Rozważmy b lo k k c y f r b in a r n y c h , k t ó r e m ają byó tra n s m ito w a ne p o p rz e z łą c z e d an ych do in n e j c z ę ś c i s i e c i k o m p u te ro w e j. Ze
4 0
-w zględu na óhecnośi szumó-w -w l i n i a c h t r a n s m is y jn y c h , z a -w o d n o ści po dzespo łów i in n y c h p r z y c z y n , otrzym any b lo k b ę d z ie na o g ó ł r ó ż n ić s i ę od b lo k u tra n s m ito w a n e g o w je d n e j lu b k i l k u pozy - c j a c h . By u c z y n ić system t r a n s m i s j i odpornym na te b łę d y l o - sow e, b lo k k c y f r z o s t a je p rz ed t r a n s m is j ą z am ien io n y na b lo k m > k c y f r . O d p o w ied n i w ybór c y f r k o n t r o ln y c h u m o ż liw i wówczas o d tw o rz e n ie b lo k u o r y g in a ln e g o z p ra w d o p o d o b ie ń s tw e m ,k tó re j e s t f u n k c j ą w i e l k o ś c i nadm iaru 1 je g o p o w ią z a n ia z o ry g in a ln y m b lo k ie m .
W lin io w y m s y s te m ie ko d o w an ia c y f r y k o n t r o ln e stanowię,, su
my l i n i o w e modulo dwa pewnych c y f r w b lo k u o r y g in a ln y m . D la p r z y k ła d u z a łó ż m y, że tra n s m ito w a n y b lo k s k ła d a s i ę z c z t e r e c h c y f r b in a r n y c h / k = 4 / , 1 że m ają być d o łą c z o n e t r z y c y f r y kon
t r o l n e /n-k= 3/. C y f r y te mogłyby być w yb ran e j a k n a s t ę p u je : R , = C^ + C2 + C3
R2 = C1 + C2 + °4 K3 = C1 + C3 + C4
g d z ie j e s t i - t ą b in a r n ą c y f r ą k o n t r o ln ą , j e s t i - t ą b i n a r n ą c y f r ą w o ry g in a ln y m b lo k u i do daw anie j e s t dodawaniem modulo dwa. Tak w ię c k o n k r e tn y b lo k
0110 b y łb y zakodowany n a s t ę p u ją c o :
0 1 1 0 0 1 1
Przypuśćm y t e r a z , że podczas t r a n s m i s j i b lo k u nadm iarow ego , d ru g a c y f r a z o s t a n ie z m ie n io n a z 1 w O, ta k że otrzym any b lo k b ę d z ie m ia ł p o s ta ć
0 0 1 0 0 1 1
D ekoder po s t r o n i e o d b io r c z e j , będąc u c z u lo n y na f u n k c jo n a l
ną z a le ż n o ś ć c y f r k o n t r o ln y c h od c y f r ko m u n ikatu o r y g in a ln e g o ,
4 1
-zbada t ę z a le ż n o ś ć d la otrzym aneg o b lo k u i o d k r y j e , że o s t a t - n ie t r z y c y f r y powinny m ieć u k ła d 1 0 1 . P o n ie w aż t o s i ę n ie zgadza z otrzym anym b lo k ie m , w n io s k u je na t e j p o d s t a w ie ,ż e zo
s t a ł p o p e łn io n y b łą d . Celem je g o l o k a l i z a c j i d e k o d e r może za - ło ż y ć w y s t ą p ie n ie b łę d u w p o z y c ja c h : p i e r w s z e j , d r u g i e j , t r z e c i e j i c z w a r t e j , l i c z ą c za każdym razem c y f r y k o n t r o ln e . D la p ie r w s z e j c y f r y z a ło ż o n y p rz e z n ie g o b lo k tra n s m ito w a n y m ia łb y p o s t a ć :
1 0 1 0 0 1 1
co j e s t n ie m o ż liw e , gdyż b in a r n e c y f r y k o n t r o ln e n ie s p e ł n i a j ą swych d e f i n i c y j n y c h ró w n a ń . Podobne w n io s k i d o ty c z ą c y f r b i n a rn y c h t r z e c i e j i c z w a r t e j , i je d y n ie z a ło ż e n ie b łę d u w d ru g i e j p o z y c j i da p o t w ie r d z e n ie p o p ra w n o ś c i c y f r k o n t r o ln y c h . W te n sposób d e k o d e r s t w ie r d z a , że z o s t a ł p o p e łn io n y b łą d w d ru g i e j p o z y c j i . O r y g in a ln y b lo k z o s t a je p o p ra w io n y p rz e z doko
n a n ie o d p o w ie d n ie j z m ia n y , a c y f r y k o n t r o ln e z o s t a j ą u s u n ię t e . D la u o g ó ln ie n ia teg o schem atu zakładam y 2 w ró ż n y c h bloków k o m u n ikató w , s k ła d a ją c y c h s i ę każdy z k c y f r b in a r n y c h .D o k a ż dego z t y c h bloków d o łą c z o n y j e s t s z e re g n-k c y f r k o n t r o ln y c h . Ten z b ió r fo rm u je kod / n , k / . J e ś l i w s z y s t k ie c y f r y kontrolne s ą lin io w y m i sumami modulo dwa c y f r k o m u n ik a tu , t o kod fo rm u je gru
p ę . Można zatem w yb rać p o d z b ió r k z ty c h b lo k ó w , ja k o g e n e ra - to ró w g r u p y . U k ła d a ją c j e w fo rm ie m a c ie rz y m a ją c e j k w ie r s z y 1 n kolum n tworzym y tz w . o p is m a c ie rz y g e n e ra to ró w kodu.W z r o zu m ien iu pomoże nam n a s t ę p u ją c y p r z y k ła d : zakładam y, że b lo k o r y g in a ln e g o ko m u nikatu z a w ie r a c z t e r y c y f r y i n ie c h t r z y cyfry k o n t r o ln e z o s t a n ą u s ta lo n e p rz e z p o p rz e d n io podaną r e l a c j ę . Wtedy kod s k ła d a s i ę z s z e s n a s tu bloków 7 c y f r o w y c h :
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 1 1 0
_ 4 2
-_ 4 3 -_
_ 4-4 _
— 4 5 —
rao-gą b yć sto so w an e w s y s te m a c h , w k t ó r y c h b łę d y w y s t ę p u ją p a ra m i
- 4 7 _
_ 48 _
4 9
-odpow iednim z punktu w id z e n ia z ło ż o n o ś c i u rz ąd z eń k o d u ją c o - d e - k o d u ją c y c h . W s y t u a c j i , gdy te n d r u g i c z y n n ik j e s t b ra n y pod uw agę, p ie rw s z o rz ę d n e z n a c z e n ie ma k l a s a tz w . kodów o m a łe j g ę s t o ś c i te s tó w « Kody t e j k la s y u m o ż liw ia ją budowę p r o s t s z y c h u rz ą d z e ń do k o d o w an ia i d e k o d o w an ia . O siąg a n e t o j e s t je d n a k kosztem n ie c o w ię k s z e j r e d u n d a n c ji n iż m in im a ln a d l a te g o typ u błędów® P o n iż e j podano o p is kodu o m a łe j g ę s t o ś c i te s tó w p rz y pomocy m a c ie rz y k o n t r o l i p a r z y s t o ś c i H.
Każdy z m w ie r s z y H z a w ie r a co n a jw y ż e j f*L je d y n e k i k aż d a z n kolum n j e s t ró ż n a od p o z o s ta ły c h i z a w ie r a co n a jm n ie j je d n ą jed yn k ę ® L ic z b a c y f r z a w ie r a ją c y c h in f o r m a c ję k j e s t n a jw ię k s z ą z m o ż liw ych d la d an ych m i / ^ p r z y m in im a ln e j o d le g ło ś c i mię
dzy b lo k a m i ko d u . P rz y ty c h o g r a n ic z e n ia c h w śród kolum n m acie
r z y H muszą w ystęp o w ać w s z y s t k ie m kolum n z a w ie r a ją c y c h p o je - dyncze j e d y n k i , / 2ra/ kolumn z a w ie r a ją c y c h dwie j e d y n k i i t d . , d a ls z e z a w ie r a ć b ęd ą z w ię k s z a ją c e s i ę i l o ś c i je d y n e k , aż do t a k i e j l i c z b y , ja k a j e s t m ożliw a bez p r z e k r o c z e n ia maksy mai - n e j l i c z b y je d y n e k p r z y p a d a ją c y c h na w ie r s z . P ie r w s z e m kolumn ma razem m je d y n e k , a każd a z o s t a t n ic h k kolumn m usi z a w ie r a ć co n a jm n ie j dw ie j e d y n k i . Tak w ię c c a ł k o w i t a l i c z b a jedynsk w H w y n o s i co n a jm n ie j m + 2k. M u si byó p rz y tym s p e łn io n a n ie - ró w n o ść m + 2k ^ ro ^ , j e ś l i p ie rw s z e o g r a n ic z e n ie ma z o s t a ć n ie n a ru s z o n e . W te n sposób m aksym alna; d o p u s z c z a ln a liczba c y fr b in a r n y c h i n f o r m a c j i j e s t o k re ś lo n a wzorem :
k = J 2^ r _ l Z
w z n a c z n e j w i ę k s z o ś c i p r z y p a d k ó w t a g r a n i c z n a L i c z b a może r z e c z y w iś c ie b yć o s i ą g n i ę t a .
D la p r z y k ła d u załóżm y/** = 3. Wówczas l i c z b a c y f r s t a n o w ią - c y c h in f o r m a c ję n ie może p r z e k r o c z y ć l i c z b y c y f r k o n t r o ln y c h . D la m 3 g r a n ic a może być o s ią g n ię t a w sposób t a k i / j a k to p rz e d s ta w io n o p o n iż e j na p r z y k ła d z ie m a c ie rz y k o n t r o l i p a r z y s t o ś c i d l a m = k = 5«
- 50
5 1
-J e ś l i do p r z e d s t a w ie n ia l i c z b y d z i e s i ę t n e j i w p o s t a c i b i - n a r n e j p o tr z e b a k c y f r b in a r n y c h , to do z ako d o w an ia l i c z b y i wymagane b ę d z ie co n a jw y ż e j k + 2 c y f r b in a r n y c h . N adm iar ra t e go kodu j e s t zatem n ie w ię k s z y n iż 2 c y f r y b in a r n e .
fe n sam kod z in n y m i m nożnikam i może b yć e fe k t y w n ie wyko - r z y s t a n y do k o r e k t y p o je d y n c z y c h b łę d ó w . P o n iż s z a t a b e la po - d a je z e s t a w ie n ie n ie k t ó r y c h m nożników, ł ą c z n i e z m aksym alną d o p u s z c z a ln ą l i c z b ą k b in a r n y c h c y f r r e p r e z e n t u ją c y c h l i c z b y d z ie s ię t n e i od pow iadającym im nadm iarem m.
MNOŻNIK 13 19 23 29 37 47 53 59 61 67 71 79 83 101
INFORMACJA / k / 2 4 6 9 12 17 20 23 24 26 28 32 34 42
NADMIAR /m/ 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8
I I . M n o ż n ik i kodów re s z to w y c h d l a k o r e k t y p o je d y n c z y c h błędów
K o r e k ta błędów w dodawaniu i odejm owaniu odbywa s i ę przez po
d z i e l e n i e p r z e tw o r z o n e j l i c z b y p rz e z m nożnik* J e ś l i re sz tą j e s t z e r o , ozn acza t o , że n ie z o s t a ł p o p e łn io n y b łą d . Pojedynczy b łą d na r - t e j p o z y c j i z a p is u b in a rn e g o powoduje p o w s ta n ie re s z ty
prsy-ł TT*
s t a j ą c e j do - 2 modulo u ż yteg o m n o żn ika. O b lic z e n ie 2 i do
d a n ie t e j l i c z b y do sumy d a je poprawny w y n ik .
Ja k o p r z y k ła d rozważmy dodaw anie dwóch l i c z b d z ie s ię t n y c h 380 i 150. Po n iew aż suma ty c h l i c z b w y ra ż a s i ę w p o s t a c i b in a r n e j 9 b it a m i m nożnik d la k o r e k ty p o je d y n c z e g o b łę d u m usi być równy 29« Tak w ię c l i c z b y 11020 i 4350 w p o s t a c i dziesiętnej lu b 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 i 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 w p o s t a c i b in a r n e j będą s ta n o w i ć p o s ta ć zakodow aną. J a k w id a ć , l i c z b a c y f r nadm iaru wyno -
• s l ra = 5. Załóżm y t e r a z , że w y s t ą p i p o je d y n c z y b łą d na t r z e - c i e j p o z y c j i od le w e j s tr o n y w sumie p r z e d s t a w io n e j b i n a r n i e . W w yn iku otrzym ujem y l i c z b ę o 2048 m n ie js z ą od sumy ty c h l ic z b . B ę d z ie to l i c z b a 13322. N a to m ia s t poprawny w y n ik wynpe i 15370.
D z ie lą c r e z u l t a t p rz e z 29 otrzym ujem y r e s z t ę 11, k t ó r a modulo29 p r z y s t a j e do 2048. D o dając t ę l i c z b ę do sumy otrzym ujem y po - prawny w y n ik .
- 5 2 “
C z ę s to obwody p r z e t w a r z a ją c e m ają t ę w ła s n o ś ć , że może wy
s t ą p i ć w n ic h t y l k o je d e n r o d z a j b łęd ó w na p r z y k ła d je d y n k i mogą b y ć z a m ie n io n e p rz e z z e r a , l e c z n ie ma s y t u a c j i p rz e c iw n e j t a n . z e r a n ie mogą z o s ta ć z am ien io n e na je d y n k i® W t a k ic h p rz y p a d k a c h i s t n i e j e m o ż liw o ś ć z m n ie js z e n ia n a d m ia ru , gdyż z b ió r w s z y s t k ic h m o żliw ych błędów j e s t m n ie js z y , w s z y s t k ie bowiem bę
dą te g o samego znaku. P r z y p o z o s ta w ie n iu t y c h sa n a ch mnożników t a b e la I może być zm od yfikow an a i d o sto so w an a do t e j s y t u a c j i , p rz e z p r z y j ę c i e m aksym alnej l i c z b y c y f r z a w ie r a ją c y c h i n f o r m a c j ę / A -1/ : 2 , g d z ie l i c z b a A j e s t m nożnikiem .
3« Kody a s y m e try cz n e
Pewne p o d z e sp o ły s k ła d a ją c e s i ę z t a k i c h elem entów j a k rdze
n ie m a g n etycz n e, d io d y , n ie k t ó r e t r a n z y s t o r y m ają t ę w ła s n o ś ć , że w y s tę p u ją c e b łę d y , s ą w sw ej n a tu r z e n ie s y m e t r y c z n e . Na przy
k ła d w r d z e n ia c h m ag n etyczn ych z a p a m ięta n e j e d y n k i z a m ie n ia n e zo
s t a j ą na z e r a . Je d y n ie w yją tk o w o n a s t ą p ić może s y t u a c j a o d w rot
n a . Kody u m o ż liw ia ją c e d e t e k c j ę i k o r e k t ę te g o typ u błędów s ą znane pod nazwą kodów a s y m e try c z n y c h lu b kodów k o r e k t y je d y n e k * W o g ó ln o ś c i, dowolne kody l in io w e mogą byó u ż y te do k o r e k ty a- s y m e try c z n y c h b łę d ó w . Ze w zględu na s p e c y f ic z n ą n a t u r ę tych b ł ę dów m ożliw a j e s t o szczędn o ść p rz y budowie s p rz ę tu k o d u ją c e g o i d eko d u jąo eg o o ra z z m n ie js z e n ie k o n ie c z n e g o n a d m ia ru . P o n iż e j o- roówione z o s ta n ą n ie k t ó r e kody - p rz e z n acz o n e do k o r e k t y asyme -
t r y c z n y c h b łę d ó w . a . Kody B e r g e r a
Optymalnym kodem asym etrycznym ze w zględu na n a jm n ie js z ą l i c z b ę c y f r nadm iaru j e s t tz w . kod B e r g e r a . Kod te n ma k c y f r in fo r m a c y jn y c h p o w ię k sz o n ych o m = 1 + / l o g ^ / c y f r n a d m ia ru . Te o s t a t n ie s ta n o w ią b in a r n e p r z e d s ta w io n e l i c z b y z e r w b lo k u prze
s y ł a n e j in f o r m a c ji. K o d może w yk ryw ać d o w o lną l i c z b ę błędów jed y
nek j a k ró w n ie ż d o w o ln ą l i c z b ę b łę d ó w - z e r,p o d w a ru n k ie m ,ż e bł<ę- dy - je d y n k i i b łę d y - z e r a n ie w y s t ę p u ją je d n o c z e ś n ie w tym sa
_ 5 3
5 4
5 5
-bywa s i ę r ó w n o le g le w z d łu ż w ie r s z y i szeregow o w z d łu ż kolum n.
D o ś w ia d c z e n ie w y k a z u je , że b łę d y na ta ś m ie m a g n etycz n ej wy
s t ę p u j ą z a z w y c z a j s e r ia m i. W w ie lu p rz yp a d k ach zatem , z a s to s o w an ie kodów k o r e k ty błędów s e r y jn y c h j e s t b a r d z ie j celo w e n iż u ż y c ie kodów Haramlnga czy BCH.
Kody z dwuwymiarową k o n t r o lą p a r z y s t o ś c i s ą ró w n ie ż s z e ro ko stosow ane w t r a n s m i s j i d a n y c h . W je d n e j z w e r s j i , p o je d y n czy b i t p a r z y s t o ś c i dodawany j e s t do k a ż d e j i n f o r m a c j i s k ła d a j ą c e j s i ę z sie d m iu b it ó w , «a końcu każdego b lo k u i n f o r m a c j i tra n s m ito w a n y j e s t znak p a r z y s t o ś c i d la k a ż d e j ko lu m n y. W od
b io r n ik u c e c h a p a r z y s t o ś c i o b lic z a n a j e s t d la każdego p o je d y n czego b lo k u . J e ś l i ra c h u n e k b ę d z ie zgodny, o d b io r n ik p r z e s y ła
o tym in f o r m a c ję do n a d a jn ik a , z aś n a d a jn ik p r z e s y ła wówczas n a stę p n y b lo k i n f o r m a c j i . J e ś l i n ie ma o d p o w ie d z i lu b o t r z y mywany s y g n a ł j e s t n ie w ła ś c iw y , n a d a jn ik p o w ta rz a / r e t r a n s m i - t u j e / dany b lo k i n f o r m a c j i . W p rz y p a d k u , gdy k i l k a r e t r a n s m is ji z a w ie d z ie , o p e r a t o r j e s t o tym powiadom iony a u to m a ty c z n ie .
BIBLIOGRAFIA
1. A rm s tro n g , D .B . "A G e n e r a l Method o f A p p ly in g E r r o r C o r e c t io n to Syn ch ro n o u s D i g i t a l S y s te m s ’.' B e l l System s T e c h n ic a l J o u r - n a l , V o l . 40, March 1 9 6 1.
2» F r a n c o , A .G . and L . J . S a p o r t a . "P e rfo rm a n c e o f Random Error Cor
r e c t i n g Codes on th e S w itc h e d T elep h o n e N e tw o r k ." I E E E T r a n s a c t io n s on C om m unication T e c h n o lo g y , V ol.C O M -15, N o .6, Decem
b e r 1967.
3. Hamming, R .W . " E r r o r D e t e c t in g and E r r o r C o r r e c t in g Codes."BdL System s T e c h n ic a l J o u r n a l , V o l . 29, 1950.
4. K a u t a , W .H. "Codes and Coding C i r c u i t r y f o r A u to m a tic Error Cor
r e c t i o n W it h in D i g i t a l S y s te m s " In Redundancy T e c h n iq u e s f o r Com puting S y s te m s , W .C . Mann, ed. New Y o r k : S p a r ta n Bocks, 1 962-5. K n o x - S e it h , J . K . "A Redundancy T e ch n iq u e f o r Im p ro v in g the Relia
b i l i t y o f D i g i t a l System s'.' S o l i d S t a t e E l e c t r o n i c s L a b o r a t o r y , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , December 19 6 3 * / T e c h n ic a l R e p o rt N o *4 8 1 6-i/
6. L y n c h , W .C. " R e l i a b l e F u ll- D u p le x F i l e T ra n s m is s io n O ver H alf- D up lex T elephone L i n e s " . C om m unications o f th e ACM, V o l. 1 1, No 6, Ju n e 1968.
7. R o a, R .N . "U se o f E r r o r C h eck in g Codes on Memory Words f o r Im
p ro ve d R e l i a b i l i t y " . IE E E T r a n s a c t io n s on R e l i a b i l i t y . Vol.R-17, Ju n e 1968.
8. Townsend, R . L . and R .N . W a t t s . " E f f e c t i v e n e s s o f E r r o r C o n tr o l in D ata Com m unication o v e r th e S w itc h e d T elep h o n e N e t w o r k " .B a ll System s T e c h n ic a l J o u r n a l , V o l . 43, November 1964*
9. T ry o n , J . G . "R ed u n d an t L o g ic C i r c u i t r y " . U .S . P a t e n t No. 2942193, Ju n e 21, 1960.
10. von Neumann, J . " P r o b a b i l i s t i c L o g ic and th e S y n t h e s is o f Re - l i a b l e O rganism s from U n r e lia b le C om ponents". In Autom ata Stu - d ie s by C lau d e E .Sh an n o n and J. M c C a r t h y . V o l . 34, A n n a ls o f Mat
h e m a tic s S t u d ie s . P r in c e t o n : P r in c e t o n U n i v e r s i t y ,1 9 5 6 .
C en a
z i92.-ZNAK I W-<éV¡»