Narodziny mechaniki kwantowej
Wykład 1
Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice
http://kk.us.edu.pl
Literatura
L.I. Schiff, Mechanika Kwantowa
K. Zalewski, Mały Wykład z Mechaniki Kwantowej R.L. Liboff, Wstęp do Mechaniki Kwantowej
S. Brandt, H.D. Dahmen, Mechanika Kwantowa w Obrazach Julian Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej
A. Messiah, Quantum Mechanics A. Bohm, Quantum Mechanics
J.B. Brojan, J. Mostowski, K. Wódkiewicz, Zbiór zadań z mechaniki kwantowej
i wiele innych podręczników
Problemy fizyki klasycznej
Na początku XX wieku przeważającą większość znanych faktów doświadczalnych można było wyjaśnić w oparciu o ówczesną wiedzę fizyczną, obecnie zwanąklasyczną fizyką teoretyczną.
Trudności z poprawnym opisem teoretycznym dotyczyły głównie:
braku zadowalającego modelu atomu,
braku zadowalającego opisu świeżo odkrytych promieni Roentgena i promieniotwórczości naturalnej,
problemu w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego,
ciepła właściwego ciał stałych w niskich temperaturach, występowania tylko 5 stopni swobody w ruchu cząsteczki dwuatomowej w temperaturze pokojowej.
Problemy fizyki klasycznej
Na początku XX wieku przeważającą większość znanych faktów doświadczalnych można było wyjaśnić w oparciu o ówczesną wiedzę fizyczną, obecnie zwanąklasyczną fizyką teoretyczną.
Trudności z poprawnym opisem teoretycznym dotyczyły głównie:
braku zadowalającego modelu atomu,
braku zadowalającego opisu świeżo odkrytych promieni Roentgena i promieniotwórczości naturalnej,
problemu w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego,
ciepła właściwego ciał stałych w niskich temperaturach, występowania tylko 5 stopni swobody w ruchu cząsteczki dwuatomowej w temperaturze pokojowej.
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
W roku 1900 Planckowi udało się wyjaśnić problemy w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego przy założeniu, że promieniowanie elektromagnetyczne może być emitowane jedynie w postaci tzw. kwantów o energii
E = hν = ~ω,
gdzie ω = 2πν jest częstością kołową, ν - częstością promieniowania,
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
W roku 1900 Planckowi udało się wyjaśnić problemy w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego przy założeniu, że promieniowanie elektromagnetyczne może być emitowane jedynie w postaci tzw. kwantów o energii
E = hν = ~ω,
gdzie ω = 2πν jest częstością kołową, ν - częstością promieniowania,a
~= h 2π gdzieh jest stałą.
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
W roku 1900 Planckowi udało się wyjaśnić problemy w opisie widma promieniowania ciała doskonale czarnego przy założeniu, że promieniowanie elektromagnetyczne może być emitowane jedynie w postaci tzw. kwantów o energii
E = hν = ~ω,
gdzie ω = 2πν jest częstością kołową, ν - częstością promieniowania, a
~= h 2π gdzieh jest stałą.
Stała Plancka
Później okazało się, żestała Plancka h jest uniwersalną stałą fizyczną:
h = 6.626 070 040(81) × 10−34J· s Częściej używa sięzredukowanej stałej Plancka ~ = 2hπ:
~ = 1.054 571 800(13) × 10−34J· s
= 6.582 119 514(40) × 10−22MeV· s
Particle Data Group Booklet 2018.
Stała Plancka
Później okazało się, żestała Plancka h jest uniwersalną stałą fizyczną:
h = 6.626 070 040(81) × 10−34J· s Częściej używa sięzredukowanej stałej Plancka ~ = 2hπ:
~ = 1.054 571 800(13) × 10−34J· s
= 6.582 119 514(40) × 10−22MeV· s
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Rozważmy zamknięty, pusty zbiornik z małym okienkiem w ściance, umieszczony w piecyku o jednorodnej temperaturze.Po wyrównaniu temperatur wnęka zachowuje się jak ciało doskonale czarne, które doskonale emituje i absorbuje promieniowanie elektromagnetyczne.
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Rozważmy zamknięty, pusty zbiornik z małym okienkiem w ściance, umieszczony w piecyku o jednorodnej temperaturze. Po wyrównaniu temperatur wnęka zachowuje się jak ciało doskonale czarne, które doskonale emituje i absorbuje promieniowanie elektromagnetyczne.
Całkowita energia tego promieniowania w temperaturze T na jednostkę objętości wnęki w dowolnej chwili czasu dana jest wzorem:
U(T ) =
∞
Z
0
u(ω, T )dω,
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Rozważmy zamknięty, pusty zbiornik z małym okienkiem w ściance, umieszczony w piecyku o jednorodnej temperaturze. Po wyrównaniu temperatur wnęka zachowuje się jak ciało doskonale czarne, które doskonale emituje i absorbuje promieniowanie elektromagnetyczne.
Całkowita energia tego promieniowania w temperaturze T na jednostkę objętości wnęki w dowolnej chwili czasu dana jest wzorem:
U(T ) =
∞
Z
0
u(ω, T )dω,
u(ω, T )- energia na przedział częstości i na jednostkę objętości,
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Rozważmy zamknięty, pusty zbiornik z małym okienkiem w ściance, umieszczony w piecyku o jednorodnej temperaturze. Po wyrównaniu temperatur wnęka zachowuje się jak ciało doskonale czarne, które doskonale emituje i absorbuje promieniowanie elektromagnetyczne.
Całkowita energia tego promieniowania w temperaturze T na jednostkę objętości wnęki w dowolnej chwili czasu dana jest wzorem:
U(T ) =
∞
Z
0
u(ω, T )dω,
u(ω, T )- energia na przedział częstości i na jednostkę objętości,
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
,
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
, gdzie
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
, gdzie
T jest temperaturą w skali bezwzględnej,
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
,
gdzie
T jest temperaturą w skali bezwzględnej, c prędkością światła w próżni, a
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
,
gdzie
T jest temperaturą w skali bezwzględnej, c prędkością światła w próżni, a
kB stałą Boltzmanna:
kB = 1.380 648 52(79) × 1023J
K ≈1.38 × 1023J K.
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
u(ω, T )dω jest energią na jednostkę objętości przypadająca na fale elektromagnetyczne o częstości w przedziale(ω, ω + dω).
Planck podał poprawny wzór na u(ω, T )
u(ω, T ) = ~ω3 π2c3
1 e
~ω kB T − 1
,
gdzie
T jest temperaturą w skali bezwzględnej, c prędkością światła w próżni, a
kB stałą Boltzmanna:
kB = 1.380 648 52(79) × 1023J
K ≈1.38 × 1023J K.
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Wzór podany przez Plancka doskonale zgadza się z doświadczeniem.
Zawiera on w sobie założenie, że promieniowanie
elektromagnetyczne emitowane jest w postaci kwantów o energii
~ω,
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Wzór podany przez Plancka doskonale zgadza się z doświadczeniem.
Zawiera on w sobie założenie, że promieniowanie
elektromagnetyczne emitowane jest w postaci kwantów o energii
~ω, którego sam Planck długo nie potrafił zaakceptować.
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Wzór podany przez Plancka doskonale zgadza się z doświadczeniem.
Zawiera on w sobie założenie, że promieniowanie
elektromagnetyczne emitowane jest w postaci kwantów o energii
~ω, którego sam Planck długo nie potrafił zaakceptować.
Kwanty promieniowania
Pojęciekwantów promieniowania zostało użyte przez Einsteina do opisuzjawiska fotoelektrycznego.
Maksymalna energia kinetycznaTmax elektronów wybitych z powierzchni metalu przez kwant światła (foton) o energiihν:
Tmax= eV0 = hν − W ,
W – praca wyjścia – minimalna energia elektronu, przy której może on opuścić metal,
V0 – napięcie, przy którym ustaje prąd fotoelektryczny.
Kwanty promieniowania
Pojęciekwantów promieniowania zostało użyte przez Einsteina do opisuzjawiska fotoelektrycznego.
Maksymalna energia kinetycznaTmax elektronów wybitych z powierzchni metalu przez kwant światła (foton) o energiihν:
Tmax= eV0 = hν − W ,
W – praca wyjścia – minimalna energia elektronu, przy której może on opuścić metal,
V0 – napięcie, przy którym ustaje prąd fotoelektryczny.
Wykorzystano je również w modelachEinsteina (1907 r.) i Debye’a (1912) ciepła właściwego ciał stałych
Kwanty promieniowania
Pojęciekwantów promieniowania zostało użyte przez Einsteina do opisuzjawiska fotoelektrycznego.
Maksymalna energia kinetycznaTmax elektronów wybitych z powierzchni metalu przez kwant światła (foton) o energiihν:
Tmax= eV0 = hν − W ,
W – praca wyjścia – minimalna energia elektronu, przy której może on opuścić metal,
V0 – napięcie, przy którym ustaje prąd fotoelektryczny.
Wykorzystano je również w modelachEinsteina (1907 r.) i Debye’a (1912) ciepła właściwego ciał stałychoraz w opisieefektu
Comptona (1923).
Kwanty promieniowania
Pojęciekwantów promieniowania zostało użyte przez Einsteina do opisuzjawiska fotoelektrycznego.
Maksymalna energia kinetycznaTmax elektronów wybitych z powierzchni metalu przez kwant światła (foton) o energiihν:
Tmax= eV0 = hν − W ,
W – praca wyjścia – minimalna energia elektronu, przy której może on opuścić metal,
V0 – napięcie, przy którym ustaje prąd fotoelektryczny.
Wykorzystano je również w modelachEinsteina (1907 r.) i Debye’a (1912) ciepła właściwego ciał stałychoraz w opisieefektu
Comptona (1923).
Fale materii
W 1803 r. Young dokonał dyfrakcji światła – została stwierdzona dualnanatura promieniowania elektromagnetycznego: niekiedy zachowuje się ono jak fala, a kiedy indziej jak strumień korpuskularnych kwantów.
W 1924 r. de Broglie założył, że cząstki materii mają także charakter dualny, apęd cząstki wiąże się z długością fali λ związkiem
p = h λ,
Fale materii
W 1803 r. Young dokonał dyfrakcji światła – została stwierdzona dualnanatura promieniowania elektromagnetycznego: niekiedy zachowuje się ono jak fala, a kiedy indziej jak strumień korpuskularnych kwantów.
W 1924 r. de Broglie założył, że cząstki materii mają także charakter dualny, apęd cząstki wiąże się z długością fali λ związkiem
p = h λ, albo wektorowo
~ p = ~ ~k,
Fale materii
W 1803 r. Young dokonał dyfrakcji światła – została stwierdzona dualnanatura promieniowania elektromagnetycznego: niekiedy zachowuje się ono jak fala, a kiedy indziej jak strumień korpuskularnych kwantów.
W 1924 r. de Broglie założył, że cząstki materii mają także charakter dualny, apęd cząstki wiąże się z długością fali λ związkiem
p = h λ, albo wektorowo
~ p = ~ ~k,
Fale materii
Hipoteza ta została potwierdzona w zjawiskudyfrakcji elektronów na kryształach – Davisson i Germer (1927) i niezależnie G.P.
Thomson (1928).
Dyskretne wartości parametrów fizycznych
Okazało się również, że mierzalne parametry układów atomowych przyjmująwartości dyskretne.
Wartości dyskretne występowały m.in.:
w klasyfikacji Ritza linii widmowych,
w doświadczeniu Francka–Hertza (1913): dyskretne wartości strat energii w zderzeniach elektronów z atomami,
w doświadczeniu Sterna–Gerlacha (1922): dyskretne wartości składowej momentu magnetycznego atomu w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego.
Dyskretne wartości parametrów fizycznych
Okazało się również, że mierzalne parametry układów atomowych przyjmująwartości dyskretne.
Wartości dyskretne występowały m.in.:
w klasyfikacji Ritza linii widmowych,
w doświadczeniu Francka–Hertza (1913): dyskretne wartości strat energii w zderzeniach elektronów z atomami,
w doświadczeniu Sterna–Gerlacha (1922): dyskretne wartości składowej momentu magnetycznego atomu w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego.
Stara teoria kwantów
Pierwszą próbę wyjaśnienia opisanych problemów podjąłBohr w 1913 r.
Przyjął on słynnedwa postulaty.
Stara teoria kwantów
Pierwszą próbę wyjaśnienia opisanych problemów podjąłBohr w 1913 r.
Przyjął on słynnedwa postulaty.
1 Układ atomowy może istnieć jedynie w pewnych stanach stacjonarnych, z których każdy odpowiada ściśle określonej energii układu. Przejściom z jednego stanu stacjonarnego do drugiego towarzyszy zawsze zysk lub strata pewnej energii, która jest emitowana lub pochłaniana w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego lub jako wewnętrzna energia kinetyczna innego układu.
Stara teoria kwantów
Pierwszą próbę wyjaśnienia opisanych problemów podjąłBohr w 1913 r.
Przyjął on słynnedwa postulaty.
1 Układ atomowy może istnieć jedynie w pewnych stanach stacjonarnych, z których każdy odpowiada ściśle określonej energii układu. Przejściom z jednego stanu stacjonarnego do drugiego towarzyszy zawsze zysk lub strata pewnej energii, która jest emitowana lub pochłaniana w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego lub jako wewnętrzna energia kinetyczna innego układu.
2 Kwant promieniowania ma częstotliwość równą jego energii podzielonej przez h.
Stara teoria kwantów
Pierwszą próbę wyjaśnienia opisanych problemów podjąłBohr w 1913 r.
Przyjął on słynnedwa postulaty.
1 Układ atomowy może istnieć jedynie w pewnych stanach stacjonarnych, z których każdy odpowiada ściśle określonej energii układu. Przejściom z jednego stanu stacjonarnego do drugiego towarzyszy zawsze zysk lub strata pewnej energii, która jest emitowana lub pochłaniana w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego lub jako wewnętrzna energia kinetyczna innego układu.
2 Kwant promieniowania ma częstotliwość równą jego energii podzielonej przez h.
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1
2m~v2− −e2 r
!
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1
2m~v2− −e2 r
!
= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+ e2 r ,
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1
2m~v2− −e2 r
!
= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+ e2 r , w jednostkach, w których współczynnik k = 1/(4πε0) w prawie Coulomba jest bezwymiarowy i wynosi k = 1.
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1
2m~v2− −e2 r
!
= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+ e2 r , w jednostkach, w których współczynnik k = 1/(4πε0) w prawie Coulomba jest bezwymiarowy i wynosi k = 1.
Ruch elektronu odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do jego orbitalnego momentu pędu,
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1
2m~v2− −e2 r
!
= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+ e2 r , w jednostkach, w których współczynnik k = 1/(4πε0) w prawie Coulomba jest bezwymiarowy i wynosi k = 1.
Ruch elektronu odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do jego orbitalnego momentu pędu,którą wybierzemy jako płaszczyznę xOy.
Model Bohra atomu wodoru
W przypadku atomu wodoru Bohr przyjął tzw. regułę wyboru:dla orbit stacjonarnych moment pędu musi być całkowitą
wielokrotnością ~.
Funkcja Lagrange’a elektronu w atomie wodoru
L= T − V = 1
2m~v2− −e2 r
!
= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+ e2 r , w jednostkach, w których współczynnik k = 1/(4πε0) w prawie Coulomba jest bezwymiarowy i wynosi k = 1.
Ruch elektronu odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do jego orbitalnego momentu pędu, którą wybierzemy jako płaszczyznę xOy.
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒ ( ˙x
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x =
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y =
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r .
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną,
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną,tzn. że ∂ϕ∂L = 0,
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną, tzn. że ∂ϕ∂L = 0, a to oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną, tzn. że ∂ϕ∂L = 0, a to oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d dt
∂L
∂ ˙ϕ− ∂L
∂ϕ = 0
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną, tzn. że ∂ϕ∂L = 0, a to oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d dt
∂L
∂ ˙ϕ− ∂L
∂ϕ = 0 ⇒ dpϕ
dt = 0,
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną, tzn. że ∂ϕ∂L = 0, a to oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d dt
∂L
∂ ˙ϕ− ∂L
∂ϕ = 0 ⇒ dpϕ
dt = 0, gdzie pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną, tzn. że ∂ϕ∂L = 0, a to oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d dt
∂L
∂ ˙ϕ− ∂L
∂ϕ = 0 ⇒ dpϕ
dt = 0, gdzie pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2ϕ˙
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną, tzn. że ∂ϕ∂L = 0, a to oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d dt
∂L
∂ ˙ϕ− ∂L
∂ϕ = 0 ⇒ dpϕ
dt = 0, gdzie pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2ϕ˙= const.
Model Bohra atomu wodoru
We współrzędnych biegunowych ( x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ ⇒
( ˙x = ˙r cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ,
˙y = ˙r sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ.
Wstawiając wzory na ˙x i ˙y oraz z = 0 do L otrzymujemy
L= 1
2m˙x2+ ˙y2+ ˙z2+e2 r = m
2
˙r2+ r2ϕ˙2+e2 r . Zauważmy, że ϕ jest współrzędną cykliczną, tzn. że ∂ϕ∂L = 0, a to oznacza, że odpowiedni pęd jest zachowany.
d dt
∂L
∂ ˙ϕ− ∂L
∂ϕ = 0 ⇒ dpϕ
dt = 0, gdzie pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2ϕ = const.˙
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ˙
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ˙= rmr ˙ϕ
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ= rmv
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Skorzystajmy ze wzoru na pϕ.
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Skorzystajmy ze wzoru na pϕ. pϕ= mr2ϕ˙
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Skorzystajmy ze wzoru na pϕ.
pϕ= mr2ϕ˙ ⇒ ϕ =˙ pϕ
mr2 .
Model Bohra atomu wodoru
Zauważmy, że pęd pϕ jest składową momentu pędu ciała względem centrum siły, prostopadłą do płaszczyzny, w której odbywa się ruch.
Rzeczywiście
pϕ= mr2ϕ = rmr ˙˙ ϕ = rmv = |~r × ~p|,
gdzie v = r ˙ϕ jest prędkością liniową w ruchu obrotowym ciała względem centrum siły, którym jest jądro atomu.
Skorzystajmy ze wzoru na pϕ.
pϕ= mr2ϕ˙ ⇒ ϕ =˙ pϕ
mr2 .
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
=
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2 r
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r ,
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2 r
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2 m2r4
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2
m2r4 = pϕ2 mr3.
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2
m2r4 = pϕ2 mr3. Pomnóżmy obie strony przez r2 i wstawmy pϕ = n~ ⇒
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2
m2r4 = pϕ2 mr3. Pomnóżmy obie strony przez r2 i wstawmy pϕ = n~ ⇒
p2
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2
m2r4 = pϕ2 mr3. Pomnóżmy obie strony przez r2 i wstawmy pϕ = n~ ⇒
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2
m2r4 = pϕ2 mr3. Pomnóżmy obie strony przez r2 i wstawmy pϕ = n~ ⇒
p2 n2~2 n2~2
Model Bohra atomu wodoru
Całkowita energia elektronu w atomie:
E = 1
2m~v2+ −e2 r
!
= 1
2m˙r2+ r2ϕ˙2−e2 r
= 1
2mr2ϕ˙2−e2
r = pϕ2 2mr2 −e2
r , gdzie przyjęliśmy ˙r = 0.
Siła dośrodkowa jest siłą przyciągania kulombowskiego:
e2
r2 = m~v2
r = mr ˙ϕ2 = mr pϕ2
m2r4 = pϕ2 mr3. Pomnóżmy obie strony przez r2 i wstawmy pϕ = n~ ⇒
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
= − n2~2 2mmn42~e44
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
= − n2~2 2mmn42~e44
=− me4 2n2~2.
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
= − n2~2 2mmn42~e44
=− me4 2n2~2. Zdefiniujmy stałą Rydberga
R= me4 2~2
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
= − n2~2 2mmn42~e44
=− me4 2n2~2. Zdefiniujmy stałą Rydberga
R= me4
2~2 = 2.18 × 10−18J
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
= − n2~2 2mmn42~e44
=− me4 2n2~2. Zdefiniujmy stałą Rydberga
R= me4
2~2 = 2.18 × 10−18J= 13.6 eV.
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
= − n2~2 2mmn42~e44
=− me4 2n2~2. Zdefiniujmy stałą Rydberga
R= me4
2~2 = 2.18 × 10−18J= 13.6 eV.
Przy jej użyciu
En= −R
n2, n= 1, 2, 3, ...
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
= − n2~2 2mmn42~e44
=− me4 2n2~2. Zdefiniujmy stałą Rydberga
R= me4
2~2 = 2.18 × 10−18J= 13.6 eV.
Przy jej użyciu
En= −R
n2, n= 1, 2, 3, ...
Model Bohra atomu wodoru
Obliczmy energię elektronu w n-tym stanie stacjonarnym
En= pϕ2 2mrn2
− e2 rn
= pϕ2 2mrn2
− pϕ2 mrn2
= − pϕ2 2mrn2
= − n2~2 2mmn42~e44
=− me4 2n2~2. Zdefiniujmy stałą Rydberga
R= me4
2~2 = 2.18 × 10−18J= 13.6 eV.
Przy jej użyciu
En= −R
n2, n= 1, 2, 3, ...
Model Bohra atomu wodoru
Przy przejściach pomiędzy dwoma dozwolonymi poziomami o energiachEn i Em, n > m, zostanie wyemitowany foton o energii
hν = En− Em.
n= 1 – stan podstawowy ⇒ E1 = −R/12 = −R.
Model Bohra atomu wodoru
Przy przejściach pomiędzy dwoma dozwolonymi poziomami o energiachEn i Em, n > m, zostanie wyemitowany foton o energii
hν = En− Em.
n= 1 – stan podstawowy ⇒ E1 = −R/12 = −R.
Aby zjonizować atom wodoru znajdujący się w stanie podstawowym trzeba dostarczyć elektronowi energię+R.
Model Bohra atomu wodoru
Przy przejściach pomiędzy dwoma dozwolonymi poziomami o energiachEn i Em, n > m, zostanie wyemitowany foton o energii
hν = En− Em.
n= 1 – stan podstawowy ⇒ E1 = −R/12 = −R.
Aby zjonizować atom wodoru znajdujący się w stanie podstawowym trzeba dostarczyć elektronowi energię+R.
Promień Bohra
r1= ~2
me2 ≡ a0 = 5.23 × 10−11m.
Model Bohra atomu wodoru
Przy przejściach pomiędzy dwoma dozwolonymi poziomami o energiachEn i Em, n > m, zostanie wyemitowany foton o energii
hν = En− Em.
n= 1 – stan podstawowy ⇒ E1 = −R/12 = −R.
Aby zjonizować atom wodoru znajdujący się w stanie podstawowym trzeba dostarczyć elektronowi energię+R.
Promień Bohra
r1= ~2
me2 ≡ a0 = 5.23 × 10−11m.
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Z
0
pϕdϕ = nh, n= 1, 2, 3, ...
Stara teoria kwantów
W roku 1915 W. Wilson, a rok później Sommerfeld uogólnili regułę wyboru założoną przez Bohra.
Całka z każdego pędu kanonicznego po sprzężonej z nim współrzędnej cyklicznej w granicach odpowiadających okresowi ruchu musi być całkowitą wielokrotnością h,np.
2π
Z
0
pϕdϕ = nh, n= 1, 2, 3, ...
Jeśli pϕ jest stałe, to
2π
Z
pϕdϕ =
