Zjawisko „slow light”

Zjawisko „powolne światło”, czyli „slow light” jest jednym z najbardziej interesujących zjawisk dla zastosowań do celów czujnikowych. Można je zaobserwować w odpowiednio zaprojektowanych kryształach fotonicznych [43]. Charakteryzuje się zmniejszeniem prędkości grupowej wiązki światła propagującej się przez strukturę kryształu fotonicznego. Wykorzystanie zjawiska „slow light” pozwoli na miniaturyzację czujników w wyniku wydłużenia efektywnej długości drogi optycznej oddziaływania wiązki światła z ośrodkiem.

2.3.2.1 Definicja

Wiązka światła może być rozpatrywana jako fala elektromagnetyczna lub jako cząsteczki ze względu na dualizm korpuskularno-falowy. W poniższych rozważaniach przyjęto, iż światło ma postać harmonicznej fali poprzecznej propagującej się wzdłuż osi . Fala taka opisywana jest równaniem:

( , ) = sin( − ) (2.44)

gdzie: – amplituda fali, – liczba falowa, – częstość kołowa.

Prędkość rozchodzenia się fali możemy wyrazić jako = / . Ponieważ = 2 / oraz = 2 / to prędkość można opisać jako:

33

W celu wyznaczenia prędkość fali należy analizować w jaki sposób, w funkcji czasu, zmienia się wybrana część fali, tzn. określona faza = − . Dlatego też, prędkość ta określana jest mianem prędkości fazowej [9]. Dla wybranej fazy zagadnienie to sprowadza się

do warunku = = 0. W konsekwencji − = 0  / = / = .

W ośrodkach niedyspersyjnych, takich jak próżnia, prędkość fali jest prędkością fazową ponieważ = / = . W ośrodkach dyspersyjnych prędkość fali zależna jest od częstotliwości. W celu analizy tego przypadku, zakładamy superpozycję dwóch fal o nieznacznie różniących się między sobą częstotliwościach i długościach fal:

( , ) = sin( − ) (2.46)

( , ) = sin[( + ) − ( + ) ] (2.47)

Sumą dwóch fal zdefiniowanych w ten sposób jest fala:

( , ) = ( , ) + ( , ) = 2 cos ^{∙ − ∙}

2 ^{sin( − ) (2.48)}

opisująca falę harmoniczną o częstości kołowej oraz funkcję modulującą:

2 cos (2.49)

gdzie: = ^{∙ ∙} .

Prędkość w tym przypadku, definiowaną jako prędkość ruchu obwiedni, wyznaczamy analizując jak w czasie przemieszcza się wybrany punkt obwiedni. Odpowiada to następującemu warunkowi:

∙ − ∙ = (2.50)

Różniczkując powyższe równanie względem czasu otrzymujemy:

∙ − ∙ = 0 (2.51)

Ostatecznie:

= = (2.52)

Zdefiniowana prędkość jest prędkość grupową [9], czyli prędkością przenoszenia energii i w ośrodkach dyspersyjnych jest inna niż prędkości poszczególnych składowych fali.

34

Między prędkością fazową i grupową można określić zależność. Podstawiając równanie 2.45 do wzoru 2.52 otrzymujemy:

= = + (2.53) Ponieważ: = = 2 ^(2.54) oraz = 2 / to ostatecznie: = − (2.55)

Z powyższego równania wynika, iż prędkość grupowa różni się od prędkości fazowej dla ośrodków, w których prędkość fazowa zależy od długości fali.

2.3.2.2 Praca w trybie „slow light”

W celu przybliżenia zagadnienia propagacji wiązki światła w trybie „slow light” należy przeanalizować krzywą dyspersyjną, która opisuje propagację wiązki w danym ośrodku. W przypadku propagacji wiązki światła w próżni oraz w materiale o współczynniku załamania , krzywa ta ma postać zaprezentowaną na rysunku (Rys. 2.11).

Rys. 2.11 Krzywa dyspersyjna wiązki światła propagującej się w próżni (krzywa ciągła) oraz w materiale o współczynniku załamania n (krzywa przerywana) [2].

W przypadku zaprezentowanej krzywej dyspersyjnej, jej nachylenie jest odwrotnie proporcjonalne do współczynnika załamania. W przypadku materiałów periodycznych krzywa ta nie posiada już postaci prostej, posiada pewną nieciągłość. W konsekwencji uzyskujemy obszar definiujący zakres długości fal wiązki światła, które nie mogą propagować się przez strukturę (Rys. 2.12).

35

Rys. 2.12 Krzywa dyspersyjna wiązki światła propagującej się w krysztale fotonicznym [2].

Na zaprezentowanym rysunku (Rys. 2.12), w pobliżu wartości = , nachylenie krzywej dyspersyjnej jest płaskie. W związku z tym, wartość prędkości grupowej jest równa zeru. Zjawisko „slow light” odnosi się wówczas do wiązki światła, której prędkość grupowa jest wyższa niż zero, ale mniejsza niż prędkość fazowa. Obszar pracy w trybie „slow light” zdefiniowany jest pomiędzy dwoma obszarami, tzn. jest częścią obszaru, w który wiązka może się jeszcze propagować w strukturze, ale w pobliżu obszaru, w który wiązka ta będzie odbita.

Wiązka światła padająca na strukturę kryształu fotonicznego posiadająca wartość wektora falowego równą = jest od niej odbijana. Zmiana kierunku wiązki na wskutek odbicia reprezentuje zmiana znaku przy wartości wektora falowego, tzn. = przekształca się w = − . Superpozycja dwóch fal, o równych wartościach, ale różnych kierunkach wektorów falowych generuje tzw. zjawisko fali stojącej. Fala ta charakteryzuje się oscylacjami, których obwiednia jest stała. W związku z tym, prędkość grupowa jest równa zeru. Zjawisko to wyjaśnia aspekt zerowego nachylenia krzywej dyspersyjnej w pobliżu fotonicznego pasma wzbronionego. W przypadku nieznacznego przesunięcia punktu pracy, wartości wektorów falowych nie są już równe. Dlatego też, wynik superpozycji daje możliwość pracy w trybie „slow light”.

W zakresie opisanego punktu pracy istnieje praktyczna możliwość wykorzystania zjawiska „slow light”. Aczkolwiek, praca na krawędzi fotonicznego pasma wzbronionego jest nie efektywna. Wynika to przede wszystkim z faktu, iż krawędź ta definiuje tzw. punkt odcięcia, w którym mody propagujące się przekształcają się w mody zanikające. W związku z pewną niedoskonałością technologiczną wytworzenia struktury, może okazać się, iż zamiast modu propagującego się w trybie „slow light” otrzymujemy pracę w zakresie modu

36

zanikającego. Dlatego też lepszym rozwiązaniem jest wykorzystanie zjawiska „slow light” w odpowiednio zaprojektowanych strukturach kryształów fotonicznych [43].

W przypadku 2D bezdefektowych kryształów fotonicznych, utworzonych przez otwory powietrzne o trójkątnej konfiguracji w materiale o większej wartości współczynnika załamania, zjawisko to nie może zostać zaobserwowane. W tak zdefiniowanej strukturze, występuje niezaburzone fotoniczne pasmo wzbronione (Rys. 2.13) [43].

Rys. 2.13 Fotoniczny diagram pasmowy bezdefektowej struktury dwuwymiarowego kryształu fotonicznego o trójkątnej konfiguracji sieci otworów.

Jeżeli w strukturę zostanie wprowadzony defekt, wówczas następuje ingerencja w postać fotonicznego pasma wzbronionego. I tak, w przypadku liniowego defektu, w paśmie tym pojawia się dodatkowy mod, tzw. mod defektowy parzysty TE₀ oraz nieparzysty TE₁ (Rys. 2.14) [43].

Rys. 2.14 Fotoniczny diagram pasmowy defektowej struktury dwuwymiarowego kryształu fotonicznego o trójkątnej konfiguracji sieci otworów.

37

Mody zaznaczone kolorem zielonym definiują obszar fotonicznego pasma wzbronionego. Szerokość tego pasma określa najwyższa oraz najniższa wartość częstotliwości odpowiednio modu na dolnej oraz górnej krawędzi fotonicznego pasma wzbronionego. Kolorem żółtym zaznaczono tzw. linię światła spełniającą warunek = ∙ . Powyżej linii światła, dla warunku > ∙ , występuje stożek światła. Mody w tym zakresie stanowią rozwiązania prawa Snella. Mody poniżej linii światła propagują się w strukturze kryształu fotonicznego i zanikają ekspotencjalnie w powietrzu.

Praca w zakresie modu TE0 umożliwia potencjalne wykorzystanie zjawiska „slow light”. Postać modu defektowego jest silnie zależna od geometrycznej konfiguracji kryształu fotonicznego, tzn. m.in. od szerokości liniowego defektu oraz średnicy otworów [44]. Analizując zmiany wartości tych parametrów można z jednej strony, zwiększyć wartość grupowego współczynnika, z drugiej strony doprowadzić do sytuacji, w której dana wartość częstotliwości będzie odpowiadać więcej niż jednej wartości wektora falowego (Rys. 2.15).

Rys. 2.15 Zjawisko przekrywania się modów w defektowej strukturze dwuwymiarowego kryształu fotonicznego o trójkątnej konfiguracji sieci otworów.

Wiązka światła propagująca się w krysztale fotonicznym w trybie „slow light” wykazuje się rozszerzeniem propagacji pola elektromagnetycznego również na otwory sąsiadujące z liniowym defektem [43]. Ma to wpływ na wartość współczynnika przekrycia, który zdefiniowany został jako stosunek pola propagującego się w otworach do całkowitej wartości natężenia pola w strukturze. Na poniższej charakterystyce (Rys. 2.16) została przedstawiona koncepcja pracy w trybie „slow light”. Pracując w zakresie częstotliwości modu defektowego TE0 w pobliżu szarego punktu na fotonicznym diagramie pasmowym pracujemy w trybie standardowej propagacji w strukturze kryształu fotonicznego. Aby pracować w trybie „slow light” należy dokonać zmiany punktu pracy na częstotliwość w pobliżu fioletowego punktu.

38

Wówczas kryształ fotoniczny zachowuje się jak ośrodek silnie dyspersyjny, co wiąże się ze zmniejszeniem wartości prędkości grupowej.

Rys. 2.16 Propagacji wiązki w trybie standardowym (punkt koloru szarego) oraz w trybie „slow light” (punkt koloru fioletowego).

Przemieszczając punkt pracy w kierunku niższych częstotliwości modu defektowego, odpowiadających wyższym wartościom wektora falowego otrzymujemy wzrost grupowego współczynnika załamania (Rys. 2.17). Przykładowo, dla fioletowego punktu pracy (Rys. 2.16) uzyskano 127-krotne zmniejszenie prędkości grupowej wiązki światła propagującej się przez strukturę kryształu fotonicznego.

Rys. 2.17 Grupowy współczynnik załamania modu defektowego TE₀ w funkcji znormalizowanego wektora falowego. Punkt pracy w trybie „slow light” oznaczono kolorem fioletowym.

39