). Ze względu na równomierną ograriczoność wszystkich trajektorii konsumpcji warunki (6.31) mogę okazać się sprzeczno, Jeżeli ustalimy zbyt „ambitny" docelowy poziom konsumpcji ^ . Załóżmy, że wiel
kość tej konsumpcji została tak ustalona, ii zadanie jest niegprzeczne, a parametry zadania spełniają warunki
V z a ł o ż e n i e 6.3. o(°< i , c j> (1-1) (p.+A) ▼ W t t-dy rozwiązanie zadania Jest następujące.
□ T w i e r d z e n i e 6.6. M Rozwięzaniem zaaania (6.30) - (b.3l) przy założeniu 6.3. jest proces ( 0 * 3 * ^ * ) ^ - * następujęcej postaci:
dla t £
f
tQ .t)<*(t)
dla t £ ftV*] ,
• *(t)
k*(t)
(s0-c<.1 )e-lJ^1 dla t C [^o1^ ’
(9*('Gi-0?)e-U)^t-^ +&.u dla t t [t , tj) ,
d l a 1 e [ * o llB) ' ( k * ( r ) - d 3 ( t ) - d 4 ) e _ ( 1 _ Ł ) ( ^ + * ) ( t _ t ) + d 3 ( t ) e " u ( t ' t ) + + d. gdzie dj^ = ( s^o^J/fjA+A)- yj - ) d
3
( t ) - (e*tz )-*°)/(p+\ - i ^ - ) . dla t 6 [t ,tj] , d2 " 1/ ( ) , d4 -ot°/(^.+\) ,T * = .tj] , tj - wartość kryterium (6.30) (najwcześniej szy moment doj- jcia do poziomu konsumpcji .
3ezell docelowy poziom konsumpcji ^ można osięgnęć w krótkim czasie (krótki horyzont czasu T * ) , to 1 = t i proces (ot* s* , k* )T* redukuje się do postaci
a*( t ) = a ° ,
I O 0\ -o( t-t ) o s*(t) = (s - « )b O + Ot ,
Dowód,zob.dodatek nntemalyczny do paragrjfu b, twierdzenie 6.6 s. 259. Zadanie (6.30) - (6.3l) ma rozwiązanie również baz zawożenia 6.3, które można otrzynać, rozpatrując kolejno wszystkie kombinacje
t*0 | Ł . w | (1 - Ł ) ( p-+ A ). We wszystkich przypadkach stjrowjnle optyma no ma takę sarnę posta Jak w twierdzeniu 6.6. Rozwiązania różnię się tylko momentami przełęczenia sterowania optymalnego i po itaclemi t ra- JeKtorii s** , ^ .
131 k * ( t ) = ( k d' ^ 5 ( ł J - d 4 ) e - < * ^ ^ + ^ , - t o ) * d 3 ( r # ) i “ w t * " t o ) * d 4 ‘i w k a ż d y m m o m e n c i e c z a s u t € T * , g d z i e d 3 ( t Q ) = d 3 ( t ) d l o t = t . O e ż e l i n a o s i ą g n i ę c i e d o c e l o w e g o p o z i o m u k o n s u m p c j i p o t r z e b n y j e s t d ł u g i o k r e s c z a s u ( o ł u g i h o r y z o n t c z a s u T * ) , w t e d y n a s t ę D U j O „ p r z e ł ą c z e n i e " s t e r o w a n i a ° < * * z o<* n a oc° w m o m e n c i e t € i n t T , p r z y c z y m d ł u g o ś ć p r z e d z i a ł u [ t Q . t ) r o ś n i e p r z y t * — «- + 0 0 . U ł u g o ś ć p r z e d z i a ł u [ " t . t * ] j e s t o g r a n i c z o n a , t z n . i s t n i e j e t d k a l i c z b a 6 ’ > O , ż e t * - T ^ 6 ‘ d l a h o r y z o n t u T * d o w o l n e j d ł u g o ś c i . B 6 . 4 . 2 . C H A R A K T E R Y S T Y K A R O Z W I Ą Z A N I A Z A D A N I A ( 6 . 3 0 ) - ( 6 . 3 l ) W J E D N Y M P R Z Y P A D K U S Z C Z E G Ó L N Y M ( s ° - O l 1 , k ° < a ° / ( p . + A ) , H O R Y Z O N T C Z A S U T * - D Ł U G I ) O p t y m a l n ą t r a j e k t o r i ę k o n s u m p c j i n a c ^ o b ę o d p o w i a d a j ą c ą p r o c e s o w i ( c x * , s * , l * ) * o t r z y m u j e m y z ( 6 . 2 9 ) , a t r a j e k t o r i ę t e c h n i c z n e g o u z b r o j e n i a p r a c y u * * - n a p o d s t a w i e ( 6 . 2 6 ) . W c e l u o t r z y m a n i a p o z o s t a ł y c h t r a j e k t o r i i w y s t a r c z y s k o r z y s t a ć z w a r u n k ó w ( 6 . 8 ) - ( 6 . 1 1 ) p a m i ę t a j ą c , ż e t y m r a z e m f u n k c j a p r o d u k c j i m a p o s t a ć ( 6 . 6 ) - t y m s a m y m w ( t ) = a u Ł ( t ) . P o s t a ć o p t y m a l n y c h t r a j e k t o r i i z a l e ż y m . i n . o d p o c z ą r k o w e j K a p i t a ł o - c h ł o n n o ś c i p r o d u k c j i i p o c z ą t k o w e g o u d z i a ł u i n w e s t y c j i w d o c h o d z i e n a r o d o w y m , t z n . o d s t a n u w y j ś c i o w e g o g o s p o d a r k i ( k ° |IJ) , o r a z d o c e l o w e g o p o -1 z i c m u k o n s u m p c j i ^ . D l a p r z y k ł a d u p r z e ś l e d ź m y p r z e b i e g o p t y m a l n y c h t r a j e k t o r i i w p r z y p a d k u , k i e d y p o c z ą t k o w e k a p i t a ł o c h ł o n n o ś ć p r o d u k c j i j e s i n i s k a , k < ot / ( ^ + A ) , p o c z ą t k o w y u d z i a ł i n w e s t y c j i w d o c h o d z i e j e s t m a k s y m a l n y . s ° = (X1, a d o c e l o w y p o z i o m k o n s u m p c j i n a 0 9 0 b ę n a t y l e w y s o k i , ż e m o ż n a g o o s i ą g n ą ć d o p i e r o p o u p t y w i e d ł u ż s z e g o c z a s u w d w ó c h f a z a c h w z r o s t u : p o d t r z y m u j ą c m a k s y m a l n y u d z i a ł i n w e s t y c j i w d o c h o d z i e n a r o d o w y m w r a z i e p i e r w s z e j - z w i ę k s z a j ą c t y m s a m y m d o c h ó d n a r o d o w y - i z m n i e j s z a j ą c u d z i a ł i n w e s t y c j i w d o c h o d z i e n a r o d o w y m w f a z i e d r u g i e j , c z y l i z w i ę k s z a j ą c u d z i a ł k o n s u m p c j i . M a k s y m a l n e m u u d z i a ł o w i i n w e s t y c j i w d o c n o d z i e n a r o d o w y m w f a z i e p i e r w s z e j t o w a r z y s z y m o n o f o n i c z n y ( g a s n ą c y ) w z r o s t k a p i t a ł o c n ł o n n o s c i p r o d u k c j i , k t ó r a w t y m o k r e s i e z o l i z a s i ę d o p o z i o m u K 1 /()Jl+ \ ) , a l e n i e o s i ą g a g o . P r d o b n i e r o ś n i e i c h n i c z n e u z b r o j e n i e p r a c y , z b l i ż a j ą c s i ę d o p o z i o m u [ o o ^ / f p . - r A ) i w y o a j n o ś ć p r a c y , k t ó r a z b l i ż a s i ę d o p o z i o m u a [ a o r / t ^ - r / )] ^ ^ 1 • W p i e r w s z e j f a z i e p o w o l i r o ś n i e t a k ż e k o n s u m p c j a n a o s o b ę . P r z e b i e g o p t y m a l n y c h t r a j e k t o r i i m a j ą t k u p r o d u k c y j n e g o , d o c h o d u n a r o d o w e g o , i n w e s t y c j i i k o n s u m p c j i j e s t p o d o b n y z t y m , ż e r o s n ą o n e o d -6 1 p o w i e o n i o s z y b c i e j W f a z i e d r u g i e j n a s t ę p u j e z m n i e j s z e n i e u d z i a ł u i n w e s t y c j i w d o c h o d z i e n a r o d o w y m . K a p i t a ł o c h ł o n n o ś ć p r o d u k c j i , t e c h n i c z n e u z b r o j e n i e p r a c y i w y d a j n o ś ć p r a c y p r z e z p e w i e n c z j s j e s z c z p r o s n ą , p o t e m z a c z y n a j ą p o w o l i m a -S z y b c i e J - o w i e l k o ś ć r ó w n ą s t o p i e w z r o s t u l u d n o ś c i A ,
lec. Ma skutek zmniejszania się udziału inwestycji w dochodzie narodowym obserwujemy szybszy niż w fazio pierwszej wzrost konsumpc_i i konsumpcji na oaobę. Majątek produkcyjny i dochód narodowy rosnę {c’ioć może się zda rzyć, że przy bardzo niskiej stopie wzrostu zatrudnienia zaczną nieznacz nie maleć pod koniec horyzontu czasu T * , rys.6 13).
k(t)
Rys.6.13. Optymalna trajektoria Kapitałochłonności produkcji roz wiązanie za-jnia (6.30) - (6.31) w przypadku, gdy początkowa kapi tał och-tochłonnosć nrodukcji jest niska, początkowa itopa inwesty
cji Jest maksymalne i horyzont T - długi
6.4.3. RÓWNOWACA I ST/aBILNOŚĆ OPTYMALNYCH PROCESÓW WZROSTU
Z analizy optymalnej trajektorii k*.# wynika że w pierwszej fazie wzrostu kapitałochłonność produkcji zbliża się do poziomu cx /(p+A). Konsumpcja nd osobę zbliża się wtedy do poziomu
£-= ij( 1- ot1 )a X / 'Ł^ • Rozpatrzmy procasy wzrostu (<X,I,l<)r \ na półosi czaau tQ , + oo ) którym >dpowiadają trajektorie
LV+
’
konsumpcji ? z wartościami « )
/ ( O = const.
w każdym momencie czasu t6 [to , t o o ) . Innymi słow> interesuję nas proce sy wzrost j w 6 -równowadze ze stałym poziomem konsumpcji na osobg. Pro cesy te mają bardzo prostą postać:
!(t ) = I = const . ,
£(t) = £ = 5/{p+A) = con&t. , (6.32) $ ( t ) = g-^(l-I)a1/(1‘ Ł) [s/(p+\)j/(1_£^ = const.
w każdym momencie czasu t €. [_^q»+ 00 )» gdzie s oznacza dowolny udział inwestycji w dochodzie narodowym, i £ [oc°,o^J • Z twierdzenia b.6 wiado mo, że im dłuższy Jest horyzont czasu T*tyrr, dłuższa Jest pierwsza faza wzrostu, w której kapitałochłonność produkcji k*(t) zbliża się Oo po ziomu (X1/ U+A), tzn. oo poziomu kapitałochłonności produkcji w 5
-równo-133 wadze z mLksymalnym udziałem inwestycji w dochodzie i -c*1 . Obserwujemy więc wolstę zbieżność optymalnej trajektorii kapitałochłonności do poziomu kapitałochłonnosci w (5-równoi adze z maksymalnym udziałjm i.nwes- tycli w dochodzie: im dłuższy Jest horyzont czasu T*, tym dłużej optymal na trajektoria kapitałochłonnosci k*# przebiega w otoczeniu trajektorii kapitałochłonnosci w S -równowadze z m„k9ymalnym udziałem inwestycji w dochodzie narodowym (w otoczeniu magistrali , rys.6.14).
.6.14. Trajektoria kapii łochłonności produkcji w © -równowa- d;:i ze statym mausymalnym udziałem lnwo^tycji w oochodzie i opty malna trajektoria w przypjdku nisKieJ pocsętkowsj kapitałochłon
ności produkcji i długijgo horyzontu T *
□ t w i e r d z e n l e 6.7.62 (i) C/la dowolnej liczby Ł ,> 0 ist niej* taka liczba 8^ ^>0, że Jeżeli długość optymalnego horyzo.itu czasu
w zadaniu (6.30) - (6.3l) spełnia warunek |t,<|>2 & -, to
w każdym momencie czasu t € [ t o+ S ^ t j - s J . gdzie ><max- E(t) = o^/fp+A.) Jest maksymalnę kapitałochłonnościę produkcji w 6 -równowadze( magistra lę )« - optymal nę trajektorię kapitałochłonnosci procukcji (rozwią zaniem zadania (6.30) - (6.3x)).
Warunek (i) otrzymujemy, zważywszy na postać optymalnej trajektorii kapitałochłonność 1 k** . Wystarczy przyjęć eŁ . max U " 1 in(2 <p /£.) e } . gdzis { d l .l.k-O-d^l} , f2 = m i n { ( l - Łi) ( p ł A ) , L l ! Oceny parametrów d1(d2 podaje twierdzenie 6.6, 6 J*st ocenę długości
P o ^ k c J l Cnanpóło:i^zasuiCł T ^ ^ d o b n l ^ a r S n k i s p ^ n ^ f ^ o p t y
-r 3 ii-“ 5=51 **!!£^iS-r}aŁK5!:
S2g?ń£ r: ?” M r4“ « r. .W *S d łoł cI i
tz
9 p y k** 0 średnie stopy wzrostu tych wielkości zbli- żaję się do A * T
(ii/ Przy |T*j-*-+oo średnia stopa wzrostu kapital ochłonności pro dukcji ^ k^ * w horyzoncie czasu T* maleje do ^era.ł
W rozwiązaniu zadania (ó.30) - (6.3l) nie pojawia się środkowa faza równomiernego wzrostu, która występowała w rozwiązaniach dwóch poprzed nich zadań (6.15) - (6.16), ( 6 . 2 0 ) - (6.21'). W poprzednich ,rozwięza- niach wydajności pracy i techniczne uzbrojenie pracy oraz kunou-pcja na osobf rosły w fa^ie środkowej ze atopą v/(l-£j, a zatem teraz rosłyby one z zerową stopą (przyjęliśmy bowiem statyczną funkcje produkcji Cobba- -Oouglasa ze wskaźnikiem postępu techniczno-organizacyjnego v= 0). Faza środkowa byłaby zatem „martwa" z punktu widzenia wzrostu konsumpcji na osobę i wobec tego niekorzystna w świetle kryterium mi.iimalizacji czbsu dojścia do Jej ustalonego docelowego poziomu.
Rozdział III