Nieparametryczne modele trwania życia

Punktem wyjścia do rozważań na temat złożonych ubezpieczeń na życie z opcja-mi dodatkowyopcja-mi jest analiza trwania ludzkiego życia i momentu jego końca oraz różnych przypadków życiowych jako zjawiska o charakterze losowym. Zmienna określająca czas trwania jako zmienna losowa ma pewien rozkład. Jeżeli nieznane są postacie analitycz-ne funkcji charakteryzujących rozkład życia ludzkiego, model przeżycia nazywany jest nieparametrycznym, w przeciwnym przypadku mamy do czynienia z modelem parame-trycznym. Jednymi z najstarszych nieparametrycznych modeli czasu trwania życia, w których szacuje się wartości funkcji dla dyskretnej zmiennej losowej, są tablice demo-graficzne, zwane tablicami trwania życia (TTŻ). Tablice te mogą być konstruowane dla rzeczywistych generacji, wówczas nazywa się je tablicami wzdłużnymi (kohortowymi) i przedstawiają, jak populacja jednocześnie urodzonych zmniejsza swoją liczebność w skutek zgonów w kolejnych latach życia. Jednak tablice wzdłużne dla całej populacji są rzadko konstruowane. Obserwacja zgonów ludności musiałaby trwać co najmniej 100 lat, tak aby osoba zajmująca się badaniem zgonów miała odpowiednie dane. Zatem aby przedstawić proces umieralności populacji żyjącej w warunkach panujących w roz-ważanym okresie, konstruuje się tzw. tablice przekrojowe, które przedstawiają hipote-tyczny proces wymierania ludzi z różnych generacji na podstawie obserwacji ich umie-ralności w badanym okresie. W związku z tym informacje zawarte w przekrojowych tablicach trwania życia zawierają wzorzec wymierania kohorty urodzonej w danym roku, jeżeli podlegałby (w ciągu trwania życia najdłużej żyjącej osoby z tej kohorty) warunkom wymierania obserwowanym w danym okresie. W Polsce tablice trwania życia (TTŻ) uwzględniające wielkości przedstawione w tabeli poniżej publikuje corocznie Główny Urząd Statystyczny (z uwagi na znaczne różnice trwania życia mężczyzn i kobiet TTŻ podaje się osobno dla każdej płci).

Tabela 2.1. Wielkości zawarte w TTŻ publikowanych przez GUS

Płeć 1-mężcz. 2-kobiety ^Wiek

Liczba

dożywających bieństwo zgonu^Prawdopodo- zmarłych^Liczba

Ludność stacjonar-na Ludność stacjonarna skumulowana Przeciętne dalsze trwanie życia x lx qx dx Lx Tx ex

Źródło: opracowanie własne.

Praktyka dostarcza nam obserwacji ujętych w przedziały wieku najczęściej rocz-ne albo kilkuletnie, co pozwala na oszacowanie tylko funkcji dyskretnych, będących analogonami odpowiednich funkcji ciągłych. Funkcje przedstawiające rozkład trwania życia oraz zachorowalność należy konstruować na podstawie danych empirycznych

i przedstawić w postaci tabelarycznej. W tradycyjnych tablicach trwania życia podsta-wowymi funkcjami biometrycznymi są (Bowers i in. 1986):

lx ‒ liczba osób dożywających wieku x, dx ‒ liczba osób zmarłych w wieku x.

Obydwie funkcje zależą jedynie od wieku danej osoby i dotyczą tylko procesu umieralności, dlatego też nie charakteryzują w pełni danych potrzebnych przy kalkula-cjach dotyczących polis z opcjami dodatkowymi. Polisy te mogą dotyczyć częściowego lub całkowitego uszczerbku na zdrowiu, będącego wynikiem choroby lub nieszczęśli-wego wypadku i aby móc prawidłowo przeprowadzić kalkulacje dla takich polis, należy skonstruować tablice trwania życia, które uwzględnią te dodatkowe przypadki. Dlatego też w przypadku ubezpieczeń złożonych z opcjami dodatkowymi, przy włączeniu ryzyk dodatkowych, podstawą określenia prawdopodobieństw przejścia, o których mowa, jest informacja dotycząca tzw. wielorakich (wielostanowych) tablic trwania życia (WTTŻ). Tablice te zawierają dodatkowe informacje dotyczące stanu zdrowia oraz przyczyny śmierci, a tym samym stanowią teoretyczną konstrukcję umożliwiającą prowadzenie szczegółowych analiz procesu wymierania określonej populacji z uwzględnieniem stanów dodatkowych obejmujących różne przypadki życiowe (Błaszczyszyn, Rolski 2004). Co ważne, ich konstrukcja jest analogiczna do tradycyjnych tablic trwania życia TTŻ. Za-łóżmy więc, że wyróżnia się w populacji m (m ≥ 1) różnych stanów zdrowia odpowiada-jących wielorakim przypadkom życiowym i tym samym możliwym opcjom ubezpiecze-nia, co przedstawiono w poniższej tabeli.

Tabela 2.2. Przykładowa klasyfikacja możliwych stanów zdrowia populacji

Stany

numer stanu H 1 ... m D

przypadek życiowy zdrowy - ... - śmierć

Opcje - Opcja 1 ... Opcja m

-Źródło: opracowanie własne.

Tablice WTTŻ powinny zawierać funkcje biometryczne określone osobno zarów-no dla grupy osób zdrowych, jak i grupy osób z określonym uszczerbkiem na zdrowiu (chorych, inwalidów czy niezdolnych do pracy). Tablice te są więc uogólnieniem trady-cyjnych tablic trwania życia. Poniżej przedstawiono możliwe stany zdrowotne w popu-lacji oraz zmiany ich liczebności.

Tabela 2.3. Stany zdrowotne w populacji i zmiany ich liczebności

Wiek Stany

H 1 ... m D

x 𝒍𝒍𝒙𝒙^𝟎𝟎≡ 𝒍𝒍𝒙𝒙^𝑯𝑯 𝑙𝑙_𝑥𝑥1 𝑙𝑙_𝑥𝑥𝑚𝑚

x+1 𝒍𝒍𝒙𝒙+𝟏𝟏^𝟎𝟎 ≡ 𝒍𝒍𝒙𝒙+𝟏𝟏^𝑯𝑯 𝑙𝑙_𝑥𝑥+11 𝑙𝑙_𝑥𝑥+1𝑚𝑚

Źródło: opracowanie własne.

Każda z osób narażona jest na pewne przypadki życiowe, takie jak: choroba, nieszczęśliwy wypadek czy śmierć. Dlatego też spośród lx osób, które dożywają wieku x, odpowiednio _{𝑙𝑙𝑥𝑥}0≡ 𝑙𝑙_𝑥𝑥𝐻𝐻 oznacza liczbę osób dożywających w zdrowiu wieku x oraz _{𝑙𝑙𝑥𝑥}𝑖𝑖

dla i = 1, 2, …, m określa liczbę osób w wieku x z określonym uszczerbkiem na zdrowiu. Liczba osób dożywających wieku x tworzy więc proces stochastyczny. Z drugiej strony osoba zdrowa opuszcza grupę, gdy traci zdrowie z powodu choroby, nieszczęśliwego wypadku lub śmierci. Funkcję określająca liczbę osób, które utraciły zdrowie w wieku (x, x + τ), oznacza się _{𝑑𝑑𝑥𝑥,𝑥𝑥+𝜏𝜏}𝐻𝐻𝐻𝐻 dla i = 1, 2, …, m oraz 𝑑𝑑𝑥𝑥,𝑥𝑥+𝜏𝜏^{𝐻𝐻𝐻𝐻} odpowiednio oznacza liczbę osób zdrowych zmarłych w wieku (x, x + τ). Odpowiednio _{𝑑𝑑𝑥𝑥,𝑥𝑥+𝜏𝜏}𝑖𝑖𝑖𝑖 dla grupy osób chorych określa liczbę osób, które wyzdrowiały w wieku (x, x + τ), zaś to _{𝑑𝑑𝑥𝑥,𝑥𝑥+𝜏𝜏}𝑖𝑖𝑖𝑖 liczba osób z po-szczególnych grup, które zmarły. W tradycyjnych tablicach trwania życia liczbę osób dożywających określonego wieku wyznacza się w sposób rekurencyjny. Analogicznie postępuje się również w przypadku wielostanowych tablic trwania życia. Zatem liczba osób zdrowych, które dożyły wieku x + 1, jest to liczba osób zdrowych w wieku x po-większona o liczbą osób, które wyzdrowiały w okresie (x, x + 1), i pomniejszona o liczbę osób, które doznały uszczerbku na zdrowiu lub zmarły w tym okresie.

Tabela 2.4. Liczba osób zdrowych w wieku x+1 Wiek Stany H 1 ... m D x 𝒍𝒍𝒙𝒙^𝟎𝟎≡ 𝒍𝒍𝒙𝒙^𝑯𝑯 +𝑑𝑑𝑥𝑥^1𝐻𝐻 +𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑚𝑚𝑚𝑚} −𝑑𝑑𝑥𝑥^𝐻𝐻1 −𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝐻𝐻𝐻𝐻} −𝑑𝑑_𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻 x+1 𝒍𝒍𝒙𝒙+𝟏𝟏^𝟎𝟎 ≡ 𝒍𝒍𝒙𝒙+𝟏𝟏^𝑯𝑯 𝑙𝑙_𝑥𝑥+11 𝑙𝑙_𝑥𝑥+1𝑚𝑚

Analogicznie uzyskujemy liczbę osób z określonym uszczerbkiem na zdrowiu (oznaczonym k) w wieku x + 1. Jest to odpowiednio liczba osób chorych w wieku x po-większona o liczbę osób, które doznały określonej utraty zdrowia, i pomniejszona o licz-bę osób, które wyzdrowiały, zachorowały na inne schorzenie objęte ubezpieczeniem lub zmarły. Tabela 2.5. Liczba osób w wieku x+1 z określonym uszczerbkiem na zdrowiu Wiek Stany x H 1 ... K … m D +𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝐻𝐻𝐻𝐻} +𝑑𝑑𝑥𝑥^1𝑘𝑘 𝑙𝑙𝑥𝑥^𝑘𝑘 +𝑑𝑑_𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚 +𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝐻𝐻𝐻𝐻} +𝑑𝑑_𝑥𝑥1𝑘𝑘 𝑙𝑙_𝑥𝑥𝑘𝑘 +𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑚𝑚𝑚𝑚} −𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑘𝑘𝑘𝑘} −𝑑𝑑𝑥𝑥^𝑘𝑘1 −𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑘𝑘𝑘𝑘} −𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑘𝑘𝑘𝑘} x+1 𝑙𝑙_𝑥𝑥+1𝑘𝑘

Źródło: opracowanie własne.

Stąd otrzymuje się następujące wzory rekurencyjne określające liczbę osób doży-wających wieku x + 1 w określonym stanie:

𝑙𝑙_𝑥𝑥+1𝑘𝑘 = { 𝑙𝑙_𝑥𝑥𝐻𝐻+ ∑ 𝑑𝑑_𝑥𝑥𝑖𝑖𝐻𝐻 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 − ∑ 𝑑𝑑_𝑥𝑥𝐻𝐻𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 −𝑑𝑑_𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻 dla 𝑘𝑘 = 𝐻𝐻 𝑙𝑙𝑥𝑥^𝑘𝑘+ 𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝐻𝐻𝑘𝑘}+ ∑ 𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑖𝑖𝑘𝑘} 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 −𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑘𝑘𝐻𝐻}− ∑ 𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑘𝑘𝑖𝑖} 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 −𝑑𝑑𝑥𝑥^{𝑘𝑘𝐻𝐻}dla 𝑘𝑘 ≠ 𝐻𝐻.

W tablicach trwania życia obok przedstawionych funkcji określa się również od-powiednie prawdopodobieństwa przejścia (zachorowalności, rekonwalescencji czy też zgonu). W szczególności prawdopodobieństwo, że osoba w wieku (x, x + 1) zmieni stan zdrowotny, oznacza się 𝑝𝑝_𝑥𝑥^{𝑗𝑗𝑗𝑗}. W rzeczywistości wielkości tych prawdopodobieństw są nieznane, a w tablicy umieszcza się ich oceny następującej postaci:

𝑝𝑝̂_𝑥𝑥^{𝑗𝑗𝑗𝑗} = { 𝑑𝑑𝑥𝑥+1^{𝑗𝑗𝑗𝑗} 𝑙𝑙_𝑥𝑥^{𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑 𝑘𝑘 ≠ 𝑗𝑗} 𝑙𝑙_𝑥𝑥+1^𝑗𝑗 𝑙𝑙_𝑥𝑥^{𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑 𝑘𝑘 = 𝑗𝑗} gdzie 𝑗𝑗, 𝑘𝑘 ∈ {𝐻𝐻, 𝑖𝑖, 𝐷𝐷}. ^{gdzie 𝑗𝑗, 𝑘𝑘 ∈ {𝐻𝐻, 𝑖𝑖, 𝐷𝐷} .}

Przedstawione powyżej oceny prawdopodobieństw uzyskane są metodą najwięk-szej wiarygodności.