W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1
2m~v2− −e2 r
!
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1
2m~v2− −e2 r
!
= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+ e2 r ,
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1 w jednostkach, w których współczynnik k = 1/(4πε0) w prawie Coulomba jest bezwymiarowy i wynosi k = 1.
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1 w jednostkach, w których współczynnik k = 1/(4πε0) w prawie Coulomba jest bezwymiarowy i wynosi k = 1.
Ruch elektronu odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do jego orbitalnego momentu pędu,
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1 w jednostkach, w których współczynnik k = 1/(4πε0) w prawie Coulomba jest bezwymiarowy i wynosi k = 1.
Ruch elektronu odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do jego orbitalnego momentu pędu,którą wybierzemy jako płaszczyznę xOy.
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1 w jednostkach, w których współczynnik k = 1/(4πε0) w prawie Coulomba jest bezwymiarowy i wynosi k = 1.
Ruch elektronu odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do jego orbitalnego momentu pędu, którą wybierzemy jako płaszczyznę xOy.
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒ ( ˙x
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x =
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y =
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r .
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1 Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną,
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1 oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1 oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d dt
∂L
∂ ˙ϕ− ∂L
∂ϕ = 0
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1 oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1 oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1 oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1 oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d
Model Bohra atomu wodoru
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1 oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ˙
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ˙= rmr ˙ϕ
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ= rmv
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Skorzystajmy ze wzoru na pϕ.
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Skorzystajmy ze wzoru na pϕ. pϕ= mr2ϕ˙
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Skorzystajmy ze wzoru na pϕ.
pϕ= mr2ϕ˙ ⇒ ϕ =˙ pϕ
mr2 .
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Skorzystajmy ze wzoru na pϕ.
pϕ= mr2ϕ˙ ⇒ ϕ =˙ pϕ
mr2 .
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
=
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2 r
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2 r
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2 m2r4
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2
m2r4 = pϕ2 mr3.
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1 gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Przy przejściach pomiędzy dwoma dozwolonymi poziomami o energiachEn i Em, n > m, zostanie wyemitowany foton o energii
hν = En− Em.
n= 1 – stan podstawowy ⇒ E1 = −R/12 = −R.
Model Bohra atomu wodoru
Przy przejściach pomiędzy dwoma dozwolonymi poziomami o energiachEn i Em, n > m, zostanie wyemitowany foton o energii
hν = En− Em.
n= 1 – stan podstawowy ⇒ E1 = −R/12 = −R.
Aby zjonizować atom wodoru znajdujący się w stanie podstawowym trzeba dostarczyć elektronowi energię+R.
Model Bohra atomu wodoru
Przy przejściach pomiędzy dwoma dozwolonymi poziomami o energiachEn i Em, n > m, zostanie wyemitowany foton o energii
hν = En− Em.
n= 1 – stan podstawowy ⇒ E1 = −R/12 = −R.
Aby zjonizować atom wodoru znajdujący się w stanie podstawowym trzeba dostarczyć elektronowi energię+R.
Promień Bohra
r1= ~2
me2 ≡ a0 = 5.23 × 10−11m.
Model Bohra atomu wodoru
Przy przejściach pomiędzy dwoma dozwolonymi poziomami o energiachEn i Em, n > m, zostanie wyemitowany foton o energii
hν = En− Em.
n= 1 – stan podstawowy ⇒ E1 = −R/12 = −R.
Aby zjonizować atom wodoru znajdujący się w stanie podstawowym trzeba dostarczyć elektronowi energię+R.
Promień Bohra
r1= ~2
me2 ≡ a0 = 5.23 × 10−11m.
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Z
0
pϕdϕ = nh, n= 1, 2, 3, ...
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π