Miary ryzyka inwestycji

Niniejsza punkt poświęcony został omówieniu najważniejszych miar ryzyka inwestycji, wśród których największe znaczenie dla praktyków ma aktualnie wartość zagrożona (Value at Risk, VaR). Zanim formalnie przejdziemy do omówienia wspomnianych za-gadnień warto zaznaczyć, że będziemy zakładać, iż obserwowane w kolejnych odstę-pach czasu zwroty z inwestycji w instrumenty finansowe są realizacjami zmiennych losowych, przy czym zmienną i jej realizację będziemy oznaczać tym samym symbo-lem. Konwencja ta jest powszechnie stosowana w pracach z zakresu ekonometrii finan-sowej [Doman i Doman 2009].

45 2.2.2.1. Miary ryzyka w neutralnej koncepcji ryzyka

Do miar ryzyka odpowiadających neutralnej koncepcji ryzyka należy wariancja oraz odchylenie standardowe. Wariancja stopy zwrotu zdefiniowana jest jako wartość oczekiwana kwadratu odchylenia stopy zwrotu od jej wartości oczekiwanej:

^(2.5)

Stosowanie wariancji jako miary ryzyka jest kłopotliwe z punktu widzenia inter-pretacji (niezgodność jednostek). Z tego powodu częściej stosuje się odchylenie stan-dardowe stopy zwrotu zdefiniowane jako pierwiastek kwadratowy z wariancji:

(2.6)

Tak określona miara również nie jest pozbawiona wad. Ponieważ odchylenia stopy zwrotu od wartości oczekiwanej podnosi się do kwadratu, w przypadku wystąpie-nia obserwacji nietypowych miara ta może zawyżać wielkość ryzyka.

Odchylenie przeciętne stopy zwrotu zdefiniowane jest w taki sposób, by unik-nąć wspomnianej wady, którą posiada odchylenie standardowe. Formuła definiująca odchylenie przeciętne ma postać:

(2.7)

Odchylenie przeciętne stopy zwrotu, podobnie jak odchylenie standardowe, nie spełnia jednak warunku monotoniczności [Ortobelli i in. 2005], oznaczającego, że jeśli poten-cjalny zysk lub strata z danej inwestycji X jest mniejsza niż zysk, lub strata z inwestycji Y, to zależność ta zachowana jest także pomiędzy ryzykiem wyznaczonym dla X i dla Y.

Współczynnik zmienności stopy zwrotu w przeciwieństwie do wcześniejszych miar ryzyka jest miarą ryzyka względnego. Interpretuje się go jako wielkość ryzyka przypadającego na jednostkę stopy zwrotu:

^(2.8)

Miara ta jest jednak bardzo problematyczna − w sytuacji, gdy wartość oczekiwana jest równa zero, ryzyka nie da się określić. Ponadto, gdy średni zwrot jest mniej-szy od zera, otrzymujemy ujemne oszacowanie ryzyka.

46 2.2.2.2. Miary ryzyka w negatywnej koncepcji ryzyka

Semiwariancja i semiodchylenie standardowe stopy zwrotu są miarami alternatywny-mi do omówionych w poprzednim podrozdziale wariancji i odchylenia standardowego, które stosuje się w odniesieniu do negatywnej koncepcji ryzyka.

Semiwariancja i semiodchylenie standardowe ujemne stanowi miarę ryzyka dla inwestora będącego w pozycji długiej, dla którego niekorzystne byłyby spadki cen in-strumentu finansowego. Semiwariancja ujemna zdefiniowana jest jako:

^(2.9)

(2.10)

Analogicznie można zdefiniować semiwariancję i semiodchylenie standardowe dodatnie, będące miarami ryzyka dla inwestora będącego w pozycji krótkiej, dla które-go niekorzystne byłyby wzrosty cen instrumentu finansowektóre-go.

Semiodchylenie przeciętne stopy zwrotu, podobnie jak poprzednio pozwala uniknąć zawyżenia ryzyka. Zdefiniowane jest również w odniesieniu do pozycji długiej i krótkiej:

(2.11)

(2.12)

Z konstrukcji omówionych miar wynika oczywiście, że charakteryzują sie taki-mi samytaki-mi wadataki-mi, jak wariancja, odchylenie standardowe i przeciętne odpowiednio.

Wartość zagrożona, w skrócie VaR (ang. Value at Risk), dla inwestycji ozna-cza maksymalną stratę, na jakie narażona jest inwestycja w rozpatrywanym horyzoncie czasowym, przy założonym niewielkim prawdopodobieństwie przekroczenia tej straty [Jorion 2009].

Wyznaczenie wartości zagrożonej wymaga zatem określenia dwóch parame-trów: horyzontu czasowego oraz poziomu ufności. Zwykle przyjmuje się horyzont cza-sowy od jednego do dziesięciu dni (banki w odniesieniu do ryzyka rynkowego), mie-sięczny (fundusze inwestycyjne), roczny (w odniesieniu do ryzyka kredytowego). Po-ziom tolerancji zwykle jest narzucony przez organy nadzorujące instytucje finansowe i ustalające standardy w procesie zarządzania ryzykiem. Zgodnie z wytycznymi Nowej

47 Umowy Kapitałowej [Basel Committee of Banking Supervision 2003, s. 62] banki wy-znaczają wartość zagrożoną na poziomie tolerancji 1%, jednakże często stosowany przez inne instytucje, czy też niezależnych inwestorów poziom wynosi 5%.

Formalna, matematyczna definicja wartości zagrożonej sformułowana jest na-stępująco. Przez wartość zagrożoną portfela o wartości w momencie t na poziomie tolerancji (lub na poziomie ufności ) dla jednodniowego horyzontu cza-sowego rozumie się liczbę , która spełnia poniższe równanie:

(2.13)

gdzie oznacza prawdopodobieństwo, które musi być wyliczone w ramach przyjętego modelu. Wartość zagrożona, określana również jako wartość narażona na ryzyko wskazuje zatem, jak wysoka może być strata z rozpatrywanej inwestycji przy założonym niewielkim prawdopodobieństwie osiągnięcia lub przekroczenia tej war-tości.

Często zamiast wartości zagrożonej odnoszącej sie do wartości portfela, równa-nie definiujące VaR odnosi się do zwrotów z inwestycji. Rozważmy procentowe zwro-ty proste

. Wówczas równanie (2.11) przybiera postać:

(2.14)

gdzie

oznacza procentową wartość zagrożoną.

W badaniach naukowych dotyczących finansowych szeregów czasowych, jak również w niniejszej pracy, częściej używane są procentowe zwroty logarytmiczne. Przy takim ujęciu równanie (2.14) jest w przybliżeniu równoważne:

(2.15)

a zatem – jest -kwantylem bezwarunkowego rozkładu procentowego zwrotu logarytmicznego . Należy pamiętać, że powyższe przybliżenie jest dopuszczalne jedy-nie dla jedy-niewielkich zwrotów, a popełniony błąd kumuluje się wraz ze zwiększajedy-niem horyzontu prognozy. Najczęściej, gdy horyzont czasowy prognozy jest krótki takie przybliżenie jest dopuszczalne [Osiewalski i Pajor 2010]. W części empirycznej niniej-szej pracy oszacowania wartości zagrożonej dotyczyć będą jednodniowego horyzontu czasowego i z tego względu uznajemy za dopuszczalne stosowanie procentowych zwro-tów logarytmicznych.

48 To, czy dana sytuacja na rynku stanowi zagrożenie dla inwestora zależy od tego, jaką zajmuje on pozycję. Wcześniejsze rozważania dotyczyły zatem zazwyczaj rozpa-trywanej sytuacji inwestora będącego w pozycji długiej. Biorąc pod uwagę możliwości inwestowania w przeciwnej pozycji, zastosujemy odrębne oznaczenia na wartość zagro-żoną dla inwestora zajmującego pozycję długą i krótką: odpowiednio jako i . Ponieważ rozpatrywanie rozkładów bezwarunkowych w przypadku analizy finansowych szeregów czasowych, które charakteryzują się zgrupowaniami zmienności, nie jest wystarczające, prognozy wartości zagrożonej wyznaczymy za pomocą rozkła-dów warunkowych.

Niech oznacza zbiór informacji dostępnych do momentu t włącznie. Wów-czas:

^(2.16)

Powyższa definicja ma tę wadę, że nie określa jednoznacznie wartości zagrożonej w sytuacji, gdy rozkład warunkowy charakteryzuje dystrybuanta, która nie jest ściśle rosnąca lub ciągła. W takiej sytuacji, można zastosować alternatywną definicję wartości narażonej na ryzyko, która tej wady jest pozbawiona:

^(2.17)