6. Aktuarialne metody obliczania rezerw matematycznych składek
6.1. Rezerwy matematyczne składek i kapitał podwyższonego ryzyka
Działalność ubezpieczeniowa ze względu na swoje społeczne i gospodarcze zna-czenie poddana jest szczególnemu nadzorowi i w związku z tym na firmy ubezpiecze-niowe nałożone jest wiele wymogów, których celem jest zapewnienie ich wypłacalności i zagwarantowania bezpieczeństwa ubezpieczonych. Kluczowy aspekt ram regulacyjnych w tym zakresie dotyczy konieczności ustalenia tzw. kapitału podwyższonego ryzyka, który ma wystarczyć na pokrycie rzeczywistego ryzyka ubezpieczeniowego objętego ochroną. W tym celu ubezpieczyciel, chcąc zabezpieczyć się przed nieprzewidzianymi stratami, na podstawie wyceny przepływów pieniężnych powinien tworzyć tzw. fundusz rezerwowy, który powinien zrównoważyć ponoszone przez niego ryzyko. Zgodnie z usta-wą (Ustawa 2003, 2015) firma ubezpieczeniowa musi dysponować m.in. odpowiednią wysokością rezerw związanych ze składką ubezpieczeniową, które stanowią odłożoną ze składek sumę na pokrycie przyszłych zobowiązań.
W związku z tym tworzenie rezerw jest nie tylko elementem kalkulacji składek ubezpieczeniowych, lecz także istotnym czynnikiem w procesie uzgadniania warunków kontraktu ubezpieczeniowego, który umożliwia określenie zakresu zysków, które muszą być wzięte pod uwagę przy konstrukcji ubezpieczenia. Ustawa (Ustawa 2003, 2015) nakłada na ubezpieczyciela obowiązek obliczania rezerw w określonych momentach trwania umowy. Przy wycenie strumieni płatności w momencie t cały okres od tego momentu do końca okresu ubezpieczenia oznaczonego przez n traktujemy jako przyszłość. Istnieją dwie metody obliczania rezerwy matematycznej składek (Haberman, Pitacco 1999):
– metoda prospektywna, – metoda retrospektywna.
Metody obliczania rezerw matematycznych w przypadku tradycyjnych ubezpieczeń można znaleźć w literaturze aktuarialnej (Haberman, Pitacco 1999, Dickson 2006,
Christiansen i in. 2014, Homa 2014), według której rezerwę oblicza się na podstawie przyszłych lub przeszłych przepływów pieniężnych w zależności od metody.
Metoda prospektywna polega na określeniu wystarczającej wielkości rezerw,
biorąc pod uwagę przyszłe przychody firmy ubezpieczeniowej z tytułu składek oraz rozchody związane z wypłatami odszkodowań i świadczeń. Dlatego rezerwa prospek-tywna, którą powinna posiadać firma ubezpieczeniowa po t latach od momentu zawarcia umowy, równa jest zdyskontowanej do chwili wartości oczekiwanej różnicy między przyszłymi świadczeniami i składkami. Oznacza się ją 𝑉𝑉𝑡𝑡+ i można przedstawić ją na-stępująco:
𝑉𝑉𝑡𝑡+ = 𝐸𝐸(𝑃𝑃𝑉𝑉𝑡𝑡𝑊𝑊− 𝑃𝑃𝑉𝑉𝑡𝑡Π) ,
gdzie 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡Π jest to zaktualizowana wartość (w momencie) wpływów z tytułu przyszłych składek, natomiast 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑡𝑡𝑊𝑊 to zaktualizowana wartość przyszłych zobowiązań ubezpie-czyciela.
Drugą metodą obliczenia rezerwy matematycznej jest metoda retrospektywna,
która oparta jest na przychodach i rozchodach ubezpieczyciela z przeszłości. Zgodnie z tą metodą rezerwa retrospektywna stanowi zakumulowaną wartość oczekiwaną róż-nicy między uzyskanymi składkami i wypłaconymi świadczeniami w ciągu t lat trwania umowy. Rezerwa retrospektywna oznaczana jest jako 𝑉𝑉𝑡𝑡−. Wielkość rezerwy prospek-tywnej i retrospekprospek-tywnej są sobie równe w każdej chwili trwania umowy, dlatego też obliczając rezerwę, można stosować dowolną z metod, jednak częściej stosuje się meto-dę prospektywną, a wyznaczoną w ten sposób rezerwę oznacza się 𝑉𝑉𝑡𝑡 ≅ 𝑉𝑉(𝑡𝑡) . W związ-ku z tym rezerwy matematyczne tradycyjnych ubezpieczeń na życie i dożycie należy ustalić jako wartość oczekiwaną:
𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸[𝑃𝑃𝑉𝑉𝑡𝑡𝐹𝐹(𝒯𝒯)] = 𝐸𝐸 [∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(𝜏𝜏−𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑(𝜏𝜏)
𝒯𝒯 ] = 0. (6.1)
Problem tworzenia rezerw matematycznych w zakresie szeroko pojętych ubezpie-czeń podejmowali: Norberg (1995, 2001, 2005, 2014), Møller i Steffensen (2007), Pelsser (2010), Pelsser i Stadje (2014), Christiansen (2014), Happ i in. (2015), Pelsser i Ghalehjo-oghi (2016) oraz Engsner i in. (2018).
Firmy ubezpieczeniowe oferujące złożone produkty ubezpieczeniowe, jakimi są ubezpieczenia na życie z opcjami dodatkowymi, zgodnie z Solvency II (Dyrektywa UE 2009) powinny uwzględniać w kalkulacjach rezerw to rozszerzone ryzyko. Oznacza to, że idea Solvency II polega na ściślejszym uzależnieniu wysokości kapitału od wielkości ryzyka podejmowanego przez firmy ubezpieczeniowe. Innymi słowy kapitał ma wystar-czyć na pokrycie rzeczywistego ryzyka, a wyceny należy dokonywać na podstawie ich bieżącej wartość zbycia, tzn. wartość ta powinna odpowiadać bieżącej (zaktualizowanej)
kwocie, którą zakład musiałyby zapłacić, gdyby dokonywał natychmiastowego przenie-sienia swoich praw i zobowiązań umownych na inny zakład.
Zgodnie z Solvency II najlepsze oszacowanie rezerw to zdyskontowana wartość wszystkich przyszłych przepływów pieniężnych. W przypadku polis z opcjami dodat-kowymi rodzaj i wielkość przyszłych świadczeń determinuje status polisy ubezpiecze-niowej, dlatego też ubezpieczyciel powinien uwzględnić dodatkowo historię procesu aktywizacji opcji w dokonywanych kalkulacjach. Zatem wycena rezerw sporządzona na podstawie najlepszego oszacowania przyszłych strumieni pieniężnych z uwzględnieniem dyskontowania powinna być oparta na wartości rynkowej całkowitego ryzyka objętego umową, tzn. z uwzględnieniem filtracji określającej pełną informację dostępną w chwi-li t dotyczącą procesu aktywizacji opcji, co oznacza konieczność uwzględnienia warun-kowej wartości oczekiwanej. Uwzględniając ten aspekt, najlepsze oszacowanie rezerw matematycznych składek w momencie t trwania umowy ubezpieczenia z opcjami dodat-kowymi to ważona prawdopodobieństwem średnia przyszłych przepływów pieniężnych przy uwzględnieniu zmiany wartości pieniądza w czasie i aktywnej i-tej opcji polisy. Oznacza to, że rezerwy dla tego typu ubezpieczeń to następująca warunkowa wartość oczekiwana:
𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸[𝑃𝑃𝑉𝑉𝑡𝑡𝐹𝐹(𝒯𝒯)|ℒ𝑡𝑡∧ 𝒢𝒢𝑡𝑡∧ ℋ𝑡𝑡]
= 𝐸𝐸(∫t𝑛𝑛∨∞𝑒𝑒−𝛿𝛿(𝜏𝜏−𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑(𝜏𝜏)|σ(𝕀𝕀(T > t), 0 ≤ t ≤ n) ∧ 𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝑖𝑖). (6.2)
Następnie wiedząc, że na strumień płatności F(t) składają się przepływy pienięż-ne pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym charakterystyczpienięż-ne dla ubezpieczenia z opcjami dodatkowymi (rozdział 3.3), oraz stosując do opisu procesu aktywizacji opcji procesy Markowa (rozdział 2.5), rezerwy matematyczne składek to:
𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑡𝑡) = ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(𝜏𝜏−𝑡𝑡) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑(𝑅𝑅𝑖𝑖(𝜏𝜏) + 𝐷𝐷𝑖𝑖(𝜏𝜏) − Π𝑖𝑖(𝜏𝜏)) 𝑛𝑛∨∞ t 𝑖𝑖∈𝑆𝑆 + ∑ ∑ ∫𝑛𝑛∨∞𝑒𝑒−𝛿𝛿(𝜏𝜏−𝑡𝑡)c𝑖𝑖𝑗𝑗(𝜏𝜏) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 μ𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑥𝑥 + 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑡𝑡 𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝑆𝑆 . (6.3)
Przyjmując, że ubezpieczony opłaca składki tylko wtedy, gdy jest zdrowy, czyli gdy polisa ma aktywny stan H, i dokonując prostych przekształceń powyższego wzoru, otrzymuje się wzór na rezerwę matematyczną składek w ubezpieczeniu z opcjami do-datkowymi jako sumę dwóch wielkości obejmujących świadczenia z umowy podstawo-wej UŻ + UD i opcji dodatkowych.
𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑡𝑡) = ∑ ∫ 𝑒𝑒𝑛𝑛 −𝛿𝛿(τ−t)c𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜏𝜏) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑗𝑗 μ𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑥𝑥 + 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑡𝑡 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ 𝑈𝑈Ż + ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(τ−t) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑑𝑑𝐷𝐷𝑗𝑗(𝜏𝜏) 𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ 𝑈𝑈𝑗𝑗 ⏟ 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 + ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(τ−t) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑗𝑗(𝜏𝜏) 𝑛𝑛 t 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑡𝑡𝑢𝑢 + ∑ ∑ ∫ 𝑒𝑒𝑛𝑛 −𝛿𝛿(τ−t)c𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜏𝜏) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑗𝑗 μ𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑥𝑥 + 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏 0 𝑗𝑗≠𝑗𝑗∧𝑗𝑗≠𝑗𝑗 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ ś𝑢𝑢𝑖𝑖𝑢𝑢𝑝𝑝𝑤𝑤𝑤𝑤𝑟𝑟𝑛𝑛𝑖𝑖𝑟𝑟 𝑤𝑤 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑢𝑢ł𝑢𝑢 𝑤𝑤𝑢𝑢𝑗𝑗ś𝑤𝑤𝑖𝑖𝑢𝑢 𝑤𝑤𝑝𝑝𝑢𝑢𝑟𝑟𝑤𝑤𝑟𝑟𝑛𝑛𝑖𝑖𝑢𝑢 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑝𝑝𝑢𝑢𝑢𝑢𝑟𝑟𝑙𝑙𝑢𝑢 ⏟ 𝑢𝑢𝑝𝑝𝑤𝑤𝑗𝑗𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑢𝑢𝑡𝑡𝑗𝑗𝑢𝑢𝑢𝑢𝑟𝑟 − ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(𝜏𝜏−𝑡𝑡) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑Π𝑖𝑖(𝜏𝜏) 𝑛𝑛 t 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑤𝑤𝑡𝑡𝑝𝑝𝑤𝑤ł𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑗𝑗ł𝑢𝑢𝑝𝑝𝑗𝑗𝑖𝑖
Przy zastosowaniu wzorów na wartości aktuarialne poszczególnych strumieni płatności, rezerwa matematyczna składek dla ubezpieczeń z opcjami dodatkowymi wy-raża się następującym wzorem:
𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑡𝑡) = ∑ ∫ 𝑒𝑒𝑛𝑛 −𝛿𝛿(τ−t)c𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜏𝜏) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑗𝑗 μ𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑥𝑥 + 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑡𝑡 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ 𝑈𝑈Ż + ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(τ−t) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑗𝑗(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ 𝑈𝑈𝑗𝑗 ⏟ 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 + ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(τ−t) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑟𝑟𝑗𝑗(𝜏𝜏)⌈𝑑𝑑𝜏𝜏⌉ 𝑛𝑛 t 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑡𝑡𝑢𝑢 + ∑ ∑ ∫ 𝑒𝑒𝑛𝑛 −𝛿𝛿(τ−t)c𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜏𝜏) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑗𝑗 μ𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑥𝑥 + 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑡𝑡 𝑗𝑗≠𝑗𝑗∧𝑗𝑗≠𝑗𝑗 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ ś𝑢𝑢𝑖𝑖𝑢𝑢𝑝𝑝𝑤𝑤𝑤𝑤𝑟𝑟𝑛𝑛𝑖𝑖𝑟𝑟 𝑤𝑤 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑢𝑢ł𝑢𝑢 𝑤𝑤𝑢𝑢𝑗𝑗ś𝑤𝑤𝑖𝑖𝑢𝑢 𝑤𝑤𝑝𝑝𝑢𝑢𝑟𝑟𝑤𝑤𝑟𝑟𝑛𝑛𝑖𝑖𝑢𝑢 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑝𝑝𝑢𝑢𝑢𝑢𝑟𝑟𝑙𝑙𝑢𝑢 ⏟ 𝑢𝑢𝑝𝑝𝑤𝑤𝑗𝑗𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑢𝑢𝑡𝑡𝑗𝑗𝑢𝑢𝑢𝑢𝑟𝑟 − ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(𝜏𝜏−𝑡𝑡) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜋𝜋𝑖𝑖(𝜏𝜏)⌊𝑑𝑑𝜏𝜏⌋ 𝑛𝑛 t 𝑗𝑗∈𝑆𝑆 ⏟ 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑤𝑤𝑡𝑡𝑝𝑝𝑤𝑤ł𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑗𝑗ł𝑢𝑢𝑝𝑝𝑗𝑗𝑖𝑖
Wzór ten stanowi uogólnienie wzoru na rezerwę matematyczną składek w trady-cyjnych ubezpieczeniach na życie (Scott 1999, Błaszczyszyn, Rolski 2004), jak również wzoru na rezerwę matematyczną składek ubezpieczenia wielorakiego (Norberg 1999, Wolthuis 2003, Homa 2004). Na podstawie ostatniego z przedstawionych wzorów można stwierdzić, że firma ubezpieczeniowa, tworząc rezerwę matematyczną, powinna uwzględ-niać zarówno ryzyko wynikające z umowy podstawowej, jak i umów dodatkowych.
Co ważne, aktywna opcja polisy wpływa przede wszystkim na rodzaj i realizację przyszłych strumieni płatności, a tym samym na rząd wielkości wymaganych rezerw. Uwzględniając dodatkowo fakt, że składka ubezpieczeniowa w tego typu ubezpieczeniach (6.4) .
o złożonej strukturze to suma dwóch składowych wynikających z umowy podstawowej i opcji dodatkowych, można wskazać, że firma ubezpieczeniowa oferująca opcje dodat-kowe do umów podstawowych tradycyjnego ubezpieczenia na życie i dożycie powinna
zwiększać swoje rezerwy o tzw. kapitał podwyższonego ryzyka stanowiący różnicę
pomiędzy wartością rezerw ubezpieczenia tradycyjnego a ubezpieczenia o rozszerzonym ryzyku. Zatem ubezpieczyciel powinien uwzględniać w kalkulacjach dodatkowy aspekt ryzyka aktuarialnego wynikającego z rozszerzonej ochrony ubezpieczeniowej tego typu umów. Kluczowy aspekt w tym zakresie dotyczy konieczności ustalenia tzw. kapitału podwyższonego ryzyka, który ma wystarczyć na pokrycie rzeczywistego, podwyższo-nego ryzyka ubezpieczeniowego objętego ochroną. Kapitał podwyższopodwyższo-nego ryzyka jest więc równy: 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝑖𝑖(𝑡𝑡) = ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(τ−t) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖(𝜏𝜏)⌈𝑑𝑑𝜏𝜏⌉ 𝑛𝑛 t 𝑖𝑖∈𝑆𝑆 + ∑ ∑ ∫ 𝑒𝑒𝑛𝑛 −𝛿𝛿(τ−t)c𝑖𝑖𝑗𝑗(𝜏𝜏) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 μ𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑥𝑥 + 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏 0 𝑗𝑗≠𝑖𝑖∧𝑗𝑗≠𝐷𝐷 𝑖𝑖∈𝑆𝑆 − ∑ ∫ 𝑒𝑒−𝛿𝛿(𝜏𝜏−𝑡𝑡) 𝜏𝜏−𝑡𝑡𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑Π𝑖𝑖𝑜𝑜(𝜏𝜏), 𝑛𝑛 t 𝑖𝑖∈𝑆𝑆 (6.5)
gdzie Π𝑗𝑗𝑜𝑜(𝜏𝜏) to część składki na pokrycie ryzyka dodatkowego.
Zatem ubezpieczyciel, chcąc zabezpieczyć się przed nieprzewidzianymi stratami, na podstawie wyceny przepływów pieniężnych powinien ustalić odpowiedni poziom rezerw, które powinny zrównoważyć ponoszone przez niego ryzyko. Aby ten cel osiągnąć w przypadku złożonych produktów ubezpieczeniowych, do których zalicza się ubezpie-czenia z opcjami dodatkowymi, należy w kalkulacjach wysokości wymaganych rezerw uwzględnić rozszerzone ryzyko wynikające z opcji dodatkowych.