Niezawodność elementu z pomijalnym czasem odnowy

realizację przepływu materiałów od źródła do ujścia. Definiując odnowę lub naprawę elementu logistycznego, trzeba powiązać uszkodzenia elementów technicznych wyko-nujących dane zadanie z poprawnym działaniem systemu wspierającego. Analizuje się wobec tego nadsystem zbudowany z elementów/systemów technicznych (operacyj-nych) i systemów wspierających.

W celu określenia prawdopodobieństwa, że w chwili t element logistyczny będzie znajdował się w stanie niezdatności dla określonej wielkości zapasu w systemie wspie-rającym, należy stworzyć model opisujący możliwość pojawienia się braku zapasu w pojedynczym cyklu zaopatrzeniowym oraz długość okresu trwania ewentualnego bra-ku w systemie [236]. Należy przeanalizować, jakie jest prawdopodobieństwo, że okres braku niezbędnych elementów wymiennych w systemie wspierającym przekroczy do-puszczalną rezerwę czasu T_γ, a w konsekwencji pojawi się niezdatność nadsystemu. Należy także wyznaczyć okres trwania ewentualnej niezdatności nadsystemu.

Założono [236], że elementy zapasowe znajdujące się w systemie wspierają-cym/logistycznym są traktowane jako rezerwa zimna. Po uszkodzeniu się elementu użytkowanego informacja o zapotrzebowaniu na część wymienną jest przekazywana do systemu wsparcia logistycznego. Przez τ oznaczono czas niezdatności nadsystemu, zdefiniowany przez brak części wymiennych, niezbędnych w procesie przywracania

jego zdatności. W sytuacji gdy niezbędne w procesie odnowy części wymienne znaj-dują się w systemie wsparcia logistycznego, wówczas czas realizacji zapotrzebowania τ może zostać pominięty. W związku z tym, że liczba części wymiennych w systemie jest ograniczona, operacja wymiany elementu uszkodzonego nie zawsze jest możliwa. Jeżeli ostatni zdatny element z zapasu ulegnie uszkodzeniu przed dostarczeniem no-wej partii elementów wymiennych, czas realizacji zapotrzebowania τ jest równy loso-wej wielkości pozostałego czasu dostawy (licząc od chwili uszkodzenia się elementu logistycznego do chwili realizacji dostawy t_d).

Wobec tego, nadsystem zbudowany z systemu operacyjnego i systemu wspierają-cego jest uszkodzony, jeżeli system wspierający jest uszkodzony (brak części wy-miennych) i czas realizacji dostawy części wymiennych jest dłuższy niż zdefiniowana rezerwa czasowa T_γ (rys. 6.9).

Rys. 6.9. Model nadsystemu zbudowanego z systemu technicznego (z pomijalnym czasem odnowy) oraz systemu wsparcia logistycznego [236]

Zmienna losowa τ może przyjąć wartość zerową (τ = 0) w dwóch przypadkach: • gdy elementy wymienne niezbędne w procesie odnowy systemu technicznego znajdują się w systemie wsparcia logistycznego,

• gdy dostawa nowych elementów wymiennych zrealizowana jest w tej samej chwili, w której nastąpi uszkodzenie ostatniego elementu pracującego w systemie technicznym (przed dostawą zapasów części wymiennych nie było).

Wartość maksymalną τ można przyjąć w przypadku, gdy uszkodzenie ostatniego zdatnego elementu wymiennego występuje natychmiast po złożeniu zamówienia, do-stawa zaś zostanie zrealizowana w czasie nieskończenie odległym od chwili t₀.

Jeżeli dostawa nastąpi w okresie obejmującym zdefiniowaną rezerwę czasu, to nadsystem pozostaje w stanie zdatności. Gdy natomiast czas niezdatności systemu lo-gistycznego będzie dłuższy niż określona rezerwa czasowa (przeznaczona na

przy-wrócenie zdatności systemu wspieranego), wówczas wystąpi niezdatność nadsystemu. Przez ξ oznaczono czas niezdatności nadsystemu, zdefiniowany jako przekroczenie dopuszczalnej rezerwy czasowej, przeznaczonej na przywrócenie zdatności systemowi technicznemu. Zmienna ξ teoretycznie może przyjąć wartość minimalną (ξ = 0), w przypadku gdy chwila dostawy części wymiennych do systemu logistycznego bę-dzie jednocześnie chwilą przekroczenia dopuszczalnej rezerwy czasowej przeznaczo-nej na usunięcie niezdatności systemu logistycznego. Jednocześnie wartość maksy-malną zmienna ξ może przyjąć w przypadku, gdy nowa dostawa zostanie zrealizowana w czasie nieskończenie odległym od chwili przekroczenia dopuszczalnej rezerwy czasowej T_γ przez realizowany proces logistyczny.

Tak zdefiniowany model nadsystemu (z uwzględnieniem metody sterowania zapa-sami) przedstawiono na rysunku 6.10.

Rys. 6.10. Uproszczony model nadsystemu z uwzględnieniem wielkości zapasów elementów wymiennych w funkcji czasu (Q = 5, s = 3) [236]

Zastosowanie modelu „stałej wielkości zamawiania”, jako normy sterowania zapa-sami elementów w systemie wsparcia logistycznego, pozwala na zdefiniowanie za-chowania się nadsystemu podczas pojedynczego cyklu zaopatrzenia:

• w chwili gdy poziom zapasów w systemie wsparcia logistycznego osiąga wiel-kość poziomu zamawiania s, generowane jest nowe zamówienie, którego realizacja trwa losowy odcinek czasu,

• do chwili realizacji nowej dostawy do systemu wsparcia logistycznego, system techniczny może wykorzystać (wymienić) jedynie określoną liczbę elementów wy-miennych, znajdujących się w zapasie systemu wspierającego,

• od chwili nowej dostawy części wymiennych elementy są wykorzystywane zgodnie z pojawiającym się zapotrzebowaniem aż do chwili zmniejszenia stanu zapa-su ponownie do poziomu zamawiania, wyznaczającego początek nowego cyklu za-opatrzeniowego,

• maksymalna liczba elementów, które może wykorzystać system techniczny w czasie jednego cyklu, równa jest wielkości dostawy Q.

Analityczny model niezdatności nadsystemu oparty jest na wyznaczeniu dwóch charakterystyk, opisujących prawdopodobieństwo pojawienia się niezdatności syste-mu wsparcia logistycznego (braku niezbędnych części wymiennych) oraz prawdopo-dobieństwo, że czas przywrócenia stanu zdatności systemu technicznego przekroczy dopuszczalną rezerwę czasową Tγ.

W przypadku systemów z rezerwą zimną czas ich pracy jest sumą czasu pracy elementów (np. [57]):

Tⁿ = T1 + T2 + T3+ ... + Tn (6.16) Po założeniu, że czas pracy elementów jest niezależną zmienną losową, rozkład czasu pracy systemu jest splotem rozkładów czasu pracy elementów, zgodnie ze wzo-rem [57]:

∫

− = + ^t s s t F t x dF x F 0 1() ( ) ( ) (6.17)

W związku z tym, dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa, opisująca losowy czas przejścia do stanu niezdatności systemu logistycznego, po założeniu ciągłości zmiennych, może być wyznaczona jako [57]:

(

( ) ()

)

) ( ) (τ Fs t Ε t τ Ε t Ψ = +1 + − (6.18)

gdzie: Fs+1(t) – kompozycja rozkładu prawdopodobieństwa opisującego czas popraw-nej pracy kolejnych s + 1 – elementów ((s + 1)-krotny splot funkcji), Ε(t) – dystrybu-anta rozkładu prawdopodobieństwa czasu dostawy części wymiennych do systemu wsparcia logistycznego.

Znając prawdopodobieństwo pojawienia się niezdatności systemu logistycznego, należy określić prawdopodobieństwo, że omawiany nadsystem znajduje się w stanie niezdatności, spowodowanym brakiem części wymiennych w systemie wsparcia logi-stycznego, przez okres dłuższy niż założona rezerwa czasowa.

Po założeniu, że zmienna ξ określa losowy okres niezdatności nadsystemu, dystry-buanta, opisująca rozkład prawdopodobieństwa czasu niezdatności nadsystemu, może być określona wzorem [212]:

(

( ) ()

)

) ( ) ( t t t B

ξ

=

Φ Ψ

+

ξ

−

Ψ

(6.19)

gdzie: Φ(t) – dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa opisująca okres nadmiaru czasowego, Ψ(t) – dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa opisująca czas realiza-cji zapotrzebowania systemu technicznego w niezbędne części wymienne.

Jednocześnie, gęstość rozkładu prawdopodobieństwa opisująca okres niezdatności nadsystemu, zgodnie z [212], można określić jako:

∫

∞ + = 0 ) ( ) ( ) ( t t dt bξ ϕ ψ ξ (6.20)

gdzie: φ(t) – gęstość rozkładu prawdopodobieństwa opisująca okres rezerwy czasowej, ψ(t) – gęstość rozkładu prawdopodobieństwa opisująca czas reakcji systemu logi-stycznego.

Wówczas prawdopodobieństwo pojawienia się niezdatności nadsystemu w czasie pojedynczego cyklu zaopatrzenia, wynikające z braku elementów wymiennych, moż-na m.in. opisać formułą:

∫

∞ = 0 1_j bτ dτ NN ( ) P (6.21)

6.2.2. NIEZAWODNOŚĆ ELEMENTU Z NIEPOMIJALNYM CZASEM ODNOWY

W dokumencie Niezawodność systemów logistycznych (Stron 134-138)