Potoki translacyjne rozª¡czne ze swoimi odwrotnymi s¡

G

_δ

-g¦ste

W tym rozdziale, wykorzystuj¡c narz¦dzia przygotowane w poprzednich roz-dziaªach, dowodzimy fundamentalnego twierdzenia 9.6, z którego z kolei wynika bezpo±rednio twierdzenie 1.1. Na pocz¡tku rozdziaªu podany jest równie» dowód twierdzenia 1.2.

Poni»szy kluczowy rezultat wynika z dowodu wniosku 3.3 w [8].

Twierdzenie 9.1. Niech (X, B(X), µ) b¦dzie probabilistyczn¡ standardow¡ prze-strzeni¡ borelowsk¡ oraz niech F low(X) b¦dzie przeprze-strzeni¡ potoków zachowuj¡cych miar¦ µ na X. Wtedy zbiór sªabo mieszaj¡cych potoków, które s¡ rozª¡czne ze swoimi odwrotnymi jest Gδ-g¦sty.

Nast¦puj¡cy ogólny rezultat pozwoli nam w szczególno±ci przenie±¢ warunek Gδ

dla zbioru na dowoln¡ skªadow¡ spójno±ci przestrzeni moduli.

Lemat 9.2. Niech Prop b¦dzie wªasno±ci¡ tak¡, »e zbiór elementów posiadaj¡-cych t¡ wªasno±¢ jest podzbiorem Gδ-g¦stym w F low(X). Wtedy na ka»dej skªadowej spójno±ci C przestrzeni M, zbiór struktur translacyjnych, dla których pionowy potok translacyjny ma wªasno±¢ Prop jest podzbiorem typu Gδ w C.

Dowód. Niech C b¦dzie skªadow¡ spójno±ci przestrzeni M. Przy pomocy twier-dzenia 8.4 wiemy, »e dla ka»dego ζ ∈ C istnieje otwarte otoczenie Uζ i ci¡gªe odwzo-rowanie Sζ : U_ζ → F low(X)takie, »e dla ka»dej ω ∈ Uζ pionowy potok translacyjny Tω jest izomorczny teoriomiarowo z Sζ(ω). Skoro C jest rozmaito±ci¡ topologicz-n¡, to jest σ-zwarta. Zatem istnieje ci¡g struktur translacyjnych {ζn}_n∈N taki, »e

S

n∈NUζn = C. Dla ka»dego n ∈ N mamy, »e

Yζn : = {ω ∈ Uζn; T^ω speªnia Prop} = {ω ∈ U_ζn; S_ζn(ω) speªnia Prop} = S⁻¹_ζn{T ∈ F low(X); T speªnia Prop}

jest zbiorem typu Gδ w Uζn. Z lematu 8.5, to daje, »e zbiór tych ω ∈ C, dla których

Tω speªnia Prop, jest zbiorem typu Gδ w C. 

Poprzez rozwa»enie twierdzenia 9.1 razem ze stwierdzeniem 9.2 otrzymujemy poni»szy rezultat.

Wniosek 9.3. Zbiór tych struktur translacyjnych ζ, dla których pionowy potok translacyjny na (M, ζ) jest sªabo mieszaj¡cy i rozª¡czny ze swoim odwrotnym jest zbiorem typu Gδ na ka»dej skªadowej spójno±ci C w przestrzeni moduli.

Przedstawimy teraz oznaczenia, które b¦dziemy u»ywa¢ do ko«ca tego rozdziaªu. Niech C ⊂ M b¦dzie niehipereliptyczn¡ skªadow¡ spójno±ci przestrzeni moduli, tj. C nie jest postaci Mhyp(2g − 2) lub Mhyp(g − 1, g − 1) dla »adnego g ­ 2.

Niech π = (π0, π₁) b¦dzie permutacj¡ alfabetu A skªadaj¡cego si¦ z d elementów z odpowiadaj¡cej C rozszerzonej klasy Rauzy'ego speªniaj¡c¡

(9.1) π₀⁻¹(1) = π⁻¹₁ (d) i π−1

0 (d) = π₁⁻¹(1).

Taka permutacja istnieje dzi¦ki twierdzeniu 2.16 a z wyboru C wynika, »e nie jest ona symetryczna. Niech Ωπ b¦dzie macierz¡ translacji stowarzyszon¡ z π. Z wniosku 5.2 istniej¡ symbole a1, a₂ ∈ A takie, »e

(9.2) (Ω_π)_a1a2 = (Ω_π)_a2a1 = 0

a dla ka»dego wymiernie niezale»nego wektora τ ∈ RA liczby (Ω_πτ )_a2 − (Ω_πτ )_a1 oraz (Ωπτ )_a1 − ((Ω_πτ )_π−1

0 (1)+ (Ω_πτ )_π−1

0 (d)) s¡ wymiernie niezale»ne.

Nast¦puj¡cy rezultat, b¦d¡cy bezpo±rednim wnioskiem z lematu 2.40, jest jed-nym z gªównych narz¦dzi potrzebnych do uzyskania g¦sto±ci w gªówjed-nym rezultacie tego rozdziaªu.

Lemat 9.4. Zbiór

C∗ := {M (π, λ, τ ) ∈ C; (π, λ, τ ) ∈ Θ^∗_π, λ_a= 0 dla a ∈ A \ {π−1

0 (1), π⁻¹₀ (d), a₁, a₂}} jest g¦sty w C.

Zanim udowodnimy gªówny rezultat tego rozdziaªu dowiedziemy twierdzenia 1.2, które dotyczy g¦sto±ci struktur translacyjnych dla których pionowy potok transla-cyjny jest izomorczny ze swoim odwrotnym.

Dowód twierdzenia 1.2. Korzystaj¡c z lematu 2.40 dla zbioru D := A \ {π⁻¹₀ (1), π⁻¹₀ (d)}, otrzymujemy, »e zbiór

C∗∗ := {M (π, λ, τ ) ∈ C; (π, λ, τ ) ∈ Θ^∗_π, λa = 0 dla a ∈ A \ {π−1

0 (1), π₀⁻¹(d)}} jest g¦sty w C. Dla ka»dego (π, λ, τ) ∈ Θ∗

π takiego, »e ζ := M(π, λ, τ) ∈ C∗∗, zdeniujmy ˜ λ₁ := λ_π−1 0 (1), τ˜₁ := τ_π−1 0 (1) _λ˜_{d := λ} π⁻¹₀ (d), τ˜d:= τ_π−1 0 (d) oraz ˜ λ∗ := ^X 2¬j¬d−1 λ_π−1 0 (j) = 0, τ˜∗ := ^X 2¬j¬d−1 τ_π−1 0 (j).

Pionowy potok translacyjny na ζ = M(π, λ, τ) ∈ C∗∗ jest teorio-miarowo izomor-czny z pionowym potokiem stowarzyszonym ze struktur¡ translacyjn¡ (M∗, ζ_∗), wyznaczon¡ przez wektory ˜λ1+ i˜τ₁, ˜λ∗+ i˜τ∗ oraz ˜λd+ i˜τ_d(patrz rys. 1) oraz permu-tacj¦ symetryczn¡ trzech symboli. Zauwa»my »e wielok¡t wyznaczony przez powy»-sze wektory jest ±rodkowosymetryczny. Owa symetria zachowuje miar¦ Lebesgue'a na powierzchni oraz zadaje izomorzm pomi¦dzy potokiem pionowym na (M∗, ζ∗) a potokiem do niego odwrotnym. Jako, »e pionowe potoki translacyjne na (M∗, ζ∗) oraz (M, ζ) s¡ izomorczne, to pionowy potok translacyjny na (M, ζ) równie» jest

izomorczny ze swoim odwrotnym. 

Reprezentacja specjalna pionowego potoku translacyjnego stowarzyszonego ze struktur¡ translacyjn¡ ze zbioru C∗ zdeniowanym jak w lemacie 9.4, jest poto-kiem specjalnym nad przekªadaniem odcinków pod kawaªkami staª¡ funkcj¡ dachow¡ z punktami nieci¡gªo±ci, które pokrywaj¡ si¦ z punktami nieci¡gªo±ci przekªadania z podstawy. Ze wzgl¦du na denicj¦ C∗ wszystkie odcinki w podstawie tego potoku

Rysunek 1. Struktura translacyjna ζ ∈ C∗∗ wraz ze stowarzyszon¡ struktur¡ ζ∗, której reprezentacja wielok¡tna jest ±rodkowosymetrycz-na.

odpowiadaj¡ce symbolom a ∈ A \ {π−1

0 (1), π⁻¹₀ (d), a₁, a₂} s¡ zerowej dªugo±ci. St¡d oraz z (9.1) i (9.2) pionowy potok stowarzyszony ze struktur¡ z C∗ mo»emy identy-kowa¢ z potokiem specjalnym nad przekªadaniem trzech odcinków, z kawaªkami staª¡ funkcj¡ dachow¡, która ma punkty nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci przekªada-nia oraz jeden dodatkowy wewn¡trz ±rodkowego odcinka. Do takiej reprezentacji mo»emy zastosowa¢ lewo- lub prawostronn¡ indukcj¦ Rauzy'ego. Po zastosowaniu indukcji otrzymujemy reprezentacj¦ specjaln¡ nad przekªadaniem dwóch odcinków z kawaªkami staª¡ funkcj¡ dachow¡ z trzema punktami nieci¡gªo±ci, z których jeden pokrywa si¦ z punktem nieci¡gªo±ci przekªadania dwóch odcinków. Równowa»nie ta-ki potok mo»na rozwa»a¢ jako potok specjalny nad obrotem na okr¦gu i pod funkcj¡ dachow¡ o czterech punktach nieci¡gªo±ci.

Przedstawimy teraz rezultat, który jest przeformuªowaniem twierdzenia 6.7 dla d = 2. Je»eli zajdzie taka potrzeba, podczas dowodu nast¦puj¡cego lematu dla ka»-dego x > 0 b¦dziemy identykowa¢ R/xZ z [0, x).

Lemat 9.5. Istnieje podzbiór ∆0 ⊂ ∆ := {(x, y) ∈ R2

>0; 0 < y < x} peªnej miary Lebesgue'a w ∆ z wªasno±ci¡ tak¡, »e dla ka»dych (l, α) ∈ ∆0 istnieje podzbiór D_l,α⊂ (R/lZ)2 peªnej miary Lebesgue'a taki, »e dla ka»dych (β1, β₂) ∈ Dl,α mamy

• liczby 0, l − α, β1 i β2 s¡ ró»ne w R/lZ i

• je»eli Tα jest obrotem na R/lZ o α ∈ R/lZ oraz h : R/lZ → R>0 jest kawaªkami staª¡ funkcj¡ z czterema punktami nieci¡gªo±ci w 0, l − α, β1, β₂ oraz wymiernie niezale»nymi skokami w β1 i β2, to potok specjalny Th

α jest sªabo mieszaj¡cy i rozª¡czny ze swoim potokiem odwrotnym.

Dowód. Z twierdzenia 6.7 zastosowanego dla d = 2 oraz r = 2 istnieje zbiór peªnej miary Λ ⊂ [0, 1) taki, »e dla ka»dego α ∈ Λ istnieje podzbiór Dα ⊂ [0, 1)2

peªnej miary Lebesgue'a, dla którego je±li Tf

α jest potokiem specjalnym nad obrotem T_α i pod kawaªkami staª¡ funkcj¡ f z nieci¡gªo±ciami w 1 − α, β1, β₂ takimi, »e (β₁, β₂) ∈ D_α oraz skoki w β1, β₂ s¡ wymiernie niezale»ne, to potok ten jest sªabo mieszaj¡cy i rozª¡czny ze swoim odwrotnym.

Dla ka»dego l > 0 deniujemy odwzorowanie l : [0, 1) → [0, l) dane przez l(x) = lx. Rozwa»amy równie» l jako przeksztaªcenie dziaªaj¡ce z R/Z do R/lZ. Dla ka»dego l > 0 niech Λl = l(Λ) ⊂ [0, l) = R/lZ oraz niech Dl,α = (l × l)(D_l−1α) ⊂ [0, l)2 = (R/lZ)2 dla dowolnego α ∈ [0, l). Deniujemy zbiór ∆0 := {(x, y); x > 0, y ∈ Λ_x}.

Zauwa»my, »e ∆0 jest zbiorem peªnej miary Lebesgue'a w ∆ a dla ka»dego l > 0 i α ∈ Λl zbiór Dl,α jest peªnej miary Lebesgue'a w (R/lZ)2.

We¹my (l, α) ∈ ∆0 oraz (β1, β₂) ∈ Dl,α. Z denicji Λ i Dl−1α, punkty 0, l − α, β1 oraz β2 s¡ parami ró»ne. Niech h: R/lZ → R>0 b¦dzie kawaªkami staª¡ funkcj¡, która ma dokªadnie cztery punkty nieci¡gªo±ci w 0, l − α, β1 and β2. Zaªó»my, »e skoki dβ1 i dβ2 w odpowiednio punktach β1 i β2 s¡ wymiernie niezale»ne. Rozwa»my potok specjalny Th

α na [0, l)h. Odwzorowanie (l−1× Id) : [0, l)h → [0, 1)h◦l wyznacza izomorzm pomi¦dzy potokami Th

α i Th◦l

l−1α. Funkcja dachowa h ◦ l ma cztery punkty nieci¡gªo±ci w 0, 1 − l−1α, l⁻¹β1 oraz l−1β2 a tak»e skoki dβ1 i dβ2 w l−1β1 i l−1β2

odpowiednio. Co wi¦cej, l−1α ∈ Λ oraz (l−1β₁, l⁻¹β₂) ∈ D_l−1α. Zatem z doboru zbiorów Λ i Dl−1α potok Th◦l

l−1α jest sªabo mieszaj¡cy i rozª¡czny ze swoim potokiem odwrotnym. Poniewa» Th◦l

l−1α i Th

α s¡ izomorczne, Th

α tak»e jest sªabo mieszaj¡cy

i rozª¡czny ze swoim potokiem odwrotnym. 

Przedstawimy teraz twierdzenie, z którego bezpo±rednio wynika gªówny rezultat rozprawy, czyli twierdzenie 1.1

Twierdzenie 9.6. W ka»dej niehipereliptycznej skªadowej spójno±ci przestrzeni moduli, zbiór takich struktur translacyjnych, »e stowarzyszony pionowy potok trans-lacyjny jest sªabo mieszaj¡cy i rozª¡czny ze swoim potokiem odwrotnym jest zbiorem g¦stym typu Gδ.

Dowód. Z uwagi na wniosek 9.3, zbiór struktur translacyjnych, których sto-warzyszone pionowe potoki translacyjne s¡ rozª¡czne ze swoimi odwrotnymi, jest zbiorem typu Gδ w ka»dej skªadowej spójno±ci przestrzeni moduli. Poka»emy teraz, »e istnieje g¦sty podzbiór struktur translacyjnych w ka»dej niehipereliptycznej skªa-dowej spójno±ci C przestrzeni moduli M takich, »e stowarzyszone pionowe potoki s¡ sªabo mieszaj¡ce i rozª¡czne ze swoimi potokami odwrotnymi.

Ustalmy dowoln¡ niehipereliptyczn¡ skªadow¡ spójno±ci C przestrzeni moduli M. Przypomnijmy, »e z twierdzenia 2.16 dla pewnego d ­ 2 oraz alfabetu A skªa-daj¡cego si¦ z d elementów, istnieje permutacja π = (π0, π₁) ∈ S₀^A nale»¡ca do rozszerzonego grafu Rauzy'ego stowarzyszonego z C taka, »e

π₁(π₀⁻¹(1)) = d oraz π1(π⁻¹₀ (d)) = 1.

Niech Ω := Ωπ b¦dzie macierz¡ translacji odpowiadaj¡c¡ π. Wtedy, ze wzgl¦du na wniosek 5.2, istniej¡ dwa ró»ne symbole a1, a₂ ∈ A \ {π−1

0 (1), π₀⁻¹(d)}takie, »e

(9.3) Ω_a1a2 = Ω_a2a1 = 0

oraz je±li τ ∈ RA jest wektorem wymiernie niezale»nym, to liczby (Ωτ )a2 − (Ωτ )a1 i (Ωτ)ai− ((Ωτ )_π−1

0 (1)+ (Ωτ )_π−1

0 (d)) s¡ wymiernie niezale»ne dla i = 1, 2.

Niech

Ξ∗ :=ⁿ(π, λ, τ ) ∈ Θ^∗_π; λ_a = 0 dla a ∈ A \ {π−1

0 (1), π⁻¹₀ (d), a₁, a₂}^o

Niech ponadto C∗ := {M (π, λ, τ ) ∈ C; (π, λ, τ ) ∈ Ξ∗}. Z lematu 9.4 jest to g¦-sty podzbiór C. Zatem aby wykaza¢ g¦sto±¢ elementów z »¡dan¡ wªasno±ci¡ w C, wystarczy wykaza¢, »e wªasno±¢ ta jest speªniona dla g¦stego podzbioru w C∗. Wyka-»emy to poprzez wskazanie g¦stego zbioru parametrów w Ξ∗ takich, »e stowarzyszone struktury translacyjne posiadaj¡ docelowe wªasno±ci.

Zauwa»my, »e ze wzgl¦du na twierdzenie 2.17, zbiór Ξ ⊂ Ξ∗ dany przez Ξ := {(π, λ, τ ) ∈ Ξ∗; T_π,λ jest ergodyczne,

λ_π−1

0 (1) 6= λ_π−1

0 (d), τ jest wymiernie niezale»ny} jest g¦sty w Ξ∗.

Niech ζ = M(π, λ, τ) ∈ C∗ speªnia (π, λ, τ) ∈ Ξ. Niech Tζ b¦dzie pionowym po-tokiem translacyjnym na (M, ζ). Przypomnijmy, »e potok Tζ posiada reprezentacj¦ specjaln¡ Th

π,λ nad przekªadaniem odcinków Tπ,λ: [0, |λ|) → [0, |λ|)i pod kawaªkami staª¡ funkcj¡ dachow¡ h: [0, |λ|) → R>0, która jest staªa nad przekªadanymi odcin-kami (patrz podrozdziaª 2.5). Ponadto je»eli rozwa»ymy h = {ha}_a∈A jako wektor warto±ci, gdzie ha jest warto±ci¡ h nad przedziaªem odpowiadaj¡cym symbolowi a, to

(9.4) h_a = −(Ωτ )_a dla a ∈ A.

Jednak»e, skoro (π, λ, τ) ∈ Ξ∗to mamy, »e λa = 0dla a ∈ A\{π−1

0 (1), π⁻¹₀ (d), a₁, a₂}. Zatem mo»emy zredukowa¢ dane opisuj¡ce powy»szy potok specjalny.

Niech ˆπ = (ˆπ0, ˆπ₁)b¦dzie permutacj¡ alfabetu ˆA := {π₀⁻¹(1), π₀⁻¹(d), a₁, a₂}dan¡ przez ˆ π₀(π₀⁻¹(1)) = 1, πˆ₀(π₀⁻¹(d)) = 4, πˆ₀(a₁) = 2, πˆ₀(a₂) = 3 oraz ˆ π₁(π₀⁻¹(1)) = 4, πˆ₁(π⁻¹₀ (d)) = 1, ˆπ₁(a₁) = 2, πˆ₁(a₂) = 3.

Dla a ∈ ˆA niech ˆλa := λ_a. Ponadto skoro przedziaªy odpowiadaj¡ce a ∈ A \ ˆA s¡ puste oraz zachodzi (9.3), to h mo»emy rozwa»a¢ jako wektor {ha}_{a∈ ˆA} oraz Tζ

posiada reprezentacj¦ specjaln¡ Th

ˆ

π,ˆλ nad przekªadaniem odcinków T_ˆπ,ˆλ : [0, |λ|) → [0, |λ|).

Rozwa»my zbiory Ξ0, Ξ₁ ⊂ Ξnast¦puj¡cej postaci Ξ₀ := {(π, λ, τ ) ∈ Ξ; λ_π−1

0 (1) > λ_π−1

0 (d)}oraz Ξ1 := {(π, λ, τ ) ∈ Ξ; λ_π−1

0 (1) < λ_π−1

0 (d)}. Mamy Ξ0∪ Ξ₁ = Ξ. Rozwa»my dyfeomorzmy

φ₀ : {(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; x > v} → R⁴>0, φ₁ : {(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; x < v} → R⁴>0

dane przez

φ₀(x, y, z, v) := (x − v, v, y, z) oraz φ₁(x, y, z, v) := (y, z, x, v − x). Przypu±¢my najpierw, »e (π, λ, τ) ∈ Ξ0, czyli λ_π−1

0 (1) > λ_π−1

0 (d). Wtedy po jednym kroku prawostronnej indukcji Rauzy'ego-Veecha dla spinanych prostok¡tów na Th

ˆ

π,ˆλ

(patrz uwaga 2.36) otrzymujemy potok specjalny Tˆ_h

α nad obrotem Tα : [0, ˆλ_π−1 0 (1)+ ˆ λ_a1 + ˆλ_a2) → [0, ˆλ_π−1 0 (1)+ ˆλ_a1 + ˆλ_a2) o liczb¦ α = α(ˆλ) := ˆλa1 + ˆλ_a2 + ˆλ_π−1 0 (d) pod kawaªkami staª¡ funkcj¡ dachow¡ ˆh: [0, ˆλ_π−1

0 (1) + ˆλ_a1 + ˆλ_a2) → R>0 z warto±ciami h_π−1

0 (1), h_π−1

0 (1) + h_π−1

0 (d), h_a1, h_a2 nad kolejnymi przedziaªami, których dªugo±ci s¡ dane przez wektor φ(ˆλπ₀⁻¹(1), ˆλ_a1, ˆλ_a2, ˆλ_π−1

0 (d)). Przypomnijmy, »e potoki Th

ˆ

π,ˆλ oraz Tˆ_h

α

s¡ reprezentacjami specjalnymi tego samego potoku, a wi¦c s¡ izomorczne (patrz uwaga 2.36). Niech l = l(ˆλ) := ˆλ_π−1

0 (1) + ˆλ_a1 + ˆλ_a2, β1 = β₁(ˆλ) := ˆλ_π−1

0 (1) oraz β₂ = β₂(ˆλ) := ˆλ_π−1

w l − α, β1 i β2. Skok w punkcie β1 jest równy (h_π−1

0 (1)+ h_π−1

0 (d)) − h_a1, podczas gdy w punkcie β2 jest równy ha1 − h_a2. Co wi¦cej, mamy równie»

(h_π−1 0 (1)+ h_π−1 0 (d)) − ha1 = −((Ωτ )_π−1 0 (1)+ (Ωτ )_π−1 0 (d)) + (Ωτ )a1, i h_a1 − h_a2 = −(Ωτ )a1 + (Ωτ )a2.

Poniewa» (π, λ, τ) ∈ Ξ, to τ jest wektorem wymiernie niezale»nym. St¡d oraz z wnio-sku 5.2 wynika wymierna niezale»no±¢ skoków w β1 i β2. Od teraz b¦dziemy trakto-wa¢ Tα jako obrót na R/lZ. Ponadto b¦dziemy traktowa¢ równie» ˆh jako kawaªkami staª¡ funkcj¦ na R/lZ. Wtedy ˆh: R/lZ → R>0 ma dodatkow¡ nieci¡gªo±¢ w punkcie 0. Rozwa»my dyfeomorzmy ψ₀ : R⁴>0 → {(x, y, z, v) ∈ R4 >0; 0 < x − y < z < v < x}, ψ₁ : R⁴>0 → {(x, y, z, v) ∈ R4 >0; 0 < z < v < x − y < x} dane przez ψ₀(x, y, z, v) := (x + y + z + v, y + z + v, x + y, x + y + z) oraz ψ₁(x, y, z, v) := (x + y + z + v, v, y, y + z). Wtedy ψ₀◦ φ₀ : {(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; x > v} → {(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; 0 < x − y < z < v < x} oraz ψ₁◦ φ₁ : {(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; x > v} → {(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; 0 < z < v < x − y < x} s¡ równie» dyfeomorzmami. Podsumowuj¡c, je±li (π, λ, τ) ∈ Ξ0oraz ζ = M(π, λ, τ), to potok Tζ jest izomorczny z potokiem specjalnym nad obrotem o k¡t α na okr¦gu R/lZ pod kawaªkami liniow¡ funkcj¡ dachow¡ z punktami nieci¡gªo±ci w 0, l − α, β1, β₂, gdzie (l, α, β1, β₂) = ψ₀◦ φ₀(ˆλ). Ponadto skoki w punktach β1 i β2

s¡ wymiernie niezale»ne.

Je±li natomiast (π, λ, τ) ∈ Ξ1 i ζ = M(π, λ, τ), to podobnie jak w poprzednim przypadku, posªuguj¡c si¦ lewostronn¡ indukcj¡ dla spinanych prostok¡tów, mo»emy wykaza¢, »e potok Tζ jest izomorczny z potokiem specjalnym nad obrotem o k¡t α na okr¦gu R/lZ pod kawaªkami liniow¡ funkcj¡ dachow¡ z punktami nieci¡gªo±ci w 0, l−α, β1, β₂, gdzie (l, α, β1, β₂) = ψ₁◦φ₁(ˆλ). W tym przypadku skoki w punktach β1 i β2 wynosz¡ kolejno −(Ωτ)a1+ (Ωτ )a2 oraz −(Ωτ)a2 + ((Ωτ )_π−1

0 (1)+ (Ωτ )_π−1

0 (d)). Ponownie korzystaj¡c z wniosku 5.2 oraz z tego, »e τ jest wektorem wymiernie niezale»nym, uzyskujemy, »e skoki w punktach β1 i β2 s¡ wymiernie niezale»ne.

Niech ∆0 ⊂ {(x, y) ∈ R2

>0; y ∈ (0, x)} oraz Dl,α ⊂ (R/lZ)2 dla (l, α) ∈ ∆0

b¦d¡ zbiorami danymi przez lemat 9.5. Wtedy z lematu 9.5 s¡ one peªnej miary Lebesgue'a oraz dla ka»dej pary (l, α) ∈ ∆0 i (β1, β2) ∈ Dl,α potok specjalny Tf

α

nad obrotem o α na R/lZ pod kawaªkami staª¡ funkcj¡ dachow¡ f : R/lZ → R>0

z punktami nieci¡gªo±ci w 0, l − α, β1, β₂ oraz wymiernie niezale»nymi skokami w β1

i β2 jest sªabo mieszaj¡cy i rozª¡czny ze swoim odwrotnym. Rozwa»my zbiory

G0 :=ⁿ(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; (x, y) ∈ ∆₀, ^y

oraz

G1 :=ⁿ(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; (x, y) ∈ ∆0,^y

x ∈ R \ Q, (z, v) ∈ Dx,y, 0 < z < v < x − y < x^o Z lematu 9.5, zbiór ∆0 jest g¦sty w n

(x, y) ∈ R²>0; y < x^o a zbiór Dx,y jest g¦sty w (0, x)2. St¡d G0 jest g¦stym podzbiorem zbioru n

(x, y, z, v) ∈ R4

>0; 0 < x − y < z < v < x^o. Jako, »e ψ0◦ φ₀ jest dyfeomorzmem, to zbiór (ψ0◦ φ₀)⁻¹(G0)jest g¦sty wn

(x, y, z, v) ∈ R⁴>0; x > v^o. Zatem zbiór

Γ₀ :=ⁿ(π, λ, τ ) ∈ Ξ₀; ˆλ ∈ (ψ₀◦ φ₀)⁻¹(G0)^o jest g¦sty w Ξ0. Analogicznie wykazujemy, »e zbiór

Γ₁ :=ⁿ(π, λ, τ ) ∈ Ξ₁; ˆλ ∈ (ψ₁◦ φ₁)⁻¹(G1)^o jest g¦sty w Ξ1. Zatem zbiór Γ0∪ Γ₁ jest g¦sty w Ξ.

Zaªó»my, »e (π, λ, τ) ∈ Γ0∪Γ₁i ζ = M(π, λ, τ). Niech

l(ˆλ), α(ˆλ), β₁(ˆλ), β₂(ˆλ)^= ψ_i ◦ φ_i(ˆλ), gdzie i = 0, 1 jest takie, »e λ ∈ Ξi. Wtedy z denicji G0 oraz G1 mamy



l(ˆλ), α(ˆλ)^ ∈ ∆₀ oraz 

β₁(ˆλ), β₂(ˆλ)^ ∈ D_{l(ˆλ),α(ˆλ)}. Ponadto Tζ jest izomorczny z potokiem specjalnym Tˆ_h

α(ˆλ) na (R/l(ˆλ)Z)ˆ_h

, gdzie ˆh : R/l(ˆλ)Z → R>0 jest kawaªka-mi staª¡ funkcj¡ dachow¡ z nieci¡gªo±ciakawaªka-mi w punktach 0, l(ˆλ) − α(ˆλ), β1(ˆλ) oraz β2(ˆλ). Co wi¦cej, jako, »e τ jest wektorem wymiernie niezale»nym, to skoki funkcji ˆh w punktach β1(ˆλ) i β2(ˆλ) s¡ wymiernie niezale»ne. Zatem z lematu 9.5 potok Tˆ_h

α(ˆλ), a zatem i Tζ, jest sªabo mieszaj¡cy i rozª¡czny ze swoim odwrotnym.

Poniewa» Γ0∪ Γ₁ jest g¦stym podzbiorem Ξ, to jest równie» g¦stym podzbiorem Ξ∗. Skoro M : Θ∗

π → C dane wzorem (π, λ, τ) 7→ M(π, λ, τ) jest ci¡gªe (patrz uwaga 2.13) i M(Ξ∗) = C∗, to M(Γ0∪ Γ₁)jest g¦stym podzbiorem w C∗. Ponadto z lematu 9.4 wynika, »e C∗ jest g¦sty w C co implikuje, »e M(Γ0∪ Γ₁)jest g¦stym podzbiorem C. Poniewa», jak pokazali±my wcze±niej, dla ka»dej struktury ζ ∈ M(Γ0∪ Γ1)potok Tζ jest sªabo mieszaj¡cy i rozª¡czny ze swoim odwrotnym, to implikuje ostateczny rezultat.

[1] J. Aaronson, An introduction to innite ergodic theory, Mathematical Surveys and Monographs, 50. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

[2] W. Ambrose, Representation of ergodic ows, Ann. of Math. (2) 42 (1941). 723739.

[3] H. Anzai, On an example of a measure preserving transformation which is not conjugate to its inverse, Proc. Japan Acad. 27 (1951), 517-522.

[4] A. Avila, G. Forni, Weak mixing for interval exchange transformations and translation ows, Ann. of Math. 165 (2007), 637664

[5] P. Berk, K. Fr¡czek, On special ows that are not isomorphic to their inverses, Discrete Contin. Dyn. Syst. 35 (2015), 829855.

[6] P. Berk, K. Fr¡czek, T. de la Rue, On typicality of translation ows which are disjoint with their inverse, arXiv:1703.09111.

[7] P. Billingsley, Prawdopodobie«stwo i miara, PWN (1987).

[8] A.I. Danilenko, V.V. Ryzhikov, On self-similarities of ergodic ows, Proc. Lond. Math. Soc. 104 (2012), 431-454.

[9] A. del Junco, Disjointness of measure-preserving transformations, minimal self-joinings and category. Ergodic theory and dynamical systems, I (College Park, Md., 1979-80), pp. 81-89, Progr. Math. 10, Birkhäuser, Boston, Mass. (1981).

[10] R.H. Fox, R.B. Kershner, Concerning the transitive properties of geodesics on a rational poly-hedron. Duke Math. J. 2 (1936), 147150.

[11] K. Fr¡czek, Density of mild mixing property for vertical ows of Abelian dierentials, Proc. Amer. Math. Soc. 137 (2009), 4129-4142.

[12] K. Fr¡czek, J. Kuªaga-Przymus, M. Lema«czyk, Non-reversibility and self-joinings of higher orders for ergodic ows, J. Anal. Math. 122 (2014), 163-227.

[13] K. Fr¡czek, M. Lema«czyk, On disjointness properties of some smooth ows, Fund. Math. 185 (2005), 117-142.

[14] K. Fr¡czek, M. Lema«czyk, A class of special ows over irrational rotations which is disjoint from mixing ows, Ergodic Theory Dynam. Systems 24 (2004), 1083-1095.

[15] E. Glasner, Ergodic theory via joinings, Mathematical Surveys and Monographs, 101. Ameri-can Mathematical Society, Providence, RI, 2003.

[16] C. Goman, G. Pedrick, A proof of the homeomorphism of Lebesgue-Stieltjes measure with Lebesgue measure. Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 196198.

[17] P.R. Halmos, J. von Neumann, Operator methods in classical mechanics. II, Ann. of Math. (2) 43 (1942), 332-350.

[18] A. Katok, Interval exchange transformations and some special ows are not mixing, Israel J. Math. 35 (1980), 301-310.

[19] A. Katok, E. A. Robinson, Jr. Cocycles, cohomology and combinatorial constructions in ergodic theory, Proc. Sympos. Pure Math. 69, Smooth ergodic theory and its applications (Seattle, WA, 1999), 107-173, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.

[20] M. Keane, Interval exchange transformations, Math. Z. 141 (1975), 25-31.

[21] J. King, Joining-rank and the structure of nite rank mixing transformations, J. Analyse Math. 51 (1988), 182-227.

[22] A.Y. Khinchin, Continued fractions, The University of Chicago Press, Chicago-London, 1964. [23] M. Kontsevich, A. Zorich, Connected components of the moduli spaces of Abelian dierentials

with prescribed singularities. Invent. Math. 153 (2003), 631678.

[24] J. Kuªaga, On the self-similarity problem for smooth ows on orientable surfaces, Ergodic Theory Dynam. Systems 32 (2012), 1615-1660.

[25] H. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations. Ann. of Math. (2) 115 (1982), 169200.

[26] J. Moser, On the volume elements on a manifold. Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965) 286294. [27] G. Rauzy, Échanges d'intervalles et transformations induites, Acta Arith. 34 (1979), 315-328. [28] V.V. Ryzhikov, Partial multiple mixing on subsequences can distinguish between

automorphi-sms T and T−1, Math. Notes 74 (2003), 841-847.

[29] S.M. Srivastava, A course on Borel sets. Graduate Texts in Mathematics 180. Springer-Verlag, New York, 1998.

[30] W.A. Veech, Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps. Ann. Math. 115 (1982), 201242.

[31] W.A. Veech, Interval exchange transformations, J. Anal. Math. 33 (1978), 222-272.

[32] W.A. Veech, The metric theory of interval exchange transformations. I. Generic spectral pro-perties, Amer. J. Math. 106 (1984), 1331-1359.

[33] M. Viana, Ergodic theory of interval exchange maps, Rev. Mat. Complut. 19 (2006), 7-100. [34] J.C. Yoccoz, Interval exchange maps and translation surfaces. Homogeneous ows, moduli

spaces and arithmetic, 169, Clay Math. Proc. 10, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010. [35] A. Zorich Flat surfaces. Frontiers in number theory, physics, and geometry. I, 437583,

W dokumencie Problem rozłączności potoku ergodycznego z potokiem odwrotnym (Stron 138-147)