Metodyka badania

W ramach niniejszego rozdziału przedstawione zostaną wyniki badania ankieto-wego i zweryfikowane następujące hipotezy badawcze:

H3: Inwestorzy giełdowi postrzegają atrakcyjność inwestycyjną akcji przez pry-zmat ich ceny rynkowej i jest to jeden z kluczowych czynników determinujących decyzje inwestycyjne, niezależny od dochodów inwestora, wielkości portfela inwe-stycyjnego oraz okresu inwestowania.

W procesie podejmowania decyzji inwestycyjnych inwestorzy giełdowi pozy-skują z rynku wiele informacji dotyczących notowań giełdowych. Jedną z pierw-szych jest kurs akcji, a dokładniej – zapis numeryczny rynkowej ceny akcji wraz z informacją o zmianie ceny. W ten sposób podświadomie wytwarza się pewien mechanizm, w jakim cena akcji jest kojarzona z wielkością stóp zwrotu i staje się elementem kotwiczenia. Ponadto GPW publikuje zestawienia spółek o najwyż-szych dziennych stopach zwrotu, co jest z reguły domeną spółek o niskich cenach (niewielka zmiana ceny powoduje nawet kilkudziesięcioprocentowy wzrost stopy zwrotu). W  konsekwencji w  rankingu udział akcji o  relatywnie niskiej cenie jest znaczący, co oznacza, że inwestor podświadomie może kojarzyć wysokie stopy zwrotu z niską ceną akcji, a w dalszej perspektywie będzie się to przekładać na jego decyzje inwestycyjne. Weryfikacja tej hipotezy jest powiązana z realizacją piąte- go celu szczegółowego.

H4: Postrzeganie akcji o niskiej cenie rynkowej jako atrakcyjnych pod wzglę-dem inwestycyjnym nie zależy od doświadczenia oraz wielkości portfela inwestora giełdowego.

Zdaniem autorki wykazywanie przez inwestorów indywidualnych większej skłonności do zakupu akcji o niskiej cenie, przy założeniu braku powiązań tych preferencji z wielkością portfela i doświadczeniem w inwestowaniu na giełdzie, jest wynikiem uproszczonych schematów myślowych i równocześnie wskazuje na występowanie efektów cenowych na rynku kapitałowym. Weryfikacja tej hipotezy jest powiązana z realizacją piątego celu szczegółowego.

Badanie było przeprowadzane na terenie całego kraju w formie bezpośredniego wywiadu kwestionariuszowego metodą PAPI (Paper and Pencil Interview).

Dobór próby miał charakter celowy, kryterium doboru stanowiło aktywne uczestnictwo respondenta na rynku kapitałowym. Próba miała charakter repre-zentatywny w  odniesieniu do populacji inwestorów indywidualnych w  Polsce.

Doboru próby dokonano na podstawie profilu inwestora giełdowego, określone-go poprzez cykliczne badania realizowane przez Stowarzyszenie Inwestorów In-dywidualnych w  Polsce, adekwatnie do okresu prowadzonych badań. Cechami kontrolowanymi, zapewniającymi reprezentatywność, były: płeć, wiek, miejsce zamieszkania.

Badanie było przeprowadzane dwuetapowo w  latach 2016–2018 na łącznej próbie 1164 inwestorów indywidualnych, co stanowi 0,09% populacji (według Krajowego Depozytu Papierów Wartościowych¹ szacuje się, że liczba inwesto-rów indywidualnych w Polsce w 2020 roku wynosiła około 1,3 mln). Przy tej li-czebności próby i poziomie ufności 95% maksymalny błąd statystyczny badania wynosił 3%.

Zarówno w pierwszym, jak i drugim etapie badania przeprowadzono badanie pilotażowe na niewielkiej próbie respondentów, w celu zweryfikowania popraw-ności formularza ankietowego, czasu badania, klarowpopraw-ności zadawanych pytań itp.

Po przeprowadzeniu badania pilotażowego przystąpiono do badania zasadniczego.

Wywiad kwestionariuszowy zarówno w pierwszym, jak i w drugim etapie był realizowany za pośrednictwem przeszkolonych ankieterów i  potwierdzony for-malnie². Ankieter był obecny przez cały czas trwania badania i  mógł udzielić respondentowi wyjaśnień, gdy była taka potrzeba.

Celem pierwszego etapu badania była ocena występowania wybranych heury-styk wśród indywidualnych inwestorów giełdowych, w tym zweryfikowanie efek-tów cenowych. Etap pierwszy badania zrealizowano w IV kwartale 2016 roku na próbie 564 inwestorów indywidualnych w Polsce. Badanie efektów towarzyszących anomalii niskiej ceny stanowiło w tym przypadku jeden z obszarów tematycznych, niemniej jednak pozwoliło na zweryfikowanie następujących kwestii:

1) preferencji inwestorów co do przedziału cenowego akcji, w jakie inwestują;

2) sposobu postrzegania atrakcyjności akcji przez pryzmat ich ceny, mierzonej subiektywną oceną prawdopodobieństwa osiągnięcia zysku lub poniesienia straty oraz poziomem ryzyka inwestycyjnego;

3) profilu inwestora, który najczęściej realizuje inwestycje w akcje z niskiego i wysokiego przedziału cenowego.

1 Krajowy Depozyt Papierów Wartościowych (b.r.), http://www.kdpw.pl/pl/Strony/Home.aspx (dostęp: 14.09.2020).

2 Badanie było w całości zanonimizowane. Dane osobowe respondentów były gromadzone wyłącznie w celu organizacji badania (potwierdzenia przeprowadzenia badania przez ankie- tera oraz późniejszego wykluczenia respondenta z badania w drugim etapie, dane osobo-we w drugim etapie badania były przechowywane zgodnie z Ustawą z dnia 10 maja 2018 r.

o ochronie danych osobowych, Dz.U. z 2018 r., poz. 1000).

Pierwszy etap badania potwierdził jednoznacznie, że cena akcji stanowi jeden z istotnych czynników warunkujących podejmowanie decyzji inwestycyjnych.

Drugi etap badania został przeprowadzony w III kwartale 2018 roku. Dobór próby i forma przeprowadzenia badania były analogiczne jak w etapie pierwszym, przy czym wykluczono osoby, które uczestniczyły w pierwszym etapie badania.

Badanie było finansowane ze środków NCN³ i w całości poświęcone zjawiskom towarzyszącym efektom cenowym, a w szczególności:

1) analizie preferowanego przez inwestora przedziału cenowego akcji;

2) ocenie znaczenia wybranych czynników dla procesu podejmowania decyzji inwestycyjnych;

3) analizie postrzegania atrakcyjności akcji przez pryzmat ich ceny, mierzonej subiektywną oceną prawdopodobieństwa osiągnięcia zysku lub poniesienia straty oraz poziomem ryzyka inwestycyjnego;

4) ocenie postrzegania akcji groszowych oraz spółek emitujących akcje gro-szowe;

5) analizie zachowań inwestorów z perspektywy struktury portfela inwestycyj-nego w kontekście wartości posiadanych akcji;

6) analizie postrzegania przez inwestora operacji podziału i łączenia akcji.

W zależności od rodzaju pytań i zakresu analiz wyniki przeprowadzonego ba-dania zostaną przedstawione łącznie (w przypadku zastosowania tych samych py-tań w obu etapach badania) lub adekwatnie do próby, do jakiej się odnoszą. W obu etapach badania występowała inna grupa respondentów, co pozwoliło uniknąć sytuacji dwukrotnego analizowania odpowiedzi tej samej osoby.

Zgromadzone w  toku przeprowadzonych badań ankietowych dane zostały poddane weryfikacji, a następnie dokonano ich analizy. Wykorzystano w tym celu zarówno proste metody analiz (takie jak statystyki opisowe) oraz modelowanie ekonometryczne. Opracowanie danych i ich analizę przeprowadzono w progra-mach Excel, GRETL oraz SPSS.

Ze względu na to, że mamy tu do czynienia ze zmiennymi jakościowymi, do modelowania ekonometrycznego zastosowano modele logitowe.

Modele logitowe wykorzystywane są do weryfikacji występowania zjawisk eko-nomicznych opisywanych przez zmienne o charakterze jakościowym, takie jak na przykład poziom wykształcenia (podstawowe, średnie, wyższe), miejsce zamiesz-kania (miasto, wieś) oraz podejmowane decyzje (zakup samochodu, sprzedaż mieszkania itp.). Zmienne jakościowe, które przedstawiają zachowanie jednostek, przyjmują najczęściej postać zmiennych zero-jedynkowych. Wykorzystując mo-delowanie ekonometryczne, można wskazać czynniki ekonomiczne, jakie leżą u podstaw decyzji podejmowanych przez jednostkę⁴.

3 Projekt NCN MINIATURA, DEC-2017/01/X/HS4/00089, kierownik projektu: dr Magdalena Jasiniak.

4 T. Kufel, Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu GRETL, Wy-dawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2011, s. 142.

W zastosowanych modelach zmienna objaśniana Y ma postać zmiennej binar-nej. Może przyjmować dwie możliwe wartości y_i = 1 lub y_i = 0, które postrzegane są w kategoriach prawdopodobieństwa wystąpienia danego zjawiska. Przyjmując, że prawdopodobieństwo P(y_i = 1) = p_i oraz P(y_i = 0) = 1 – p_i, to funkcja prawdopo-dobieństwa wystąpienia zdarzenia Y jest następująca⁵:

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝_𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂𝑖𝑖− 𝐸𝐸𝑖𝑖

𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

dla

∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

. Jeżeli

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥1𝑖𝑖, 𝑥𝑥2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥𝑘𝑘_𝑖𝑖)(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽1, 𝛽𝛽2, … , 𝛽𝛽𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}_𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

, to

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥1𝑖𝑖, 𝑥𝑥2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥𝑘𝑘_𝑖𝑖)(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽1, 𝛽𝛽2, … , 𝛽𝛽𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}_𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

, natomiast dla y_i = 0 mamy

∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}_𝑖𝑖,

gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂𝑖𝑖− 𝐸𝐸𝑖𝑖

𝜎𝜎𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

. War-tość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖= 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝_𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂𝑖𝑖− 𝐸𝐸𝑖𝑖

𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku y_i = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej p_i.

Wartość p_i modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać⁶:

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽₀, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}_𝑖𝑖

𝑥𝑥² = ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

, gdzie

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

Dla modelu logitowego funkcja p_i przyjmuje postać:.

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥1𝑖𝑖, 𝑥𝑥2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥𝑘𝑘_𝑖𝑖)(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽1, 𝛽𝛽2, … , 𝛽𝛽𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}_𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

, gdzie wszystkie wartości p_i znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrot-ną do F⁷:

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

, gdzie wyrażenie

∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦_𝑖𝑖= 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦_𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖= 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽₀, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖= 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖= 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

nazywa się logitem.

Logit jest ilorazem prawdopodobieństwa (szans) przyjęcia oraz nieprzyjęcia wartości 1 przez zmienną Y. Jeśli prawdopodobieństwa są jednakowe (p_i = 0,5), to logit równa się zeru. Dla p_i > 0,5 logit jest ujemny, a dla p_i < 0,5 przyjmuje wartości dodatnie.

Interpretacja modelu jest następująca:

Iloraz szans p_i/(1 – p_i) dobrze nadaje się do interpretacji oszacowanego mo-delu logitowego. Można pokazać, że jeśli jedna ze zmiennych objaśniających,

5 M. Gruszczyński (red.), Mikroekonometria. Modele i metody analizy danych indywidualnych, Oficyna a Wolters Kluwer business, Warszawa 2012, s. 73.

6 Ibidem, s. 74.

7 Ibidem, s. 80.

179 Metodyka badania

na przykład X_j, wzrośnie o jednostkę (ceteris paribus), to iloraz szans zmieni się exp(α_j) razy. W przypadku exp(α_j) > 1 mamy wzrost, a w przypadku exp(α_j) < 1 spadek ilorazu szans. Jeśli X_j jest zmienną zero-jedynkową, to exp(α_j) mówi, ile razy wzrasta iloraz szans wartości Y_i = 1 dla kategorii „1” zmiennej X_j w porówna-niu z tym samym ilorazem dla kategorii „0” zmiennej X_j⁸.

Do oceny wiarygodności hipotez zastosowano test statystyczny chi-kwadrat, który używany jest do badania zgodności zarówno cech ilościowych, jak i jako-ściowych. Test opiera się na porównywaniu ze sobą wartości obserwowanych, ujętych w badaniu, do wartości oczekiwanych, które wystąpiłyby, gdyby związek między zmiennymi nie występował. Jeśli różnica pomiędzy wartościami obser-wowanymi a oczekiwanymi jest znacząca i statystycznie istotna, wówczas można przyjąć, że istnieje związek pomiędzy zmiennymi⁹.

Statystyka testowa ma postać:

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥1𝑖𝑖, 𝑥𝑥2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥𝑘𝑘_𝑖𝑖)(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽1, 𝛽𝛽2, … , 𝛽𝛽𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′_𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖, gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}_𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎_𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

,

gdzie:

O_i – wartość mierzona,

E_i – wartość teoretyczna (oczekiwana), wynikająca z hipotezy, odpowiadająca war-tości mierzonej,

∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝_𝑖𝑖^{𝑦𝑦𝑖𝑖}(1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖)^{1−𝑦𝑦𝑖𝑖} dla 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 0, 1.

Jeżeli yi = 1, to ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, natomiast dla yi = 0 mamy ∫ (𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 − 𝑝𝑝𝑖𝑖. Wartość oczekiwana i wariacja w tym rozkładzie równają się:

E(𝑦𝑦𝑖𝑖) = 1 × 𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 × (1 − 𝑝𝑝_𝑖𝑖) = 𝑝𝑝𝑖𝑖, Var (yi) = pi (1 – pi).

Wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu uzyskania wyniku yi = 1, a więc wariancja jest zawsze mniejsza od wartości oczekiwanej pi.

Wartość pi modelowana jako funkcja zmiennych objaśniających X przyjmuje postać¹: 𝑝𝑝_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽),

gdzie 𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽 = (1 𝑥𝑥_1𝑖𝑖, 𝑥𝑥_2𝑖𝑖, … , 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑖𝑖})(𝛽𝛽0, 𝛽𝛽₁, 𝛽𝛽₂, … , 𝛽𝛽_𝑘𝑘).

Dla modelu logitowego funkcja pi przyjmuje postać:

𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝐹𝐹(𝑥𝑥′𝑖𝑖𝛽𝛽) = 𝛬𝛬(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(𝑥𝑥}^{exp(𝑥𝑥𝑖𝑖𝛽𝛽)}

𝑖𝑖𝛽𝛽) = _{1+exp(−𝑥𝑥}¹

𝑖𝑖𝛽𝛽), gdzie wszystkie wartości pi znajdują się w przedziale (0; 1).

W praktyce częściej stosuje się postać modelu logitowego jako funkcję odwrotną do F²: 𝑥𝑥_𝑖𝑖𝛽𝛽 = 𝑍𝑍_𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⁻¹(𝑝𝑝ⅈ) = ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}_𝑖𝑖,

gdzie wyrażenie ln_1−𝑝𝑝^{𝑝𝑝𝑖𝑖}

𝑖𝑖

𝑥𝑥²= ∑ (𝑂𝑂_𝑖𝑖− 𝐸𝐸_𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑖𝑖 )²,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

1 Ibidem, s. 74.

2 Ibidem, s. 80.

– odchylenie standardowe, n – liczba pomiarów.

Wyznaczone wartości statystyki i rozkładu chi-kwadrat wskazują na wartość parametru p, który następnie porównywany jest z poziomem istotności α.

H₀: badane zmienne są niezależne.

H₁: badane zmienne są zależne.

Jeśli p ≤ α, wówczas hipoteza H₀ zostaje odrzucona na rzecz hipotezy H₁ – ist-nieje związek pomiędzy zmiennymi.

Jeśli p ≥ α, wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀ – zmienne są niezależne.

8 G.S. Maddala, Limited-dependent and Qualitative Variables in Econometrics, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge 1983.

9 E. Babbie, Badania społeczne w praktyce, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007, s. 508.

4.2. Profil inwestora giełdowego na polskim

W dokumencie Efekty cenowe na polskim rynku kapitałowym (Stron 175-180)