Metody projektowania filtrów 1-D typu FIR o zadanej

W niektórych zastosowaniach zachodzi potrzeba projektowania filtrów 1-D typu FIR, w przypadku których, oprócz wymagań dotyczących charaktery-styki amplitudowej, niezbędne jest uzyskanie charakterycharaktery-styki fazowej o prze-biegu różnym od liniowego. Ma to miejsce np. przy projektowaniu korektorów fazy FIR [116, 170]. Ponadto, zamiast dokładnie liniowej charakterystyki fazo-wej, niekiedy wystarczające jest uzyskanie charakterystyki fazowej o przebiegu jedynie w przybliżeniu liniowym w pasmie przepustowym [22, 25, 138].

W takich przypadkach zadanie aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej filtru jest formułowane w dziedzinie zespolonej. Istnieją różne podejścia do rozwiązywania tego zadania. W części z nich, projektowanie przeprowadza się w drodze rozwiązania zadania aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej filtru bezpośrednio w dziedzinie zespolonej. W innych natomiast, zadanie pro-jektowania filtru sformułowane w dziedzinie zespolonej przekształca się w odpowiednie, prawie równoważne, zagadnienie rzeczywiste i następnie roz-wiązuje się je w dziedzinie rzeczywistej.

W przypadku filtrów 1-D typu FIR o nieliniowej charakterystyce fazowej uzyskanie równomiernie falistej funkcji błędu o określonej liczbie ekstremów nie jest jednoznaczne ze znalezieniem rozwiązania zadania aproksymacji MM [139, 180]. Przy projektowaniu tych filtrów dąży się najczęściej jedynie do znalezienia rozwiązania o równomiernie falistej funkcji błędu.

Metody projektowania filtrów 1-D typu FIR o zadanej charakterystyce czę-stotliwościowej i równomiernie falistej funkcji błędu można najogólniej podzie-lić na następujące grupy:

• metody wykorzystujące optymalizację wielokryterialną,

• metody wykorzystujące programowanie liniowe,

• metody oparte na uogólnieniach algorytmu Remeza,

• metody oparte na minimalizacji błędu LS z zastosowaniem odpowiednich wag.

Wymienione grupy metod zostaną kolejno omówione w dalszej części niniej-szego rozdziału.

W latach siedemdziesiątych były proponowane również metody projekto-wania oparte na oddzielnej aproksymacji części rzeczywistej i urojonej charak-terystyki częstotliwościowej [29, 66]. Metody te nie są już w zasadzie stosowa-ne, gdyż powstały instosowa-ne, bardziej efektywne.

4.1.2.1. Metody wykorzystujące optymalizację wielokryterialną

Cortelazzo i Lightner [27] zaproponowali zastosowanie optymalizacji wie-lokryterialnej do projektowania 1-D filtrów FIR o nieliniowej charakterystyce fazowej i równomiernie falistej funkcji błędu oraz do projektowania 1-D filtrów IIR o zadanych charakterystykach amplitudowej i opóźnienia grupowego. Przy założeniu, że x jest wektorem rzeczywistych współczynników filtru, a ^H(ω,x) ⁱ τ⁽ω^,x) – odpowiednio charakterystyką amplitudową i opóźnienia grupowego filtru o współczynnikach określonych przez wektor x, Cortelazzo i Lightner przekształcili zadanie zaprojektowania filtru 1-D typu FIR lub IIR w następujące zadanie optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami:

znaleźć

δδ min,

x (4.13)

przy ograniczeniach:

-dotyczących charakterystyki amplitudowej:

1 1 2

1 2 1

1

1W ( )A ( ) H( , ) B

v _A ω_{j d} ω_j − ω_j ^x ≤δ ω_j ∈ ^(4.14)

-dotyczących charakterystyki opóźnienia grupowego:

2 2 2

2 2

2W ( ) ( ) ( , ) B

v _τ ω_j τ_d ω_j −τ ω_j ^x ≤δ ω_j ∈ ^(4.15) oraz ewentualnych dodatkowych ograniczeniach,

gdzie: )^A_d(ω ⁱ τ_d⁽ω⁾ są charakterystykami aproksymowanymi odpowiednio amplitudową oraz opóźnienia grupowego, B i ₁ B reprezentują w ogólnym ₂ przypadku różne podprzedziały przedziału ],[0,π ^W_A⁽ω^{) i W}_τ⁽ω⁾ są nieujem-nymi funkcjami wagi związanieujem-nymi z błędem aproksymacji charakterystyki am-plitudowej i charakterystyki opóźnienia grupowego, a para nieujemnych liczb

v i 1 v stanowi współczynniki wagowe w zadaniu optymalizacji wielokryte-₂ rialnej. Do rozwiązywania tego zadania Cortelazzo i Lightner zastosowali me-todę sekwencyjnego programowania kwadratowego (ang. sequential quadratic programming).

Poważną wadą przedstawionej metody projektowania jest długi czas wykonywania obliczeń, w wyniku czego stosowanie tej metody jest mało przy-datne w przypadku, gdy rząd filtru FIR przekracza 10 lub rząd filtru IIR przekracza 5 [27]. Zdaniem autorów, istotną przyczyną uzyskania tak słabych rezultatów jest wykorzystanie do poszukiwania minimum z ograniczeniami algorytmu sekwencyjnego programowania kwadratowego.

4.1.2.2. Metody wykorzystujące programowanie liniowe

W przypadku tych metod projektowanie filtru 1-D typu FIR o zadanej cha-rakterystyce częstotliwościowej i współczynnikach rzeczywistych zostaje spro-wadzone do rozwiązania odpowiedniego zagadnienia optymalizacji liniowej.

Steiglitz [170] sformułował ogólny problem aproksymacji zadanej charak-terystyki częstotliwościowej w sposób następujący:

Dany jest zbiór pulsacji ω_k, k=1,...,K₀^, 0≤ω_k ≤π. Dla tego zbioru pulsa-cji określone są wartości charakterystyki amplitudowej A_k i fazowej

ϕ

odpowiednie zbiory zadanych tolerancji T_Ak i T_ϕk . Należy znaleźć taki zbiór N rzeczywistych współczynników h(n), n=0,...,N−1, filtru FIR, aby zmi-nimalizować parametr λ w następujących zależnościach:

Ak k

k A T

H(ω ) − ≤λ (4.16)

T k

H(ω_k)−ϕ_k ≤λ _ϕ

arg (4.17)

Tak sformułowany problem jest zadaniem optymalizacji nieliniowej.

Steiglitz zaproponował aproksymację nierówności (4.16) i (4.17) nierów-nościami liniowymi względem współczynników h(n) i oszacował błąd popeł-niany przy takiej aproksymacji. Do rozwiązania otrzymanego w ten sposób zadania optymalizacji liniowej zastosował on metodę sympleksów [46, 118].

Glashoff i Roleff [52] zaproponowali ogólny sposób rozwiązania zespolo-nego problemu aproksymacji MM w wyniku rozwiązania zadania programowa-nia liniowego z nieskończoną liczbą ograniczeń, bądź poprzez rozwiązanie za-dania dualnego ze skończoną liczbą ograniczeń. Streit i Nuttall [173] przedsta-wili następnie algorytm służący do rozwiązania zadania pierwotnego sformuło-wanego w pracy [52]. Chen i Parks [22] zaadaptowali metodę aproksymacji opisaną w pracach [52] i [173] do projektowania filtrów 1-D typu FIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej i współczynnikach rzeczywistych.

Do rozwiązania otrzymanego zadania programowania liniowego wykorzysty-wali oni zmodyfikowaną metodę sympleksów. Metoda zaproponowana przez Chena i Parksa wymaga bardzo dużej pamięci komputera i dużego nakładu obliczeń [22]. Tang [177] przedstawił sposób rozwiązania zadania du-alnego sformułowanego przez Glashoffa i Roleffa. Algorytm Tanga został na-stępnie zaadaptowany przez Alkhairy’ego, Christana i Lima [5] do projektowa-nia filtrów 1-D typu FIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej i współczynnikach rzeczywistych. Zaletą metody Alkhairy’ego, Christana i Lima w porównaniu z metodą Chena i Parksa jest większa dokładność, więk-sza szybkość wykonywania obliczeń oraz mniejsze wymagania dotyczące wiel-kości niezbędnej pamięci komputera [16, 76].

Burnside i Parks [16] oraz Vuerinckx [186] zaproponowali kolejne mody-fikacje metody projektowania 1-D filtrów FIR o zadanej charakterystyce często-tliwościowej opartej na rozwiązaniu zadania dualnego. Charakteryzują się one większą szybkością zbieżności niż algorytm Tanga [177]. Przy użyciu tych metod, zdaniem autorów, możliwe jest projektowanie bardzo długich filtrów – o długości rzędu 1000.

Nordebo i Zang [117] opisali ujednolicone podejście do projektowania fil-trów 1-D typu FIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej oraz filfil-trów Laguerre’a, w którym jest wykorzystywany efektywny obliczeniowo wariant metody sympleksów.

Qin [139] zaproponował natomiast inną, korzystającą z interpretacji geo-metrycznej ograniczeń, metodę projektowania filtrów 1-D typu FIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej. Jej zaletą jest znaczne zmniejszenie nakła-du obliczeniowego oraz mniejsze wymagania dotyczące wielkości pamięci komputera.

4.1.2.3. Metody oparte na uogólnieniach algorytmu Remeza

Preuss w pracy [138] przedstawił następujący sposób rozwiązania proble-mu projektowania filtru 1-D typu FIR o zadanej charakterystyce częstotliwo-ściowej. Niech ^E(ω) będzie zespolonym błędem aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej. Liczba M ekstremów modułu funkcji błędu _e ^E(ω) w przypadku rozwiązania optymalnego wynosi co najmniej n + 2, i jest nie większa niż 2n + 3 [148]. Konkretnej liczby M_e dla danego przypadku nie można z góry przewidzieć. Ponadto niech ω_i∈P∪S, i=1,2,...,Me, będzie zbiorem pulsacji, dla których funkcja błędu )^E(ω osiąga ekstremum. Zakłada-jąc, że te wartości są rzeczywiście pulsacjami ekstremów funkcji błędu możemy napisać następujący układ M_e zespolonych równań liniowych z niewiadomymi zespolonymi (w przypadku ogólnym) współczynnikami h(n) oraz δ^:

∑

− ⁿ

k jk j e

d j

i H e h k e e i M

W ^{i i i}

0

)

( , 1,2,..., ]

) ( )

( )[

(ω ^{ω ω} δ ^{αω (4.18)}

W każdym cyklu iteracji algorytmu, nazywanego przez autora uogólnionym algorytmem Remeza (ang. the generalized Remez exchange algorithm) można wyróżnić następujące podstawowe kroki: wyznaczenie położenia wszystkich ekstremów lokalnych funkcji błędu oraz pulsacji odpowiadających tym ekstre-mom; wybór n + 1 wartości ω_ido wykorzystania w następnym kroku; dla wy-branych pulsacji ω_i obliczenie zespolonego błędu oraz rozwiązanie układu równań liniowych. Iteracje są powtarzane tak długo, aż otrzymana wartość δ

przestaje się zmieniać w kolejnych cyklach, z uwzględnieniem przyjętej do-kładności.

Metoda Preussa umożliwia projektowanie filtrów 1-D typu FIR o współ-czynnikach rzeczywistych i zespolonych. Metoda ta została następnie ulepszona przez Schulista [156]. Wadą obu tych metod jest jednak fakt, że nie zawsze są one zbieżne [76, 180]. Ponadto nie można w prosty sposób określić, czy otrzy-mane rozwiązanie jest rozwiązaniem optymalnym [180].

Karam i McClellan [76] przedstawili uogólnienie twierdzenia o przerzu-tach [112, 120] do przypadku aproksymacji w dziedzinie liczb zespolonych.

Sformułowali oni następnie algorytm projektowania filtrów o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych, w którym wykorzystywany jest algorytm Remeza. Zaproponowany algorytm charakteryzuje się dużą szybkością zbieżno-ści i jest bardzo efektywny pod względem wykorzystania pamięci komputera.

Jednak w ogólnym przypadku rozwiązanie otrzymane w wyniku zastosowania tego algorytmu stanowi najlepszą aproksymację MM zadanej charakterystyki

) ( ^jω

d e

H jedynie w pewnym przedziale pulsacji B’, będącym podprzedziałem zadanego przedziału pulsacji B, czyli B'⊂B. Jeżeli B'≈B, otrzymane rozwią-zanie może być uznane za rozwiąrozwią-zanie zadania projektowania filtru. W prze-ciwnym przypadku, otrzymane rozwiązanie może stanowić jedynie punkt star-towy dla innej metody projektowania filtrów.

Zhang i Yoshikawa [197] zaproponowali natomiast metodę projektowania filtrów Nyquista o małym opóźnieniu grupowym z zastosowaniem algorytmu Remeza. Metoda ta umożliwia otrzymanie filtrów Nyquista o charakterystyce amplitudowej równomiernie falistej w pasmie przepustowym i w przybliżeniu liniowej charakterystyce fazowej.

4.1.2.4. Metody oparte na minimalizacji błędu LS z zastosowaniem odpowiednich wag

W przypadku filtrów 1-D typu FIR o nieliniowej charakterystyce fazowej możliwe jest zastosowanie algorytmu Lawsona [4, 93] i uzyskanie aproksymacji EQ zadanej charakterystyki częstotliwościowej w wyniku rozwiązania pewnej sekwencji zadań minimalizacji błędu LS z zastosowaniem odpowiednich wag.

Tego typu podejście uważane jest jednak na ogół za mało efektywne ze względu na znaczną złożoność obliczeniową i wolną zbieżność [139, 180]. Zhu, Ahmad i Swamy [201] zmodyfikowali to podejście i przy rozwiązywaniu zadań minima-lizacji błędu LS wykorzystali szybki algorytm odwracania macierzy, w wyniku czego uzyskali zwiększenie szybkości obliczeń.

Innym podejściem jest podejście zaproponowane przez Chita i Masona [25]. Polega ono na zastosowaniu tzw. podwójnego systemu adaptacyjnego (ang. double adaptive system – DAS), w którym można wyróżnić dwa podsta-wowe etapy. W pierwszym z nich obliczane są współczynniki projektowanego filtru z zastosowaniem algorytmu LMS (ang. least-mean-square) [149, 202].

W drugim etapie następuje adaptacyjne dobieranie wag [25]. Podejście zapro-ponowane przez Chita i Masona ma charakter heurystyczny. Oparty na tym podejściu algorytm projektowania filtrów nie zawsze jest zbieżny [180]. Ponad-to nie można w prosty sposób określić, czy otrzymane rozwiązanie jest rozwią-zaniem optymalnym [180].