7. Dalsze możliwości badań
7.1. Masa dysku a gęstość maksymalna
7.1.1. Motywacja
Jedną z podstawowych kwestii, jakie warto zbadać, rozważając problem masy w układach z samograwitującym dyskiem i czarną dziurą, jest odpowiedź na pytanie, jak ciężkie dyski można wygenerować w omówionej procedurze numerycznej, a także, jak duża może być gęstość maksymalna. W przypadku gwiazd znane są interesujące efekty związane z tym zagadnieniem [48, 50]. Warto sprawdzić, czy podobne zjawiska da się zaobserwować w układach ze stacjonar-nym dyskiem.
7.1.2. Związek gęstości maksymalnej z masą dysku
W celu zbadania zależności gęstości maksymalnej ˜ρmax od masy dysku układu ˜M prze-prowadzono serie obliczeń przy różnych ustalonych wartościach parametrów ˜m i ˜r1, przy γ ∈ {4/3, 5/3}, dla których wyrysowano zależności ˜ρmax( ˜M ) oraz ˜ρmax( ˜MT). Ponieważ w miarę wzrostu masy dysku maleje wpływ grawitacyjny czarnej dziury, ograniczono się do przypadku
˜
a = 0. Z uwagi na brak różnic jakościowych w niniejszej rozprawie zaprezentowana zostanie zależność ˜ρmax( ˜MT) dla ˜m ∈10−3/2, 10−2 oraz ˜r1 ∈ {0.5, 0.75}, co przedstawiono na rysunku 7.1. Kropki oznaczają rozwiązania z masą ˜MT, powyżej której ˜rc(˜r) przestaje być funkcją ro-snącą w całej przestrzeni. Analogicznych obliczeń dokonano, ustalając w miejsce wartości pro-mieni współrzędnościowych ˜r1 i ˜r2 promienie obwodowe ˜rc(˜r1) oraz ˜rc(˜r2), będące wielkościami bezpośrednio obserwowalnymi. Zmiana ta nie wpłynęła jakościowo na uzyskane wyniki, ale jej skutkiem są drobne niedokładności związane z aliasingiem. W związku z tym ograniczono się tu do prezentacji przypadków z ustalonymi promieniami współrzędnymi ˜r1 i ˜r2.
Wyniki zgodnie wskazują na istnienie bifurkacji — przy ustalonych wartościach parametrów
˜
ρmax, ˜r1, ˜m, ˜a i γ istnieją dwa rozwiązania z różnymi wartościami masy asymptotycznej ˜M (oraz, analogicznie, masy dysku ˜MT). Punkt bifurkacyjny stanowi rozwiązanie z największą wartością gęstości maksymalnej ˜ρmax. Dla rozwiązań na pierwszej gałęzi ˜ρmax jako funkcja masy ˜M jest rosnąca, zaś na drugiej malejąca. Na uwagę zasługuje fakt, iż podobna bifurkacja obserwowana jest w przypadku modelowania białych karłów i gwiazd neutronowych [48], z tą jednak różnicą, że wówczas to wartość gęstości centralnej jest niejednoznaczna przy zadanej masie grawita-cyjnej. Wiadomo, że w przypadku tych gwiazd stabilna jest tylko gałąź, na której masa jest rosnącą funkcją gęstości centralnej [48].
Zauważono także, iż istnieje wartość masy asymptotycznej, powyżej której łamana jest mo-notoniczność funkcji ˜rc(˜r), co zostanie omówione w rozdziale 7.1.4.
˜r1=0.75
Rysunek 7.1. Wykres gęstości maksymalnej ˜ρmax w funkcji masy dysku ˜MT dla ˜r1 = 0.5 (linia ciągła) oraz ˜r1 = 0.75 (linia przerywana) przy ˜a = 0, ˜m ∈10−3/2, 10−2 oraz wartości parametru γ równej
5/3 (lewa kolumna) oraz 4/3 (prawa kolumna).
Tablica 7.1. Tabelka przedstawia wartości masy mas ˜M i ˜MToraz gęstości ˜ρmax, dla których ∂M˜ρ˜max= 0, dla przypadków przedstawionych na rysunku 7.1.
γ m˜ r˜1 M˜ M˜T ρ˜max
4 3
10−3/2 0.5 0.30 0.26 0.681 0.75 0.32 0.27 2.52 10−2 0.5 0.28 0.26 0.753
0.75 0.28 0.27 2.76
5 3
10−3/2 0.5 0.32 0.27 0.281 0.75 0.33 0.29 0.990 10−2 0.5 0.30 0.28 0.306 0.75 0.29 0.28 1.10
7.1.3. Maksimum gęstości ρmax
Na uwagę zasługuje fakt, iż próba zwiększenia gęstości ˜ρmax powyżej wartości granicznej, uzyskanej przy ustalonych wartościach ˜m, ˜r1i γ skutkuje brakiem rozwiązań. Sugeruje to istnie-nie ograniczenia wartości gęstości maksymalnej ρmax w stacjonarnych układach z samograwitu-jącym dyskiem. Tabelka 7.1.3 przedstawia wartości mas ˜M i ˜MT, dla których ∂M˜ρ˜max = 0 oraz wartość granicznej gęstości maksymalnej ˜ρmax dla przedstawionych na rysunku 7.1 rozwiązań.
W celu lepszego zbadania tego efektu, wyrysowano zależność maksymalnego ciśnienia ˜pmax≡ K ˜ρmax od gęstości maksymalnej ˜ρmax na gałęzi z ∂M˜ρ˜max≥ 0, co przedstawia rysunek 7.2, a w skali logarytmicznej rysunek 7.3.
Wyniki sugerują, że wartość ciśnienia wzrasta o kilka rzędów wielkości oraz że może ono wybuchać powyżej granicznej wartości gęstości maksymalnej. Należy przy tym zaznaczyć, że w układach ze statyczną gwiazdą znany jest tzw. efekt Buchdahla [50], polegający na istnieniu granicznej wartości gęstości maksymalnej materii gwiazdy o ustalonym promieniu, powyżej której utrzymanie statyczności wymagałoby nieskończonego ciśnienia.
Natura ograniczenia maksymalnej gęstości ρmax w przypadku dysków oraz jego związek ze znaną dla gwiazd granicą Buchdahla wymagają dalszych badań. W szczególności należałoby
˜r1=0.75
Rysunek 7.2. Wykres maksymalnego ciśnienia ˜pmax w funkcji gęstości maksymalnej ˜ρmax na ga-łęzi z ∂M˜ρ˜max ≥ 0 dla ˜r1 = 0.5 (linia ciągła) oraz ˜r1 = 0.75 (linia przerywana) przy ˜a = 0,
˜
m ∈10−3/2, 10−2 oraz wartości parametru γ równej 5/3 (lewa kolumna) oraz 4/3 (prawa kolumna).
sprawdzić, czy po przekroczeniu wartości granicznej zachowanie stacjonarności układu wymaga nieskończonej wartości ciśnienia. Możliwe, że obydwa efekty są względem siebie analogiczne.
Należałoby również dokładniej zbadać położenie maksimum funkcji ρmax(M ) w zależności od rozmiarów dysku r1 i r2, wykładnika adiabatycznego γ oraz parametrów m i a związanych z czarną dziurą.
7.1.4. Maksimum promienia obwodowego w dysku
Dla dostatecznie dużej wartości masy dysku MT dochodzi do złamania monotoniczności zależności rc(r) i pojawienia się maksimum lokalnego wewnątrz dysku. Ilustruje to rysunek 7.4, na którym wyrysowano zależność ˜rc(˜r) na równiku dla dwóch przykładowych rozwiązań z
˜
m = 10−2, ˜a = 0, ˜r1 = 0.5 i γ ∈ {4/3, 5/3}, a różniących się wartością masy asymptotycznej M ∈ {2 ˜˜ m, 300 ˜m}.
Wyniki pokazują także, że brzegi dysku w promieniu współrzędnościowym r1 i r2 nie muszą odpowiadać geometrycznym wartościom rc,1 oraz rc,2. Tabelka 7.1.4 prezentuje wartości mas M i ˜˜ MT, powyżej których relacja ˜rc(˜r) przestaje być monotoniczna, dla przypadków przedsta-wionych na rysunku 7.1. Wypisano w niej także wartości gęstości maksymalnej ˜ρmax dla tych rozwiązań.
Wyniki sugerują, że na moment pojawienia się złamania monotoniczności relacji ˜rc(˜r) zna-cząco wpływają parametry związane z dyskiem ˜r1 oraz γ. Znacznie mniej istotny jest natomiast wkład parametru ˜m związanego z czarną dziurą. W związku z tym można się spodziewać, że niewielki będzie również przyczynek pochodzący od parametru spinu ˜a. W kwestiach tych konieczne są jednak dalsze badania.
Warto zauważyć, że rozwiązania z takim zachowaniem promienia obwodowego zaobserwo-wano również w przypadku dysków o sztywnej rotacji [40, 49].
7.1.5. Nierówności (5.1) i (6.1) dla bardzo ciężkich dysków
Przedstawione zostaną tu wstępne wyniki ilustrujące zachowanie omówionych w poprzednim rozdziale nierówności dla bardzo ciężkich dysków (w przypadku nierówności (6.1) bez wprowa-dzania warunków (6.4) i (6.5)). Ponownie ograniczono się do zbadania przypadków z ˜a = 0.
˜r1=0.75
Rysunek 7.3. Wykres maksymalnego ciśnienia ˜pmax w funkcji gęstości maksymalnej ˜ρmax na ga-łęzi z ∂M˜ρ˜max ≥ 0 dla ˜r1 = 0.5 (linia ciągła) oraz ˜r1 = 0.75 (linia przerywana) przy ˜a = 0,
˜
m ∈10−3/2, 10−2 oraz wartości parametru γ równej 5/3 (lewa kolumna) oraz 4/3 (prawa kolumna).
Tablica 7.2. Tabelka przedstawia wartości mas ˜M i ˜MT, powyżej których zachodzi łamanie monoto-niczności relacji ˜rc(˜r), dla przypadków zaznaczonych na rysunku 7.1. Zapisana jest również wartość
gęstości ˜ρmax dla tych rozwiązań.
γ m˜ r˜1 M˜ M˜T ρ˜max
4 3
10−3/2 0.5 0.49 0.44 0.613 0.75 0.24 0.20 2.42 10−2 0.5 0.47 0.45 0.674
0.75 0.21 0.20 2.66
5 3
10−3/2 0.5 0.80 0.73 0.190 0.75 0.35 0.30 0.989 10−2 0.5 0.80 0.77 0.200 0.75 0.31 0.29 1.10
Wówczas nierówności (6.1b) i (6.1d) redukują się do (6.6). Zaprezentowane tu wyniki uzyskano dla ˜r1 ∈ {0.5, 0.75}, ˜m ∈ 10−3/2, 10−2 , oraz γ ∈ {4/3, 5/3}.
Na rysunkach 7.5, 7.6 i 7.7 wyrysowano, w funkcji masy dysku ˜MT, odpowiednio wielkości
˜ bi-furkacji, dla którego ∂M˜ρ˜max = 0, zaś puste kółka rozwiązanie, powyżej którego łamana jest monotoniczność relacji ˜rc(˜r).
Wyniki wskazują, że nierówności (5.1) pozostają spełnione dla arbitralnie dużej masy dysku M˜T, co sugeruje, że parametr ˜w może jednak posiadać głębsze znaczenie fizyczne. Zachowanie nierówności (6.1) oraz (6.6) jest zgoła inne. Do pewnej wartości masy ˜MT pogłębiają się, po czym zaczynają maleć aż do całkowitego złamania, przy czym najdłużej spełnione pozostają propozycje zawierające kręt asymptotyczny J (6.1a) i (6.1c), gdzie łamanie, o ile w ogóle się pojawia, ma miejsce dopiero dla rozwiązań z ∂Mρmax< 0 i niemonotoniczną relacją rc(r). Dla nierówności (6.1) oraz (6.6) konieczne staje się zatem wprowadzenie dodatkowego warunku.
W niniejszej rozprawie przyjęto założenie (6.4). Kwestia możliwości jego złagodzenia wymaga jednak dalszych badań.
M = 300 ˜m˜ i ˜m = 10−2, przy wartości parametru γ równej 5/3 (lewa kolumna) oraz 4/3 (prawa kolumna).
Tablica 7.3. Tabelka przedstawia wartości mas ˜M i ˜MT, dla których ∂M n dla przypadków zaznaczonych na rysunku 7.7. Zapisana jest również wartość gęstości ˜ρmax dla tych
rozwiązań.
γ m˜ r˜1 M˜ M˜T ρ˜max
4 3
10−3/2 0.5 0.11 0.078 0.448 0.75 0.085 0.051 1.17 10−2 0.5 0.065 0.054 0.374
0.75 0.051 0.040 1.07
5 3
10−3/2 0.5 0.14 0.11 0.216 0.75 0.10 0.069 0.562 10−2 0.5 0.082 0.071 0.178 0.75 0.058 0.048 0.474
Wartość masy ˜M oraz ˜MT, przy której ∂Mn
maxh ˜Ω˜r3/2c
i
/p ˜Mo
= 0, zależy od parametrów
˜
m, ˜r1 oraz γ, co dla nierówności (6.6) ilustruje tabelka 7.1.5.
Jak widać, dla wszystkich tych rozwiązań masa dysku jest większa od masy czarnej dziury.
Maleje jednak ona wraz ze wzrostem parametru ˜m, co sugeruje możliwość pojawienia się rozwią-zań z ∂M dysków w przypadku obiektów bardzo zwartych. W celu wyciągnięcia odpowiednich wniosków należałoby jednak przeprowadzić dokładniejsze badania dla szerszej klasy parametrów ˜m, ˜a i
˜ r1.