Model nadsystemu z jednoelementowym systemem technicznym przy załoŜeniu wykładniczego charakteru realizowanych procesów

W pierwszym kroku przeprowadzono badanie zgodności wyników uzyskanych analitycznie oraz przy wykorzystaniu procesu symulacji dla prostego przypadku nadsystemu z rezerwą czasową, w którym system techniczny jest jednoelementowy, a czas jego odnowy Tr

pomijalny. Model analityczny dla analizowanego przypadku został omówiony w rozdziale 5.1 natomiast analiza wraŜliwości, przy załoŜeniu wykładniczego charakteru realizowanych procesów w nadsystemie, przedstawiona została w rozdziale 6.

Podstawowe wielkości zmiennych wejściowych oraz postacie formuł dla zmiennych wyjściowych modelu symulacyjnego przedstawione zostały w tabelach 7.1.1. oraz 7.1.2. Z kolei analityczne postacie formuł modelu analitycznego ujęto w tabeli 6.2. Na tej podstawie moŜliwe było porównanie wyników uzyskanych na drodze symulacji komputerowej oraz obliczonych w sposób analityczny.

Podstawowe wyniki dla oczekiwanego czasu realizacji zadania logistycznego E[τ], oczekiwanego czasu niezdatności nadsystemu E[ξ], wskaźnika gotowości A, prawdopodobieństwa niezdatności nadsystemu P_NN1j, oraz oczekiwanych kosztów funkcjonowania nadsystemu w jednostce czasu C_s zostały przedstawione na rysunkach 8.1.1. ÷ 8.1.5. Poszczególne wyniki badanych modeli porównano dla róŜnych wielkości poziomu zamawiania s.

Rys. 8.1.1. Oczekiwany czas realizacji zadania logistycznego w funkcji wielkości zapasu s

Rys. 8.1.2. Oczekiwany czas niezdatności nadsystemu w funkcji wielkości zapasu s

Rys. 8.1.3. Wskaźnik gotowości w funkcji wielkości zapasu s

Rys. 8.1.4. Prawdopodobieństwo niezdatności nadsystemu w wyniku przekroczenia rezerwy

czasowej w funkcji wielkości zapasu s

Rys. 8.1.5. Oczekiwany koszt funkcjonowania nadsystemu w funkcji wielkości zapasu s

Przedstawione wykresy wskazują na duŜą zbieŜność uzyskiwanych wyników. W celu oceny poziomu zgodności porównywanych modeli wyznaczono wielkości błędów

teor emp teor twzg y y y e − = (8.1.1) gdzie:

yteor – wielkość zmiennej uzyskana w sposób analityczny yemp – wielkość zmiennej uzyskana w badaniu symulacyjnym

Ponadto, dla poszczególnych 30 realizacji symulacji, wyznaczono wielkości odchylenia standardowego dla oczekiwanego czasu realizacji zadania logistycznego E[τ], oraz oczekiwanego czasu niezdatności nadsystemu E[ξ]. Jednocześnie obliczono wielkość współczynnika zmienności V (tabela 8.1.2).

Tabela 8.1.1. Minimalne i maksymalne wartości błędów względnych etwzg wyników uzyskanych w sposób analityczny i symulacyjny

Wynik E[ξ] E[τ] A PNN1j Cs

etwzg max 0,0361 -0,0213 0,0024 0,0244 0,0928

etwzg min -0,0002 0,00002 0,00000005 -0,0001 0,0023

Tabela 8.1.2. Minimalne i maksymalne wartości odchylenia standardowego oraz współczynnika zmienności funkcji E[τ] oraz E[ξ]

Wynik E[ξ] E[τ]

σ (s = 29) 1,12 1,09

Wsp. zmienności V max 0,0205 0,01908

σ (s = 0) 5,52 5,56

Wsp. zmienności V min 0,006156 0,006136

Na kolejnych wykresach 8.1.6 ÷ 8.1.9 przedstawione zostały teoretyczne i symulacyjne (empiryczne) gęstości czasu realizacji zadania logistycznego ψ(τ) oraz empiryczne i teoretyczne gęstości czasu niezdatności nadsystemu z rezerwą czasową b(ξ) dla róŜnych poziomów zamawiania s, które równieŜ potwierdzają bardzo znaczną zbieŜność wyników generowanych przez oba modele.

Rys. 8.1.6. Empiryczna funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej czas realizacji zadania logistycznego

Rys. 8.1.7. Empiryczna funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej czas niezdatności nadsystemu

Rys. 8.1.8. Empiryczna i teoretyczna funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej

losowej opisującej czas realizacji zadania logistycznego

Rys. 8.1.9. Empiryczna i teoretyczna funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej czas niezdatności

nadsystemu

Jednocześnie wykresy 8.1.10 oraz 8.1.11 przedstawiają teoretyczną oraz symulacyjną funkcję dystrybuanty rozkładu prawdopodobieństwa czasu realizacji zadania logistycznego dla wybranych wielkości poziomu zamawiania s. Z kolei rysunki 8.1.12 oraz 8.1.13 ilustrują teoretyczną i symulacyjną funkcję dystrybuanty rozkładu prawdopodobieństwa czasu niezdatności nadsystemu z rezerwą czasową dla wybranych wielkości poziomu s.

Rys. 8.1.10. Empiryczna i teoretyczna dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa

zmiennej losowej opisującej czas realizacji zadania logistycznego dla s = 0

Rys. 8.1.11. Empiryczna i teoretyczna dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa

zmiennej losowej opisującej czas realizacji zadania logistycznego dla s = 10

Rys. 8.1.12. Empiryczna i teoretyczna dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej czas niezdatności nadsystemu dla s = 0

Rys. 8.1.13. Empiryczna i teoretyczna dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej czas niezdatności

nadsystemu dla s = 10

Hipoteza o zgodności rozkładów prawdopodobieństwa zmiennej losowej czasu realizacji zadania logistycznego w nadsystemie Ψ(τ) została sprawdzona testem λ-Kołmogorowa. Otrzymane wartości statystyki λ przyjmują wartości w granicach 0,2 ÷ 0,88 dla badanych wielkości poziomów zamawiania s, przy trzydziestu klasach grupowania danych. W związku z tym nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o zgodności rozkładu teoretycznego i empirycznego na poziomie istotności α = 0,01 (λo = 1,63).

W kolejnym kroku zbadano zgodność uzyskiwanych wyników analitycznych oraz symulacyjnych dla rozkładów prawdopodobieństwa zmiennej losowej czasu niezdatności nadsystemu z rezerwą czasową B(ξ), przy wykorzystaniu testu zgodności λ-Kołmogorowa. Otrzymane wartości statystyki λ przyjmują wartości w granicach 0,21 ÷ 1,12 dla badanych wielkości poziomów zamawiania s, przy trzydziestu klasach grupowania danych. W związku z tym, równieŜ nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o zgodności rozkładu teoretycznego i empirycznego na poziomie istotności α = 0,01.

Jednocześnie, przed przystąpieniem do analizy zgodności nadsystemu z wieloelementowym systemem technicznym, naleŜy sprawdzić zgodność wyników uzyskiwanych w procesie symulacji z analitycznymi rezultatami modelu teoretycznego nadsystemu, w którym czas odnowy jednoelementowego systemu technicznego jest niepomijalny. W analizowanym przypadku, porównanie wyników moŜe być wykonane tylko dla wybranych prostych przypadków teoretycznych, które zostały przeanalizowane w rozdziale 6. PoniŜej przedstawione zostało porównanie wyników generowanych przez oba modele dla najprostszej sytuacji, w której nie przewiduje się utrzymywania elementów

Podstawowe wyniki dla oczekiwanego czasu realizacji zadania logistycznego E[τ], oczekiwanego czasu niezdatności nadsystemu E[ξ₁], wskaźnika gotowości A, oraz prawdopodobieństwa niezdatności nadsystemu P_nnj, wraz z wyznaczonymi wartościami błędu względnego, zostały przedstawione w tabeli 8.1.3. W obliczeniach przyjęto załoŜenia przedstawione w rozdziale 6. Wartości parametrów wejściowych przyjęto zgodnie z tabelą 7.1.1.

Tabela 8.1.3. Wyniki uzyskane w sposób analityczny i symulacyjny oraz wartości błędów względnych

Wyniki W_anal W_sym e_twzg

E[ξ1] 900,09 900,006 0,0001

E[τ] 900,09 900,81 -0,0008

A 0,1089 0,1084 0,0043

P_NN1j 0,891 0,8945 -0,0038

Na wykresach 8.1.14 oraz 8.1.15 przedstawiono teoretyczne oraz empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa czasu realizacji zadania logistycznego ψ(τ) oraz empiryczne i teoretyczne gęstości czasu niezdatności nadsystemu z rezerwą czasową b₂(ξ₁) dla wybranego poziomu zamawiania s, które równieŜ potwierdzają bardzo znaczną zbieŜność wyników generowanych przez oba modele.

Z kolei, wykresy 8.1.16 oraz 8.1.17 przedstawiają teoretyczną oraz symulacyjną funkcję dystrybuanty rozkładu prawdopodobieństwa czasu realizacji zadania logistycznego Ψ(τ) oraz teoretyczną i symulacyjną funkcję dystrybuanty rozkładu prawdopodobieństwa czasu niezdatności nadsystemu z rezerwą czasową B2(ξ1).

Przy wykorzystaniu testu zgodności λ-Kołmogorowa sprawdzono hipotezy o zgodności: a) teoretycznego i empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa czasu realizacji zadania

logistycznego Ψ(τ),

b) teoretycznego i empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa czasu niezdatności nadsystemu z rezerwą czasową B2(ξ1).

Otrzymane wartości statystyki λ przyjmują wartości 0,68 (przypadek a)) oraz 1,49 (przypadek b)) dla badanego poziomu zamawiania s, przy trzydziestu klasach grupowania danych. W związku z tym, równieŜ nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o zgodności badanych rozkładów prawdopodobieństwa uzyskanych z modelu teoretycznego i empirycznego na poziomie istotności α = 0,01.

Rys. 8.1.14. Empiryczna i teoretyczna funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej czas realizacji

zadania logistycznego dla s = 0, Q = 1

Rys. 8.1.15. Empiryczna i teoretyczna funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej czas niezdatności

nadsystemu dla s = 0, Q = 1

Rys. 8.1.16. Empiryczna i teoretyczna dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa

zmiennej losowej opisującej czas realizacji zadania logistycznego dla s = 0, Q = 1

Rys. 8.1.17. Empiryczna i teoretyczna dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej czas niezdatności

nadsystemu dla s = 0, Q = 1

8.2. Model nadsystemu z wieloelementowym systemem technicznym przy