WARTOŚĆ ZAGROŻONA
2.2. Metody estymacji wartości zagrożonej
Istnieje bardzo wiele modeli stosowanych do szacowania wartości zagrożonej. Każdy z modeli posiada swój zbiór założeń, jednak z oczywistych względów, wszystkie one opierają się na przekonaniu, że historyczne dane rynkowe są źródłem informacji po-zwalających określić przyszłe zmiany cen instrumentów finansowych. Do powszechnie stosowanych metod wyznaczania VaR należą71:
metoda wariancji – kowariancji, symulacja historyczna,
symulacja Monte Carlo, metodologia RiskMetrics.
2.2.1. Metoda wariancji - kowariancji
Metoda wariancji – kowariancji lub inaczej mówiąc delta-normalna została roz-powszechniona przez J.P Morgan, we wspomnianym wcześniej dokumencie RiskMetrics72
. Metoda ta opiera się na założeniu, że rozkład stóp zwrotu składników portfela jest rozkła-dem normalnym. Dzięki temu, że liniowa kombinacja zmiennych o rozkładzie normalnym, również ma rozkład normalny, rozkład stopy zwrotu z portfela również jest normalny.
W modelu tym wykorzystujemy równania73 : (2.8) n i i i P x y 1 , (2.9) P xT x.
Równanie (2.8) opisuje wartość oczekiwaną stopy zwrotu z portfela, a (2.9) to od-chylenie standardowe stopy zwrotu z portfela.
Ponadto:
71
Jorion P., Value at Risk … 72 RiskMetrics Technical Document. 73
33
i
x - udział i-tego instrumentu finansowego w portfelu,
p i i V V x , i
V - wartość pozycji i-tego instrumentu finansowego w portfelu, wyrażona w jed-nostkach pieniężnych,
P
V - wartość portfela,
i
y - stopa zwrotu i-tego instrumentu finansowego,
i
y - wartość oczekiwana stopy zwrotu i-tego instrumentu finansowego,
) ,..., (x1 xn
x - wektor udziałów w portfelu,
- macierz kowariancji pomiędzy wszystkimi stopami zwrotu n- instrumentów finansowych.
Wartość zagrożoną dla pojedynczego instrumentu finansowego można otrzymać korzystając z następującego równania74:
(2.10) VaR ( c )W0,
gdzie:
c - stała zależna od poziomu ufności, - odchylenie standardowe stóp zwrotu, - średnia rozkładu stóp zwrotu,
0
W - wartość obecna instrumentu,
Wielkość stałej c jest zależna od poziomu ufności . Dla 99%, c 2,32, natomiast dla 95%, c 1,65. Wielkości te odczytać można z tablic statystycznych dla wartości dystrybuanty rozkładu normalnego, gdyż c jest kwantylem rozkładu normalnego odpowiednio dla prawdopodobieństwa 99% i dla 95%.
Często, dla uproszczenia obliczeń przyjmuje się, że wartość oczekiwana wyno-si zero. Wzór (2.10) przyjmuje wtedy postać:
(2.11) VaR c W0
Zaletą przedstawionej metody jest jej łatwość w implementacji oraz szybkość wy-liczeń nawet przy portfelu złożonym z ogromnej ilości aktywów. Natomiast jej wadą jest to, że nie uwzględnia obserwowanej w badaniach empirycznej własności „grubych
74
34
nów” dla rozkładów stóp zwrotu75. Ponadto kolejnym problemem jest zastosowanie tej metody dla portfela, w którego składzie znajdują się niektóre instrumenty pochodne, jak na przykład opcje76
.
2.2.2. Metoda symulacji historycznej
Metoda symulacji historycznej jest jedną z najprostszych i najbardziej zrozumia-łych metod obliczania wartości zagrożonej. Metoda ta polega na wykorzystaniu danych historycznych, którymi są historyczne stopy zwrotu analizowanego instrumentu finanso-wego. Historyczne stopy zwrotu umożliwiają określenie empirycznego rozkładu stóp zwrotu. To pozwala na określenie wartości zagrożonej poprzez wyznaczenie kwantyla tego rozkładu77
.
Symulacja historyczna oparta jest na pojęciu ruchomego okna. Chcąc wyliczyć wartość zagrożoną na dzień T 1 ustala się okno, o odpowiedniej długości, kończące się zwrotem yT . Zazwyczaj jest to okres od sześciu miesięcy do dwóch lat. Na podstawie zwrotów zawartych w oknie, wylicza się (1 ) - kwantyl empiryczny. Wartość zagrożo-na zagrożo-na dzień T 1, na poziomie istotności 1 , dla zajmującego pozycję długą jest liczbą przeciwną do tego kwantyla. W celu wyznaczenia wartości zagrożonej na następny dzień okno przesuwa się o jedną obserwację i cała procedura jest powtarzana78
.
Korzyścią płynącą z wykorzystywania tej metody, jest jej prostota w implementa-cji i fakt, że nie wymagana ona znajomości rozkładu stóp zwrotu akimplementa-cji, w szczególności, nie musi to być rozkład normalny.
Mimo, że w metodzie tej nie ma wyraźnego założenia o rozkładzie stóp zwrotu, to założenie to występuje w sposób niejawny: przyjmuje się, że rozkład nie zmienia się w obszarze okna. Zatem istnieje logiczna sprzeczność metody symulacji historycznej. Jeżeli zakłada się, że wszystkie zwroty w obszarze okna mają taki sam rozkład, to z własności przechodniości relacji posiadania takiego samego rozkładu wynika, że wszystkie rozpa-trywane zwroty mają taki sam rozkład. Nie ma zatem sensu ustalanie długości okna. Pro-blem pojawia się również, gdy chcemy ustalić długość okna, gdyż prognozy wartości
75
Grube ogony rozkładów stóp zwrotu oznaczają stosunkowo duże prawdopodobieństwo występowania obserwacji ekstremalnych.
76 Jorion P., Value at Risk … 77 Jajuga K., Zarządzanie ryzykiem. 78
35
grożonej oparte na symulacji historycznej są sensowne tylko wtedy, gdy dane historyczne wykorzystywane do ich obliczenia mają w przybliżeniu ten sam rozkład.
Etapy wyliczania wartości zagrożonej za pomocą metody historycznej symulacji są następujące79
:
dla każdego składnika portfela tworzymy procentowe zmiany cen,
wyznaczamy wartość portfela w celu utworzenia funkcji rozkładu zysków i strat (P&L),
porządkujemy rosnąco dany szereg zmian wartości portfela,
wyliczamy wartość zagrożoną dla wymaganego poziomu ufności . Skuteczność tej metody zależy od tego, czy rozkład stopy zwrotu nie zmienia się w czasie. Jeżeli tak jest, to oszacowania na podstawie danych historycznych dają dobre oszacowania wartości zagrożonej80
.
Zaletami wykorzystania metody symulacji historycznej są między innymi prostota obliczeń, brak potrzeby liczenia zmienności i korelacji oraz to, że odpowiednie dobranie danych historycznych uwzględni wyjątkowe obserwacje. Metodę tę można stosować rów-nież do szacowania wartości zagrożonej portfela, który zawiera opcje.
Jednakże, nie jest to metoda idealna, gdyż, jak każda, posiada pewne wady. Po pierwsze potrzebna jest duża liczba danych rynkowych o cenach historycznych. W celu uzyskania 1000 niezależnych symulacji jednodniowych stóp zwrotu potrzebujemy aż 4 lat nieprzerwanych danych. Problemem jest uzyskanie ich dla nowych instrumentów, w związku z tym zastosowanie metody historycznej symulacji staje się niemożliwe. Ponadto metoda ta może szybko stać się trudna do zastosowania dla portfeli o dużych rozmiarach81
.
2.2.3. Metoda symulacji Monte Carlo
Ostatnią metodą, wykorzystywaną do estymacji wartości zagrożonej, jest symula-cja Monte Carlo. Pojęciowo jest to metoda prosta, jednak obliczeniowo bardzo wymagają-ca. Podstawą w tej metodzie jest przyjęcie pewnego hipotetycznego modelu, opisującego kształtowanie się stóp zwrotu. Model ten jest oparty na doświadczeniach z przeszłości lub przyjmowany jest na podstawie wiedzy merytorycznej o rozpatrywanych stopach zwrotu.
79 Jorion P., Value at Risk … 80 Jajuga K., Zarządzanie ryzykiem. 81
36
Pewien rodzaj symulacji Monte Carlo obliczania wartości zagrożonej może wy-glądać następująco. Na wstępie określamy liczbę N iteracji do wykonania. Jeżeli chcemy, aby oszacowanie wartości zagrożonej, uzyskane za pomocą tej metody było wiarygodne, należy wykonać przynajmniej 10 000 iteracji. Dla każdej iteracji generujemy hipotetyczny model zachowania się cen rynkowych. Liczby te generujemy za pomocą programu kompu-terowego i uzyskujemy zestaw liczb losowych z przedziału (0, 1). Następnie zestaw liczb losowych jest konwertowany w rozkład normalny poprzez zastosowanie funkcji odwrotnej dystrybuanty dla każdej realizacji82. Później porządkujemy rosnąco szereg zmian cen in-strumentu finansowego. Wyniki wszystkich iteracji umożliwią nam określenie empirycz-nego rozkładu stóp zwrotu. Z rozkładu tego możemy określić kwantyl, a zatem wyliczyć wartość zagrożoną.
Przedstawione rozważania dotyczą wyłącznie symulacji Monte Carlo dla poje-dynczego instrumentu. Obliczenie wartości zagrożonej dla portfela, wymaga uwzględnie-nia współczynników korelacji pomiędzy poszczególnymi aktywami, co jest procesem skomplikowanym, dlatego metoda ta nie jest prosta.
Symulacja Monte Carlo używana jest do wyliczania wartości zagrożonej portfeli zawierających papiery wartościowe o nieliniowym rozkładzie stóp zwrotu np. opcje, jak i również dla instrumentów, których historia rzeczywistych cen jest niewystarczająca do oszacowania wartości zagrożonej. Ponadto dla portfeli złożonych z akcji, lepszym mode-lem jest metoda wariancji - kowariancji83.
Zaletą korzystania z metody symulacji Monte Carlo jest to, że jest ona bardzo precyzyjna. Z drugiej strony jest to metoda dosyć czasochłonna oraz istnieje duże ryzyko modelu.
2.2.4. Metodologia RiskMetrics
Najpowszechniej stosowanym narzędziem do szacowania VaR jest metodologia
RiskMetrics. Została ona zaproponowana przez amerykański bank inwestycyjny JP
Mor-gan. Przy założeniu, że warunkowa wartość oczekiwana stopy zwrotu z portfela jest równa zero, w metodologii tej VaR wylicza się na podstawie równania (2.10) przekształconego do postaci: VaR c tW0.
82 Best P., op. cit. 83
37
Wielkość t może być interpretowana jako warunkowe odchylenie standardowe stopy zwrotu. Pod warunkiem informacji znanej na koniec okresu t-1 jest opisana równa-niem: (2.14) 2 2 1