Nast¦pstwa postaci poª¡cze« granicznych

W tym rozdziale podamy kryteria rozª¡czno±ci potoku ze swoim potokiem od-wrotnym oraz sªabego mieszania potoku. Oba kryteria wykorzystuj¡ posta¢ granicy poª¡cze« wykresowych.

Niech (X, B, µ) oraz (Y, C, ν) b¦d¡ probabilistycznymi standardowymi przestrze-niami borelowskimi. Dla ka»dej miary probabilistycznej λ ∈ P(X × Y ), oznaczamy przez λ|X oraz λ|Y rzutowania miary λ odpowiednio na X i Y , tj. dla ka»dych mierzalnych zbiorów A ⊆ X i B ⊆ Y mamy

λ|_X(A) = λ(A × Y ) oraz λ|Y(B) = λ(X × B).

Niech T = {Tt}_t∈R oraz S = {St}_t∈R b¦d¡ sªabo mieszaj¡cymi potokami dziaªa-j¡cymi odpowiednio na (X, B, µ) i (Y, C, ν). Przypomnijmy, »e dla dowolnego t ∈ R mamy µt= (T_t× Id)∗µ oraz νt = (S_t× Id)∗ν.

Lemat 4.1. Niech λ ∈ Je(T , S). Niech ponadto ρ ∈ Je

2(T × S, λ) b¦dzie sa-mopoª¡czeniem zdeniowanym na X1 × Y1 × X2 × Y2, gdzie X1 = X2 = X oraz Y₁ = Y2 = Y. Zaªó»my, »e dla pewnych r, r0

∈ R zachodzi ρ|X1×X2 = µr oraz ρ|_Y1×Y2 = νr0. Je±li r 6= r0, to λ = µ ⊗ ν.

Dowód. Wyka»emy, »e λ = (Tr× S_r0)∗λ. Poka»emy najpierw, »e warunek (3) w lemacie 2.8 jest speªniony dla π-ukªadu zbiorów produktowych oraz dla izomor-zmu φ := T−r× S−r0 dziaªaj¡cego z (X1× Y1, λ) do (X2× Y2, λ). Innymi sªowy, dla ka»dego A ∈ B oraz B ∈ C mamy

ρ(A × B × (T−r× S−r0)(A × B)^c) = ρ((A × B)^c× (T−r× S−r0)(A × B)) = 0. Rzeczywi±cie, skoro µr oraz νr0 s¡ poª¡czeniami wykresowymi, to z lematu 2.8 otrzy-mujemy, »e dla dowolnych A ∈ B oraz B ∈ C zachodzi

µr(A × T−rA^c) = 0 oraz νr0(B × T−rB^c) = 0. Jako, »e ρ|X1×X₂ = µ_r oraz ρ|Y1×Y₂ = ν_r0, to

ρ(A × B × (T−r× S−r0)(A × B)^c) = ρ(A × B × T−rA^c× S−r0B)

+ ρ(A × B × T−rA^c× S−r0B^c) + ρ(A × B × T−rA × S−r0B^c) ¬ 2ρ(A × Y × T_−rA^c× Y ) + ρ(X × B × X × S_−r0B^c) = 2µr(A × T−rA^c) + νr0(B × S−r0B^c) = 0 oraz ρ((A × B)^c× T−rA × S−r0B) = ρ(A^c× B × T−rA × S−r0B) + ρ(A^c× Bc× T−rA × S−r0B) + ρ(A × B^c× T−rA × S−r0B) ¬ 2ρ(Ac× Y × T−rA × Y ) + ρ(X × B^c× X × S−r0B) = 2µ_r(A^c× T−rA) + ν_r0(B^c× S−r0B) = 0.

Udowodnili±my zatem, »e warunek (3) w lemacie 2.8 jest speªniony dla π-ukªadu zbiorów produktowych. Skoro ρ ∈ Je

2(T ×S, λ), to z uwagi na warunek (2) w lemacie 2.8 uzyskujemy

λ(A × B) = ρ(A × B × X × Y ) = ρ(X × Y × T−rA × S−r0B) = λ(T−rA × S−r0B) = (T_r× S_r0)∗λ(A × B),

dla wszystkich A ∈ B oraz B ∈ C. Jako, »e π-ukªad zbiorów produktowych generuje B ⊗C, otrzymujemy, »e miary λ i (Tr×S_r0)∗λs¡ sobie równe. Ze wzgl¦du na (T ×S) -niezmienniczo±¢ miary λ otrzymujemy, »e λ jest (Id×Sr−r0)-niezmiennicza. Skoro S jest potokiem sªabo mieszaj¡cym, to automorzm Sr−r0 jest ergodyczny, je»eli tylko r 6= r⁰. Jako, »e Id jest rozª¡czna z ka»dym automorzmem ergodycznym (patrz

lemat 2.7), to λ = µ ⊗ ν. 

Twierdzenie 4.2. Zaªó»my, »e dla pewnych ci¡gów rzeczywistych (an)_n∈N i (bn)_n∈N zachodzi µ_an,bn → (1 − α) Z R² µ−t,−udP (t, u) + αξ₁, oraz νan,bn → (1 − α⁰) Z R² ν−t,−udQ(t, u) + α⁰ξ2,

dla pewnych liczb 0 ¬ α, α0 < 1, miar P, Q ∈ P(R2) oraz poª¡cze« ξ1 ∈ J₃(T ), ξ₂ ∈ J₃(S). Zaªó»my ponadto, »e istnieje zbiór B ∈ B(R2) taki, »e

(4.1) (1 − α)P (B) − (1 − α⁰)Q(B) > α⁰. Wtedy potoki T oraz S s¡ rozª¡czne.

Dowód. Niech ξ1 =R

Je

3(T )ρ^Tdκ₁(ρ^T) oraz ξ2 =R

Je

3(S)ρ^Sdκ₂(ρ^S)b¦d¡ rozkªada-mi na skªadowe ergodyczne poª¡cze« ξ1 i ξ2. Niech ponadto

A₁ := {µ_t,u; t, u ∈ R} ⊂ J3^e(T ) oraz A2 := {ν_t,u; t, u ∈ R} ⊂ J3^e(S).

Powy»sze inkluzje wynikaj¡ ze sªabego mieszania potoków T i S. Z uwagi na twier-dzenie Suslina (patrz np. Proposition 4.5.1 w [29]), zbiory A1 i A2, jako obrazy ci¡gªych i ró»nowarto±ciowych odwzorowa« (t, u) 7→ µt,u oraz (t, u) 7→ νt,u, s¡ mie-rzalne.

W dalszej cz¦±ci dowodu b¦dziemy zakªada¢, »e

(4.2) κ₁(A₁) = κ₂(A₂) = 0.

W przeciwnym wypadku przyjmijmy β := 1−κ1(A₁) ­ 0oraz β0 := 1 − κ₂(A₂) ­ 0. Wtedy ξ₁ = (1 − β) Z R² µ−t,−udP⁰(t, u) + βξ₁⁰ i ξ₂ = (1 − β⁰) Z R² ν−t,−udQ⁰(t, u) + β⁰ξ⁰₂, gdzie ξ0 1 ∈ J₃(T ) oraz ξ0

2 ∈ J₃(S) nie posiadaj¡ poª¡cze« z A1 oraz A2 w swoich rozkªadach na skªadowe ergodyczne, natomiast P0 i Q0 s¡ probabilistycznymi miara-mi na R2 b¦d¡cymi obrazami miar warunkowych odpowiednio κ1|A₁ i κ2|A₂ poprzez

odwzorowania µt,u 7→ (t, u) oraz νt,u 7→ (t, u). Wtedy µ_an,bn → (1 − α) Z R² µ_−t,−udP (t, u) + α^(1 − β) Z R² µ_−t,−udP⁰(t, u) + βξ₁^0 = (1 − αβ) Z R² µ−t,−ud( ^{1 − α} 1 − αβ^{P +} α(1 − β) 1 − αβ ^P 0 ) + αβξ₁⁰ = (1 − αβ) Z R² µ−t,−ud ¯P + αβξ₁⁰, gdzie ¯P = _1−αβ^1−α P + ^α(1−β)_1−αβ P⁰. Analogicznie ν_an,bn → (1 − α⁰β⁰) Z R² ν−t,−ud ¯Q + α⁰β⁰ξ₂⁰,

gdzie ¯Q = _1−α^1−α0β⁰0Q + ^α_1−α^0(1−β0β⁰0⁾Q⁰. Wtedy dla ka»dego zbioru B speªniaj¡cego (4.1), mamy

(1 − αβ) ¯P (B) − (1 − α⁰β⁰) ¯Q(B)

= (1 − α)P (B) + α(1 − β)P⁰(B) − (1 − α⁰)Q(B) − α⁰(1 − β⁰)Q⁰(B) > α⁰ + α(1 − β)P⁰(B) − α⁰(1 − β⁰)Q⁰(B) ­ α⁰− α⁰(1 − β⁰) = α⁰β⁰.

Wystarczy zatem zamieni¢ P, Q na ¯P , ¯Q oraz α, α0 na αβ, α0β⁰. Wówczas speªnione s¡ zaªo»enia twierdzenia, a ponadto speªniony jest tak»e warunek (4.2).

Niech λ ∈ Je(T , S). Poka»emy, »e λ = µ ⊗ ν. Rozwa»my ci¡g {λan,bn}_n∈N w Je

3(T ×S, λ). Ze wzgl¦du na zwarto±¢ J3(T ×S, λ)uzyskujemy, »e λan,bn → η zbie-ga sªabo w J3(T × S, λ), ewentualnie przechodz¡c do podci¡gu. Co wi¦cej, z zaªo»e« uzyskujemy η|X1×X2×X3 = (1 − α) Z R² µ−t,−udP (t, u) + αξ₁ oraz η|_Y1×Y₂×Y₃ = (1 − α⁰) Z R² ν−t,−udQ(t, u) + α⁰ξ₂. Niech hT : R² → A₁ oraz hS

: R² → A₂ b¦d¡ dane wzorami hT(t, u) := µ−t,−u

i hS(t, u) := ν−t,−u. Wtedy (4.3) η|_X1×X2×X3 = Z Je 3(T ) ρ^T d((1 − α)h^T_∗P + ακ₁)(ρ^T), oraz (4.4) η|_Y1×Y₂×Y₃ = Z Je 3(S) ρ^Sd((1 − α⁰)h^S_∗Q + α⁰κ₂)(ρ^S). Niech teraz η = R Je

3(T ×S,λ)ψdκ(ψ) b¦dzie rozkªadem na skªadowe ergodyczne

poª¡czenia η. Uzyskujemy wtedy, »e η|_X1×X2×X3 = Z Je 3(T ×S,λ) ψ|_X1×X2×X3dκ(ψ), oraz η|_Y1×Y2×Y3 = Z Je 3(T ×S,λ) ψ|_Y1×Y2×Y3dκ(ψ). Skoro ψ ∈ Je 3(T × S), to ψ|X1×X2×X3 ∈ Je

3(T ) oraz ψ|Y1×Y2×Y3 ∈ Je

3(S). Rozwa»my odwzorowania ΩT : J₃^e(T × S, λ) → J₃^e(T ) i ΩS : J₃^e(T × S, λ) → J₃^e(S) dane wzorami

Mamy η|_X1×X2×X3 = Z Je 3(T ) ρ^Td(Ω^T_∗κ)(ρ^T), i η|_Y1×Y2×Y3 = Z Je 3(S) ρ^Sd(Ω^S_∗κ)(ρ^S).

Porównuj¡c powy»sze wyra»enia z (4.3) i (4.4) i u»ywaj¡c jednoznaczno±ci rozkªadu na skªadowe ergodyczne otrzymujemy

(4.5) Ω^T_∗κ = (1 − α)h^T_∗P + ακ₁ i Ω^S_∗κ = (1 − α⁰)h^S_∗Q + α⁰κ₂. Niech teraz

A := {ψ ∈ J₃^e(T × S, λ) : ∃t, u, t⁰, u⁰ ∈ R, (t, u) 6= (t⁰, u⁰),

ψ|_X1×X2×X3 = µ−t,−u, ψ|_Y1×Y2×Y3 = ν−t0,−u0}. Poka»emy teraz, »e κ(A) > 0. Dla dowolnych mierzalnych podzbiorów C ⊂ Je

3(T )i D ⊂ Je

3(S)oznaczmy przez C ¯×D zbiór wszystkich poª¡cze« ψ ∈ Je

3(T ×S, λ) takich, »e ψ|X1×X₂×X₃ ∈ C i ψ|Y1×Y₂×Y₃ ∈ D.

Zaªó»my, »e κ(A) = 0. Niech B ⊂ R2 b¦dzie zbiorem speªniaj¡cym (4.1). Je±li (t, u) ∈ B, to z denicji hT i hS uzyskujemy µ−t,−u ∈ hT(B) oraz ν−t,−u ∈ hS(B). Ponadto warunki κ(A) = 0 oraz hT(B) ¯×(A₂\ hS(B)) ⊂ Aimplikuj¡

(4.6) κ(h^T(B) ¯×A₂) = κ(h^T(B) ¯×h^S(B)).

Zauwa»my, »e κ1(h^T(B)) ¬ κ₁(A₁) = 0. St¡d, z (4.5) i (4.6) wynika, »e (1 − α)P (B) = (1 − α)h^T_∗P (h^T(B)) = [(1 − α)h^T_∗P + ακ₁](h^T(B)) = Ω^T_∗κ(h^T(B)) = κ(h^T(B) ¯×Je 3(S)) = κ(h^T(B) ¯×A₂) + κ(h^T(B) ¯×(J₃^e(S) \ A₂)) = κ(h^T(B) ¯×h^S(B)) + κ(h^T(B) ¯×(Je 3(S) \ A₂)). (4.7)

Analogicznie otrzymujemy, »e (4.8)

(1 − α⁰)Q(B) = (1 − α⁰)h^S_∗Q(h^S(B)) = κ(h^T(B) ¯×h^S(B)) + κ((J₃^e(T ) \ A₁) ¯×h^S(B)). Ponadto ze wzgl¦du na (4.5), uzyskujemy

κ(h^T(B) ¯×(J₃^e(S) \ A₂)) ¬ κ(J₃^e(T ) ¯×(J₃^e(S) \ A₂))

= Ω^S_∗κ(J₃^e(S) \ A₂) = α⁰κ₂(J₃^e(S) \ A₂) = α⁰.

Skoro (1 − α)P (B) − (1 − α0)Q(B) > α⁰, to przez odj¦cie od siebie (4.7) i (4.8) otrzymujemy α⁰ < (1 − α)h^T_∗P (h^T(B)) − (1 − α⁰)h^T_∗Q(h^S(B)) = (κ(h^T(B) ¯×hS (B)) + κ(h^T(B) ¯×(Je 3(S) \ A2))) − (κ(h^T(B) ¯×h^S(B)) + κ((J₃^e(T ) \ A₁) ¯×h^S(B))) = κ(h^T(B) ¯×(Je 3(S) \ A₂)) − κ((J₃^e(T ) \ A₁) ¯×h^S(B)) ¬ α⁰,

co doprowadziªo do sprzeczno±ci. Z tego wynika, »e κ(A) > 0, co poci¡ga, »e A jest niepusty. Innymi sªowy, istnieje takie poª¡czenie ψ ∈ A ⊂ Je

ψ|_X1×X2×X3 = µ_t,u oraz ψ|Y1×Y2×Y3 = ν_t0,u0 gdzie (t, u) 6= (t0, u⁰). Zaªó»my, »e t 6= t0

(przypadek, gdy u 6= u0 jest analogiczny). Wtedy φ := Π1,3(ψ) ∈ J₂^e(T ×S, λ)speªnia φ|_X1×X₃ = µ_t oraz φ|_Y1×Y₃ = ν_t0.

Zatem z lematu 4.1 otrzymujemy, »e λ = µ ⊗ ν.

 U»yteczna dla nas b¦dzie równie» uproszczona wersja powy»szego twierdzenia, gdy α = 0.

Wniosek 4.3. Niech T = {Tt}_t∈Ri S = {St}_t∈Rb¦d¡ sªabo mieszaj¡cymi potoka-mi dziaªaj¡cypotoka-mi na standardowych przestrzeniach borelowskich odpowiednio (X, B, µ) i (Y, C, ν). Zaªó»my, »e dla pewnych ci¡gów rzeczywistych (an)_n∈Ni (bn)_n∈N, zachodzi

µ_an,bn → Z R² µ−t,−udP (t, u) oraz νan,bn → Z R² ν−t,−udQ(t, u),

dla pewnych miar probabilistycznych P, Q ∈ P(R2). Je±li P 6= Q, to T oraz S s¡ rozª¡czne.

Niech θ : R2 → R2 b¦dzie dane wzorem θ(t, u) = (t, t − u). Poni»szy rezultat pokazuje jak w duchu twierdzenia 4.2 wykaza¢, »e potok jest rozª¡czny ze swoim odwrotnym.

Wniosek 4.4. Zaªó»my, »e dla pewnego ci¡gu rzeczywistego (an)_n∈N zachodzi µ_2an,an → (1 − α)

Z

R²

µ−t,−udP (t, u) + αξ

dla pewnej liczby 0 ¬ α < 1 miary P ∈ P(R2) oraz poª¡czenia ξ ∈ J3(T ). Zaªó»my równie», »e istnieje zbiór B ∈ B(R2) taki, »e

(4.9) P (B) − θ∗P (B) > ^α

1 − α^.

Wtedy potok T jest rozª¡czny ze swoim potokiem odwrotnym.

Dowód. Zgodnie z denicj¡ zbie»no±ci poª¡cze« dla dowolnych zbiorów A, B, C ∈ B zachodzi

(4.10) µ2an,an(A × B × C) → (1 − α)

Z

R²

µ−t,−u(A × B × C)dP (t, u) + αξ(A × B × C).

Zamieniaj¡c kolejno±¢ zbiorów, uzyskujemy µ_2an,an(C × B × A) → (1 − α)

Z

R²

µ−t,−u(C × B × A)dP (t, u) + αξ(C × B × A).

Jednak»e korzystaj¡c z T -niezmienniczo±ci miary µ, uzyskujemy µ_2an,an(C × B × A) = µ(T−2anC ∩ T_−anB ∩ A) = µ(C ∩ TanB ∩ T_2anA) = µ−2an,−an(A × B × C). Z drugiej strony Z R² µ−t,−u(C × B × A)dP (t, u) = Z R² µ(T_tC ∩ T_uB ∩ A)dP (t, u) = Z R² µ(C ∩ T_u−tB ∩ T_−tA)dP (t, u) = Z R² µ_t,t−u(A × B × C)dP (t, u)

Je±li dodatkowo oznaczymy przez ˆξ taki element J3(T ), »e dla dowolnych A, B, C ∈ B zachodzi ˆξ(A × B × C) = ξ(C × B × A), to otrzymujemy

(4.11) µ−2an,−an(C ×B×A) → (1−α)

Z

R²

µ_t,u(A×B×C)dθ∗P (t, u)+α ˆξ(A×B×C). Rozpatruj¡c w twierdzeniu 4.2 zbie»no±¢ 4.10 dla potoku w przód oraz 4.11 dla potoku w tyª a tak»e zbiór B z zaªo»enia, uzyskujemy tez¦ wniosku.  W tym miejscu nale»y zaznaczy¢, »e przy sprawdzaniu rozª¡czno±ci potoku spe-cjalnego ze swoim odwrotnym miar, które b¦dziemy porównywa¢ w kryterium 4.4, dostarcza¢ nam b¦dzie twierdzenie 3.9. Jednak»e cz¦sto o mierze P wyst¦puj¡cej w tym twierdzeniu nie b¦dziemy mogli powiedzie¢ wi¦cej ni» to, »e ta miara istnieje. Okazuje si¦ jednak, »e stosuj¡c pewne proste rzutowanie, mo»emy upro±ci¢ rachunki na tyle, aby móc powiedzie¢ wi¦cej o mierze P . Niech ξ : R2 → R b¦dzie dane wzorem ξ(t, u) := t − 2u.

Twierdzenie 4.5. Niech T b¦dzie zachowuj¡cym miar¦ automorzmem na pro-babilistycznej standardowej przestrzeni borelowskiej (X, B, µ). Niech f ∈ L2(X, µ) b¦dzie funkcj¡ dodatni¡ odgraniczon¡ od zera. Przypu±¢my, »e istnieje ci¡g {Wn}_n∈N zbiorów mierzalnych w X, rosn¡cy ci¡g liczb naturalnych {qn}_n∈N, oraz ci¡g rzeczy-wisty {an}_n∈N taki, »e speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:

(4.12) µ(W_n) → 1 − α dla pewnego 0 ¬ α < 1,

(4.13) µ(W_n4T⁻¹W_n) → 0,

(4.14) {qn}_n∈N jest ci¡giem sztywno±ci dla T wzdªu» {Wn}_n∈N,

(4.15) ci¡g ^{ Z} Wn |f(qn) (x) − an|2dµ(x)  n∈N jest ograniczony, (4.16) ci¡g ^{ Z} Wn |f(2qn)(x) − 2a_n|2dµ(x)  n∈N jest ograniczony, (4.17) (f^(2qn)(x) − 2a_n, f^(qn)(x) − a_n)∗(µ_Wn) → P sªabo w P(R2). Je±li istnieje taki zbiór borelowski B ∈ B, »e

(4.18) ξ∗P (B) − (−ξ)∗P (B) > ^α

1 − α^,

to je±li potok specjalny Tf na Xf jest sªabo mieszaj¡cy, to jest tak»e rozª¡czny ze swoim potokiem odwrotnym.

Dowód. Poka»emy, »e gdy rozpatrzymy q0

n = 2q_n oraz a0

n = 2a_n dla n ∈ N, to speªnione s¡ zaªo»enia twierdzenia 3.9. Rzeczywi±cie, wªasno±ci (4.12)-(4.17) odpo-wiadaj¡ bezpo±rednio zaªo»eniom (3.1),(3.2),(3.3),(3.5), (3.6) oraz (3.7). Poka»emy, »e z (4.14) wynika, »e {2qn}_n∈N jest ci¡giem sztywno±ci dla T wzdªu» {Wn}_n∈N. Z denicji sztywno±ci wzdªu» ci¡gu mamy

µ((T^−qnA4A) ∩ W_n) → 0 dla dowolnego A ∈ B.

Korzystaj¡c z nierówno±ci trójk¡ta dla ró»nicy symetrycznej uzyskujemy

µ((T^−2qnA4A) ∩ W_n) ¬ µ((T^−2qnA4T^−qnA) ∩ W_n) + µ((T^−qnA4A) ∩ W_n) = 2µ((T^−qnA4A) ∩ W_n) → 0,

co oznacza po»¡dan¡ sztywno±¢ dla ci¡gu {2qn}_n∈N. Speªnione jest zatem zaªo»enie (3.4).

Zauwa»my teraz, »e ξ ◦ θ(t, u) = 2u − t = −ξ(t, u). A zatem z zaªo»enia mamy ξ_∗P (B) − ξ_∗θ_∗P (B) > ^α

1 − α^. St¡d

P (ξ⁻¹B) − θ∗P (ξ⁻¹B) > ^α 1 − α^.

Speªnione s¡ zatem zaªo»enia wniosku 4.4, a wi¦c potok Tf jest rozª¡czny ze swoim

odwrotnym. 

Uwaga 4.6. Z powy»szego twierdzenia wynika, »e aby wnioskowa¢ o rozª¡czno-±ci potoku ze swoim potokiem odwrotnym, wystarczy wiedzie¢, »e miara ξ∗P jest niesymetryczna. Zauwa»my jednak, »e je±li

(f^(2qn), f^(qn) )∗µ_Wn → P, to po zadziaªaniu ξ otrzymujemy ξ∗(f^(2qn), f^(qn))∗µ_Wn → ξ∗P. Jednak»e ξ∗(f^(2qn), f^(qn))(x) = ξ^ 2qn−1 X i=0 f (Tⁱx), qn−1 X i=0 f (Tⁱx)^ = 2qn−1 X i=qn f (Tⁱx) − qn−1 X i=0 f (Tⁱx) = qn−1 X i=0 (f (T^i+qnx) − f (Tⁱx)).

Aby skorzysta¢ z kryterium o rozª¡czno±ci potoku z jego potokiem odwrotnym dla potoków specjalnych nad przekªadaniami odcinków, b¦dziemy wykazywa¢, »e miara

(4.19) ξ∗P = lim n→∞( qn−1 X i=0 (f (T^i+qnx) − f (Tⁱx)))∗LebWn

jest dostatecznie niesymetryczna, w sensie wyra»onym w twierdzeniu 4.4.

Poni»szy rezultat stwierdza, kiedy mo»na wnioskowa¢ o sªabym mieszaniu poto-ku, patrz¡c na stowarzyszone z nim granice ci¡gów poª¡cze« wykresowych.

Lemat 4.7. Niech T = {Tt}_t∈R b¦dzie potokiem ergodycznym na (X, B, µ) i za-ªó»my, »e istnieje rosn¡cy ci¡g rzeczywisty {bn}_n∈N, liczba rzeczywista ρ ∈ [0, 1) oraz miara probabilistyczna P ∈ P(R2) taka, »e

(4.20) µ_2bn,bn → (1 − ρ)

Z

R²

µ−t,−udP (t, u) + ρψ,

dla pewnego ψ ∈ J3(T ). Je±li no±nik P nie zawiera si¦ w »adnej kracie anicznej w R2, to T jest sªabo mieszaj¡cy. W szczególno±ci, je»eli istniej¡ dwie wymiernie niezale»ne liczby d1 i d2 takie, »e d1, d₂ i 0 s¡ atomami ξ∗P, to potok T jest sªabo mieszaj¡cy.

Dowód. Zaªó»my, »e no±nik miary P nie jest zawarty w »adnej kracie anicznej a potok T nie jest sªabo mieszaj¡cy. Wtedy istnieje funkcja f ∈ L2(X, µ) ró»na od staªej oraz liczba a ∈ R \ {0} taka, »e

Przypomnijmy, »e σ1 : R² → R oznacza rzutowanie na pierwsz¡ wspóªrz¦dn¡. Po-przez zadziaªanie Ψ◦Π1,3(patrz (2.2)) do (4.20) oraz u»ycie (2.3) i (2.4), uzyskujemy

T_2bn → (1 − ρ)

Z

R

T_tdP₁(t) + ρΨ₁,

gdzie P1 := (σ₁)∗P a Ψ1 jest operatorem Markowa. Niech h·, ·i b¦dzie iloczynem skalarnym na L2(X, µ). Z (4.21), uzyskujemy

kf k2 = |hf, f i| = |hf, e^−2πiatf i| = |hf, f ◦ T_ti| = |hf, f ◦ T_2bni| dla ka»dego n ∈ N. Gdy n → ∞, to dostajemy

kf k² = |hf, f ◦ T_2bni| =      f, (1 − ρ) Z R f ◦ TtdP₁(t) + ρΨ₁(f )    . Z drugiej strony, z faktu »e operator Markowa jest kontrakcj¡, otrzymujemy, »e

     f, (1 − ρ) Z R f ◦ T_tdP₁(t) + ρΨ₁(f )     ¬ (1 − ρ)      f, Z R f ◦ TtdP1(t)    + ρ|hf, Ψ1(f )i| ¬ (1 − ρ)     Z R hf, f ◦ T_tidP₁(t)    + ρkf k² = (1 − ρ)kf k²     Z R e^−2πiatdP₁(t)    + ρkf k² Zatem     Z R e^−2πiatdP₁(t)     = 1 to jest Z R

e^−2πiatdP₁(t) = e^−2πib dla pewnego b ∈ R. Wynika st¡d, »e

Z

R

e^{−2πi(at−b)}dP₁(t) = 1. To poci¡ga ze sob¡, »e

P₁({t ∈ R; at − b ∈ Z}) = 1.

Rozwa»my teraz P2 := (σ₂)_∗P. Analogicznie, poprzez zastosowanie Ψ◦Π2,3do (4.20), otrzymujemy

P₂({u ∈ R; au − c ∈ Z}) = 1 dla pewnego c ∈ R. Š¡cz¡c dwa powy»sze rezultaty, uzyskujemy

(4.22) P^{(t, u) ∈ R2

; a(t, u) − (b, c) ∈ Z²}^= 1,

co jest sprzeczno±ci¡ z naszym zaªo»eniem. St¡d je±li no±nik P nie zawiera si¦ w a-nicznej kracie, to potok T jest sªabo mieszaj¡cy.

Przypu±¢my teraz, »e ξ∗P posiada atomy w punktach 0, d1 and d2. Zaªó»my ponownie, »e T nie jest sªabo mieszaj¡cy i »e e2πia, a 6= 0, jest warto±ci¡ wªasn¡. Z denicji odwzorowania ξ, ka»da z prostych (x,1

2(x − d_i)) dla i = 1, 2 oraz prosta (x,¹₂x) ma dodatni¡ miar¦ P . To razem z (4.22) implikuje istnienie x0, x₁, x₂ ∈ R, such that

a(x0,¹₂x0) − (b, c) ∈ Z², a(x₁,1

2(x₁− d₁)) − (b, c) ∈ Z², a(x₂,¹₂(x₂− d₂)) − (b, c) ∈ Z².

To poci¡ga z kolei, »e

a(x₁− x₀,¹₂(x₁− x₀) − ¹₂d₁) ∈ Z², a(x₂− x₀,¹₂(x₂− x₀) − ¹₂d₂) ∈ Z².

Poprzez zadziaªanie ξ na powy»szych równo±ciach uzyskujemy, »e ad1 ∈ Z oraz ad2 ∈ Z. Skoro a, d1, d₂ 6= 0, to otrzymujemy, »e (ad1)d₂− (ad₂)d₁ = 0 jest nietrywialn¡ caªkowit¡ kombinacj¡ liniow¡ liczb d1 i d2. Z wymiernej niezale»no±ci liczb d1 i d2

W dokumencie Problem rozłączności potoku ergodycznego z potokiem odwrotnym (Stron 60-70)