Metodyka obliczeń

Nawiązując do opisu hazardu w 7.1 hazard H jest zdarzeniem zachodzącym, gdy dostawa ani wymiana nie zostaną ukończone w czasie oznaczonym jako rezerwa czasowa R_C.

Interesujące z punktu widzenia niezawodności parametry hazardu to:

• prawdopodobieństwo hazardu, czyli sytuacji, kiedy uszkodzony pojazd nie zostanie ani naprawiony, ani zastąpiony rezerwowym w ustalonym czasie:

P r(H) = P r(min(C0 + W, D) > R_C) (9.1) gdzie C0 to czas oczekiwania na rozpoczęcie wymiany (czyli czas oczekiwania na rezerwę). • średni czas hazardu E(HT) liczony od początku hazardu, czyli od przekroczenia rezerwy

czasowej przez awarię do chwili zakończenia wymiany bądź dostawy:

E(HT ) = E(F T | H) = E(min(C0 + W, D) | min(C0 + W, D) > R_C) − R_C (9.2) Nieznajomość zmiennej C0, wynikającej z czasu trwania poprzednich awarii, uniemożliwia dokładne wyznaczenie powyższych parametrów. Prawdopodobieństwo hazardu zostanie wyzna-czone w zależności od dwu wykluczających się zdarzeń: element zapasowy jest dostępny, gdy dochodzi do uszkodzenia (zachodzi AV ) oraz element zapasowy jest niedostępny, gdy dochodzi do uszkodzenia (N A). Stąd zgodnie z twierdzeniem o prawdopodobieństwie całkowitym:

P r(H) = P r(F T > R_C) = P r(H | AV )P r(AV ) + P r(H | N A)P r(N A) (9.3) System z rezerwą czasową można w dużym uproszczeniu postrzegać jako systemem kolejkowy, w którym zgłoszenia to kolejne awarie, podczas gdy proces obsługi to dostawa elementów na-prawionych [96]. Spostrzeżenie pozwoli na wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń N A i AV , które okażą się niezależne od czasu wymiany.

Gdyby zmienne A i D miały rozkłady wykładnicze, to naturalnym wyborem byłby model kolejkowy M/M/∞, dla którego istnieje rozwiązanie dokładne. W rozważanym przypadku, tj. gdy zmienne mogą mieć również rozkłady Weibulla, najlepiej pasuje G/G/∞, w którym czas obsługi może mieć dowolny rozkład, jednak ten nie posiada obecnie rozwiązania analitycznego i dlatego został odrzucony w dalszych oszacowaniach. W takiej sytuacji podjęto decyzję o przy-bliżeniu kolejki elementów oczekujących na rezerwę modelem M/G/∞ w następujący sposób.

9.1. METODYKA OBLICZEŃ 115

Niech A⁰ będzie zmienną wykładniczą odpowiadającą napływowi zgłoszeń, taką że:

E(A⁰) = E(A)

Współczynnik obciążenia modelu M/G/∞ można wtedy wyznaczyć korzystając ze wzorów na wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie Weibulla:

ρ = ^E(D) E(A⁰) ⁼ E(D) E(A) ⁼ λ_AΓ(1 + _k¹ D) λ_DΓ(1 + _k¹ A)

gdzie Γ to funkcja Gamma, a zmienne k i λ to parametry rozkładów Weibulla zmiennych lo-sowych A i D. Zmienna n oznacza liczbę wszystkich elementów rezerwowych. Model stanie się podstawą do wyznaczenia prawdopodobieństwa P_na zdarzenia: w systemie aproksymowanym modelem kolejkowym A⁰/D/∞ jest przynajmniej n zgłoszeń. W tym celu należy wyznaczyć

prawdopodobieństwa: P₀ - system jest pusty oraz P_k - w systemie jest dokładnie k uszkodzeń.

P0= e^−ρ (9.4)

Pk= P₀ρk

k! ^(9.5)

Jeżeli element rezerwowy jest niedostępny w chwili awarii, to system jest w stanie o indeksie n lub wyższym. Zatem szukane prawdopodobieństwa to:

P r(N A) = ∞ X k=n P_k= 1 − n−1 X k=0 P_k (9.6) P r(AV ) = 1 − P r(N A) (9.7) Przy obliczeniach średniego czasu hazardu skorzystano z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym w wariancie dla warunkowych zmiennych losowych:

E(HT ) = E(F T | H) − R_C (9.8) = E(F T | H ∩ AV )P r(AV | H) + E(F T | H ∩ N A)P r(N A | H) − R_C (9.9)

Analizując hazard bardziej naturalne jest poszukiwanie zdarzeń H | AV oraz H | N A zamiast odpowiednio AV | H oraz N A | H, dlatego wykorzystano twierdzenie Bayesa do odwrócenia zależności:

E(HT ) = E(F T | AV ∩ H)^{P r(H | AV )P r(AV )} P r(H) ⁺ E(F T | N A ∩ H)^{P r(H | N A)P r(N A)}

P r(H) ^{− RC}

W sytuacji, gdy element rezerwowy jest dostępny, wymiana rozpoczynana jest natychmiast:

116 ROZDZIAŁ 9. NIEZAWODNOŚĆ SYSTEMÓW Z REZERWĄ ZIMNĄ . . .

Obliczenie powyższego prawdopodobieństwa poprzedza wyznaczenie dystrybuanty zmiennej lo-sowej min(E, D):

F_min(E,D)(t) = F_E(t) + F_D(t) − F_E(t)F_D(t) (9.11) Korzystając z definicji dystrybuanty i równania 9.10:

P r(H | AV ) = 1 − F_min(E,D)(R_C) (9.12) Podobnie dla średniego czasu hazardu:

rezerwa jest dostępna −→ C = 0 −→ E(F T | H ∩ AV ) = E(min(E, D) | min(E, D) > R_C)

Korzystając z wyznaczonego już w 9.12 P r(H | AV ):

E(F T | H ∩ AV ) =

R+∞

RC tf_min(E,D)(t)dt 1 − F_min(E,D)(R_C) Gęstość zmiennej f_min(E,D) otrzymuje się z definicji:

f_min(E,D)(t) = d

dt^Fmin(E,D)(t)

rezerwa jest niedostępna −→ P r(H | N A) = P r(min(C + E, D) > R_C) (9.13)

fE(t) = λ_EkE(tλ_E)^k−1e^−(tλe)k

Do końca podrozdziału zakłada się, że zmienna C, oznaczająca czas oczekiwania w przypadku, gdy element rezerwowy jest niedostępny w chwili awarii, jest znana. Obliczenie gęstości sumy zmiennych losowych wymaga realizacji operacji splotu, co w dziedzinie liczb rzeczywistych defi-niuje się następująco:

f_(C+E)(t) = Z t

0

f_C(τ )f_E(t − τ )dτ

Aby jednak uniknąć wysokiej złożoności obliczeniowej splot liczony jest w dziedzinie liczb ze-spolonych według następującego schematu opisanego na przykładzie zmiennej E. W pierwszym kroku gęstość ciągłej zmiennej jest dyskretyzowana:

eq = λ_EkE qR Q^λ k−1 E e⁻ qR Qλ^k_e

W powyższym wzorze Q to całkowita liczba próbek, a q to numer próbki, dla której pobierana jest wartość gęstości. Stosunek _Q^q przebiega zasięg próbkowania wyznaczany jest na podstawie zmiennej C oraz stałej  oznaczającej maksymalny błąd całkowania gęstości zmiennej C:

Z ∞ R

9.1. METODYKA OBLICZEŃ 117

Następnie gęstość poddano Szybkiej Transformacie Fouriera. Spośród dostępnych w literaturze schematów wybrano algorytm Cooley’a–Tukey’iego [33] wymagający, aby Q było potęgą liczby 2. Algorytm pozwala na uzyskanie zespolonych reprezentacji gęstości (k - numer próbki):

C^(k) = Q−1 X q=0 cqexp  −i2πk^q Q  E^(k)= Q−1 X q=0 e_qexp  −i2πk^q Q 

Splot w dziedzinie liczb zespolonych jest operacją znacznie prostszą niż w dziedzinie liczb rzeczy-wistych. Do wyznaczenia zespolonej funkcji sumy wystarczy obliczyć iloczyny odpowiadających sobie składowych sumowanych zmiennych rzeczywistych:

EC^(k)= E^(k)C^(k)

Gęstość zmiennej C + E w dziedzinie rzeczywistej otrzymuje się po zastosowaniu odwrotnej transformaty Fouriera: f_(C+E)^(k) = ¹ Q Q−1 X q=0 EC^(q)exp  i2πk^q Q 

Całkując dyskretnie w odpowiednim zakresie powyższy wynik otrzymuje się dystrybuantę C + E w postaci dyskretnej: F_C+E^(k) = Q R k X q=1 f_(C+E)^(q)

Z kolei dystrybuantę zmiennej min(C + E, D) można znaleźć zgodnie ze schematem opisanym w równaniu 9.11. Niech K oznacza numer próbki dystrybuanty odpowiadającą rezerwie czasowej:

K = ^RC R ^Q

Prawdopodobieństwo hazardu, gdy element zapasowy jest niedostępny wyznacza się ostatecznie z definicji dystrybuanty oraz równania 9.13:

P r(H | N A) = 1 − F_min(C+E,D)^K

Średni czas hazardu przy braku elementu rezerwowego spełnia zależność:

rezerwa jest niedostępna −→ E(F T | H ∩ N A) = E(min(C + E, D) | min(C + E, D) > R_C) Stąd posiadając dyskretną dystrybuantę min(C + E, D) i posługując się wzorem na wartość oczekiwaną warunkowej zmiennej losowej:

E(F T | H ∩ N A) = R Q P+∞ q=K qR Qf_min(C+E,D)^(q) 1 − F_min(C+E,D)^(K)

Czynnik ^R_Q to wielkość ziarna pomiędzy dwiema próbkami, a ^qR_Q to liczba rzeczywista mniej-sza bądź równa R oznaczająca rzeczywistą współrzędną próbki. W następnych podrozdziałach zostaną opisane trzy metody znalezienia brakującej zmiennej C - a konkretniej - jej gęstości niezbędnej do wykonania operacji splotu.

118 ROZDZIAŁ 9. NIEZAWODNOŚĆ SYSTEMÓW Z REZERWĄ ZIMNĄ . . .