Niezdatność nadsystemu z jednoelementowym systemem technicznym, z pomijalnym czasem odnowy pomijalnym czasem odnowy

W pierwszym etapie modelowania nadsystemu załoŜono, Ŝe w systemie technicznym pracuje jeden element, natomiast czasy odnowy (wymiany elementu uszkodzonego) tego systemu są nieznaczne w stosunku do czasu poprawnej pracy elementu i mogą być pominięte (np. [73]). W celu określenia prawdopodobieństwa, Ŝe w chwili t nadsystem będzie znajdował się w stanie niezdatności przy określonej wielkości zapasu w systemie logistycznym, naleŜy stworzyć model opisujący moŜliwość pojawienia się braku zapasu w pojedynczym cyklu zaopatrzeniowym oraz długość okresu trwania ewentualnego braku w systemie. Następnie naleŜy przeanalizować, jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe okres braku niezbędnych elementów wymiennych w systemie logistycznym przekroczy dopuszczalną rezerwę czasową T_γ, a w konsekwencji pojawi się niezdatność nadsystemu. Ostatnim etapem jest wyznaczenie okresu trwania ewentualnej niezdatności nadsystemu.

Zgodnie z przedstawionymi załoŜeniami elementy zapasowe znajdujące się w systemie logistycznym są traktowane jako rezerwa zimna. Po uszkodzeniu się systemu technicznego (elementu pracującego) informacja o zapotrzebowaniu na część wymienną jest przekazywana do systemu wsparcia logistycznego. Oznaczmy przez τ czas niezdatności systemu logistycznego, zdefiniowany jako brak części wymiennych, niezbędnych w procesie przywracania zdatności systemu technicznego. W sytuacji, gdy niezbędne w procesie odnowy części wymienne znajdują się w systemie wsparcia logistycznego to czas realizacji zapotrzebowania τ jest pomijalny. W związku z tym, Ŝe liczba części wymiennych w systemie jest ograniczona, operacja wymiany elementu uszkodzonego nie zawsze jest moŜliwa. JeŜeli ostatni zdatny element z posiadanego zapasu ulegnie uszkodzeniu przed dostarczeniem nowej partii elementów wymiennych czas realizacji zapotrzebowania τ jest równy losowej wielkości pozostałego czasu dostawy (licząc od chwili uszkodzenia się systemu technicznego do chwili realizacji dostawy td).

Modelowany nadsystem jest uszkodzony, jeŜeli system logistyczny jest uszkodzony (brak części wymiennych) i czas realizacji dostawy części wymiennych jest dłuŜszy niŜ rezerwa czasowa Tγ (rys. 5.1.1).

Rys. 5.1.1. Model nadsystemu składającego się z jednoelementowego, naprawialnego systemu technicznego (z pomijalnym czasem odnowy) oraz systemu wsparcia logistycznego

Zgodnie z przedstawionym schematem moŜna wstępnie oszacować zakres wielkości zmiennej losowej τ. Zmienna ta teoretycznie moŜe przyjąć wartość minimalną (τ = 0) w dwóch przypadkach:

- gdy elementy wymienne niezbędne w procesie odnowy systemu technicznego znajdują się w systemie wsparcia logistycznego,

- gdy dostawa nowych elementów wymiennych zrealizowana jest w tej samej chwili, w której nastąpi uszkodzenie ostatniego elementu pracującego w systemie technicznym (przed dostawą zapasów części wymiennych nie było).

Z kolei wartość maksymalną τ moŜe przyjąć w przypadku, gdy uszkodzenie ostatniego zdatnego elementu systemu technicznego, wskutek którego system logistyczny przechodzi w stan niezdatności, ma miejsce natychmiast po złoŜeniu zamówienia, zaś dostawa zostanie zrealizowana w czasie nieskończenie odległym od chwili t0.

JeŜeli dostawa nastąpi w okresie obejmującym zdefiniowany czas rezerwy czasowej to nadsystem pozostaje w stanie zdatności. Jednocześnie, niezdatność nadsystemu pojawi się w sytuacji, gdy czas niezdatności systemu logistycznego będzie dłuŜszy niŜ określona rezerwa czasowa (przeznaczona na przywrócenie zdatności systemu wspieranego). Oznaczmy przez ξ czas niezdatności nadsystemu, zdefiniowany jako przekroczenie dopuszczalnej rezerwy czasowej, przeznaczonej na przywrócenie zdatności systemowi technicznemu. Zmienna ξ teoretycznie moŜe przyjąć wartość minimalną (ξ = 0) w przypadku, gdy chwila dostawy części wymiennych do systemu logistycznego będzie jednocześnie chwilą przekroczenia dopuszczalnej rezerwy czasowej przeznaczonej na usunięcie niezdatności systemu logistycznego. Jednocześnie wartość maksymalną zmienna ξ moŜe przyjąć w przypadku, gdy

nowa dostawa zostanie zrealizowana w czasie nieskończenie odległym od chwili przekroczenia dopuszczalnej rezerwy czasowej Tγ przez realizowany proces logistyczny.

W celu opracowania modelu matematycznego omawianego nadsystemu naleŜy dodatkowo uwzględnić metodę sterowania zapasami, wg której funkcjonuje system wsparcia logistycznego. Model nadsystemu z uwzględnieniem wielkości zapasów elementów wymiennych w funkcji czasu, wynikającym z przyjętego modelu sterowania zapasami został przedstawiony na rysunku 5.1.2.

Rys. 5.1.2. Uproszczony model nadsystemu z uwzględnieniem wielkości zapasów elementów wymiennych w funkcji czasu (Q = 5, s = 3)

Zastosowanie modelu stałej wielkości zamawiania jako normy sterowania zapasami elementów w systemie wsparcia logistycznego, pozwala na zdefiniowanie zachowania się nadsystemu podczas pojedynczego cyklu zaopatrzenia:

- w chwili, gdy poziom zapasów w systemie wsparcia logistycznego osiąga wielkość poziomu zamawiania s generowane jest nowe zamówienie, którego realizacja trwa losowy odcinek czasu,

- do chwili realizacji nowej dostawy do systemu wsparcia logistycznego, system techniczny moŜe wykorzystać (wymienić) jedynie określoną liczbę elementów wymiennych, znajdujących się w zapasie systemu wspierającego,

- od chwili nowej dostawy części wymiennych, elementy są wykorzystywane zgodnie z pojawiającym się zapotrzebowaniem aŜ do chwili obniŜenia stanu zapasu ponownie do

- maksymalna liczba elementów, które moŜe wykorzystać system techniczny w czasie jednego cyklu równa jest wielkości dostawy Q.

Analityczny model niezdatności nadsystemu bazuje na wyznaczeniu dwóch charakterystyk, opisujących prawdopodobieństwo pojawienia się niezdatności systemu wsparcia logistycznego (braku niezbędnych części wymiennych) oraz prawdopodobieństwo,

Ŝe czas przywrócenia zdatności systemu technicznego przekroczy dopuszczalną rezerwę

czasową Tγ.

W przypadku systemów z rezerwą zimną czas ich pracy jest sumą czasu pracy elementów (np. [65, 73, 131]):

Tⁿ = T₁ + T₂ + T₃+ ... T_n (5.1.1) Przy załoŜeniu, Ŝe czasy pracy elementów są niezaleŜnymi zmiennymi losowymi, rozkład czasu pracy systemu jest splotem rozkładów czasu pracy elementów, zgodnie ze wzorem [73, 131]:

∫

− = + ^t s s x dF x t F t F 0 1 ) ( ) ( ) ( (5.1.2)

W związku z tym, dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa, opisująca losowy czas do uszkodzenia się systemu logistycznego, przy załoŜeniu ciągłości zmiennych, moŜe być wyznaczona jako [73]:

( ( ) ( ))

)

(

)

( =F

^{s 1}

t Ε t+ −Ε t

Ψτ

+

τ

(5.1.3) gdzie:

F^s+1(t) – kompozycja rozkładów prawdopodobieństw opisujących czas poprawnej pracy kolejnych s+1 elementów ((s+1) – krotny splot funkcji)

Ε(t) – dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa czasu dostawy części wymiennych do systemu wsparcia logistycznego

Z kolei gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej, opisująca czas realizacji zapotrzebowania w niezbędne części wymienne ψ(τ) moŜe być zdefiniowana jako [151]:

∫

∞ + + = 0 1 ) ( ) ( ) (

τ

f^s t

ε

t

τ

dt

ψ

(5.1.4) gdzie: ) ( 1 t

f ^s+ – (s+1)-krotny splot funkcji gęstości rozkładów prawdopodobieństwa, opisujących czas poprawnej pracy s+1 kolejnych elementów w systemie technicznym, wyznaczana zgodnie ze wzorem [73, 131]:

s+ =

∫

^t s − dx x f x t F t f 0 1 ) ( ) ( ) ( (5.1.5)

ε(t) – funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa czasu dostawy części wymiennych do systemu logistycznego

Znając prawdopodobieństwo pojawienia się niezdatności systemu logistycznego, naleŜy określić prawdopodobieństwo, Ŝe omawiany nadsystem będzie znajdował się w stanie niezdatności, spowodowanym brakiem części wymiennych w systemie wsparcia logistycznego, przez okres dłuŜszy niŜ załoŜona rezerwa czasowa. Przy załoŜeniu, Ŝe zmienna

ξ określa losowy okres niezdatności nadsystemu, dystrybuanta, opisująca rozkład prawdopodobieństwa czasu niezdatności nadsystemu, moŜe być określona wzorem [227]:

B(

ξ

)=Φ(t)

(

Ψ(t+

ξ

)−Ψ(t)

)

(5.1.6) gdzie:

Φ(t) – dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa opisująca okres rezerwy czasowej Ψ(t) – dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa opisująca czas realizacji

zapotrzebowania systemu technicznego w niezbędne części wymienne

Jednocześnie, gęstość rozkładu prawdopodobieństwa, opisująca okres niezdatności nadsystemu, zgodnie z [73], moŜna określić jako:

=

∫

^∞ + 0 ) ( ) ( ) ( t t dt b

ξ ϕ ψ ξ

(5.1.7) gdzie:

φ(t) – gęstość rozkładu prawdopodobieństwa opisująca okres rezerwy czasowej

ψ(t) – gęstość rozkładu prawdopodobieństwa opisująca czas reakcji systemu logistycznego

Prawdopodobieństwo pojawienia się niezdatności nadsystemu w czasie pojedynczego cyklu zaopatrzenia, wynikające z braku elementów wymiennych, moŜna m.in. opisać formułą:

=

∫

^∞

0 1 b(

τ

)d

τ

P_{NN j} (5.1.8)

Przedstawiony analityczny model niezdatności nadsystemu z rezerwą czasową, w którym znajduje się s+1 elementów, bazuje przede wszystkim na wykorzystaniu operacji splotu

duŜych s na ogół bardzo kłopotliwe. Przykładowo, jeŜeli rozkład F(t) jest wykładniczy, wówczas rozkład F^s+1(t) jest rozkładem Erlanga rzędu s+1. JeŜeli rozkład F(t) jest rozkładem Erlanga rzędu r to rozkład F^s+1(t) jest rozkładem Erlanga rzędu r(s+1) [131].

5.2. Niezdatność nadsystemu z jednoelementowym systemem technicznym, z

W dokumencie Model logistycznego wsparcia systemu eksploatacji środków transportu (Stron 140-145)