3.2 Oprogramowanie
3.2.3 Metoda rozwinięcia na fale płaskie
Metoda rozwinięcia na fale płaskie [65]–[67] jest wykorzystywana w celu określenia sposobu propagacji wiązki światła przez nanostrukturę fotoniczną. Bardziej precyzyjnie, za jej pomocą można wyliczyć jak wiązka światła o określonej częstotliwości propaguje się dla każdego kierunku kryształu fotonicznego.
W poniższych rozważaniach przyjęto idealny materiał dielektryczny ( = 1) oraz układ bez źródła prądu ( ⃗= 0, = 0). W przypadku przebiegów harmonicznych:
= − (3.57)
Wówczas, podstawowe równania Maxwella (2.1 − 2.4) przyjmują postać: 1 ∇ × ∇ × ⃗ = ⃗ (3.58) ∇ × ∇ × 1 ⃗ = ⃗ (3.59) ∇ × 1 ∇ × ⃗ = ⃗ (3.60) ∇ × 1∇ × ⃗ = ⃗ (3.61) Ponieważ wartość względnej przenikalności magnetycznej jest stała to wyrażenia na ⃗ i ⃗ mają analogiczną postać. Wartość względnej przenikalności elektrycznej nie jest wartością stałą i definiuje periodyczność.
Zadanie sprowadza się do wyznaczenia energii oraz składowych pola elektromagnetycznego zezwalających na istnienie struktury periodycznej. Zagadnienie to obejmuje wyznaczenie , której wartość jest funkcją lokalizacji i musi zostać rozwiązana dla różnych wartości .
Pierwsze z powyższych równań może zostać przekształcone do następującej postaci:
⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧1 − − + + = 1 − − + + = 1 − − + + = (3.62)
55
Pozostałe równania nie zostaną rozwinięte w prezentowanych rozważaniach. Wynika to z faktu, iż w dalszej części przeliczenia opierać będą się wyłącznie na składowej ⃗ pola elektromagnetycznego. Warto jedynie nadmienić, iż wyrażenie ∇ × ∇ z równań 3.60 i 3.61 jest powiązane postacią hermitowską, która zakłada że wartości / są rzeczywiste i w związku z tym rozkłady pola dla tych samych częstotliwości są ortogonalne. Rozwinięcie składowej ⃗ pola elektromagnetycznego posiada cztery składowe po lewej stronie powyższego układu równań. Rozwinięcia wektorów ⃗ i ⃗ posiadają 8 składowych (analogicznych do siebie), a wektora ⃗ już 16 składowych, co jest konsekwencją wyrażenia ⃗. Tak obszerne rozwinięcia są kolejnym powodem nie zamieszczania ich w niniejszej pracy. Można je znaleźć w [51], [80].
Powyższy układ równań pól oraz funkcja dielektryczna mogą zostać rozwinięte w szereg Fouriera wzdłuż kierunku, w którym występuje periodyczność. Liczba składowych rozwinięcia decyduje o dokładności obliczeń.
W najprostszym przypadku, jednowymiarowy kryształ fotoniczny stanowią naprzemienne warstwy powietrza i dielektryka (Rys. 3.3).
Rys. 3.3 Jednowymiarowy kryształ fotoniczny składający się z naprzemiennych warstw powietrza oraz dielektryka.
Zakładamy polaryzację TE wiązki światła propagującej się w kierunku . Ponieważ periodyczność występuję tylko w jednym kierunku i analizujemy tylko polaryzację TE, powyższy układ równań upraszcza się do:
1
56
W idealnym przypadku, rozwinięcie oraz w szereg Fouriera stanowi nieskończony ciąg sumowania. Jednakże do celów obliczeniowych wymagane jest jego uproszczenie:
1
= Κ (3.64)
= Κ (3.65)
gdzie: Κ – współczynniki szeregu Fouriera dla , Κ – współczynniki szeregu Fouriera dla ,
, – liczby całkowite.
W przypadku propagacji wiązki światła w innym kierunku niż , należy w powyższym równaniu uwzględnić wartości oraz .
Po podstawieniu powyższych rozwinięć do równania 3.63 otrzymujemy równanie wartości własnych:
2
+ Κ Κ
= Κ
(3.66)
W celu uproszczenia powyższego równania, mnożymy je obustronnie przez , gdzie stanowi liczbę całkowitą. Wówczas ostateczna forma równania wartości własnych przyjmuje postać:
2
+ Κ Κ = Κ (3.67)
Powyższe równanie może zostać przekształcone do postaci macierzy wartości własnych . Na tym etapie należy zdefiniować liczbę analizowanych modów. Przykładowo, jeżeli pod uwagę bierzemy 5 modów to wówczas wartości parametrów i , stanowiące liczby całkowite powinny symetrycznie zostać rozłożone względem 0:
57
Wówczas macierz może zostać wyrażona w następujący sposób:
⎝ ⎜ ⎜ ⎛ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ Κ Κ Κ Κ Κ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ Κ Κ Κ Κ Κ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ (3.69) gdzie: , = + Κ .
W celu wyznaczenia charakterystyki dyspersyjnej kryształu fotonicznego, tzn. fotonicznego diagramu pasmowego należy określić trzy parametry:
Κ , , Κ (3.70)
Powyższa macierz po diagonalizacji pozwoli na wyznaczenie wartości własnych oraz wartości własnych wektora Κ . W celu określenia wartości współczynników dielektrycznych Κ należy posłużyć się odwrotną transformatą Fouriera:
Κ = 1 1
/ /
(3.71)
Uwzględniając rozkład warstw powietrze-dielektryk w kierunku propagacji wiązki światła:
Κ =1 1 / / +1 1 +1 1 / / / / (3.72) Ostatecznie: Κ = 1 + 1 − 1 sin (3.73)
Wyznaczone wartości wymaganych parametrów (3.70) pozwalają na rozwiązanie macierzy wartości własnych , której rozwiązania określają fotoniczny diagram pasmowy.
Powyższe rozważania zostały przeprowadzone dla polaryzacji wiązki światła. Informacje odnośnie rozważań dla polaryzacji opisane zostały w pracy [81].
W przypadku struktur fotonicznych, których periodyczność zdefiniowana jest w dwóch kierunkach , rozwinięcie oraz w szereg Fouriera ma następującą postać:
1
58
, = Κ ,, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (3.75)
gdzie: ⃗ – prymitywne wektory sieci odwrotnej, ⃗ – prymitywne wektory sieci krystalicznej.
Dla dwuwymiarowego kryształu fotonicznego o trójkątnej konfiguracji sieci otworów, który jest tematem zainteresowania autora, wektory te zdefiniowane są poprzez równania 2.18 − 2.19 i 2.30 − 2.31.
Po przekształceniach, forma równania wartości własnych przyjmuje postać:
Κ , ⎝ ⎛ Κ , Κ , Κ , ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ Κ , Κ , Κ , ⎠ ⎞ (3.76) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 2 + + − 2 + 2 + − 2 + − 2 + 2 + 2 + + − 2 + − 2 + − 2 + 2 + + 2 + ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ (3.77) gdzie: = √ .
Rozwiązanie macierzy określające fotoniczny diagram pasmowy można znaleźć w pracy [80].
Analizy numeryczne nanostruktur fotonicznych
4
Optymalna struktura dwuwymiarowego kryształu fotonicznego stanowiącego element aktywny spektroskopowego czujnika acetylenu powinna się charakteryzować maksymalnymi wartościami następujących parametrów:
– współczynnika transmisji ,
– grupowego współczynnika załamania ,
– współczynnika przekrycia wiązki światła z atmosferą gazową .
Wartości tych parametrów zależą od geometrycznej konfiguracji kryształu fotonicznego. W ramach realizowanych studiów doktoranckich przeprowadzano dwa etapy analiz numerycznych mających na celu opracowanie najlepszej struktury dwuwymiarowego kryształu fotonicznego. Pierwszy etap obejmował podstawową analizę numeryczną definiującą zależność wartości wyżej wymienionych parametrów od (Rys. 4.1):
59
a) promienia wszystkich otworów struktury oraz szerokości liniowego defektu powstałego przez usunięcie rzędu otworów . Wartości tych parametrów analizowane były jako wzajemnie współzależne.
b) parametrów sekcji antyodbiciowych AR (ang. „antireflection sections), zwiększających współczynnik transmisji [82]–[84]:
– szerokość liniowego defektu w tym obszarze kryształu , – liczba otworów stanowiących sekcję antyodbiciową , – szerokości falowodu wejściowego oraz wyjściowego .
Rys. 4.1 Podstawowa analiza numeryczna; analizowane parametry geometryczne struktury 2D PhC z liniowym defektem powstałym przez usunięcie rzędu otworów.
W drugim etapie, szczegółowe analizy numeryczne obejmowały:
a) promień wszystkich otworów struktury oraz szerokość liniowego defektu powstałego przez usunięcie rzędu otworów (Rys. 4.2). Wartości tych parametrów analizowane były jako wzajemnie współzależne.
Rys. 4.2 Szczegółowa analiza numeryczna; analizowane parametry geometryczne struktury 2D PhC z liniowym defektem powstałym przez usunięcie rzędu otworów.
b) promień wszystkich otworów struktury , szerokość liniowego defektu powstałego przez usunięcie rzędu otworów oraz promień otworów w liniowym defekcie w postaci rzędu otworów o mniejszym bądź większym promieniu od pozostałych otworów (Rys. 4.3). Wartości tych parametrów analizowane były jako wzajemnie współzależne.
60
Rys. 4.3 Szczegółowa analiza numeryczna; analizowane parametry geometryczne struktury 2D PhC z liniowym defektem w postaci rzędu otworów o mniejszym bądź większym promieniu od pozostałych otworów.
c) promień wszystkich otworów struktury , szerokość liniowego defektu powstałego przez usunięcie rzędu otworów oraz szerokość kanału powietrznego stanowiącego liniowy defekt (Rys. 4.4). Wartości tych parametrów analizowane były jako wzajemnie współzależne.
Rys. 4.4 Szczegółowa analiza numeryczna; analizowane parametry geometryczne struktury 2D PhC z liniowym defektem w postaci kanału powietrznego.
Na podstawie przeprowadzonych analiz z ww. a), b), c) została wybrana optymalna struktura, zapewniająca maksymalne wartości badanych parametrów, a następnie przeprowadzono kolejne analizy związane z:
d) parametrami sekcji antyodbiciowych, zwiększających współczynnik transmisji: – promień oraz liczba otworów sekcji antyodbiciowych oraz szerokość
liniowego defektu w tym obszarze kryształu (Rys. 4.5). Wartości tych parametrów analizowane były jako wzajemnie współzależne.
61
e) geometryczną konfigurację falowodów wejściowych oraz wyjściowych z uwzględnieniem (Rys. 4.6):
– szerokości oraz długości części początkowej falowodów, – długości części pośredniej falowodów ,
– szerokości oraz długości części końcowej falowodów,
Rys. 4.6 Szczegółowa analiza numeryczna; analizowane parametry geometryczne związane z szerokością oraz długością poszczególnych części falowodów planarnych.
– dodatkowych zaburzeń o losowych szerokościach i długościach wprowadzanych w część początkową oraz końcową falowodów (Rys. 4.7).
Rys. 4.7 Szczegółowa analiza numeryczna; analizowane parametry geometryczne związane z wprowadzeniem dodatkowych zaburzeń w podstawową konfigurację falowodów planarnych.
Pkt. a) wymieniony w przypadku analiz podstawowych oraz szczegółowych został sformułowany w identyczny sposób, aczkolwiek istnieją pomiędzy nimi znaczne różnice. W przypadku szczegółowych analiz, dla każdego z punktów od a) do d), określano dodatkowo zależność wartości badanych parametrów od (Rys. 4.8):
62
a) średnicy pierwszego rzędu otworów oraz jego przesunięcia w pobliżu liniowego defektu. Wartości tych parametrów analizowane były jako wzajemnie współzależne. b) średnicy drugiego rzędu otworów oraz jego przesunięcia w pobliżu liniowego
defektu. Wartości tych parametrów analizowane były jako wzajemnie współzależne.
Rys. 4.8 Szczegółowa analiza numeryczna; analizowane parametry geometryczne pierwszego oraz drugiego rzędu otworów struktury 2D PhC.
Szczegółowe analizy numeryczne okazały się czasochłonne, pomimo wykorzystywania zasobów WCSS [72], ponieważ analizowano wpływ wzajemnej zależności wartości parametrów geometrycznych nanostruktur na uzyskiwane wartości parametrów optycznych. W związku z ograniczeniem czasowym realizacji studiów doktoranckich, struktura dwuwymiarowego kryształu fotonicznego stanowiącego element aktywny spektroskopowego czujnika gazu została zaprojektowana oraz wytworzona bazując na wynikach podstawowych analiz numerycznych. Wyniki szczegółowych analiz numerycznych pozwolą w przyszłości na zaprojektowanie i wytworzenie nowej nanostruktury charakteryzującej się lepszymi wartościami badanych parametrów, co w konsekwencji pozwoli na uzyskanie znacznie wyższej czułości projektowanego czujnika gazu.
Zaprezentowane poniżej wyniki analiz numerycznych dotyczą struktur kryształów fotonicznych z liniowym defektem, ponieważ tylko wprowadzenie defektu liniowego pozwala na możliwość pracy w trybie „slow light” (Rozdz. 2.3.2.2).
Wszystkie analizy numeryczne zostały przeprowadzone według następującego schematu: – dla wybranych wartości parametrów wzajemnie współzależnych (ich liczba jest
zależna od analizowanej struktury) określano zakres wartości tych parametrów, dla których nie występuje niepożądane zjawisko przekrywania się modów na fotonicznym diagramie pasmowym (Rozdz. 2.3.2.2),
– dla określonego zakresu wartości parametrów wyznaczano wartości współczynnika transmisji, grupowego współczynnika załamania oraz współczynnika przekrycia wiązki światła z atmosferą gazową.
63
Dodatkowo, autor przeprowadził również analizy numeryczne dwuwymiarowych kwazikryształów fotonicznych w celu określenia potencjalnej możliwości wykorzystania takich nanostruktur jako elementów aktywnych spektroskopowego czujnika gazu. Uzyskane wyniki zostały zaprezentowane w rozdziale 4.3.
4.1 Analizy podstawowe kryształów fotonicznych
W ramach analiz podstawowych zdefiniowano wpływ średnicy otworów, parametrów geometrycznych związanych z liniowym defektem powstałym przez usunięcie rzędu otworów oraz parametrów geometrycznych związanych z sekcjami antyodbiciowymi (Rys. 4.1) na uzyskiwane wartości współczynnika transmisji, grupowego współczynnika załamania oraz współczynnika przekrycia.