Modele do opisu zachowania się górotworu przy zmianie sposobu eksploatacji

Modelowanie rzeczywistego zachowania się górotworu jest bardzo skomplikowane, bowiem jego własności zależą od wielu czynników m.in. od stanu naprężenia i odkształcenia, obecności wód, temperatury i czasu. Zatem nie da się w sposób dokładny opisać zachowania się i własności górotworu w warunkach naturalnych. Przez lata naukowcy starali się znaleźć sposób, który pozwalałby na opis zachowania górotworu możliwie zbliżony do warunków in situ. Sposób ten nazywamy modelami. Modele fizyczne mogą opisywać wybrane pojedyncze własności górotworu natomiast modele geoinżynierskie mogą opisywać zachowanie się rozpatrywanego górotworu z uwzględnieniem kształtu i wymiarów budowli podziemnej. (Tajduś i in., 2012).

Dla potrzeb niniejszej pracy obliczenia numeryczne przeprowadzono z zastosowaniem modelu sprężystego-plastycznego Mohra- Coulomba (M-C). Model ten pozwala na uwzględnienie plastyczności górotworu, czyli nieliniowości jego charakterystyki naprężeniowo-odkształceniowej. Uwzględnianie plastyczności górotworu polega generalnie na przyjęciu założenia, że w obszarze ograniczonym pewnymi powierzchniami górotwór zachowuje się liniowo sprężyście, a poza tym obszarem plastycznie. W programie MRS FLAC plastyczność opiera się na założeniu, że całkowity przyrost odkształcenia jest rozdzielany na przyrost odkształcenia sprężystego oraz przyrost odkształcenia plastycznego (Itasca - Users Manual, 2011).

W procedurze numerycznej, pierwszy obliczany jest przyrost odkształcenia wynikający z zastosowania prawa Hooke’a, a następnie na podstawie wartości odkształceń, określane są naprężenia. Jeżeli otrzymane wartości naprężeń znajdują się poza powierzchnią graniczną (definiującą przyjęte kryterium wytrzymałościowe), to przyjmuje się, że zachodzą deformacje plastyczne. W takim wypadku tylko odkształcenia sprężyste uczestniczą w procedurze kolejnych obliczeń przyrostów naprężenia.

Interpretacja modelu M-C w programie komputerowym MRS - FLAC

Interpretacja modelu M-C w programie MRS FLAC jest przedstawiona w postaci naprężeń głównych spełniających założenie, że (Itasca - Users Manual, 2011):

(6.1)

Odpowiadające naprężeniom głównym przyrosty odkształceń głównych ∆e1, ∆e2, ∆e3 są podzielone na odkształcenia sprężyste i plastyczne:

; i=1, 3 (6.2)

gdzie:

- odkształcenia sprężyste, -; - odkształcenia plastyczne, -.

W takim wypadku przyrosty naprężeń i odpowiadające im przyrosty odkształceń sprężystych, zgodnie z prawem Hooke’a przyjmują postać:

(6.3) gdzie:

- moduł odkształcalności objętościowej, GPa, - moduł Kirchhoffa, GPa.

Kryteria zniszczenia na płaszczyźnie ( , ) przedstawiono na rysunku 6.1.

Rysunek 6.1. Kryteria zniszczenia Mohra-Coulomba w FLAC/FLAC3D (Itasca - Users Manual, 2011)

Zakładając, że , kryterium C-M można przedstawić w płaszczyźnie naprężeń głównych , . Obwiednia zniszczenia składa się tutaj z dwóch odcinków AB oraz BC.

Funkcja zniszczenia dla odcinka AB (zniszczenie przez ścinanie) ma postać:

(6.4)

zaś dla odcinka BC (zniszczenie przez rozciąganie):

(6.5)

gdzie:

- funkcja zniszczenia przez ścinanie, MPa, - funkcja zniszczenia przez rozciąganie, MPa, - kąt tarcia wewnętrznego, o

, - spójność (kohezja), MPa,

- wytrzymałość na jednoosiowe rozciąganie, MPa, - współczynnik bezwymiarowy równy , -.

Z powyższego wynika, że pośrednie naprężenie główne nie ma wpływu na zniszczenie materiału. Dla materiału, który charakteryzuje się kątem tarcia wewnętrznego większym od zera wytrzymałość na rozciąganie nie może przekroczyć maksymalnej wartości równej:

^(6.6)

Funkcja zniszczenia przez ścinanie gS

odpowiadająca niestowarzyszonemu prawu płynięcia ma postać:

(6.7)

gdzie:

- kąt dylatancji, .

Stowarzyszone prawo płynięcia dla zniszczenia przez rozciąganie gt

jest określone na podstawie funkcji:

(6.8)

Na granicy funkcji płynięcia pomiędzy zniszczeniem przez ścinanie i przez rozciąganie zastosowana jest specjalna funkcja wytężenia h. Jest to pewna funkcja, która jest reprezentowana poprzez prostą diagonalną pomiędzy funkcjami zniszczenia przez ścinanie fs oraz zniszczenia przez rozciąganie ft w płaszczyźnie naprężeń ( , ) (Itasca - Users Manual, 2011): (6.9) gdzie: i są stałymi zdefiniowanymi: (6.10) (6.11) gdzie: - kąt tarcia wewnętrznego,

gdzie: jest nieznanym parametrem.

Po zróżniczkowaniu powyższego równania otrzymuje się (Itasca - Users Manual, 2011):

(6.13)

W takim wypadku równania konstytutywne z uwzględnieniem odkształceń plastycznych będą miały postać:

(6.14)

Zakładając, że „nowe” wartości naprężeń są oznaczone górnym indeksem N, a „stare” górnym indeksem O. W takim wypadku możemy napisać:

; i=1,3 (6.15)

Dla trzech naprężeń głównych można powyższe równanie zapisać w postaci:

(6.16)

gdzie: górny indeks I reprezentuje „odgadniętą wartość” otrzymaną poprzez dodanie przyrostów naprężeń sprężystych do „starych” naprężeń przy zastosowaniu całkowitego przyrostu odkształceń.

(6.17)

Parametr jest określany na podstawie założenia, że „nowy” punkt określający stan naprężenia musi być zlokalizowany na powierzchni ścinania. Podstawienie oraz za i w funkcji daje, po pewnych przekształceniach (Itasca - Users Manual, 2011):

^(6.18)

Dla przypadku zniszczenia przez rozciąganie prawo plastycznego płynięcia ma postać:

; i=1, 3 (6.19)

gdzie: jest nieznanym parametrem.

Po zróżniczkowaniu powyższego równania otrzymujemy:

(6.20)

Powtarzając podobne do powyższego rozumowanie otrzymujemy:

(6.21)

(6.22)

Wzory te pozwalają na określenie wartości składowych stanu naprężenia w każdym kroku obliczeniowym. Znając wartości naprężeń jesteśmy w stanie obliczyć składowe stanu przemieszczenia w każdym węźle siatki oraz określić stan wytężenia materiału, na podstawie przyjętych wartości parametrów wytrzymałościowych.

Interpretacja stateczności zboczy w programie komputerowym MRS - FLAC

W celu analizy stateczności zboczy w programie FLAC, możliwe jest określenie następujących wielkości (Itasca - Users Manual, 2011):

 przemieszczenia (displacements) – wartość określająca spodziewaną zmianę położenie poszczególnych punktów górotworu, podawana w metrach,

 wektor prędkości (velocity vector) – wielkość nie mająca odpowiednika w rzeczywistych wielkościach, określa prędkość zmiany położenia w poszczególnych krokach obliczeniowych, wartość bezwymiarowa,

 wskaźniki uplastycznienia (plasticity indicator) – wielkość określająca możliwość wystąpienia zniszczenia poszczególnych punktów górotworu w wyniku działania naprężeń rozciągających lub naprężeń ścinających, wielkość bezwymiarowa,

 zmiana sił niezrównoważonych (unbalanced force) - wartość wskazuje czy dla analizy statycznej osiągnięto mechaniczny stan równowagi. Model jest w równowadze, jeśli maksymalna wartość siły niezrównoważonej w każdym punkcie siatki jest mała w porównaniu do pozostałych sił występujących w modelu. Jeśli siła niezrównoważona zbliża się do stałej wartości większej od zera, prawdopodobnie oznacza to, że w modelu występuje zniszczenie i plastyczne płynięcie.

Możliwość wystąpienia utraty stateczności zbocza jest zwykle sygnalizowana anormalnym wzrostem przemieszczeń lub wektorów prędkości (Cała, 2007; Lorig i Varona, 2004). Gdy wektory prędkości są mniejsze od 10^-6 wskazuje to na stateczność zbocza, gdy wektory prędkości są większe od 2,5 10-6

sygnalizuje to rozpoczęcia procesu niestateczności. Jeżeli natomiast wektor prędkości jest większy od 10-5

zbocze uznaje się za niestateczne (rys. 6.2).

Rysunek 6.2. Kryteria niestateczności w programie MRS z kodem FLAC (Itasca - Users Manual, 2011)

Dla potwierdzenia możliwego wystąpienia niestateczności zbocza zaleca się obserwowanie wskaźnika uplastycznienia (Itasca - Users Manual, 2011); Lorig i Varona, 2004; Sjoberg, 1999 i 2000). Prawdopodobna utrata stateczności sygnalizowana jest uplastycznieniem strefy zbliżonej do geometrii osuwiska z wyraźną płaszczyzną osuwiskową (rys. 6.3).

Rysunek 6.3. Przykładowy rozkład wskaźników uplastycznienia w programie MRS – FLAC (zniszczenie w wyniku naprężeń rozciągających – kolor czerwony, zniszczenia w wyniku