Model Blacka-Scholesa

Rynek instrumentów pochodnych zawdzięcza swój rozkwit m.in. modelowi wyceny instrumentów pochodnych Blacka-Scholesa (w 1997 r. Myron Scholes wraz z Robertem Mertonem za badania dotyczące wyceny derywatów otrzymali nagrodę Nobla z ekonomii; Fischer Black zmarł w 1995 r.). Pomimo wad model ten jest jednym z najczęściej stosowanych modeli wyceny.

Założenia modelu:

1) inwestor w każdej chwili może zakupić dowolną (nawet niecałkowitą) ilość akcji (instrument bazowy) i instrumentu wolnego od ryzyka,

2) dozwolona jest krótka sprzedaż,

3) brak kosztów transakcyjnych (w tym podatków),

4) inwestor może pożyczać i lokować kapitał po tej samej stałej stopie (in-tensywności) wolnej od ryzyka,

5) brak dywidendy,

6) ewolucja cen akcji jest geometrycznym ruchem Browna (stochastyczne rów-nanie różniczkowe rozumiane jest w sensie Ito) [3; 6]:

t t t

t S dt SdW

dS =μ +σ (1)

gdzie:

μ _{− dryf,} σ − zmienność,

S t − cena akcji, Wt − proces Wienera,

7) na rynku (instrument wolny od ryzyka, akcja, instrument pochodny) nie wy-stępuje arbitraż, tzn. nie można osiągnąć zysku bez narażania się na ryzyko.

Pierwsze założenie nie jest realistyczne, gdyż nie można zakupić/sprzedać niecałkowitej liczby akcji. Założenia tego nie możemy opuścić, gdyż w wy-prowadzenie równania Blacka-Scholesa „zaszyta” jest koncepcja replikacji, tzn.

konstrukcja portfela imitującego wyceniany instrument. W praktyce inwestorzy posiadają w swoich portfelach wiele identycznych derywatów, z których każdy opiewa np. na zakup lub sprzedaż 100 akcji. Skutkiem tego jest duża (naj-prawdopodobniej niecałkowita) liczba akcji w portfelu replikującym. Ponieważ niemożliwy jest zakup/sprzedaż niecałkowitej liczby akcji, pożądana liczba akcji w portfelu replikującym jest zaokrąglana do liczby całkowitej. Podczas tej fazy wprowadza się błąd rzędu ułamka promila, co sprawia że powyższe założenie możemy zaakceptować.

W pierwszym założeniu ukryte jest również założenie doskonałej płynności rynku, co oznacza równowagę popytu i podaży.

Drugie założenie w zasadzie zawiera się w pierwszym, jednak ze względu na jego istotność autorzy postanowili je wyeksponować.

Trzecie założenie odgrywa istotną rolę, gdyż wraz z upływem czasu zmie-nia się skład portfela replikującego (dynamiczny hedging). Uwzględnienie kosz-tów transakcyjnych sprawia, że doskonała replikacja nie jest możliwa. Za-gadnienie wyceny w otoczeniu ekonomicznym z kosztami transakcyjnymi sprowadza się do rozwiązania zagadnienia optymalnego sterowania lub po za-stosowaniu pewnych aproksymacji do nieliniowego cząstkowego równania róż-niczkowego. Ponieważ w przypadku „dużych” portfeli inwestorzy mogą wy-negocjować niskie koszty transakcyjne, założenie nie wprowadza istotnego odstępstwa od realiów rynkowych.

Czwarte założenie składa się de facto z dwóch założeń: istnieje instrument wolny od ryzyka oraz stopa oprocentowania tego instrumentu jest jednakowa dla lokaty i pożyczki (cena „zakupu” i cena „sprzedaży” jest identyczna). Przyjmuje się, że za instrument pozbawiony ryzyka można przyjąć instrumenty rządowe (emitowane przez skarb państwa). Wydarzenia ostatnich kilku lat sprawiły, że do powyższej reguły powinniśmy podchodzić z rezerwą (Islandia, Grecja, Wło-chy). Należy jednak pamiętać, że na ryzyko tych papierów wpływają czynniki makroekonomiczne, a sygnały o pogarszającej się sytuacji emitenta są identyfi-kowalne z wyprzedzeniem. Oznacza to, że jeżeli parametry makroekonomiczne emitenta nie wskazują na jego złą kondycję, możemy założyć, że wyemitowany przez niego instrument będzie praktycznie pozbawiony ryzyka w okresie uzależ-nionym od charakteru przeprowadzonej analizy makroekonomicznej.

Równość stóp wynika przede wszystkim z pierwszego założenia (płyn-ność/równowaga) oraz faktu, iż jest to instrument pozbawiony ryzyka.

Piąte założenie stanowi istotne odstępstwo od realiów rynkowych, nie jest to jednak argument za odrzuceniem modelu. Omawiana tu wersja modelu wyce-ny jest jedną z najprostszych. Uwzględnienie dywidendy nie stanowi dużego problemu (pozostaje problem modelowania przyszłej dywidendy).

Szóste założenie wynika po pierwsze z faktu, iż w przypadku niewielkiej niepewności przyszłej ceny (σ <<1) ewolucja ceny powinna być zgodna z za-sadą kapitalizacji ciągłej, po drugie, żądanie stacjonarności infinitezymalnych stóp zwrotu

= ⁺ znacznie upraszcza rozważania/obliczenia. Po trzecie, proces Wienera był i jest nadal jednym z najlepiej poznanych i spo-pularyzowanych procesów stochastycznych. Oczywiście kierowano się również zgodnością z rzeczywistą dynamiką cen (rozkład stóp zwrotu jest rozkładem lo-garytmiczno-normalnym). Należy podkreślić, że skonstruowano również modele lepiej odzwierciedlające dynamikę cen instrumentu bazowego oraz ceny de-rywatów. W niniejszym opracowaniu założono, że parametry modelu stopa wolna od ryzyka, dryf oraz zmienność są stałe, jednak nic nie stoi na prze-szkodzie, aby modelować je deterministycznymi funkcjami czasu lub procesami losowymi. Warto podkreślić, że z szóstego założenia wynika również, że pod-miot, który wyemitował akcję nie może zbankrutować, gdyż cena akcji jest zaw-sze większa od zera − rozwiązanie równania (1) jest więkzaw-sze od zera:

0

Założenie braku arbitrażu jest jednym z filarów metod wyceny. Sformuło-wanie: „nie można osiągnąć ponadprzeciętnych zysków bez narażania się na ryzyko” oznacza, że np. w sytuacji, gdy początkowa wartość nakładów jest większa od zera, wartość stopy zwrotu nie może być tylko większa lub równa od stopy instrumentu wolnego od ryzyka, przy czym prawdopodobieństwo, że stopa zwrotu z inwestycji w portfel będzie większa od stopy wolnej od ryzyka jest do-datnie. Podobnie jak większość omówionych wcześniej założeń nie jest ono za-łożeniem realistycznym. W realiach rynkowych występuje arbitraż, a graczy wykorzystujących możliwość osiągnięcia zysku bez narażania się na ryzyko na-zywa się arbitrażystami. Niemniej jednak w dobie powszechnej informatyzacji sytuacje, w których można osiągnąć zysk ze strategii arbitrażowej występują stosunkowo krótko. Mechanizm podażowo-popytowy sprawia, iż arbitraż zanika bardzo szybko. Stąd stwierdzamy, że założenie to jest akceptowalne.

Ponieważ jedynymi zmiennymi są czas t i cena instrumentu bazowego ,S możemy założyć, że cena derywatu będzie funkcją czasu i ceny akcji ^{V , .}

( )

Z lematu Ito [6] wynika, że ewolucja ceny instrumentu pochodnego będzie dana następującym stochastycznym równaniem różniczkowym (pominięto argumenty

( )

gdzie dW jest identyczny z przyrostem procesu Wienera występującym we wzorze (1). Oznacza to możliwość skonstruowania portfela pozbawionego nie-pewności, czyli również ryzyka (niepewność jest warunkiem koniecznym wy-stąpienia ryzyka).

Załóżmy, że wystawiliśmy opcję i zamierzamy zneutralizować ryzyko krót-kiej pozycji (hedging dynamiczny) dokonując zakupu pewnej liczby akcji .Δ Ewolucja wartości tak skonstruowanego portfela P=ΔS−V dana jest wzorem (wymagamy również, aby portfel był portfelem samofinansującym, w prze-ciwnym przypadku występowałby instrument nieuwzględniony na naszym ryn-ku):

Jak łatwo zauważyć, dobierając liczbę akcji Δ tak, aby S V

∂

=∂

Δ sprawimy, że stochastyczne równanie różniczkowe (4) nie będzie zawierało czynnika od-powiadającego za losowość (ryzyko):

S dt

Ponieważ wartość tak skonstruowanego portfela ewoluuje w sposób de-terministyczny (wolny od ryzyka), jego dynamika musi być identyczna z dy-namiką wartości instrumentu wolnego od ryzyka. W przeciwnym przypadku można by skonstruować strategię arbitrażową (jedno z założeń wykluczało wy-stąpienie arbitrażu). Oznacza to, że:

dt

Ostatecznie otrzymujemy (dzieląc przez dt >0):

2 0

Uzupełniając powyższe równanie (Blacka-Scholesa) o odpowiedni warunek (końcowy, brzegowy) i rozwiązując powyższe równanie różniczkowe cząstkowe otrzymamy formułę wyceny instrumenty pochodnego.

Na podkreślenie zasługuje fakt, że aktualna wartość opcji nie zależy od współczynnika dryfu ,μ lecz jedynie od stopy wolnej od ryzyka, zmienności, czasu, aktualnej ceny akcji i parametrów pochodzących z warunków końcowych i brzegowych. Oznacza to, że wartość opcji jest wielkością deterministyczną, w pełni determinowaną powyższymi parametrami.