Niech dany będzie związany grawitacyjnie, stacjonarny układ złożony z czarnej dziury i gazowego dysku, dla którego obserwator może zmierzyć rozmiary liniowe i, poprzez pomiar przesunięcia widma promieniowania ku czerwieni/fioletowi, wyznaczyć krzywą rotacji, tj. pręd-kość kątową płynu. Przy badaniu takich obiektów pojawia się naturalne pytanie, ile wynosi masa układu i/lub jego składowych. Niniejsza rozprawa poświęcona jest próbie odpowiedzi na to pytanie.
Przechodząc do szczegółów, celem niniejszej rozprawy jest analiza ogólnorelatywistycznych układów zbudowanych z czarnej dziury oraz ważkiego, samograwitującego, toroidalnego dysku rotującego keplerowsko pod kątem szacowania masy w takim systemie. Omówione zostaną także przypadki pyłowego dysku testowego w czasoprzestrzeni Kerra oraz układów newtonowskich.
Te drugie były przedmiotem prac [1, 2], a w niniejszej rozprawie wyniki wcześniej uzyskane zostaną uzupełnione o nowe elementy.
Układy złożone z czarnej dziury i rotującego dysku akrecyjnego są powszechnie obserwo-wane w aktywnych jądrach galaktyk. W wielu przypadkach z danych obserwacyjnych udało się wyznaczyć w nich krzywą rotacji materii. Jedną z najlepiej poświadczonych jest rotacja keplerowska [3], czego przykładem jest galaktyka NGC 4258 [4, 5]. Masę takiego układu, bądź też centralnej czarnej dziury można wyznaczyć z danych obserwacyjnych tylko w bardzo szcze-gólnych przypadkach, gdy obserwowane są ciała próbne na orbitach wokół niego. Przykładami takich obiektów są Sag A* [6], czy wspomniana już galaktyka NGC 4258 [5]. Motywacją do podjęcia zaprezentowanych w niniejszej rozprawie badań była próba odpowiedzi na pytanie, czy na podstawie wielkości obserwowanych związanych z dyskiem akrecyjnym, takich jak pręd-kość kątowa materii oraz odległość od masy centralnej można oszacować masę układu lub też czarnej dziury.
W niniejszej rozprawie badane są stacjonarne konfiguracje złożone z czarnej dziury oraz toroidalnego, samograwitującego, osiowosymetrycznego dysku akrecyjnego opisanego politropo-wym równaniem stanu i rotującym według ogólnorelatywistycznego uogólnienia keplerowskiego prawa rotacji. Rozprawa składa się z sześciu rozdziałów.
W rozdziale 2 omówiona została konstrukcja numeryczna badanych ogólnorelatywistycznych układów. Przedstawione zostały w niej równania Einsteina, jak również wyprowadzenia prawa rotacji. Zaprezentowano też użytą procedurę numeryczną oraz zdefiniowano potrzebne wielkości.
Rozdział 3 poświęcony jest szacowaniu masy w układach newtonowskich, złożonych z punk-towej masy centralnej oraz politropowego, samograwitującego, osiowosymetrycznego dysku ro-tującego keplerowsko. Bazuje on na wynikach przedstawionych w pracach [1, 2], uzupełniając je o nowe elementy związane z problemem szacowania masy.
W rozdziale 4 analizowane są pyłowe dyski testowe w czasoprzestrzeni Kerra. Zaprezento-wano w nim analityczny dowód nierówności ograniczających masę układu oraz masę nieredu-kowalną czarnej dziury, który w krótszej formie został opublikowany w pracy [30].
Rozdziały 5 i 6 dotyczą problemu szacowania masy w przypadku układów ogólnorelatywi-stycznych z ważkim, samograwitującym dyskiem akrecyjnym. Przedstawione są także wyniki numeryczne wspierające postawione hipotezy. Po części wyniki te były opublikowane w pracy [30].
W rozdziale 7 przedstawiono wyniki, które nie były jeszcze publikowane. Nakreśla się także dalsze perspektywy badań.
W zamieszczonym na końcu dodatku A zaprezentowano wyprowadzenie równań Einsteina opisujących układ ogólnorelatywistyczny będący przedmiotem niniejszej rozprawy. Z kolei w dodatku B uzasadniono możliwość separacji zmiennych w dwóch przedstawionych w rozdziale 5 nierównościach.
Analiza układów newtonowskich wskazuje, że masę centralną oraz masę dysku można ogra-niczyć od góry i od dołu parametrem pojawiającym się w prawie rotacji, maksymalną wartością gęstości barionowej materii w dysku oraz rozmiarem liniowym układu. W układach ogólnore-latywistycznych uzyskuje się analogiczne ograniczenia, wspierane przez wyniki numeryczne.
Analiza pyłowych dysków testowych wykazała istnienie dodatkowych ograniczeń masy układu, udowodnionych analitycznie. Wyniki numeryczne wskazują na prawdziwość uogólnień tych nie-równości na przypadek ważkich dysków przy dwóch dodatkowych założeniach.
Literatura na temat płynów rotujących wokół masy centralnej jest obszerna. Poniżej przed-stawione zostaną wybrane prace dotyczące tego zagadnienia. W przypadku układów newtonow-skich rozważano zarówno przypadki dysku testowego, np. w pozycji [4], jak i samograwitującego, m.in. artykułach [7, 8, 9]. Analiza układów złożonych z politropowego dysku rotującego keple-rowsko była przedmiotem prac [1, 2]. Zaprezentowano w nich także nierówności ograniczające masę centralną oraz masę dysku. Badane były również układy ogólnorelatywistyczne. W li-teraturze istnieje kilka podejść do tego zagadnienia. Na ogół rozważane są dyski testowe w ustalonej czasoprzestrzeni, np. [10] oraz przeglądy [11, 12, 13] z licznymi referencjami. Przypa-dek czasoprzestrzeni Kerra omawiany jest m.in. w pozycji [14]. Do pierwszych prac, w których w obliczeniach numerycznych uwzględniono samograwitację należą [15, 16, 17]. Odtworzono wówczas tzw. efekt wleczenia grawitacyjnego. O ile w przypadku teorii Newtona twierdzenie Poincarégo-Wavre’a pozwala zdefiniować szeroką klasę prostych praw rotacji, pośród których znajduje się rotacja keplerowska, to w ogólnej teorii względności poznano ich niewiele. Standar-dowo używano rotacji sztywnej [18, 19, 20], bądź też ze stałą gęstością krętu [21]. W tej ostatniej pozycji po raz pierwszy w konstrukcji numerycznej użytej do modelowania układów z ważkim, samograwitującym dyskiem zastosowano formalizm „puncture” [22]. Spośród alternatywnych sformułowań warto wspomnieć pionierskie podejście Nishidy i Eriguchiego [16] oraz tzw. me-todę pseudospektralną [20]. Analizę dysków keplerowskich w przybliżeniu postnewtonowskim zaprezentowano w pracach [23, 24]. Odkryto wówczas przeciwny do wleczenia grawitacyjnego efekt nazwany antywleczeniem grawitacyjnym. W 2012 r. odkryte zostało nieliniowe prawo rotacji [25], które w granicy newtonowskiej może w przybliżeniu odtwarzać klasę krzywych rotacji z prędkością kątową proporcjonalną do potęgi promienia cylindrycznego. Należy do niej także rotacja keplerowska. Prawo rotacji, które w granicy newtonowskiej w sposób dokładny odtwarza tę klasę potęgowych krzywych rotacji odkryto w 2015 r. [26]. Stosuje się ono w szcze-gólności do ogólnorelatywistycznej rotacji keplerowskiej wokół bezspinowych czarnych dziur.
Jego numeryczną implementację w przybliżeniu postnewtonowskim przeprowadzono w pozycji [27]. W opisie w pełni ogólnorelatywistycznym dokonano tego w pracach z moim udziałem [28, 29]. Pozycje te zawierają również dwa nowe elementy. Najistotniejszym jest uzyskane w nich nowe prawo rotacji — ogólnorelatywistyczna wersja rotacji keplerowskiej wokół wirującej czarnej dziury. Ponadto, dokonano również jego numerycznej implementacji. To nowe prawo rotacji, w uzyskaniu którego brałem aktywny udział, i metoda numeryczna [28, 29] stały się podstawą do badań zrelacjonowanych w napisanej z moim udziałem pracy [30]. Przedstawiono w niej nierówności wiążące prędkość kątową, masę, kręt i rozmiar układu złożonego z wirującej czarnej dziury i dysku.
Oznaczenia i konwencje
Układy współrzędnych
— Ogólnorelatywistyczne:
◦ Współrzędne quasi-izotropowe (metryka gµν): (t, r, θ, φ) (str. 15)
◦ Współrzędne Boyera-Lindquista (metryka gµνBL): (t, rBL, θ, φ) (tBL= t, θBL= θ, φBL = φ) (str. 17)
— Newtonowskie:
◦ Współrzędne cylindryczne: ($, φ, z)
◦ Współrzędne sferyczne: (r, θ, φ) Oznaczenia użyte w pracy
— Stałe fizyczne:
◦ c — prędkość światła w próżni
◦ G — stała grawitacji
— Wielkości wspólne dla układów newtonowskich i ogólnorelatywistycznych:
◦ ρ — gęstość barionowa materii dysku (str. 15)
◦ p — ciśnienie gazu w dysku (str. 15)
◦ ρmax — maksymalna wartość gęstości barionowej ρ w dysku (str. 26)
◦ pmax — maksymalna wartość ciśnienia p w dysku (str. 55)
◦ K — stała proporcjonalności w politropowym równaniu stanu (str. 15)
◦ γ — wykładnik adiabatyczny w politropowym równaniu stanu (str. 15)
◦ h — entalpia właściwa (str. 15)
◦ Ω — prędkość kątowa (str. 16)
— Wielkości opisujące układ ogólnorelatywistyczny:
◦ m — w czasoprzestrzeni Kerra masa czarnej dziury (str. 17); w obecności samograwitu-jącego dysku parametr masy (str. 17)
◦ a — w czasoprzestrzeni Kerra spin czarnej dziury (str. 17); w obecności samograwitują-cego dysku parametr spinu (str. 17)
◦ ˆa — rzeczywisty spin czarnej dziury; w czasoprzestrzeni Kerra a = ˆa (str. 29)
◦ arot — parametr spinu w prawie rotacji; wprowadzony na potrzeby obliczeń numerycz-nych (str. 26)
◦ α, β, ψ, q — funkcje metryczne w metryce gµν (str. 15)
◦ αK, βK, ψK, qK — funkcje metryczne dla czasoprzestrzeni Kerra w metryce gµν (str. 17);
βK to również wkład do funkcji β pochodzący od czarnej dziury (str. 15)
◦ βT — wkład do funkcji β pochodzący od dysku (str. 15)
◦ Kij — krzywizna zewnętrzna, zwana też II formą fundamentalną (str. 16)
◦ Kˆij — krzywizna zewnętrzna po transformacji konforemnej metryki (str. 16)
◦ HE, HF — funkcje proporcjonalne odpowiednio do składowych ˆKrφoraz ˆKθφtensora ˆKij (str. 16)
◦ ΣBL, ∆BL — funkcje pomocnicze w metryce gµνBL (str. 17)
◦ ϕ, B — przedefiniowane funkcje metryczne ψ, α (str. 18)
◦ rc — (łac.: circumferentialis) promień obwodowy (str. 15)
◦ Sq, Sϕ, SB, SβT — źródła w równaniach Einsteina (str. 18)
◦ A, b — wielkości pomocnicze występujące w źródłach Sq, Sϕ, SB, SβT (str. 18)
◦ Tµν — tensor energii-pędu (str. 15)
◦ Ω1 — wartość prędkości kątowej Ω na równiku na wewnętrznym brzegu dysku (str. 26)
◦ Ω2 — wartość prędkości kątowej Ω na równiku na zewnętrznym brzegu dysku (str. 26)
◦ C1, C2 — stałe całkowania w dwóch wariantach równania Bernoulliego (str. 19)
◦ C — stała całkowania po przeformułowaniu równania Bernoulliego (str. 19)
◦ rh — promień horyzontu czarnej dziury (str. 17)
◦ rBL,h — promień horyzontu czarnej dziury we współrzędnych Boyera-Lindquista (str.
37)
◦ rISCO — promień najbardziej wewnętrznej stabilnej orbity kołowej (str. 37)
◦ rBL,ISCO — promień najbardziej wewnętrznej stabilnej orbity kołowej we współrzędnych Boyera-Lindquista (str. 38)
◦ rc,ISCO— promień najbardziej wewnętrznej stabilnej orbity kołowej wyrażony w promie-niu obwodowym (str. 38)
◦ rc,ISCO,K — promień najbardziej wewnętrznej stabilnej orbity kołowej w czasoprzestrzeni Kerra wyrażony w promieniu obwodowym (str. 42)
◦ Z1, Z2 — funkcje pomocnicze przy definiowaniu rISCOw czasoprzestrzeni Kerra (str. 38)
◦ r, ¯¯ ρ, . . . — zmienne po transformacji inwersji (str. 22)
◦ r, ˜˜ ρ, . . . — zmienne po transformacji skalowania (str. 23)
◦ λ — parametr skalujący (str. 23)
◦ rin — (łac.: internus) promień wewnętrznego brzegu siatki numerycznej (str. 24)
◦ rex — (łac.: externus) promień zewnętrznego brzegu siatki numerycznej (str. 24)
◦ Nr, Nθ — liczba punktów siatki numerycznej odpowiednio w kierunku radialnym i kąto-wym (str. 24)
◦ ri (i = 1, . . . , Nr) — współrzędna radialna węzłów siatki numerycznej (str. 24)
◦ θj (j = 1, . . . , Nθ) — współrzędna kątowa węzłów siatki numerycznej (str. 24)
◦ f, ∆µ — stałe użyte przy konstrukcji siatki numerycznej (str. 24)
◦ M1, B1, J1, q1 — funkcje pojawiające się w asymptotyce funkcji metrycznych φ, B, βT, q (str. 25)
◦ r1 — promień współrzędnościowy wewnętrznego brzegu dysku (str. 25)
◦ r2 — promień współrzędnościowy zewnętrznego brzegu dysku (str. 25)
◦ rc,1 — promień obwodowy geometrycznego wewnętrznego brzegu dysku (str. 29)
◦ rc,2 — promień obwodowy geometrycznego zewnętrznego brzegu dysku (str. 29)
◦ i2 — numer węzła siatki zewnętrznego brzegu dysku (str. 27)
◦ θsec — (łac. sectio) kąt ucięcia: wartość graniczna kąta θ przy wyliczaniu prędkości kątowej Ω; wprowadzony na potrzeby obliczeń numerycznych (str. 26)
◦ uµ — 4-prędkość (str. 16)
◦ V — prędkość liniowa (str. 19)
◦ Ωw — prędkość wleczenia (str. 37)
◦ A˜1, ˜A2 — wyrażenia pomocnicze w nierównościach ograniczających masę (str. 48)
◦ j — gęstość krętu (str. 18)
◦ ξ, X, Z, N , D, N1, N2, D1, D2, D3 — wielkości pomocnicze przy wyprowadzeniu prawa rotacji dla dysków testowych w czasoprzestrzeni Kerra (str. 20)
◦ M — masa asymptotyczna układu (str. 28)
◦ Mh — masa czarnej dziury (str. 28)
◦ MT — masa dysku (str. 29)
◦ J — kręt asymptotyczny układu (str. 28)
◦ Jh — kręt czarnej dziury (str. 28)
◦ JT — kręt dysku (str. 28)
◦ Ah — powierzchnia horyzontu czarnej dziury (str. 28)
◦ Mirr — (łac.: irreducibilis) masa nieredukowalna czarnej dziury (str. 28)
◦ w — stała w ogólnorelatywistycznym keplerowskim prawie rotacji (str. 19)
◦ fˆh, ˆfT — funkcje pomocnicze w nierównościach ograniczających odpowiednio Mh i MT (str. 45)
◦ fh, fT — zależne jedynie od wartości γ części odpowiednio funkcji ˆfh, ˆfT (str. 45)
— Wielkości opisujące układ newtonowski:
◦ ω0 — stała proporcjonalności w newtonowskim keplerowskim prawie rotacji (str. 30)
◦ U — potencjał grawitacyjny (str. 30)
◦ Ud — potencjał grawitacyjny pochodzący od dysku (str. 30)
◦ Ud,min — minimalna wartość potencjału Ud w obrębie dysku (str. 32)
◦ Uc — potencjał odśrodkowy (str. 31)
◦ C — stała całkowania w równaniu Bernoulliego (str. 31)˜
◦ v — pole prędkości cząstek w dysku (str. 30)
◦ $1, $2— promień cylindryczny odpowiednio wewnętrznego i zewnętrznego brzegu dysku (str. 31)
◦ Mc — masa centralna (str. 30)
◦ Md — masa dysku (str. 30)
◦ r, ˜˜ $, ˜z, ˜$1, ˜$2, ˜ρ, ˜h, ˜U , ˜Ud, ˜Uc, ˜Mc, ˜Md, ˜ω0 — przeskalowane wielkości r, $, z, $1, $2, ρ, h, U , Ud, Uc, Mc, Md, ω0 (str. 33)
◦ ∆ — laplasjan w przeskalowanych współrzędnych (str. 33)˜
◦ fc, fd — funkcje pomocnicze w nierównościach ograniczających odpowiednio Mc i Md (str. 36)
Przyjęte konwencje:
— Indeksy greckie przyjmują wartości 0, 1, 2, 3.
— Indeksy łacińskie przebiegają wartości 1, 2, 3.
— Sygnatura tensora metrycznego gµν: (−, +, +, +).
— Przy analizie układów ogólnorelatywistycznych: G = c = 1.
— Dla dysku kontrrotującego względem czarnej dziury: Ω > 0, a < 0.