Metoda elementu skończonego dla modelowych zadań

po zmiennej czasowej z krokiem τ na odcinku [0, T ]: t_n = n ∗ τ dla n = 0, . . . , N i τ = T /N i otrzymujemy dyskretyzację układu równań zwyczajnych (14.9) używając któregoś ze schematów ze stałym krokiem dla równań zwyczajnych.

Otwarty schemat Eulera daje nam następujący schemat polegający na znalezieniu {uⁿ_k,l} takiego, że: uⁿ_k,l− uⁿ⁻¹_k,l τ ^{+ (−} 2 X s=1 ∂∂_s,h+ c)uⁿ⁻¹_k,l = f_k,lⁿ⁻¹ 0 < k, l < M, n = 1, . . . , N uⁿ_k,l = 0 n = 0, . . . , N k, l = 0, M (14.10) u⁰_k,l = u₀(k ∗ h, l ∗ h) k, l = 1, . . . , M − 1

Przybliżenie u_h(t_n, (k ∗ h, l ∗ h)) oznaczamy przez un k,l. W szczególności otrzymujemy (− 2 X s=1 ∂∂s,h+ c)uⁿ_k,l = ¹ h2(−uⁿ_k,l−1− uⁿ_k−1,l+ 4u_k,lⁿ − uⁿ_k+1,l− uⁿ_k,l+1) + cuⁿ_k,l

Analogicznie możemy zdefiniować schemat zamknięty Eulera lub schemat Cranka-Nicholson, czyli schemat trapezów zastosowany do (14.9).

14.2. Metoda elementu skończonego dla modelowych zadań

14.2.1. Przypadek jednowymiarowy

Rozpatrzmy ponownie jednowymiarowe modelowe zadanie (14.4). Jego słabe sformułowanie wprowadzamy analogicznie jak w rozdziale11. Mnożąc równanie paraboliczne (14.4) przez funk-cję testową z C₀^∞(0, l), całkując po (0, l) i stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy równanie: (ut, φ)_L2(0,l)+ du dx^, dφ dx  L2(0,l) + c(u, φ)_L2(0,l)= (f (t, ·), φ)_L2(0,l) ∀φ ∈ C₀^∞(0, l) z warunkiem początkowym (u(0), φ)_L2(0,l)= (u₀, φ)_L2(0,l) ∀φ ∈ C₀^∞(0, l).

Korzystając z tego, że H₀¹(0, l) jest domknięciem C₀^∞(0, l) w normie H¹ można pokazać, że powyższe równanie jest równoważne znalezieniu funkcji u : [0, T ] → H₀¹(Ω) takiej, że

d dt^{(u, v)L2(0,l)+} du dx^, dv dx  L2(0,l) + c(u, v)_L2(0,l) = (f (t, ·), v)_L2(0,l) ∀v ∈ H1 0(0, l), (14.11) (u(0), v)_L2(0,l) = (u₀, v)_L2(0,l) ∀v ∈ H1 0(0, l)

dla 0 < t ¬ T , co jest słabym (wariacyjnym) sformułowaniem (14.4), które stanowi wyjście do konstrukcji dyskretyzacji równania parabolicznego za pomocą metody elementu skończone-go. Niech T_h([0, l]) = {[x_k, x_k+1} będzie triangulacją równomierną [0, l] zdefiniowaną jak w rozdziale 11.1.2, tzn. x_k = k ∗ h dla h = l/N i niech V^h będzie przestrzenią funkcji ciągłych kawałkami liniowych (tzn. liniowych na elementach [x_k, x_k+1]) zerujących się w końcach odcinka [0, l]. Oczywiście zachodzi V^h⊂ H1

0(0, l).

Znajdź funkcję u_h : [0, T ] → V^h taką, że dla 0 < t ¬ T i dowolnego v_h ∈ Vh zachodzi: d dt^{(uh, vh)L2(0,l)+} du_h dx ^, dv_h dx  L2(0,l) + c(u_h, v_h)_L2(0,l) = (f (t, ·), v_h)_L2(0,l) (14.12) (u_h(0), v_h)_L2(0,l) = (u₀, v_h)_L2(0,l)

Biorąc bazę nodalną tej przestrzeni (φ_k)^{N −1}_k=1 (por. (11.3)) i rysunek11.1na str.98, otrzymujemy u_h =^{PN −1}_k=1 u_kφ_k i M_h ^d dt^{~u + (Ah+ cMh)~u = ~f (t)} M_h~u(0) = ~u_0,h dla ~u = (u_k)_k, M_h = ((φ_k, φ_l)_L2(0,l))_k,l, A_h = ((^dφk dx,^dφl dx)_L2(0,l))_k,l, ~u_0,h = ((u₀, φ_k)_L2(0,l))_k i wektora prawej strony ~f = (f₁, . . . , f_{N −1})^T dla f_k(t) = (f (t), φ_k)_L2(0,l). Z tego otrzymujemy

d dt^{~u + (M} −1 h A_h+ cI)~u = M_h⁻¹f (t) =: ~^~ g(t) ~ u(0) = M_h⁻¹~u_0,h := ~u₀.

Proszę zauważyć, że jest to układ równań zwyczajnych liniowych z warunkiem początkowym, więc ma jednoznaczne rozwiązanie na [0, T ], co wynika z ogólnej teorii równań różniczkowych zwyczajnych, por. np. rozdział3.2lub [23]. Do powyższego układu równań możemy zastosować dowolny schemat rozwiązywania równań zadania początkowego dla równań zwyczajnych.

Macierze M_h i A_h są symetryczne i dodatnio określone.

Można pokazać, że macierz M_h⁻¹A_h ma wartości własne ujemne o module od jeden do rzędu h⁻², czyli bardzo dużym module dla małych h. Zatem dla c = 0 układ równań zwyczajnych jest sztywny zgodnie z definicją z rozdziału6. Należy tu stosować schematy całkowania równań zwyczajnych stosowne do zadań sztywnych.

14.2.2. Przypadek dwuwymiarowy

Rozpatrzmy dwuwymiarowe modelowe zadanie na dowolnym obszarze wielokątnym na płasz-czyźnie Ω, czyli zastępując kwadrat przez Ω w (14.8). Jego słabe sformułowanie otrzymujemy analogicznie jak w rozdziale 11, lub w przypadku jednowymiarowym (por. rozdział 14.2.1). Mnożąc równanie paraboliczne z (14.8) przez funkcję testową z C₀^∞(Ω), całkując po Ω i stosując wzory Greene’a otrzymujemy:

(ut, φ)_L2(Ω)+ a(u, v) = (f (t, ·), φ)_L2(Ω) ∀φ ∈ C₀^∞(Ω)

dla 0 < t ¬ T , a(u, v) = (∇u, ∇φ)_L2(Ω) + c(u, φ)_L2(Ω) oraz u spełnia warunek początkowy (u(0), φ)_L2(Ω)= (u₀, φ)_L2(Ω).

Jak w rozdziale 14.2.1 otrzymujemy, że powyższe równanie jest równoważne znalezieniu funkcji u : [0, T ] → H₀¹(Ω) takiej, że

d

dt^{(u, v)L2(Ω)+ a(u, v) = (f (t, ·), v)L2(Ω) ∀v ∈ H}

1

0(Ω), (14.13)

(u(0), v)_L2(Ω) = (u₀, v)_L2(Ω) ∀v ∈ H₀¹(Ω)

dla 0 < t ¬ T , co jest słabym, wariacyjnym sformułowaniem (14.8), które stanowi wyjście do konstrukcji dyskretyzacji równania parabolicznego za pomocą metody elementu skończonego.

14.3. Zadania 127 Rozpatrzmy T_h(Ω) triangulacje równomierną Ω, złożoną z przystających trójkątów, zdefiniowa-ną jak w rozdziale12i V^h - przestrzeń funkcji ciągłych kawałkami liniowych na tej triangulacji, zerujących się na brzegu, czyli przestrzenią liniowego elementu skończonego (por. rozdział12).

Dyskretyzację po przestrzeni zadania (14.13) definiujemy: znajdź funkcję u_h : [0, T ] → V^h taką, że dla 0 < t ¬ T i dowolnego v_h∈ Vh:

d

dt^{(uh, vh)L2(Ω)+ a(uh, vh) = (f (t, ·), vh)L2(Ω) (14.14)} (u_h(0), v_h)_L2(Ω) = (u₀, v_h)_L2(Ω).

Otrzymaliśmy zatem ponownie układ równań zwyczajnych liniowych z warunkiem początko-wym, który po wprowadzeniu standardowej bazy daszkowej {φ_kl} dla Vh, por. (12.2), mo-żemy przepisać jako zadanie początkowe na funkcje-współczynniki α_k,l(t) takie, że u_h(t) = P

k,lα_k,l(t)φ_kl. Następnie to zadanie początkowe możemy rozwiązać za pomocą jakiegoś sche-matu, np. otwartego lub zamkniętego schematu Eulera, lub schematu trapezów. Okazuje się, że - tak samo jak w przypadku jednowymiarowym - dla c = 0 powstające układy równań zwyczaj-nych są sztywne. Dlatego w praktyce stosuje się odpowiednie schematy dla zadań sztywzwyczaj-nych.

14.3. Zadania

Ćwiczenie 14.1. Zbadaj rzędy błędów aproksymacji otwartego schematu Eulera (14.6) i za-mkniętego schematu Eulera (14.7) dla dyskretyzacji modelowego problemu jednowymiarowego w dyskretnej normie maksimum przyjmując, że rozwiązanie jest dostatecznie gładkie. Ustal, jaka minimalna gładkość rozwiązania jest konieczna, tzn. znajdź najmniejsze r takie, że jeśli rozwiązanie u ∈ C^r, to rząd aproksymacji schematu jest możliwie duży.

Ćwiczenie 14.2. Zbadaj stabilność zamkniętego schematu Eulera (14.7) dla dyskretyzacji mo-delowego problemu jednowymiarowego w dyskretnej normie maksimum dla c > 0. Wywnioskuj zbieżność dyskretną schematu w tejże normie.

Wskazówka. Zastosuj twierdzenie 9.1, a do wykazania zbieżności zastosuj ogólną teorię zbież-ności schematów różnicowych Laxa z rozdziału 8.

Ćwiczenie 14.3. Zbadaj rząd błędu aproksymacji schematu Cranka-Nicholson dla c > 0 dla dyskretyzacji modelowego problemu jednowymiarowego w dyskretnej normie maksimum przyj-mując, że rozwiązanie jest dostatecznie gładkie. Ustal, jaka minimalna gładkość rozwiązania jest konieczna, aby schemat miał ten rząd. Zbadaj stabilność tego schematu w dyskretnej normie maksimum: czy jest warunkowa, czy bezwarunkowa? Zbadaj zbieżność w dyskretnej normie maksimum.

Ćwiczenie 14.4. Rozpatrzmy równanie paraboliczne dla Ω = (0, 1)². — Zapisz (14.14) w postaci liniowego zadania początkowego:

M_h^d~u

dt^{(t) + Ah~u(t) = ~f (t), ~u(0) = ~u0}

dla ~u(t) = {c_k,l(t)}_k,l współczynników u_h(t) w bazie daszkowej V^h (por. (12.2)) i M_h, A_h macierzy stałych.

— Wypisz wzory na otwarty i zamknięty schemat Eulera zastosowany do tego zadania po-czątkowego.

hiperbolicznych pierwszego rzędu

W tym rozdziale zajmiemy się metodami rozwiązywania równań hiperbolicznych pierwszego rzędu (por. rozdział2.2.2). Przedstawimy konstrukcję kilku otwartych schematów różnicowych oraz podamy ideę zbieżności schematów za [26].

Konstrukcję schematów różnicowych przedstawimy dla modelowych równań, tzn. równań liniowych skalarnych, czyli będziemy szukali przybliżeń funkcji u = u(t, x) takiej, że

ut+ a(t, x)u_x = b(t, x), (15.1)

Zazwyczaj rozwiązania będą spełniały też warunek początkowy u(0, x) = u₀(x), przy czym najczęściej będziemy zakładać dla prostoty prezentacji, że a jest stałą, a b = 0.

Pokażemy jak stosować te schematy dla równań nieliniowych i układów równań liniowych postaci:

~

ut+ A~ux = 0, (15.2)

gdzie A - to stała macierz m × m diagonalizowalna w jakiejś bazie (ponieważ jest to układ hiperboliczny).