Ogólna teoria zbieżności schematów różnicowych

W tym podrozdziale opiszemy ogólną teorię zbieżności schematów różnicowych. Ograniczy-my się do szczegółowego omówienia przypadku schematów liniowych, tzn. aproksymacji równań różniczkowych liniowych.

Teoria ta potrzebna jest zarówno do badania zbieżności schematów różnicowych dla równań eliptycznych, jak i dla schematów dla innych typów równań, np. równań parabolicznych.

Załóżmy, że rozpatrujemy następujące zadanie różniczkowe: chcemy znaleźć u funkcję okre-śloną na obszarze Ω taką, że spełnia równanie różniczkowe z warunkami brzegowymi:

Lu(x) = f (x) x ∈ Ω (8.1)

lku(x) = gk(x) x ∈ Γk, k = 1, . . . , s, (8.2) gdzie f, g_k - to dane funkcje, L - to operator różniczkowy liniowy, l_k - to odpowiedni operator różniczkowy brzegowy liniowy określony na Γ_k dla Γ_k⊂ ∂Ω.

Będziemy zakładać, że powyższe zadanie jest poprawnie postawione, tzn. że ma jedno-znaczne rozwiązanie u ∈ U dla U przestrzeni liniowej funkcji określonych na Ω z normą k · k_U. Zakładamy też, że

L : U → F dla F przestrzeni funkcji określonych na Ω, a

l_k : U → Φ_k k = 1, . . . , s

dla Φ_k przestrzeni funkcji określonych na Γ_k. Wyjściowe zadanie różniczkowe możemy zapisać w postaci operatorowej jako: znaleźć u ∈ U takie, że

Lu = f (8.3)

l_ku = g_k k = 1, . . . , s. (8.4)

Zdefiniujmy Ω_h jako siatkę, tzn. zbiór punktów izolowanych, węzłów należących do Ω z parametrem h.

Zakładamy, że istnieje rodzina siatek {Ω_h}_h, czyli rodzina zbiorów punktów izolowanych należących do Ω indeksowanych parametrem h, należącym do pewnego zbioru ω ⊂ (0, h₀] ⊂ R+

takim, że 0 ∈ ω (tzn. że istnieje podciąg siatek Ω_hk taki, że h_k → 0).

W praktyce najczęściej stosuje się siatki równomierne, tzn. podzbiory a+h∗Z^ddla ustalonego punktu a ∈ R^d. Ewentualnie stosuje się siatki o jednolitych krokach w danym kierunku w R^d. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych c Marcinkowski, Uniwersytet Warszawski, 2011.

Siatkę Ω_h przedstawiamy w postaci Ω_h = Ω_h ∪ ∂Ω_h, gdzie Ω_h będziemy nazywać zbiorem punktów siatkowych wewnętrznych (zazwyczaj zawartych w Ω), a ∂Ω_h- zbiorem punktów siatko-wych brzegosiatko-wych (zawartych albo leżących w pobliżu ∂Ω). W zbiorze ∂Ω_hpunktów brzegowych możemy dalej wyróżniać podzbiory Γ_k,h. Zakładamy, że rodzina siatek {Ω_h}_hjest gęsta w sensie następującej definicji:

Definicja 8.1. Rodzina siatek {Ωh}_h jest gęsta (ang. dense) w Ω, gdy dla dowolnego  > 0 istnieje h₁ ∈ ω takie, że dla h < h₁ i dowolnego x ∈ Ω kula K(x, ) o środku w x i promieniu  zawiera co najmniej jeden punkt y ∈ Ω_h.

Proszę zauważyć, że rodzina siatek zdefiniowana w Rozdziale 7.1 jest w sposób oczywisty gęsta dla [a, b].

Wprowadzamy teraz rodzinę zadań przybliżonych (schematów różnicowych), które dają się zapisać w następujący sposób: chcemy znaleźć funkcję u_h określoną na Ω_h taką, że

L_hu_h(x) = f_h(x) x ∈ Ω_h

l_k,hu(x) = g_k,h(x) x ∈ Γ_k,h, k = 1, . . . , s, czy inaczej - operatorowo

Lhuh = fh (8.5)

lk,hu = gk,h k = 1, . . . , s. (8.6)

Zakładamy, że L_h : U_h → F_h i l_k,h: U_h → Φ_k,h dla k = 1, . . . , s, gdzie:

1. U_h jest przestrzenią liniową unormowaną funkcji określonych na Ω_h z normą k · k_Uh, 2. F_h jest przestrzenią liniową unormowaną funkcji określonych na Ω_h z normą k · k_Fh, 3. Φ_k,h jest przestrzenią liniową unormowaną funkcji określonych na Γ_k,h z normą k · k_Φk,h.

Zazwyczaj wszystkie rozpatrywane przestrzenie są zupełne, tzn. są przestrzeniami Banacha. W przypadku gdy Ω jest ograniczony, są one też przestrzeniami skończenie wymiarowymi. Jeśli L_h i wszystkie l_k,h są operatorami liniowymi, to mówimy, że rozpatrujemy zadanie przybliżone (dyskretne) liniowe, czy schemat różnicowy liniowy. W przeciwnym razie - gdy choć jeden z operatorów jest nieliniowy, to mamy do czynienia z zadaniem przybliżonym nieliniowym, czy schematem różnicowym nieliniowym.

Proszę zauważyć, że rozpatrujemy rodzinę zadań przybliżonych, parametryzowanych przez h. Tak, jak w przykładzie w Rozdziale7.1, aby mówić o zbieżności rozwiązania zadania dyskret-nego u_h ∈ U_h do u ∈ U musimy mieć możliwość porównania obu funkcji. Dlatego zakładamy, że istnieje rodzina operatorów obcięcia (ang. restriction) r_h^U : U → U_h, które są liniowe i ograniczone jednostajnie (ang.uniformly bounded) względem h, tzn. ∃K > 0 ∀h ∈ ω ∀u ∈ U

kr^U_hukU_h ¬ KkukU.

Operator obcięcia pozwala porównywać rozwiązania w normie przestrzeni dyskretnej, ale możemy porównywać je również w normie przestrzeni U . W tym celu musimy wprowadzić rodzinę operatorów liniowych przedłużenia p^U_h : U_h→ U . Najczęściej za operatory przedłużenia bierze się odpowiednie operatory interpolacji.

Uwaga 8.1. Można wprowadzić pojęcie zbieżności aproksymacji przestrzeni. Tzn. rodzinę trójek (u_h, r_h^U, p^U_h) nazywamy aproksymacją przestrzeni U i mówimy, że ta aproksymacja jest zbieżna, jeśli dla dowolnego u ∈ U zachodzi zbieżność

kp^U_hr_h^Uu − uk_U → 0 h → 0.

W teorii zbieżności metod różnicowych najczęściej nie stosuje się operatorów przedłużenia, a za to wprowadza się warunek zgodności norm:

8.1. Ogólna teoria zbieżności schematów różnicowych 79 Definicja 8.2. Jeżeli dla danej przestrzeni unormowanej (U, k · k_U) i rodziny przestrzeni unor-mowanych z odpowiednimi operatorami obcięcia (U_h, k · k_Uh, r_h^U) zachodzi zbieżność

lim

h→0kr^U_huk_Uh= kuk_U ∀u ∈ U,

to mówimy, że normy dyskretne k · k_Uh są zgodne (ang. consistent) z normą k · k_U,

Od tej pory będziemy zakładali zgodność norm dyskretnych z normą w U , według powyższej definicji.

Definicja 8.3. Zadanie przybliżone (zadanie dyskretne, schemat różnicowy) (8.5)-(8.6) jest zbieżne (czasami używa się terminu zbieżne dyskretnie) jeśli

krU

hu − u_hk_Uh→ 0 h → 0,

gdzie u - to rozwiązanie zadania (8.3)-(8.4), a u_h ∈ U_h - to rozwiązanie dyskretne zadania przybliżonego (8.5)-(8.6).

Jeśli dodatkowo zachodzi

kr^U_hu − u_hk_Uh¬ O(h^p) to mówimy o zbieżności (dyskretnej) rzędu p.

Wielkość kr^U_hu − uhk_Uh będziemy nazywać błędem dyskretnym dla zadania przybliżonego (ang. dicrete error).

Kolejnym krokiem jest wprowadzenie pojęcia aproksymacji zadania ciągłego (wyjściowego zadania różniczkowego) przez zadanie dyskretne.

Definicja 8.4 (aproksymacja; rząd schematu; (ang.consistency)). Mówimy, że zadanie przybli-żone (8.5)-(8.6) aproksymuje zadanie (8.3)-(8.4), jeśli lokalne błędy aproksymacji zdefiniowane jako

e_0,h:= kL_hr^U_hu − f_hk_Fh e_k,h= kl_k,hr^U_hu − g_k,hk_Φk,h k = 1, . . . , s,

dążą do zera dla h → 0. Tutaj u jest rozwiązaniem zadania (8.3)-(8.4), a fh, gk,h są z zadania dyskretnego (8.5)-(8.6). Jeśli dodatkowo zachodzi:

e_k,h= O(h^p) k = 0, 1, . . . , s,

to mówimy, że schemat aproksymuje (8.3)-(8.4) z rzędem p (ang.local truncation error is of order p), (inaczej, że lokalne błędy aproksymacji są rzędu p, dane zadanie przybliżone lub schemat różnicowy ma rząd p, rząd aproksymacji schematu wynosi p).

Drugim ważnym pojęciem jest stabilność zadania dyskretnego. Tu podamy definicje stabil-ności dla schematu liniowego:

Definicja 8.5 (stabilność; (ang.stability)). Liniowe zadanie przybliżone (8.5)-(8.6) jest stabilne (poprawnie postawione), jeśli istnieje stała h₀ taka, że dla dowolnego h ∈ ω, h ¬ h₀ i dla dowolnych f_h∈ F_h i g_k,h ∈ Φ_k,h k = 1, . . . , s zachodzą:

1. istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie u_h∈ U_h spełniające (8.5)-(8.6), 2. rozwiązanie to spełnia następującą nierówność:

ku_hk_Uh ¬ C(kf_hk_Fh+ S X k=1

kg_k,hk_Φk,h,

Uwaga 8.2. W literaturze czasami za stabilność zadania przybliżonego przyjmuje się tylko wa-runek (2) z definicji8.5.

Proszę zauważyć, że stabilność zadania przybliżonego jest samoistną cechą związaną tylko z definicją samego zadania dyskretnego- ona nie zależy w żaden sposób od rozwiązania równania różniczkowego. Dodatkowo warto też zauważyć, że jeśli U_h jest przestrzenią skończenie wymia-rową, istnieje rozwiązanie (8.5)-(8.6) i spełniony jest warunek (2) z definicji 8.5, to wtedy to rozwiązanie jest jednoznaczne.

Sformułujemy teraz następujące twierdzenie o zbieżności zadania przybliżonego:

Twierdzenie 8.1 (Lax-Filipow). Jeśli liniowe zadanie przybliżone (8.5)-(8.6) jest sta-bilne oraz aproksymuje zadanie (8.3)-(8.4), którego rozwiązaniem jest u, wtedy zadanie przybliżone jest zbieżne i

kr^U_hu − uhk_Uh¬ C( s X k=0

ek,h).

Tutaj u_h - to rozwiązanie zadania przybliżonego (8.5)-(8.6).

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy od razu następujący wniosek:

Wniosek 8.1. Jeśli zadanie przybliżone (8.5)-(8.6) jest stabilne oraz aproksymuje zadanie (8.3)-(8.4) z rzędem p, to

kr^U_hu − u_hk_Uh = O(h^p).

Dowód. Oznaczmy z_h = r^U_hu − u_h. Z liniowości L_h i l_k,h dla k = 1, . . . , s wynika, że z_h spełnia zadanie przybliżone z odpowiednimi prawymi stronami:

L_hz_h= L_hr_h^U− f_h = w_h, l_k,hz_h = l_k,hr^U_hu − g_k,h= w_k,h k = 1, . . . , s, zatem z definicji stabilności zadania przybliżonego otrzymujemy następujące oszacowanie:

kz_hk_Uh ¬ C(kg_hk_Fh+ s X k=1 kw_k,hk_Φk,h) = C(kL_hr_h^U− f_hk_Fh+ s X k=1 kl_k,hr_h^Uu − g_k,hk_Φk,h). Następnie z faktu aproksymacji zadania (8.3)-(8.4) przez zadanie przybliżone (8.5)-(8.6) otrzy-mujemy ostatecznie oszacowanie:

kr^U_hu − u_hk_Uh= kz_hk_Uh ¬ C( s X k=0

e_k,h) = O(h^p) → 0 h → 0.

Powyższe twierdzenie można krótko podsumować, że aby otrzymać schemat zbieżny z rzędem p musi być on stabilny i posiadać rząd aproksymacji p.

Proszę zauważyć, że twierdzenie jest bardzo ogólne, a dowód jest prosty. Pojawia się pyta-nie: jak dobrać odpowiednie przestrzenie i operatory, aby zadania przybliżone (schematy) były stabilne i miały możliwie wysoki rząd aproksymacji.

Uwaga 8.3. Proszę zauważyć, że powyższa teoria zbieżności może zostać zastosowana do zadań różniczkowych rożnego typu - zarówno eliptycznych, jak i parabolicznych, czy hiperbolicznych.