WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW
2. Przedziałowe oszacowanie ceny opcji
W praktyce nie znamy rzeczywistych wartości zmienności σ i stopy wol-nej od ryzyka .r Niniejsze opracowanie dotyczy jedynie przypadku nieznanej wartości zmienności. W celu jego oszacowania stosuje się narzędzia analizy statystycznej. Ponieważ immanentną cechą procedur statystycznych jest nie-pewność otrzymanych wielkości, nienie-pewność oszacowania zmienności pro-paguje się na oszacowanie ceny opcji V
(
S,t,σ,r,...)
, gdzie kropki oznaczają zależność od parametrów występujących w warunkach końcowym oraz brze-gowym.W przypadku europejskich opcji waniliowych call i put wyznaczenie prze-działów ufności ich cen nie przedstawia trudności, gdyż ich ceny są rosnącymi funkcjami zmienności (dla t<T) [4]:
N − dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego (N'
()
. − gęstość standardowego rozkładu normalnego).Oszacowania przedziałowe cen mają w tym przypadku postać (poziom ufności wynosi 0,95; symetryczny podział istotności):
( ) ( )
(
V S,t,σ0,025 , V S,t,σ0,975)
(10) gdzie:V − wartość opcji call/put,
( )
⎟⎟⎠
D lnˆ2 S − wartość nieobciążonego estymatora wariancji logarytmicznych stóp zwrotu,
n − liczebność próby,
Δt − odstęp czasu między notowaniami (w opracowaniu przyjęto
250
= 1
Δt ).
Warto podkreślić, że wielkości 2
2
σα i 2
1α2
σ− nie są kwantylami kwadratu zmienności (zmienność σ jest wielkością deterministyczną), lecz są końcami przedziału, który na zadanym poziomie ufności pokrywa rzeczywistą wartość kwadratu zmienności.
W ogólności wartość instrumentu pochodnego nie jest monotoniczną funk-cją zmienności. Można wtedy zastosować wzory transformacyjne dla prawdo-podobieństw lub gęstości, wymaga to jednak znajomości punktów, w których zmienia się rodzaj monotoniczności ceny instrumentu pochodnego. Autorzy wy-korzystali rozwiązanie symulacyjne. Wygenerowane kwadraty zmienności pod-stawiano do wzoru na wartość opcji, a następnie wyznaczono empiryczne kwan-tyle cen.
Przykładowe wykresy zaprezentowano dla europejskiej opcji call Cash-or- -Nothing (członek większej rodziny opcji typu binary/digital). Profil wypłaty tej opcji ma postać [4]: jest ceną instrumentu bazowego (akcji) w dniu wykonania opcji.
Cena wyznaczona z modelu Blacka-Scholesa dana jest wzorem [4]:
( )
( )
Obliczając pochodną
W przypadku, gdy w mieszaną monotoniczność Rysunek 1 przedstaw od czasu do wykonania
04
Rys. 1. Przedziałowe oszacowa konania. Wartości pozos
ze względu na zmienność otrzymujemy:
( ) ( )
wia przedziałowe oszacowanie ceny opcji w zależn t
T− (n=100, K=1,1, X =2, S=1, r=0
).
anie ceny europejskiej opcji digital w zależności od czasu stałych parametrów w tekście
(13)
wy-Zauważmy, że rozpiętość przedziału ufności ma minimum lokalne w okoli-cach czasu równego około 1,4. W okoliokoli-cach tego czasu do wykonania znajduje się miejsce zerowe pochodnej (minimum wrażliwości ceny ze względu na zmienność). Gdyby wyznaczyć aproksymację odchylenia standardowego roz-kładu cen okazałoby się, że z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu jego wartość wynosi zero. Oznacza to, że w okolicach minimum wrażliwości należy stosować aproksymacje co najmniej drugiego rzędu (proste wprowadzenie do poruszonej wyżej techniki aproksymacji można znaleźć np. w [2]).
Rysunek 2 przedstawia stosunek oszacowania punktowego ceny opcji do rozpiętości przedziału ufności (wartości parametrów jak wyżej).
Rys. 2. Stosunek oszacowania punktowego do rozpiętości przedziału ufności w zależności od cza-su wykonania. Wartości pozostałych parametrów w tekście
Jak wynika z rys. 2, największą względną dokładność otrzymujemy dla czasu do wykonania wynoszącego około 1,4. Błąd oszacowania mierzony roz-piętością przedziału stanowi ułamek procenta oszacowania punktowego, jednak dla większości czasów błąd ten jest rzędu 10% oszacowania punktowego.
Rysunek 3 przedstawia oszacowanie przedziałowe ceny opcji dla różnych wartości ceny wykonania (n=100, T− t=1, X =2, S=1, r=0,05,
04 , 0 ˆ ln
ˆ
2
2 =
Δ
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
=
Δ +
t S D S
t t t
σ ).
Rys. 3. Przedziałowe oszacowanie ceny europejskiej opcji digital w zależności od ceny wykona-nia. Wartości pozostałych parametrów w tekście
Podobnie jak poprzednio, minimum lokalne rozpiętości przedziału osiągane jest punkcie, w którym Vega opcji jest równa zero (K≈1,07).
Rysunek 4 przedstawia stosunek punktowego oszacowania do rozpiętości przedziału ufności w zależności od ceny wykonania (parametry, jak w przy-padku rys. 3).
Podobnie jak wyżej zauważamy, że najmniejszy względny błąd oszacowa-nia (poniżej jednego procenta) ceny osiągany jest (lokalnie) w okolicach ceny wykonania równej 1,07, jednak w przeważającej części obszaru (wykresu), w którym opcja jest out-of-the-money wartość względnego błędu jest rzędu kil-kudziesięciu procent.
Rys. 4. Stosunek oszacowania punktowego do rozpiętości przedziału ufności w zależności od ceny wykonania. Wartości pozostałych parametrów w tekście
Jak można było zauważyć w powyższych rozważaniach, rozpiętość oszaco-wania przedziałowego ceny opcji jest nietrywialną funkcją parametrów rynko-wych.
Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca nie przedstawiono oszacowań prze-działowych w zależności od pozostałych parametrów.
Podsumowanie
W większości opracowań poruszających wycenę instrumentów pochodnych podawane są tylko wzory analityczne na wartość derywatu. Spory odsetek prac porusza również analizę wrażliwości ceny na zmiany wartości parametrów.
Omówiona praca jest jedną z niewielu, w których autorzy przedstawiają pro-pagację błędu oszacowania parametrów stochastycznej ewolucji ceny instrumen-tu bazowego na cenę derywainstrumen-tu. Przeprowadzona analiza pokazuje, że zależność błędu oszacowania mierzonego rozpiętością przedziału ufności od parametrów modelu jest nietrywialna. Można się spodziewać, że w przypadku opcji o bar-dziej skomplikowanej funkcji wypłaty (np. w przypadku opcji egzotycznych, koszykowych) oraz w bardziej realistycznych modelach stochastycznej dy-namiki złożoność zależności będzie wyższa od przedstawionej w pracy.
Literatura
1. Bjork T., Arbitrage theory in continuous time, Oxford University Press 2009.
2. Casella G., Berger R.L., Statistical inference, Cengage Learning 2009.
3. Czernik T., Skazani na formalizm Ito?, w: Metody matematyczne, ekonometryczne i informatyczne w finansach i ubezpieczeniach, red. P. Chrzan, Akademia Ekono-miczna, Katowice 2006.
4. Haug E.G., The complete option pricing formulas, McGraw-Hill 2007.
5. Latane H., Rendleman R., Standard deviations of stock price ratios implied in option prices, „J. Finance” 1976, No. 31.
6. Oksendal B., Stochastic differential equations, Springer 2007.
7. Rubinstein M., Implied Binomial Trees, „Journal of Finance” 1994, Vol. 49, No. 3.
8. Shreve S.E., Stochastic calculus for finance. Continuous-time model, Springer 2008.
9. Sobczyk M., Statystyka, PWN, Warszawa 2002.
ASSESS THE IMPACT OF UNCERTAINTY