M ETODY ESTYMACJI MODELI PANELOWYCH

Najogólniej ekonometryczny model dla danych panelowych można zapisać jako: objaśniających. Parametr αi (tzw. efekt losowy) przechwytuje wpływ tych zmiennych, które są charakterystyczne dla i-tego obiektu i są stałe w czasie.

Konstrukcja tak zapisanego modelu przewiduje możliwość wprowadze-nia zmiennych parametrów. Stwarza to szeroką możliwość zastosowawprowadze-nia modelu oraz umożliwia rozwiązanie niektórych problemów ekonometrycz-nych, jak np. pozwala na unikniecie błędów wynikających z nieuwzględnie-nia ważnej zmiennej, użycia zmiennych zastępczych lub danych zagregowanych, nieuwzględnienia nieliniowego charakteru modelu. [por. 2, 3, 4, 5, 6]

W szczególnym przypadku (gdy α^it = α, β^it = β) oceny parametrów strukturalnych modelu mogą zostać oszacowane z wykorzystaniem tzw.

pooled estymatora (KMNK). W podejściu tym wszystkie obiekty traktowane są jako homogeniczne, a odchylenia wartości empirycznej zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznej, spowodowane są jedynie składnikiem losowym, którego rozkład jest taki sam i niezależny dla wszystkich jednostek we wszystkich okresach (

ε

_it^∼IID(0,

σ

ε²)). Jednak zwykle (przy małym T) zakłada się tylko α^{i t}= αⁱ, β^it = β.

Natomiast, jeśli potraktujemy efekty indywidualne αi, jako N stałych nieznanych parametrów, to taki model będziemy nazywać modelem ze zmiennymi sztucznymi². Wprowadzenie efektów indywidualnych pozwoli na uchwycenie zróżnicowania pomiędzy regionami wynikającego z położenia w przestrzeni regionalnej, ekonomicznej i politycznej sytuacji ,systemu zarządzania.

1 Liczba krajów jest mniejsza ze względu na brak danych.

2 Inne nazwy: z efektami ustalonymi, z dekompozycją wyrazu wolnego, ang. FE - fixed effect, LSDV – least sqauares dummy variable.

Beata Bal-Domańska, Danuta Strahl 94

Alternatywą dla podejścia, w którym efekty indywidualne traktowane są jako parametry do oszacowania, jest traktowanie zróżnicowań pomiędzy obiektami jako zmiennych losowych. Założenie o losowym wyrazie wolnym wprowadza się, gdyż traktowany jest on jako kombinacja efektów wielu nieznanych czynników oddziałujących na modelowany proces.

Model z efektami losowymi można zapisać jako:

it

gdzie: ci – oznaczazmienną losową, wyrażającą zakłócenie losowe dla i-tego obiektu³.

Niedogodnością takiej konstrukcji modelu jest fakt, że indywidualne efekty losowe ci stają się nieodróżnialne od składnika losowego εit. Jedynym, co możemy zaobserwować w rzeczywistości jest łączny składnik losowy v^it postaci:

vit = ci + ε^{it (3.)}

Dlatego analizę istoty zróżnicowań pomiędzy obiektami można przeprowadzić jedynie na podstawie wielkości składowej wariancji składnika losowego, charakteryzującej losowe efekty indywidualne, var(cⁱ).

Założenia stosowania estymatora z efektami losowymi

β ^ˆ

_UMNK^:

E(εit εis) = 0 (4.) E(ci cj) = 0 (5.) E(ε^it cj) = 0 (6.)

E(xit cj) = 0 (7.) E(xit εj) = 0 (8.)

W tak sformułowanym modelu występuje korelacja składnika losowego dla tych samych obiektów i brak korelacji składników losowych dla różnych obiektów w różnych okresach, dlatego do jego estymacji wykorzystywana jest UMNK. Estymatorem parametrów jest macierzowo ważona średnia estymatora wewnątrzgrupowego

β ^ˆ

_FE i międzygrupowego

β ^ˆ

_M. Model taki można zapisać jako:

δ

ε - wariancja składnika losowego,

2

δ

c - wariancja losowych efektów indywidualnych.

Wprowadzenie zmiennych wyrazów wolnych w przestrzeni modelowa-nych obiektów wymaga, aby zweryfikować, czy rzeczywiście wykazują one

3 Za Wooldridgem symbolu c użyto w modelach z efektami losowymi dla podkreślenia, że jest to nieobserwowalna zmienna losowa, a nie parametr jak w modelach z efektami ustalonymi [por. 7].

WYKORZYSTANIE MODELI PANELOWYCH DO OPISU ROZWOJU REGIONALNEGO PRZESTRZENI EUROPEJSKIEJ

95

istotną zmienność. W tym celu wykorzystywany jest test F – dla modeli z efektami ustalonymi oraz test Breuscha-Pagana oparty na mnożnikach Lagrange’a – dla modeli z efektami losowymi.

Test F umożliwia sprawdzenie łącznej istotności zmiennych sztucznych, odpowiadających efektom indywidualnym dla każdego obiektu badania.

Hipotezę umożliwiającą zweryfikowanie założenia o stałości wyrazów wolnych możemy sformułować w następujący sposób

T t

N α i

H

₀

: α

_it

= = const, = 1, ..., ; = 1, ...,

^.

Powyższą hipotezę weryfikuje się na podstawie statystyki:

)

gdzie:

∑

^{eKMNK2 −} oznacza sumę kwadratów reszt modelu oszacowa-nego KMNK na podstawie wszystkich obserwacji,

∑

^{e2FE −} oznacza sumę kwadratów reszt modelu oszacowa-nego przy zastosowaniu estymatora wewnątrz-grupowego.

Statystyka ta ma rozkład F o N-1 i NT-N-K stopni swobody. Odrzucenie H0 wskazuje na słuszność efektów indywidualnych.

W przypadku modelu z efektami losowymi wykorzystanie powyższego testu nie jest możliwe, ponieważ efekty indywidualne nie stanowią dodatkowych zmiennych, są natomiast częścią składnika losowego. Do oceny słuszności wprowadzenia efektów indywidualnych dla modeli z efektami losowymi wykorzystywany jest test mnożników Lagrange’a Breuscha-Pagana. W teście tym weryfikujemy

H

₀

: δ

c²

= 0

;

H

₁

: δ

c²

≠ 0

. Prawdziwość hipotezy zerowej oznacza, że wprowadzenie efektów indywidualnych nie zmienia wariancji, a więc wariancja efektów indywidualnych jest zerowa, czyli ich wprowadzanie jest zbędne. Powyższą hipotezę weryfikuje się na podstawie statystyki:

2

gdzie: eit – wartości reszt dla modelu oszacowanego za pomocą KMNK.

Statystyka LM ma rozkład χ² z jednym stopniem swobody. Efekty indywidualne są istotne, jeśli wartość statystyki LM przewyższa odpowiednią wartość krytyczną.

Wybór, kiedy należy traktować efekty indywidualne jako losowe lub ustalone, nie jest łatwy. Kwestia ta jest szczególnie istotna, wtedy gdy

Beata Bal-Domańska, Danuta Strahl 96

mamy do czynienia z panelem o małej liczbie obserwacji po czasie T, a dużą liczbą obiektów badania N. Jeżeli mamy jedynie kilka obserwacji o danym obiekcie, to szczególnie ważne staje się takie ich wykorzystanie, aby móc w sposób najlepszy wychwycić różnice pomiędzy obiektami badania. W takim przypadku oceny parametrów strukturalnych uzyskane na podstawie obu estymatorów mogą różnić się znacząco [por. 5].

Założenie o niezależności efektów indywidualnych i zmiennych objaśniających można zweryfikować za pomocą testu Hausmana, który testuje, czy wyniki uzyskane na podstawie estymatorów

β ^ˆ

_UMNK ⁱ

β ^ˆ

FE ^są

znacząco różne. Zgodnie z ideą tego testu, przy założeniu E(cⁱxij) = 0, estymator

β^ˆUMNK jest bardziej efektywny od estymatora

β ^ˆ

_FE jednak uzyskane oceny nie powinny różnić się istotnie.

Sprawdzenia poprawności estymacji z użyciem obu estymatorów

β ^ˆ

_UMNK

i

β ^ˆ

_FEmożna dokonać przy wykorzystaniu statystki danej wzorem:

(

^{FE UMNK}

) ( ) (

^T

[

^{FE UMNK}

) ] (

^{FE UMNK}

)

H = β ^ˆ − β ^ˆ ⋅ V ^ˆ β ^ˆ − V ^ˆ β ^ˆ

⁻¹

⋅ β ^ˆ − β ^ˆ

(13.) Statystyka H ma asymptotyczny rozkład χ² z k stopniami swobody (k – liczba zmiennych objaśniających).

W dokumencie ZESZYTY NAUKOWE (Stron 93-96)