Projektowanie filtrów cyfrowych jedno- i dwuwymiarowych z zastosowaniem aproksymacji równomiernie falistej

BYDGOSZCZ – 2005

AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA IM. JANA I JÊDRZEJA ŒNIADECKICH

W BYDGOSZCZY

ROZPRAWY NR 117

PROJEKTOWANIE FILTRÓW CYFROWYCH

JEDNO- I DWUWYMIAROWYCH Z ZASTOSOWANIEM APROKSYMACJI

RÓWNOMIERNIE FALISTEJ

Felicja Wysocka-Schillak

prof. dr hab. Lucyna Drozdowska

OPINIODAWCY

dr hab. in¿. Ryszard S. Choraœ, prof. nadzw. ATR prof. dr hab. in¿. Adam D¹browski

OPRACOWANIE REDAKCYJNE I TECHNICZNE mgr Micha³ Górecki, mgr in¿. Daniel Morzyñski

© Copyright

Wydawnictwa Uczelniane Akademii Techniczno-Rolniczej Bydgoszcz 2005

ISSN 0209-0597

Wydawnictwa Uczelniane Akademii Techniczno-Rolniczej

ul. Ks. A. Kordeckiego 20, 85-225 Bydgoszcz, tel. (052) 3749482, 3749426 e-mail: wydawucz@atr.bydgoszcz.pl http://www.atr.bydgoszcz.pl/~wyd Wyd. I. Nak³ad 150 egz. Ark. aut. 12,00. Ark. druk. 15,25. Zamówienie nr 11/2005

Oddano do druku i druk ukoñczono w czerwcu 2005 r.

Uczelniany Zak³ad Ma³ej Poligrafii ATR Bydgoszcz, ul. Ks. A. Kordeckiego 20

Wykaz ważniejszych oznaczeń ...7

Wykaz ważniejszych skrótów ...10

1. Wstęp ...11

2. Ogólne właściwości filtrów cyfrowych jedno- i dwuwymiarowych ...17

2.1. Wprowadzenie ...17

2.2. Jednowymiarowe filtry FIR ...18

2.3. Jednowymiarowe filtry IIR ...20

2.4. Sygnały i układy dwuwymiarowe ...21

3. Projektowanie filtrów cyfrowych...23

3.1. Wprowadzenie ... 23

3.2. Rodzaje aproksymacji wykorzystywane w procesie projektowania filtrów cyfrowych ...25

3.3. Podział metod projektowania filtrów cyfrowych ...29

4. Metody projektowania filtrów cyfrowych z zastosowaniem aproksymacji czebyszewowskiej i równomiernie falistej ...31

4.1. Metody projektowania filtrów 1-D typu FIR ... 3l 4.1.1. Metody projektowania filtrów 1-D typu FIR o liniowej charakterystyce fazowej ...32

4.1.2. Metody projektowania filtrów 1-D typu FIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej ...37

4.2. Metody projektowania filtrów 1-D typu IIR ...42

4.2.1. Metody projektowania filtrów 1-D typu IIR o zadanej charakterystyce amplitudowej lub opóźnienia grupowego ...42

4.2.2. Metody projektowania filtrów 1-D typu IIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej ...47

4.3. Metody projektowania filtrów 2-D typu FIR o liniowej charakterystyce fazowej ...50

4.4. Podsumowanie ...51

charakteryzujących się równomiernie falistym przebiegiem funkcji błędu .53

5.1. Podstawowe pojęcia i twierdzenia aproksymacji jednostajnej ...53

5.2. Aproksymacja równomiernie falista ...56

5.3. Ogólne sformułowanie metody projektowania filtrów ...58

5.4. Problem istnienia i jednoznaczności rozwiązania ...61

5.5. Projektowanie filtrów wielowymiarowych ...67

5.6. Schemat numerycznej procedury obliczeniowej ...68

6. Projektowanie filtrów l-D typu FIR oraz IIR z zastosowaniem aproksymacji równomiernie falistej ...74

6.1. Filtry l-D typu FIR ...74

6.1.1. Projektowanie filtrów FIR o liniowej charakterystyce fazowej ...74

6.1.2. Projektowanie filtrów FIR o liniowej charakterystyce fazowej z uwzględnieniem dodatkowych ograniczeń ...81

6.1.3. Projektowanie filtrów FrR o nieliniowej charakterystyce fazowej ...93

6.2. Filtry 1-D typu IIR ...103

6.2.1. Projektowanie filtrów IIR o różnych stopniach licznika i mianownika transmitancji ... 103

6.2.2. Projektowanie wszechprzepustowych korektorów fazy IIR ... 114

6.2.3. Projektowanie filtrów IIR o w przybliżeniu liniowej charakterystyce fazowej w pasmie przepustowym ...122

6.3. Podsumowanie ...129

7. Projektowanie filtrów 1-D typu FIR oraz IIR z zastosowaniem aproksymacji EQLS ...133

7.1. Aproksymacja EQLS – jednoczesne uwzględnienie dwóch kryteriów aproksymacji ...133

7.2. Projektowanie filtrów 1-D typu FIR z zastosowaniem aproksymacji EQLS ...137

7.2.1. Filtry FIR o liniowej charakterystyce fazowej ...137

7.2.2. Filtry FIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej ...145

7.3. Projektowanie filtrów l-D typu lIR z zastosowaniem aproksymacji EQLS ...151

7.4. Podsumowanie ...153

z zastosowaniem aproksymacji EQLS ...155

9. Projektowanie zespołów lustrzanych filtrów kwadraturowych FIR ...159

9.1. Dwukanałowy zespół QMF o liniowej charakterystyce fazowej ...159

9.2. Dwukanałowy zespół QMF o małym opóźnieniu rekonstrukcji ...167

9.3. Podsumowanie ...170

10. Projektowanie filtrów 2-D typu FIR o liniowej charakterystyce fazowej ...172

10.1. Rodzaje symetrii charakterystyk amplitudowych 2-D filtrów typu FIR ...172

10.2. Projektowanie 2-D filtru typu FIR z zastosowaniem aproksymacji EQ ...176

10.3. Projektowanie 2-D filtru typu FIR z zastosowaniem aproksymacji EQLS ...177

10.4. Zrównoleglenie rozpatrywanych problemów i wykorzystanie systemu wieloprocesorowego ...178

10.5. Przykłady obliczeniowe ...182

10.6. Efektywność zrównoleglenia obliczeń ...197

10.7. Projektowanie i przykład zastosowania 2-D filtrów półpasmowych ...199

10.8. Podsumowanie ...205

11. Wnioski końcowe ... 208

Dodatek A. Zastosowane metody rozwiązywania zadań optymalizacji ...213

Literatura ...225

Literatura – prace autorskie i współautorskie dotyczące tematyki rozprawy ....238

Streszczenia ...241

Wykaz ważniejszych oznaczeń )

, (m n

a - współczynniki filtru 2-D o symetrii kwadrantalnej

a - k rzeczywiste współczynniki licznika transmitancji filtru 1-D typu IIR

a ik - rzeczywiste współczynniki licznika transmitancji filtru 1-D typu IIR drugiego rzędu

) (ω

A - charakterystyka amplitudowa filtru 1-D )

(ω

Ad - zadana charakterystyka amplitudowa filtru 1-D )

, (m n

b - współczynniki filtru 2-D typu FIR o antysymetrii kwadran- talnej

b - j rzeczywiste współczynniki mianownika transmitancji filtru 1-D typu IIR

b ik - rzeczywiste współczynniki mianownika transmitancji filtru 1-D typu IIR drugiego rzędu

c i - zera transmitancji filtru 1-D typu IIR

cik - rzeczywiste współczynniki licznika transmitancji układu wszechprzepustowego 1-D typu IIR drugiego rzędu

C - rzeczywisty współczynnik

d i - bieguny transmitancji filtru 1-D typu IIR

d - ik rzeczywiste współczynniki mianownika transmitancji 1-D układu wszechprzepustowego IIR drugiego rzędu

) (ω

E - funkcja błędu

2

E - błąd średniokwadratowy f - częstotliwość unormowana

Fp - szybkość próbkowania (w próbkach na sekundę) )

i(Y

g - i-te ograniczenie w zadaniu programowania nieliniowego )

(n

h - odpowiedź impulsowa układu 1-D )

, (m n

h - odpowiedź impulsowa układu 2-D )

(e^jω

H - charakterystyka częstotliwościowa filtru 1-D )

, (e^jω1 e^jω2

H - charakterystyka częstotliwościowa filtru 2-D )

( ^jω

a e

H - charakterystyka częstotliwościowa układu 1-D wszech- przepustowego

) ( ^jω

d e

H - zadana charakterystyka częstotliwościowa filtru 1-D )

, ( ^{jω1 jω2}

d e e

H - zadana charakterystyka częstotliwościowa filtru 2-D )

(z

H - transmitancja (funkcja przenoszenia) filtru 1-D

) , (z₁ z₂

H - transmitancja filtru 2-D )

(z

H_a - transmitancja układu 1-D wszechprzepustowego )

(ω

H - charakterystyka częstotliwościowa o fazie zerowej filtru 1-D )

, (ω₁ω₂

H - charakterystyka częstotliwościowa o fazie zerowej filtru 2-D )

, (ω₁ω₂

Hd - aproksymowana charakterystyka częstotliwościowa o fazie zerowej filtru 2-D

J - liczba rozpatrywanych przedziałów

θ

_j znajdujących się w pasmie przepustowym filtru 1-D

K - liczba rozpatrywanych przedziałów

θ

_j znajdujących się w pasmie zaporowym 1-D filtru

K 0 - liczba układów 1-D wszechprzepustowych drugiego rzędu połączonych kaskadowo

2 1 K

K × - liczba punktów prostokątnej siatki reprezentującej płasz- czyznę (ω₁,ω₂)

L - 2 przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem

M - parametr zależny od wartości N oraz charakteru odpowie- dzi impulsowej filtru 1-D typu FIR; stopień mianownika transmitancji filtru 1-D typu IIR

M 1 - liczba współczynników odpowiedzi impulsowej h(m,n) w poziomie

N - długość odpowiedzi impulsowej filtru 1-D typu FIR; sto- pień licznika transmitancji filtru 1-D typu IIR

N 1 - liczba współczynników odpowiedzi impulsowejh(m,n) w pionie

] , 0

[ _p

P= ω - pasmo przepustowe 1-D filtru

P - energia wydzielona przez k próbek odpowiedzi jednostko- wej filtru 1-D

] , [ω_s π

S= - pasmo zaporowe filtru 1-D S~

- średnia arytmetyczna T p - okres próbkowania Tr - pasmo przejściowe

) (n

x - sygnał wejściowy 1-D układu cyfrowego )

, (m n

x - sygnał wejściowy 2-D układu cyfrowego )

(Y

X - funkcja celu w zadaniu optymalizacji )

, , (^Y β₁ β₂

X - syntetyczny wskaźnik jakości w zadaniu polioptymalizacji )

( ),

( ₂

1 Y X Y

X - wskaźniki jakości w zadaniu polioptymalizacji )

(n

y - sygnał wyjściowy 1-D układu cyfrowego

) , (m n

y - sygnał wyjściowy 2-D układu cyfrowego

m T

y y

y , ,... ] [ _{1 2}

=

Y - poszukiwany wektor współczynników filtru )

(ω

W - dodatnia funkcja wagi

z - zmienna zespolona

2 1,β

β ^- współczynniki wagowe w zadaniu polioptymalizacji δ1^, δ₂ ^{- amplitudy} zafalowań charakterystyki ^A(ω) ^{lub H(}ω⁾

odpowiednio w pasmie przepustowym i zaporowym )

i(Y

∆E - i-te ekstremum funkcji błędu θj ^- j-ty przedział na osi ω

) (ω

τ - charakterystyka opóźnienia grupowego układu 1-D )

(ω

τ_E - opóźnienie grupowe 1-D układu wszechprzepustowego τ0 - przyjęte stałe opóźnienie grupowe układu 1-D

) (ω

ϕ - charakterystyka fazowa układu 1-D )

φ(i - i-ta próbka odpowiedzi jednostkowej

ω - pulsacja unormowana względem szybkości próbko- wania F _p

ωp - górna unormowana pulsacja krańcowa pasma przepu- stowego

ωs - dolna unormowana pulsacja krańcowa pasma zaporo- wego

Ω - pulsacja sygnału

Wykaz ważniejszych skrótów 1-D - jednowymiarowy

2-D - dwuwymiarowy

BP - pasmowoprzepustowy (od ang. bandpass) BS - pasmowozaporowy (od ang. bandstop)

DSP - cyfrowe przetwarzanie sygnałów (od ang. digital signal pro- cessing)

EQ - równomiernie falisty (od ang. equiripple)

EQLS - równomiernie falisty w pasmie przepustowym, średniokwadratowy w pasmie zaporowym

FIR - o skończonej odpowiedzi impulsowej (od ang. finite impulse re- sponse)

HP - górnoprzepustowy (od ang. highpass)

IIR - o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (od ang. infinite impulse response)

LSEQ - średniokwadratowy w pasmie przepustowym, równomiernie falisty w pasmie zaporowym

LP - dolnoprzepustowy (od ang. lowpass) LS - średniokwadratowy (od ang. least-squares) MM - minimaks

QMF - zespół lustrzanych filtrów kwadraturowych (od ang. quadrature mirror filters)

1. Wstęp

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów (w skrócie: DSP – od ang. Digital Signal Processing) obejmuje zagadnienia związane z przedstawianiem sygnałów za pomocą ciągów liczb oraz z przekształcaniem tych sygnałów według określo- nego algorytmu w dane wyjściowe będące również pewnym ciągiem liczb.

Przetwarzany sygnał może być funkcją jednej, dwóch lub wielu zmiennych, czyli może być on odpowiednio sygnałem jednowymiarowym (1-D), dwuwy- miarowym (2-D) lub wielowymiarowym. DSP jest dyscypliną rozwijającą się bardzo dynamicznie w ostatnich trzydziestu latach. Związane jest to z inten- sywnym rozwojem technologii cyfrowych układów scalonych oraz pojawia- niem się coraz szybszych komputerów. DSP znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki, np. w telekomunikacji, rozpoznawaniu i syntezie głosu, telewizji cyfrowej, analizie widmowej, przetwarzaniu obrazów, przetwa- rzaniu danych medycznych, geologicznych i radarowych, itd. [np. 31, 41, 47, 95, 102, 112, 113, a13, 149, 202].

Jednym z najważniejszych i najczęstszych zadań DSP jest filtracja, tzn.

przetwarzanie polegające na oddzieleniu zawartych w sygnale użytecznych składowych widma od składowych niepożądanych [31]. W niniejszej pracy są rozpatrywane sygnały i filtry cyfrowe 1-D oraz 2-D. Sygnały i filtry 1-D oma- wiane w pracy będziemy niekiedy nazywać krótko sygnałami i filtrami. W czę- ściach pracy dotyczących sygnałów i filtrów 2-D będziemy wyraźnie zaznaczać, że rozważamy sygnały i filtry 2-D.

Filtry cyfrowe mogą być zarówno liniowymi, jak również nieliniowymi układami dyskretnymi. W niniejszej pracy rozpatrywać będziemy jedynie filtry liniowe, które stanowią najszerzej stosowaną klasę filtrów cyfrowych.

Charakterystyki filtru cyfrowego są zależne od wartości współczynników jego transmitancji. Współczynniki te mogą być stałe lub zmienne w czasie.

Filtrami o współczynnikach zmiennych w czasie są np. filtry adaptacyjne [31, 149, a8, 202]. W niniejszej pracy będziemy zajmować się jedynie filtrami cy- frowymi o stałych współczynnikach.

Współczynniki transmitancji filtru cyfrowego o stałych współczynnikach^* są określane w trakcie jego projektowania. Metody służące do wyznaczania tych współczynników nazywane są w literaturze [np. 120, 190] metodami pro- jektowania filtrów cyfrowych^**. Metody te można najogólniej podzielić na dwie grupy - na metody tradycyjne oraz metody wspomagane komputerowo. W me-

* Ponieważ w niniejszej pracy są rozpatrywane jedynie filtry cyfrowe o stałych współ- czynnikach, w dalszym ciągu pracy filtry tego typu nazywane są krótko filtrami cy- frowymi lub po prostu filtrami.

** Również w literaturze anglojęzycznej, np. [71, 88, 112, 113, 139, 164], metody służą- ce do wyznaczania współczynników filtrów cyfrowych są określane terminem design methods for digital filters lub methods for the design of digital filters, co w tłumacze- niu na język polski oznacza metody projektowania filtrów cyfrowych.

todach tradycyjnych projektowanie filtru jest przeprowadzane bez użycia tech- nik iteracyjnych. W przypadku metod wspomaganych komputerowo, współ- czynniki filtru są najczęściej wyznaczane w wyniku rozwiązania określonego zadania aproksymacji zadanej charakterystyki lub zadanych charakterystyk filtru odpowiednią charakterystyką lub odpowiednimi charakterystykami rze- czywistego filtru cyfrowego należącego do określonej klasy. Metody wspoma- gane komputerowo mogą być jeszcze podzielone na grupy w zależności od stosowanego rodzaju aproksymacji. W praktyce najczęściej wykorzystywane są: aproksymacja minimaks, nazywana również aproksymacją czebyszewow- ską, aproksymacją w sensie Czebyszewa lub aproksymacją jednostajną (w skró- cie: aproksymacja MM), aproksymacja równomiernie falista (w skrócie: aprok- symacja EQ – od ang. equiripple), która w pewnych określonych przypadkach jest równoważna aproksymacji MM, oraz aproksymacja średniokwadratowa (w skrócie: aproksymacja LS – od ang. least-squares).

W literaturze opisywane są różne wspomagane komputerowo metody pro- jektowania filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej (w skrócie: FIR – od ang. finite impulse response) oraz filtrów o nieskończonej odpowiedzi impul- sowej (w skrócie: IIR – od ang. infinite impulse response) z zastosowaniem zarówno aproksymacji EQ, jak i MM oraz LS. Nie istnieje bowiem jedna meto- da nadająca się do projektowania zarówno filtrów typu FIR, jak i IIR, która mogłaby być uznana za najlepszą we wszystkich warunkach. Prezentowane metody mają określone zalety i wady oraz określony zakres stosowalności.

Z tego właśnie powodu oraz ze względu na bardzo szeroki obszar zastosowań filtrów cyfrowych, na całym świecie stale prowadzone są badania mające na celu ulepszanie istniejących oraz opracowywanie nowych metod projektowania tych filtrów.

Celem niniejszej rozprawy jest zaproponowanie ogólnej metody pro- jektowania filtrów cyfrowych z zastosowaniem aproksymacji równomier- nie falistej. Zaproponowana metoda może być wykorzystywana do projekto- wania filtrów 1-D typu FIR oraz IIR, jak również do projektowania filtrów wie- lowymiarowych, w tym w szczególności filtrów 2-D. W metodzie tej rozpatry- wane zadanie zaprojektowania filtru jest przekształcane w odpowiednie zadanie optymalizacji nieliniowej poprzez wprowadzenie funkcji celu o szczególnej postaci. W przypadku rozpatrywanej metody, w zadaniu projektowania mogą być również uwzględnione dodatkowe warunki lub ograniczenia zarówno li- niowe, jak i nieliniowe. Zaproponowana metoda umożliwia więc jednolite po- dejście do rozwiązywania różnych zadań projektowania filtrów cyfrowych, w których stosowana jest aproksymacja EQ.

Zaproponowana funkcja celu może być ponadto wykorzystana jako jeden ze wskaźników jakości w tych zadaniach projektowania filtrów, w których jed- nym z kryteriów poprawności rozwiązania jest uzyskanie równomiernie faliste- go przebiegu określonej charakterystyki w pewnym zakresie częstotliwości.

Przykładami tego rodzaju zadań są np. zadania projektowania filtrów z zasto- sowaniem aproksymacji EQ w pasmie przepustowym oraz aproksymacji LS

w pasmie zaporowym (w skrócie: aproksymacji EQLS). W pracy rozpatrywane są zarówno zadania projektowania filtrów 1-D, jak i 2-D z zastosowaniem aproksymacji EQLS. Podany jest również przykład zadania projektowania filtru 2-D typu FIR z zastosowaniem aproksymacji LS w pasmie przepustowym i aproksymacji EQ w pasmie zaporowym (w skrócie: aproksymacji LSEQ).

Innymi przykładami wykorzystania zaproponowanej funkcji celu jako jednego ze wskaźników jakości w zadaniach projektowania są prezentowane w pracy zadania projektowania zespołów (banków) filtrów.

Za pomocą opracowanej metody projektowania filtrów i zespołów filtrów cyfrowych można nie tylko odtworzyć wyniki uzyskane w typowych przypad- kach metodami dotychczas stosowanymi, ale również, w określonych przypad- kach, polegających np. na uwzględnieniu dodatkowych warunków, można uzy- skać wyniki lepsze, np. mniejsze błędy aproksymacji aproksymowanych cha- rakterystyk.

W pracy generalnie zakłada się, że projektowane filtry są filtrami o współ- czynnikach rzeczywistych. Jedynie w rozdziale 8. przedstawiono projektowanie nieprzyczynowych filtrów 1-D typu FIR o współczynnikach zespolonych.

W rozprawie pokazano, że korzystając z zaproponowanych metod projek- towania filtrów 2-D typu FIR o liniowej charakterystyce fazowej z zastosowa- niem aproksymacji EQ oraz EQLS możliwe jest przeprowadzanie zrównolegle- nia obliczeń w celu ich wykonywania na maszynach wieloprocesorowych.

Autorka opracowała odpowiednie algorytmy i programy oraz wykonywała obli- czenia na maszynie wieloprocesorowej Sun Fire 6800 podczas pobytu na Uni- wersytecie w Edynburgu w ramach grantu numer HPRI-CT-1999-00026 (the TRACS Programme at EPCC) w 5. Programie Ramowym. Zrównoleglenie obliczeń powoduje wyraźne zmniejszenie czasu ich wykonywania, co jest istot- ne w przypadku projektowania filtrów 2-D oraz wielowymiarowych, gdyż przy tego rodzaju zadaniach czasy wykonywania obliczeń są wyraźnie dłuższe niż w przypadku projektowania filtrów 1-D.

W niniejszej pracy rozpatrzono jedynie projektowanie filtrów dolnoprze- pustowych (w skrócie: LP – od ang. lowpass). Nie zmniejsza to ogólności roz- ważań, gdyż zaproponowane metody rozwiązania zadań projektowania z zasto- sowaniem aproksymacji EQ, EQLS oraz LSEQ mogą być stosowane również do projektowania filtrów górnoprzepustowych (w skrócie: HP - od ang. high- pass), pasmowoprzepustowych (w skrócie: BP – od ang. bandpass) i pasmowo- zaporowych (w skrócie: BS – od ang. bandstop), po wprowadzeniu jedynie niewielkich modyfikacji. Ponadto, w wielu przypadkach projektowanie filtrów HP, BP i BS można przeprowadzić na bazie filtrów LP [np. 102, 202].

Rozprawa składa się z jedenastu rozdziałów i jednego Dodatku. Rozdział 1.

jest rozdziałem wstępnym.

Rozdział 2. zawiera omówienie ogólnych właściwości filtrów cyfrowych 1-D oraz 2-D. Podane są też cechy filtrów typu FIR i IIR, w tym filtrów FIR o liniowej charakterystyce fazowej.

W rozdziale 3. przedstawiono poszczególne etapy procesu projektowania filtrów cyfrowych. Omówione są również rodzaje aproksymacji wykorzystywa- ne w procesie projektowania tych filtrów, ze szczególnym uwzględnieniem aproksymacji EQ oraz MM. W rozdziale tym zaprezentowany jest ponadto po- dział metod projektowania filtrów cyfrowych. Zwrócono przy tym uwagę na ograniczony zakres stosowalności metod tradycyjnych.

W rozdziale 4. omówiono wspomagane komputerowo metody projektowa- nia filtrów cyfrowych z zastosowaniem aproksymacji EQ oraz MM. Oddzielnie przedstawiono metody projektowania filtrów 1-D typu FIR oraz IIR. Metody projektowania filtrów FIR są podzielone na metody projektowania filtrów o liniowej charakterystyce fazowej oraz metody projektowania filtrów o zadanej charakterystyce częstotliwościowej.^* Z kolei metody projektowania filtrów IIR są podzielone na metody projektowania filtrów o zadanej charakterystyce am- plitudowej lub opóźnienia grupowego oraz metody projektowania filtrów o zadanej charakterystyce częstotliwościowej. W końcowej części rozdziału są opisane metody projektowania filtrów 2-D typu FIR o liniowej charakterystyce fazowej. W podsumowaniu zwrócono uwagę na niedogodności omówionych metod oraz wciąż istniejące potrzeby w zakresie opracowania nowych metod projektowania filtrów cyfrowych.

Rozdziały 5., 6., 7., 8., 9. oraz 10. stanowią zasadniczą część rozprawy.

W rozdziale 5. w sposób ogólny sformułowano zadanie projektowania filtru cyfrowego z zastosowaniem aproksymacji EQ z dodatkowymi warunkami za- równo liniowymi, jak i nieliniowymi oraz zaproponowano skuteczną metodę jego rozwiązania (wyznaczania współczynników filtru). Metoda ta umożliwia przekształcenie zadania projektowania filtru cyfrowego z zastosowaniem aprok- symacji EQ w odpowiednie zadanie optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami poprzez wprowadzenie funkcji celu o specyficznej postaci. W rozdziale 6.

przedstawiono zastosowania zaproponowanej metody do projektowania filtrów 1-D typu FIR oraz IIR. W pierwszej części tego rozdziału omówiono projekto- wanie filtrów FIR o liniowej charakterystyce fazowej bez uwzględniania dodat- kowych ograniczeń oraz z uwzględnianiem dodatkowych wymagań zarówno liniowych, jak i nieliniowych, a ponadto projektowanie filtrów FIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej. Druga część rozdziału dotyczy zastosowa- nia zaproponowanej metody do projektowania filtrów IIR. W tej części kolejno przedstawiono projektowanie filtrów IIR o zadanej charakterystyce amplitudo- wej, filtrów IIR o zadanej charakterystyce opóźnienia grupowego oraz filtrów IIR o zadanej charakterystyce częstotliwościowej.

*Mówiąc o zadanej charakterystyce częstotliwościowej w przypadku filtrów FIR mamy na myśli charakterystykę realizowalną, przy czym zakłada się jednocześnie, że cha- rakterystyka fazowa jest nieliniowa; w przypadku filtrów IIR mamy natomiast na my- śli charakterystykę realizowalną, przy czym charakterystyka fazowa może być liniowa lub różna od liniowej.

Rozdział 7. jest poświęcony aproksymacji EQLS. Zaproponowano w nim metodę projektowania filtrów 1-D typu FIR zarówno o liniowej, jak i o i nieli- niowej charakterystyce fazowej oraz filtrów 1-D typu IIR z zastosowaniem tej aproksymacji. Podkreślone są zalety aproksymacji EQLS w porównaniu z aproksymacją EQ. Ponadto pokazano, ze wykorzystując zaproponowaną me- todę projektowania można uzyskać wyraźnie lepsze rezultaty, niż przy użyciu nielicznych opisanych w literaturze metod umożliwiających uzyskanie rozwią- zań kompromisowych pomiędzy aproksymacją EQ w pasmie przepustowym i aproksymacją LS w pasmie zaporowym.

W rozdziale 8. przedstawiono wykorzystanie zaproponowanej metody pro- jektowania z zastosowaniem aproksymacji EQLS do projektowania nieprzyczy- nowych filtrów 1-D typu FIR o współczynnikach zespolonych. Pokazano, że również w przypadku tych filtrów można uzyskać mniejsze zafalowania charak- terystyki amplitudowej w pasmie przepustowym niż w przypadku odpowied- nich filtrów o współczynnikach zespolonych projektowanych z zastosowaniem aproksymacji równomiernie falistej w pasmie przepustowym i zaporowym.

Rozdział 9. zawiera przykłady zastosowania zaproponowanej funkcji celu jako jednego ze wskaźników jakości w zadaniach projektowania zespołów lu- strzanych filtrów kwadraturowych (w skrócie: QMF – od ang. quadrature mir- ror filters). Rozpatrzone są zadania projektowania dwukanałowego zespołu QMF o liniowej charakterystyce fazowej oraz dwukanałowego zespołu QMF o małym opóźnieniu rekonstrukcji. Należy podkreślić, że zaproponowana me- toda projektowania jest jedną z bardzo nielicznych metod umożliwiających projektowanie zespołów QMF o małym opóźnieniu rekonstrukcji.

Rozdział 10. poświęcony jest projektowaniu filtrów 2-D typu FIR z zasto- sowaniem aproksymacji EQ oraz EQLS. Pokazano też przykład projektowania filtru 2-D typu FIR z zastosowaniem aproksymacji LSEQ. Przedstawiono roz- wiązania zadań projektowania filtrów o różnych rodzajach symetrii, w tym fil- trów centrosymetrycznych uzyskanych przy użyciu zaproponowanych metod projektowania. Pokazano na przykładach, że również w przypadku filtrów 2-D typu FIR, przy użyciu zaproponowanej metody projektowania z zastosowaniem aproksymacji LSEQ możliwe jest uzyskanie mniejszych błędów aproksymacji niż w przypadku odpowiednich filtrów projektowanych z zastosowaniem aproksymacji równomiernie falistej w pasmie przepustowym i zaporowym. Na przykładzie projektowania półpasmowych filtrów 2-D typu FIR pokazano rów- nież możliwość uwzględnienia w zadaniu projektowania dodatkowych ograni- czeń. W rozdziale tym pokazano też, że możliwe jest przeprowadzenie zrówno- leglenia obliczeń przeprowadzanych z wykorzystaniem zaproponowanych me- tod projektowania, zarówno z zastosowaniem aproksymacji EQ, jak i EQLS, w wyniku czego uzyskuje się zwiększenie szybkości wykonywania tych obliczeń.

Podano również informacje dotyczące efektywności przeprowadzonego zrów- noleglenia obliczeń. W końcowej części rozdziału zaprezentowano przykładowe zastosowania zaprojektowanych filtrów o symetrii kołowej oraz filtru półpa- smowego w przetwarzaniu obrazów.

Rozdział 11. zawiera wnioski końcowe.

W Dodatku A scharakteryzowano podstawowe metody poszukiwania mi- nimum z ograniczeniami. Spośród nich wybrana jest następnie metoda rozwią- zywania rozpatrywanych w pracy zadań programowania nieliniowego. Ponadto omówiona jest zastosowana w pracy metoda przekształcenia zadania poliopty- malizacji w zadanie programowania nieliniowego.

2. Ogólne właściwości filtrów cyfrowych jedno- i dwuwymiarowych

2.1. Wprowadzenie

Filtr cyfrowy jest liniowym układem dyskretnym, niezmiennym względem przesunięcia, realizowanym za pomocą arytmetyki o skończonej precyzji [118].

Jednowymiarowy (1-D) filtr cyfrowy przetwarza sygnał wejściowy x(n) w sy- gnał wyjściowy y(n) według pewnego algorytmu. Zmienna n może być interpre- towana jako numer próbki lub też jako czas fizyczny unormowany względem okresu próbkowania T . _p

Układ liniowy, niezmienny względem przesunięcia jest w pełni scharakte- ryzowany przez jego odpowiedź impulsową h(n). Niech X(z), )Y(z i H(z) oznaczają odpowiednio transformaty Z sygnału wejściowego x(n), sygnału wyj- ściowego y(n) oraz odpowiedzi impulsowej h(n) układu. Transformatę

) (

) )] ( ( [ )

( X z

z n Y

h Z z

H = = (2.1)

przy zerowych warunkach początkowych [31] nazywamy transmitancją lub funkcją przenoszenia układu. Charakterystyka częstotliwościowa układu jest to transmitancja określona na okręgu jednostkowym, czyli funkcja:

ω _jω

e z

j H z

e

H( )= ( ) ₌ (2.2)

gdzie ω=ΩT_p jest pulsacją unormowaną względem szybkości próbkowania

p

p T

F =1/ , a

Ω

– pulsacją sygnału.

Charakterystyka amplitudowa ^A(ω) oraz fazowa ϕ(ω) układu są określo- ne następująco [112, 120]:

) ( )

(ω ^{H ejω}

A = (2.3)

) ( arg )

(ω ^ω

ϕ = ^{H ej} (2.4)

Z charakterystyką fazową związana jest charakterystyka opóźnienia grupowego )

(ω

τ układu zdefiniowana wzorem:

[

^{arg ( )}

]

)

( ^ω

ω ω

τ ^{H ej}

d

− d

= (2.5)

Jeżeli dany filtr cyfrowy jest układem liniowym, niezmiennym względem przesunięcia, stabilnym i przyczynowym, to jego charakterystyka częstotliwo- ściowa może być wyrażona następująco [112, 120, 190, 202]:

k j k

j h k e

e

H ^{ω ∞ − ω}

−∞

=

∑

= ( ) )

( (2.6)

Ze względu na czas trwania odpowiedzi impulsowej filtry cyfrowe dzieli się na dwie klasy, a mianowicie układy o skończonym czasie trwania odpowie- dzi impulsowej (FIR) oraz układy o nieskończonym czasie trwania odpowiedzi impulsowej (IIR). Podstawowe właściwości obu tych klas filtrów zostaną krót- ko omówione w następnych podrozdziałach.

2.2. Jednowymiarowe filtry FIR

Niech )h(n będzie odpowiedzią impulsową o długości

N

przyczynowego filtru 1-D typu FIR. Transmitancja przyczynowego filtru 1-D typu FIR jest wie- lomianem stopnia N−1 zmiennej zespolonej z⁻¹ o postaci:

1 1 ... ( 1) )

1 ( ) 0 ( )

(z =h +h z⁻ + +h N− z^−N−

H (2.7)

gdzie 1N− jest rzędem filtru.

Charakterystyka częstotliwościowa filtru 1-D typu FIR jest określona zależno- ścią:

H e

^j

h n e

n

N j n

(

^ω

) = ( )

^ω

=

− −

∑

0 1

(2.8)

Można wykazać, że w klasie układów przyczynowych jedynie układy FIR umożliwiają realizację dokładnie liniowej charakterystyki fazowej. W takim przypadku charakterystyka częstotliwościowa może być przedstawiona w na- stępującej postaci [112, 143]:

)

) (

( )

(^{ejω H} ω ^{ejφ ω}

H = , (2.9)

gdzie φ(ω)=β −αω, a ^H(ω) jest funkcją rzeczywistą, nazywaną w literaturze charakterystyką częstotliwościową o fazie zerowej (ang. zero-phase frequency response) [110, 181].

Pomiędzy funkcjami ^H(ω) ^{oraz H(ejω)} zachodzi następujący związek:

) ( )

(^{e ω H} ω

H ^j = (2.10)

W literaturze [108, 112, 141, 143, 190, 202] rozpatrywane są cztery typy charakterystyk częstotliwościowych filtrów FIR o liniowej charakterystyce fazowej, a mianowicie:

typ I: N jest nieparzyste oraz spełniony jest warunek:

), 1 ( )

(n h N n

h = − − n=0,1,...,N−1; typ II: N jest parzyste oraz spełniony jest warunek:

), 1 ( )

(n h N n

h = − − n=0,1,...,N−1;

typ III: N jest nieparzyste oraz spełniony jest warunek:

), 1 ( )

(n h N n

h =− − − n=0,1,...,N−1; typ IV: N jest parzyste oraz spełniony jest warunek:

), 1 ( )

(n h N n

h =− − − n=0,1,...,N−1.

Charakterystyka częstotliwościowa filtru FIR każdego z tych czterech typów może być wyrażona następująco [108]:

2 )]

1 ( 2

exp[

) ( )

( ^ω = ω Lπ − N ⁻ ω

j H

e

H ^j (2.11)

przy czym





=

IV i III typów dla

1

II i I typów dla

L 0

Zależnie od wartości N oraz od charakteru odpowiedzi impulsowej filtru, funkcja ^H(ω)przyjmuje odpowiednio jedną z czterech postaci [108, 143]:

Postać 1: N nieparzyste, odpowiedź impulsowa symetryczna:

∑

=

= ^M

k

k k

a H

0

) cos(

) ( )

(ω ω ^(2.12)

gdzie: M =(N −1)/2, ) ( ) 0

( h M

a = ,

. ,..., 2 , 1 ), (

2 )

(k h M k k M

a = − =

Postać 2: N parzyste, odpowiedź impulsowa symetryczna:

∑

= −

= ^M

k

k k

b H

1

2)]

( 1 cos[

) ( )

(ω ω ^(2.13)

gdzie: M = N/2 ,

. ,..., 2 , 1 ), (

2 )

(k h M k k M

b = − =

Postać 3: N nieparzyste, odpowiedź impulsowa antysymetryczna:

∑

=

= ^M

k

k k

c H

1

) sin(

) ( )

(ω ω ^(2.14)

gdzie: 2M =(N −1)/ ,

, ,..., 2 , 1 ), (

2 )

(k h M k k M

c = − =

. 0 ) (M = h

Postać 4: N parzyste, odpowiedź impulsowa antysymetryczna:

∑

= −

= ^M

k

k k

d H

1

2)]

( 1 sin[

) ( )

(ω ω ^(2.15)

gdzie: M = N/2 ,

. ,..., 2 , 1 ), (

2 )

(k h M k k M

d = − =

Należy zauważyć, że występujący we wzorze (2.11) człon ) )]

2 ( 1 ( 2

exp[ Lπ− N− ω j

nie ma wpływu na charakterystykę amplitudową filtru. Kształt tej charaktery- styki zależy jedynie od wartości funkcji ^H(ω). Zadanie zaprojektowania filtru o określonej charakterystyce amplitudowej sprowadza się więc do wyznaczenia odpowiednich wartości współczynników funkcji ^H(ω)^.

2.3. Jednowymiarowe filtry IIR

Transmitancja jednowymiarowego filtru IIR jest ilorazem dwóch wielo- mianów zmiennej z⁻¹, czyli funkcją wymierną o postaci:

M M N N

z b z

b z b

z a z

a z a a z W

z z W

H − − −

−

−

−

+ + +

+

+ + +

= +

= 1 ...

...

) (

) ) (

( 2

1 2 1

2 2 1 1

0 2

1 (2.16)

gdzie: a , _k b – stałe współczynniki. _j

Dzięki występowaniu biegunów transmitancji, filtry IIR umożliwiają z re- guły realizację zadanej charakterystyki częstotliwościowej przy użyciu filtru niższego rzędu, niż by to miało miejsce w przypadku filtrów FIR. W przypadku przyczynowych filtrów IIR nie ma natomiast możliwości uzyskania dokładnie liniowej charakterystyki fazowej.

Ważną klasą filtrów IIR są układy wszechprzepustowe, nazywane również filtrami wszechprzepustowymi. Układy te są często wykorzystywane jako ko- rektory fazy [147, 153]. W przypadku tych układów dla wszystkich częstotli- wości zachodzi następująca zależność [112, 147]:

1 ) (e^{jω 2} =

H (2.17)

W ogólnym przypadku transmitancja układu wszechprzepustowego H_a(z) ma następującą postać [147]:

∏

= −

−

∗

−

= ^M −

k k

k a j

z z

z e z

z H

1 1

1

) 1

( ^φ (2.18)

gdzie z oznacza liczbę sprzężoną z ^∗_k z . _k

Należy zauważyć, że bieguny i zera tej transmitancji występują w punktach odpowiadających sprzężonym odwrotnościom określonych liczb zespolonych.

Jeżeli transmitancja H(z) wyrażona wzorem (2.18) ma być funkcją rze- czywistą, zespolone zera muszą być zwierciadlanym odbiciem (względem okrę- gu jednostkowego) biegunów, a ponadto musi zachodzić równość φ=0 ^lub

π

φ= [147]. Transmitancja ta może być wówczas wyrażona w następującej postaci::

M M M M

M M M

a b z b z b z

z z

b z b b z

W z W z z

H − − −

−

− −

− −

−

−

+ + +

+

+ + +

= +

= 1 ...

...

) (

) ) (

( ₂

1 2 1

2 2 1 1

2

2 1 (2.19)

2.4. Sygnały i układy dwuwymiarowe

Właściwości sygnałów i układów 1-D mogą być uogólnione na przypadek wielowymiarowy. Układy cyfrowe wielowymiarowe opisane są m.in. w pracach [41, 80, 95, 120]. Najczęściej wykorzystywanymi w praktyce sygnałami i układami wielowymiarowymi są sygnały i układy dwuwymiarowe (2-D).

Niech )h(m,n będzie odpowiedzią impulsową 2-D układu liniowego, nie- zmiennego względem przesunięcia^* oraz niech sygnał y(m,n) będzie odpowie- dzią tego układu na pobudzenie x(m,n). Sygnał y(m,n) może być wyrażony w postaci [120]:

∑ ∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

= − −

=

r k

r n k m x r k h n

m

y( , ) ( , ) ( , ) (2.20)

Transmitancja 2-D układu jest określona następująco:

* W przypadku układu 2-D, określenia układu liniowego, niezmiennego względem przesunięcia, stabilnego i przyczynowego są uogólnieniami określeń sformułowanych dla układów 1-D. Określenia te dla przypadku 2-D można znaleźć np. w pracy [120].

∑ ∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

= −

m n

n mz z n m h z

z

H( ₁, ₂) ( , ) _{1 2} (2.21)

Transmitancja określona dla z₁=e^jω1 i z₂=e^jω2, czyli funkcja:

∑ ∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

= −

m n

n j m j j

j e h m n e e

e

H( ^ω1, ^ω2) ( , ) ^{ω1 ω2} (2.22) nazywana jest charakterystyką częstotliwościową 2-D układu.

W przypadku filtru 2-D typu FIR, transmitancja oraz charakterystyka czę- stotliwościowa układu są wyrażone odpowiednio wzorami:

∑ ∑

⁻

=

−

=

−

= ¹ − 0

1

0 1 2

2 1

1 1

) , ( )

,

( ^M

m N

n

n mz z n m h z

z

H (2.23)

∑ ∑

⁻

=

−

=

−

= ¹ − 0

1

0

1 1

2 1 2

1, ) ( , )

( ^M

m N

n

n j m j j

j e h m n e e

e

H ^{ω ω ω ω} (2.24)

gdzie M i ₁ N są liczbami naturalnymi (liczbami współczynników odpowied-₁ nio w poziomie i w pionie).

3. Projektowanie filtrów cyfrowych

3.1. Wprowadzenie

W procesie projektowania filtrów cyfrowych można wyróżnić następujące podstawowe etapy [31, 112]:

• określenie pożądanych właściwości układu, np. pożądanych charakterystyk filtru,

• wybór klasy filtru cyfrowego, który ma realizować pożądane właściwości,

• ustalenie kryterium, według którego będzie dokonywany wybór filtru, któ- rego właściwości najlepiej przybliżają pożądane właściwości,

• sformułowanie zadania znalezienia filtru najlepszego według ustalonego kryterium w wybranej klasie,

• wybór odpowiedniej metody rozwiązania sformułowanego uprzednio zada- nia oraz jego rozwiązanie,

• realizację zaprojektowanego filtru za pomocą arytmetyki o skończonej pre- cyzji, np. przy użyciu programu komputerowego, procesora sygnałowego [31], układu FPGA (ang. Field Programmable Gate Array) lub układu sca- lonego wielkiej skali integracji (VLSI).

Pierwszy etap uzależniony jest od zastosowań filtru. Należy zadecydować, czy projektowany filtr jest filtrem 1-D czy 2-D oraz jakie są jego pożądane od- powiedzi. W większości przypadków pożądaną odpowiedzią układu jest okre- ślona charakterystyka amplitudowa lub fazowa lub też zadany jest przebieg obu tych charakterystyk. Niekiedy zamiast charakterystyki fazowej określona jest pożądana charakterystyka opóźnienia grupowego układu. Zagadnienie ustalania pożądanych właściwości filtru nie jest w tej pracy rozpatrywane. Informacje dotyczące sposobu formułowania wymagań przy projektowaniu filtru cyfrowe- go są podane m.in. w pracach [112, 120, 190, 202].

Drugim etapem procesu projektowania filtru jest ustalenie klasy filtru, któ- ry ma realizować zadane właściwości. Przede wszystkim należy zdecydować, czy zastosować filtr typu IIR czy FIR. Należy wziąć również pod uwagę fakt, że przy realizacji niektórych struktur filtrów typu FIR oraz IIR, na transmitancję filtru mogą być dodatkowo nałożone pewne ograniczenia [112]. W takich przy- padkach postać transmitancji filtru jest ściśle związana z jego implementacją.

Sytuacja taka ma miejsce np. w przypadku pewnych struktur filtrów bardzo efektywnych obliczeniowo oraz filtrów o małej czułości [112].

Po to, aby móc zaprojektować filtr wybranej klasy, którego właściwości najlepiej przybliżają pożądane właściwości, należy ustalić kryterium, według którego będzie dokonywany wybór takiego filtru. Ustalenie tego kryterium jest z kolei związane z wyborem rodzaju przybliżenia czyli aproksymacji pożąda- nych właściwości. Najczęściej stosowane rodzaje aproksymacji oraz związane z nimi miary błędu będą omówione w podrozdziale 3.2.

Sformułowanie zadania znalezienia filtru najlepszego według ustalonego kryterium w wybranej klasie, sprowadza się do sformułowania odpowiedniego zadania aproksymacji pożądanych właściwości filtru właściwościami realizo- walnego filtru cyfrowego należącego do wybranej klasy. Zadanie to należy następnie rozwiązać. Kolejnym etapem procesu projektowania jest więc wybra- nie istniejącej lub opracowanie nowej metody rozwiązania zadania aproksyma- cji pożądanych właściwości układu właściwościami filtru realizowalnego. Roz- wiązanie tak sformułowanego zadania aproksymacji, czyli rozwiązanie zadania zaprojektowania filtru, sprowadza się do wyznaczenia odpowiednich wartości współczynników transmitancji lub charakterystyki częstotliwościowej filtru wybranej klasy. Metody służące do wyznaczenia wartości tych współczynników nazywane są w literaturze metodami projektowania filtrów. Można je podzielić na metody tradycyjne oraz na metody wspomagane komputerowo, w których wykorzystuje się różne rodzaje aproksymacji i rozmaite techniki iteracyjne.

Tradycyjne metody projektowania filtrów typu FIR i IIR są krótko omówione w podrozdziale 3.3. W rozdziale 4. są natomiast scharakteryzowane wspomagane komputerowo metody projektowania filtrów typu FIR i IIR z zastosowaniem aproksymacji MM i EQ.

Ostatnim etapem rozważanego procesu jest realizacja zaprojektowanego filtru i sprawdzenie, czy filtr ten spełnia stawiane mu wymagania. Synteza danej transmitancji filtru cyfrowego możliwa jest przy zastosowaniu różnych struktur.

Przy wyborze określonej struktury bierze się zwykle pod uwagę [190]: stopień złożoności układu lub algorytmu; wrażliwość wybranych charakterystyk filtru i/lub wrażliwość zer oraz biegunów transmitancji na kwantowanie parametrów układu; efekty nieliniowe związane z kwantowaniem wyników operacji arytme- tycznych, w wyniku czego mogą powstać oscylacje pasożytnicze; wpływ szu- mów addytywnych wynikających z przybliżonego przedstawienia liczb i wyni- ków operacji arytmetycznych. Znalezienie takiej struktury, przy której wpływ niepożądanych efektów na pracę układu byłby minimalny, jest jednak trudne, gdyż właściwości poszczególnych struktur często są zależne od wartości licz- bowych parametrów. W praktyce wyboru odpowiedniej realizacji często doko- nuje się poprzez porównanie właściwości różnych struktur dla konkretnych wartości parametrów. Zagadnienie realizacji danej transmitancji filtru nie jest w niniejszej pracy rozpatrywane. Metody syntezy transmitancji oraz właściwości podstawowych struktur filtrów cyfrowych są opisane m.in. w pracach [31, 112, 120, 190].

3.2. Rodzaje aproksymacji wykorzystywanych w procesie

projektowania filtrów cyfrowych

W ogólnym przypadku aproksymacja funkcji polega na zastępowaniu da- nej funkcji f przez inną funkcję g należącą do ustalonej klasy (np. będącą wie- lomianem), która w określonym sensie najlepiej przybliża f. Funkcja g nazywa- na jest funkcją aproksymującą. Jeżeli funkcja g jest funkcją liniową, mówimy o przypadku aproksymacji liniowej. Klasyczne zadanie aproksymacji liniowej można sformułować w sposób następujący [73]:

Definicja 3.1.

Dla ustalonego elementu f z przestrzeni liniowej unormowanej X szukamy elementu g , należącego do danej skończenie wymiarowej półprzestrzeni ^∗ liniowej U przestrzeni

X

, takiego że:

g f g

f − ^∗ ≤ − (3.1)

dla wszystkich g∈U.

Błędem aproksymacji elementu

f

względem półprzestrzeni U nazywamy wielkość ε_U( f) równą:

g f f g U

U = −

inf∈

)

ε ( ^{, (3.2)}

a element

g

^∗, dla którego zachodzi równość f −g^∗ =ε_U( ) – elementem f optymalnym.

Element optymalny jest tym spośród elementów półprzestrzeni U, który jest najbliższy (w sensie odległości mierzonej normą przestrzeni) przybliżanego elementu f. W ogólnym przypadku jednak element optymalny nie musi być wyznaczony jednoznacznie [73, 109].

W zależności od rodzaju funkcji aproksymującej można wyróżnić różne rodzaje aproksymacji. Najczęściej stosowaną aproksymacją jest aproksymacja liniowa. Funkcją aproksymującą jest w tym przypadku wielomian uogólniony [48]. Aproksymacja liniowa funkcji f polega na określeniu współczynników

an

a

a₀, ₁,..., funkcji g^∗=a₀ϕ₀+a₁ϕ₁+...+a_nϕ_n, gdzie ϕ0^,ϕ1^...ϕ_n są funk- cjami bazowymi n+1 wymiarowej półprzestrzeni liniowej U.

Innym rodzajem aproksymacji jest aproksymacja wymierna. W tym przy- padku funkcja aproksymująca ma postać [48]:

m m

n n

b b

b

a a

g a

ψ ψ

ψ

ϕ ϕ

ϕ

...

...

1 1 0 0

1 1 0 0

+ +

+ +

= + (3.3)

gdzie ϕ_i ⁱ ψj^, i = 0,1,...,n; j = 0,1,...,m, są elementami tej samej bazy k-wymia- rowej półprzestrzeni liniowej (k =max( mn, )), natomiast

a

_i,

b

_j są stałymi współczynnikami, które należy wyznaczyć.

W procesie projektowania filtrów cyfrowych wykorzystywana jest zarów- no aproksymacja liniowa, jak i aproksymacja wymierna. Charakterystykami aproksymowanymi mogą być następujące charakterystyki: amplitudowa, fazo- wa, opóźnienia grupowego lub częstotliwościowa.

Przy formułowaniu zadania aproksymacji istotne znaczenie ma wybór normy i rodzaju przestrzeni X. Wybór ten decyduje o określeniu wartości błędu aproksymacji oraz rodzaju aproksymacji związanego z przyjętą definicją funkcji błędu. W procesie projektowania filtrów cyfrowych najczęściej stosowane są następujące rodzaje aproksymacji [112, 113]:

•

Aproksymacja minimaks. W tym przypadku stosowana jest norma Czebyszewa z wagą. Dla funkcji f(x) określonej na przedziale [ ba, ] po- szukujemy funkcji g(x) dającej najmniejsze maksimum ważonej różnicy między )f(x i )g(x na całym przedziale [ ba, ]. Funkcja błędu jest wyra- żona następująco:

) ( ) ( ) ( )

(x W x f x g x

E = − (3.4)

a wartością, która ma być zminimalizowana jest

) ( max

[ , ]

E x

b x∈a

ε =

^(3.5)

•

Aproksymacja równomiernie falista. W przypadku tej aproksymacji funkcja błędu ma J ekstremów o jednakowych wartościach bezwzględnych.

W pewnych przypadkach, przy określonej liczbie J ekstremów funkcji błę- du, aproksymacja EQ jest jednocześnie aproksymacją MM. W rozwiąza- niach uzyskanych z zastosowaniem aproksymacji EQ błąd aproksymacji jest równomierne rozłożony w całym rozpatrywanym przedziale aproksy- macji i ma często z góry zadaną wartość.

•

Aproksymacja średniokwadratowa. W tym przypadku stosowana jest norma L₂ z wagą. Dla funkcji f x( ) określonej na przedziale [a, b] poszu- kujemy funkcji g x( ) , dla której całka:

∫

⁻

=^b

a

dx x g x f x W

E₂ ( )[ ( ) ( )]² (3.6)

ma wartość minimalną. Jeżeli funkcja

f x ( )

dana jest na dyskretnym zbio- rze argumentów, wówczas poszukujemy minimum sumy:

E W x

_i

f x

_i

g x

_i

i n

2 2

0

= −

∑

=

^{( )[ ( ) ( )]}

^,

^{W x} ( )

i

≥ 0

dla i = 0,1,...,n (3.7)

•

Aproksymacja w sensie najmniejszej p-tej potęgi błędu. Jest to uogól- nienie aproksymacji średniokwadratowej. W tym przypadku zamiast normy

L2 stosowana jest norma L_p, gdzie p jest liczbą całkowitą. Dla funkcji )

(x

f określonej na przedziale [ ba, ] poszukujemy funkcji g(x), dla której całka:

∫

⁻

=^b

a

p W x f x g x pdx

E ( )[ ( ) ( )] (3.8)

ma wartość minimalną. Można wykazać, że jeżeli p→∞, rozwiązanie minimalizujące powyższą całkę dąży do rozwiązania aproksymacji MM [34, 112, 120]. Fakt ten jest wykorzystywany w pewnej grupie metod pro- jektowania filtrów IIR.

•

Aproksymacja maksymalnie płaska. W przypadku tego typu aproksyma- cji funkcja aproksymująca jest otrzymana w drodze rozwinięcia w szereg Taylora w określonym punkcie funkcji aproksymowanej. Z reguły zakłada się, że tym punktem jest x=0. W niektórych przypadkach, jak np. przy projektowaniu filtrów 1-D typu FIR o maksymalnie płaskiej charakterysty- ce amplitudowej, bierze się pod uwagę dwa punkty, przy czym najczęściej są nimi x=0 i x=π .

W większości metod projektowania 1-D filtrów cyfrowych stosowany jest jeden z omówionych powyżej rodzajów aproksymacji. Niekiedy wykorzysty- wane są jednocześnie dwa rodzaje aproksymacji, np. w przypadku charaktery- styk amplitudowych filtru 1-D typu FIR o liniowej charakterystyce fazowej stosowana jest maksymalnie płaska aproksymacja w pasmie przepustowym i aproksymacja EQ w pasmie zaporowym [159, 169, 171, a4, a6]. Omówione rodzaje aproksymacji wykorzystywane są również przy projektowaniu filtrów 2-D, przy czym w tym przypadku aproksymację przeprowadza się w przestrzeni 2-D. W niniejszej pracy będziemy zajmować się głównie aproksymacją MM i EQ.

Aproksymacja MM jest często stosowana przy projektowaniu filtrów za- równo analogowych, jak i cyfrowych, gdyż jej zastosowanie zapewnia spełnie- nie założeń projektowych za pomocą filtru niższego rzędu niż miałoby to miej- sce przy założeniu innej postaci funkcji błędu [112, 120]. Z tego właśnie powo- du stosowanie tego rodzaju aproksymacji jest korzystne, mimo że rozwiązywa- nie zadań aproksymacji MM jest z reguły bardziej skomplikowane obliczenio- wo niż zadań aproksymacji LS.

Charakterystyka uzyskana w wyniku aproksymacji MM ma następujące za- lety [112, 120]:

• przy danym pasmie przepustowym umożliwia ona uzyskanie najmniejszego maksymalnego zafalowania charakterystyki wewnątrz pasma,

• przy danym maksymalnym zafalowaniu charakterystyki wewnątrz pasma przepustowego pozwala ona na uzyskanie najszerszego pasma przepusto- wego,

• przy danym maksymalnym zafalowaniu charakterystyki wewnątrz pasma przepustowego pozwala ona na uzyskanie największej selektywności (tzn.

najszybszego opadania charakterystyki poza tym pasmem),

• przy danej szerokości pasma przepustowego oraz zadanych maksymal- nych zafalowaniach charakterystyki wewnątrz pasma przepustowego i zaporowego umożliwia uzyskanie pasma przejściowego o najmniejszej szerokości.

Filtry zaprojektowane z zastosowaniem aproksymacji MM często nazywane są w literaturze filtrami optymalnymi.

W przypadku pewnych typów zadań aproksymacji, funkcja błędu w roz- wiązaniu optymalnym w sensie Czebyszewa ma przebieg równomiernie falisty o określonej liczbie ekstremów. Ma to miejsce np. w zadaniach projektowania filtrów 1-D typu FIR o liniowej charakterystyce fazowej oraz filtrów 1-D typu IIR o zadanych charakterystykach amplitudowych. W tego rodzaju zadaniach aproksymacja MM jest równoważna aproksymacji EQ o określonej liczbie eks- tremów. W przypadku innych typów zadań, zamiast znalezienia rozwiązania optymalnego w sensie Czebyszewa, zadawalającym rozwiązaniem jest uzyska- nie rozwiązania o równomiernie falistym przebiegu funkcji błędu [25, 138, 156, 180].

Zadania aproksymacji MM charakterystyk amplitudowych filtrów 1-D ty- pu IIR oraz FIR o liniowej charakterystyce fazowej są zadaniami aproksymacji sformułowanymi w dziedzinie liczb rzeczywistych. W przypadku tych zadań, uzyskane rozwiązanie, o ile takie istnieje dla założonych danych wejściowych, jest rozwiązaniem jednoznacznym [np. 104, 108, 112]. Problem istnienia i jed- noznaczności rozwiązania zadań projektowania różnych rodzajów filtrów zo- stanie omówiony w podrozdziale 5.4.

3.3. Podział metod projektowania filtrów cyfrowych

Podział metod projektowania filtrów cyfrowych może być przeprowadzony w różny sposób w zależności od przyjętego kryterium. Przy przyjęciu jako kry- terium podziału wymiaru projektowanego filtru, metody projektowania można podzielić na metody projektowania filtrów 1-D, filtrów 2-D oraz filtrów wielo- wymiarowych.

Innym często przyjmowanym kryterium podziału jest klasa filtrów, do pro- jektowania której rozpatrywane metody są stosowane. Przy przyjęciu takiego kryterium, metody projektowania można podzielić na metody projektowania filtrów IIR oraz metody projektowania filtrów FIR. Rozwiązanie zadania zapro- jektowania filtru cyfrowego, zarówno FIR, jak i IIR, sprowadza się do wyzna- czenia odpowiednich wartości współczynników transmitancji. W przypadku filtru FIR transmitancja ma postać wielomianu, natomiast w przypadku filtru IIR jest ona funkcją wymierną. Przy projektowaniu filtrów FIR jest więc stoso- wana aproksymacja wielomianowa, a przy projektowaniu filtrów IIR - aprok- symacja wymierna. Z tego właśnie powodu metody projektowania filtrów IIR istotnie różnią się od metod projektowania filtrów FIR.

Jako inne kryterium podziału metod projektowania filtrów cyfrowych można przyjąć złożoność obliczeniową metody. W takim przypadku metody projektowania filtrów cyfrowych można podzielić na metody tradycyjne oraz na metody wspomagane komputerowo. Pod pojęciem metod tradycyjnych rozu- miemy tutaj metody, w których projektowanie filtru jest przeprowadzane bez użycia technik iteracyjnych. Metody tradycyjne są więc niezbyt skomplikowane obliczeniowo. Zakres zastosowań tych metod jest jednak ograniczony do dość szczególnych przypadków aproksymowanych charakterystyk.

Tradycyjne metody projektowania filtrów 1-D typu FIR umożliwiają pro- jektowanie filtrów o liniowej charakterystyce fazowej oraz układów minimalno- fazowych. W przypadku filtrów FIR o liniowej charakterystyce fazowej wyma- gania stawiane filtrowi mogą dotyczyć wyłącznie jego charakterystyki amplitu- dowej, przy czym charakterystyka ta może przyjmować jedynie stale wartości w poszczególnych pasmach. Przy stosowaniu tradycyjnych metod projektowania nie ma możliwości uwzględniania w procesie projektowania dodatkowych wy- magań dotyczących właściwości filtru w dziedzinie czasu lub częstotliwości.

Do tradycyjnych metod projektowania filtrów 1-D typu FIR o liniowej charakterystyce fazowej zaliczamy metodę projektowania z zastosowaniem sum częściowych szeregu Fouriera, różne metody okien czasowych oraz metodę projektowania filtrów o maksymalnie płaskiej charakterystyce amplitudowej.

Szczegółowe opisy tych metod można znaleźć m.in. w pracach [112, 120, 190, 202].

Tradycyjne metody projektowani filtrów 1-D typu IIR polegają na zapro- jektowaniu prototypowego filtru analogowego o pożądanych właściwościach, a następnie przekształceniu zaprojektowanego filtru analogowego w odpowied- ni filtr cyfrowy spełniający założone wymagania. W praktyce stosowanych jest

kilka metod przekształcenia prototypowego filtru analogowego w odpowiedni filtr cyfrowy, a mianowicie: metoda transformacji dwuliniowej (biliniowej), metoda niezmienności odpowiedzi impulsowej oraz metoda oparta na nume- rycznym rozwiązywaniu równań różniczkowych. Metody te oraz zakres ich stosowalności są szczegółowo omówione m.in. w pracach [31, 112, 120, 202].

Do tradycyjnych metod projektowania 2-D filtrów FIR o liniowej charakte- rystyce fazowej zaliczamy 2-D metodę funkcji okien, metodę próbkowania w dziedzinie częstotliwości oraz metody oparte na transformacji McClellana.

Metody należące do pierwszych dwóch grup stanowią rozszerzenie metod 1-D na przypadek 2-D i nie umożliwiają uzyskania optymalnych charakterystyk amplitudowych. Metody oparte na transformacji McClellana umożliwiają prze- kształcenie prototypowego filtru 1-D w filtr 2-D. Metody te mają z kolei dość ograniczony zakres stosowalności. Opisy wymienionych metod można znaleźć m.in. w pracach [41, 80, 95].

W przypadku bardziej ogólnych wymagań dotyczących charakterystyk fil- trów zarówno 1-D, jak i 2-D, projektowanie tych filtrów odbywa się z wykorzy- staniem metod wspomaganych komputerowo. W metodach tych stosowane są różne rodzaje aproksymacji, do przeprowadzenia których wykorzystywane są rozmaite techniki iteracyjne. Metody wspomagane komputerowo mogą być więc jeszcze podzielone na grupy w zależności od stosowanego rodzaju aprok- symacji. Metody projektowania 1-D i 2-D filtrów cyfrowych z zastosowaniem aproksymacji MM i EQ omówione są w rozdziale 4.

Opisy metod projektowania 1-D i 2-D filtrów cyfrowych zarówno typu FIR, jak i IIR, z zastosowaniem aproksymacji LS można znaleźć m.in. w pra- cach [9, 15, 43, 54, 55, 58, 81, 93, 112, 130-132, 146, 159, 198, 199, a8], nato- miast opisy metod z wykorzystaniem aproksymacji maksymalnie płaskiej m.in.

w pracach [57, 112, 158, 161]. Aproksymacja w sensie najmniejszej p-tej potęgi błędu jest bardzo rzadko stosowana w przypadku filtrów 1-D typu FIR.

Jest ona jednak wykorzystywana w pewnej grupie metod projektowania filtrów 1-D typu IIR [np. 11, 20, 27, 33, 168] oraz filtrów 2-D typu FIR oraz IIR [np

.

97, 144].