METODY OPTYMALIZACJI PORTFELA AKTYWÓW
4.9. Wskaźniki rentowności portfeli
i
x - udział i-tej spółki w portfelu.
Jest to przykład modelu, w którym stosowana jest większa liczba parametrów, w celu podniesienia efektywności portfela. Oprócz minimalizacji wariancji, w modelu tym stosowane jest również ograniczenie na warunkową wartość zagrożoną. Należy zwrócić szczególną uwagę na to, że wariancja jest symetryczną miarą ryzyka i nie rozróżnia osobno miary dolnego oraz górnego ryzyka164. W szczególności Krokhmal165
i in. zasugerowali, że w przeciwieństwie do wariancji, warunkowa wartość zagrożona nie wymaga założenia o symetrycznych rozkładach stóp zwrotu, więc może być używana w celu poprawy skośno-ści portfeli. Ponadto w porównaniu z wartoskośno-ścią zagrożoną, warunkowa wartość zagrożona przy obliczaniu bierze nie tylko prawdopodobieństwo ale również wielkość zwrotu (lub straty)166.
4.9. Wskaźniki rentowności portfeli
Do lat sześćdziesiątych XX wieku inwestorzy oceniali rentowność portfela inwe-stycji prawie wyłącznie na podstawie stopy zwrotu. Byli świadomi istnienia ryzyka, jed-nakże nie znali metod jego pomiaru. Rozwój teorii portfelowej spowodował pojawienie się metod kwantyfikowania ryzyka. W kilku badaniach167 zwrot i ryzyko były rozważane od-dzielnie. Jedną z metod zarządzania ryzykiem było dzielenie portfeli na kategorie w za-leżności od poziomu ryzyka, obliczanego za pomocą wariancji i porównywano stopy zwro-tu wewnątrz danej kategorii168
.
Samo porównanie średnich stóp zwrotu z portfeli nie pozwala nam na uwzględ-nienie ryzyka. Poniżej opisano szczegółowo trzy najważniejsze złożone wskaźniki rentow-ności portfela, za pomocą których oblicza się jednocześnie ryzyko oraz zwrot i otrzymuje
164 Wu J., Yue. W., Wang S., Risk analysis in communication networks with Conditional Value at Risk, www.apnoms.org
165
Krokhmal P., Palmquista J., Uryasev S., op. cit. 166 Cox S.H., Lin Y., Tian R., Zuluaga L.F., op. cit.
167 Friend I, Blume M., Crockett J., Mutual Funds and Other Institutional Investors, McGraw – Hill, New York 1970
168
79
się jedną wartość. Należą do nich wskaźnik Sharpe’a, Jensena i Treynora, które uwzględ-niają zarówno ryzyko jak i stopy zwrotu z portfela.
Wskaźnik Sharpe’a definiuje się w następujący sposób169 :
(4.31) S R Rf ,
gdzie:
S – wartość wskaźnika Sharpe’a,
R - średnia wartość stopy zwrotu z portfela,
f
R - średnia wartość stopy wolnej od ryzyka.
Wyrażenie, które znajduje się w liczniku powyższego równania określa się mia-nem premii za ryzyko, która jest dodatkowym dochodem powyżej stopy zwrotu wolnej od ryzyka. Zatem po obliczeniu tego wskaźnika wiemy, jaki jest zwrot z premii za ryzyko, na jednostkę całkowitego ryzyka. Im wyższa wartość tego wskaźnika, tym wyższa jakość zarządzania portfelem.
Należy zwrócić uwagę na to, że współczynnik Sharpe’a mierzy premię za ryzyko, która przypada na jednostkę ryzyka związanego z danym portfelem. Wskaźnik ten uwzględnia zarówno ryzyko, jak i stopę zwrotu oraz przyporządkowuje jedną wartość licz-bową każdemu analizowanemu portfelowi. Otrzymane w ten sposób wartości mogą posłu-żyć uszeregowaniu portfeli pod względem osiąganych wyników. Za pomocą wskaźnika Sharpe’a ocenia się rentowność portfela na podstawie zarówno stopy zwrotu, jak i dywer-syfikacji.
Wskaźnik Treynora określić można w poniższy sposób170,171:
(4.32) T R Rf ,
gdzie:
T – wartość wskaźnika Treynora,
R - średnia wartość stopy zwrotu z portfela,
f
R - średnia wartość stopy wolnej od ryzyka,
- współczynnik beta portfela w rozpatrywanym okresie.
169 Sharpe W. F., Mutual Fund Performance, Journal of Business, 1966
170 Fama E. F., Components of Investment Performance, Journal of Finance, 1972 171
80
Współczynnik beta jest standardową miarą ryzyka systematycznego, ponieważ wiąże kowariancję z wariancją portfela rynku172
: (4.33) cov2, M M i i
Interpretacja bety, jest taka, że jest ona po prostu miarą wrażliwości danego waloru na zmiany występujące na rynku173
.
Współczynnik beta portfela definiuje się jako średnią ważoną i poszczególnych walorów tworzących portfel, gdzie wagami są udziały tych walorów w portfelu. W związ-ku z tym: (4.34) n i i i x 1 , gdzie: (4.35) N t M M t N t M M t i it i R y R y R y 1 2 1 ) ( ) )( ( .
W powyższych wzorach zastosowano oznaczenia:
i
x - udział i-tej spółki w portfelu,
i - współczynnik beta i-tej spółki, it
y - stopę zwrotu i-tej spółki na przedziale czasowym t,
i
R - średnią stopę zawrotu i-tej spółki,
T t it i y T R 1 1 , M t
y - stopa zwrotu z indeksu rynku w okresie t,
M
R - średnia stopa zwrotu z indeksu rynku,
n - liczba spółek w portfelu,
N - liczba okresów, czyli dni, z których pochodzą dane.
Wskaźnik Treynora jest ilorazem premii za ryzyko i ryzyka systematycznego, któ-re mierzone jest za pomocą współczynnika beta, z tego portfela, zatem jest to pktó-remia za podjęte ryzyko. Naturalnie, im wyższa wartość tego wskaźnika, tym wyższa jakość zarzą-dzania portfelem.
172 Reilly F. K., Brown K. C., op. cit.
173 Elton E. J., Gruber M. J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych, Wydawnic-two WIG-PRESS, Warszawa 1998
81
Niektórzy analitycy preferują współczynnik Treynora, ze względu na to, że uwzględnia on znaczenie ryzyka systematycznego174
. Wskaźnik Treynora opiera się na współczynniku beta ryzyka systematycznego i średniej stopy zwrotu. Jednakże wskaźnik ten posiada pewną wadę. Polega ona na tym, że konieczny jest wybór indeksu odgrywają-cego rolę portfela rynkowego, a trudno jest stwierdzić, który z nich jest najodpowiedniej-szy.
Dla w pełni zdywersyfikowanego portfela, czyli pozbawionego ryzyka niesyste-matycznego te dwa wskaźniki dają identyczne rankingi ze względu na wariancję. Wadą tych wskaźników jest to, że dzięki nim otrzymujemy względne, a nie absolutne wartości rentowności portfela.
Ostatnim rozważanym w tej pracy wskaźnikiem mogącym służyć do oceny ren-towności portfela inwestycji jest wskaźnik Jensena. Dany jest on następującym wzorem175
: (4.36) J R [Rf (RM Rf)],
gdzie:
R - średnia wartość stopy zwrotu z portfela,
f
R - średnia wartość stopy wolnej od ryzyka,
M
R - średnia stopa zwrotu z indeksu rynku,
- współczynnik beta portfela w rozpatrywanym okresie.
Wskaźnik Jensena jest różnicą pomiędzy stopą zwrotu portfela a stopą zwrotu ze średniej stopy zwrotu z indeksu rynku. Niewątpliwie, im wyższa wartość tego wskaźni-ka, tym lepsza jakość zarządzania portfelem. Ponadto wartości dodatnie tego wskaźnika wyróżniają portfel, który jest lepszy od przeciętnego. Natomiast ujemne wartości wskazują portfel zarządzany gorzej niż przeciętny. Podobnie, jak w przypadku wskaźnika Treynora, za pomocą wskaźnika Jensena oblicza się premię za ryzyko w kategoriach ryzyka systema-tycznego.
Podsumowując, w powszechnym użyciu znajdują się trzy niezależne od różnic w poziomie ryzyka miary efektywności zarządzania portfelem176. Efektywność z jaką inwe-stor zarządza portfelem inwestycyjnym, można pojmować w dwojaki sposób, poprzez „głębokość” i „szerokość”. Głębokość dotyczy rozmiaru dodatkowej stopy zwrotu, jaka została osiągnięta przez danego inwestora, natomiast szerokość odnosi się do liczby
174
Francis J. C., op. cit.
175 Jensen M.C., The Performance of Mutual Funds In the Period 1945 – 64, Journal of Finance, 1968 176 Haugen R. A., Teoria nowoczesnego inwestowania, Wydawnictwo WIG-PRESS, Warszawa 1996
82
nych papierów wartościowych, z których inwestorowi udało się uzyskać dodatkowe stopy zwrotu177.
Wskaźniki Jensena i Treynora koncentrują się na określeniu, czy osoby zarządza-jące portfelami są w stanie realizować dodatkowe zwroty, czyli tak zwaną głębokość zwro-tów, lecz ignorują tak zwaną szerokość tych zwrozwro-tów, czyli liczbę różnych papierów war-tościowych, z których osiągane są dodatkowe zwroty. Wskaźnik Sharpe’a, w przeciwień-stwie do dwóch poprzednich, stanowi miarę wrażliwą zarówno na głębokość, jak i szero-kość realizowanych dodatkowych zwrotów178
.
Należy pamiętać o tym, że wartości wskaźników Jensena i Treynora mogą być dodatkowo wypaczone poprzez wybór nieodpowiedniego indeksu rynkowego.
177 Ibidem 178
83 ROZDZIAŁ V