(nt zbioru portfeli relatywnie minimalnego ryzyka w modelach

Markowitza). • Przy założeniach Σ > 0 oraz (10.3), portfele relatywnie minimalnego ryzyka w modelu Markowitza tworzą łamaną Ł o nie więcej niż 2^k− k − 1 rozłącznych bokach. Każdy bok jest odcinkiem ( ) lub ( ] lub [ ) lub [ ], i każdy leży w innej ścianie sympleksu ∆^k (będącej krawędzią, bądź trójkątem, bądź czworościanem, bądź ..., bądź wnętrzem ∆^k). Portfele na różnych bokach Ł mają więc różne składy jakościowe, a na danym boku niezmienny skład jakościowy.

•• Nie wszystkie końce boków łamanej Ł należą do Ł. Takich wyróżnionych przez nienależenie wierzchołków Ł zawsze jest nie mniej niż dwa i nie więcej niż k – są to

niektóre z wierzchołków sympleksu ∆^k, przy czym zawsze – wierzchołki o najmniejszej i największej wartości oczekiwanej. Te wyróżnione wierzchołki łamanej Ł odpowia-dają wartościom parametru E ∈

 min

1¬i¬k(µ_i), max

1¬i¬k(µ_i) 

, które pozostają nieobsłużone po wykonaniu wszystkich 2^k−k−1 etapów OUT dla OUT ⊂ {1, 2, . . . , k}, #OUT ¬ k−2. Takie wartości E nazywamy węzłami wyróżnionymi.

••• Po domknięciu w wierzchołkach wyróżnionych łamana Ł jest łamaną spójną. Ł, czy też częściej Ł, jest nazywana łamaną wierzchołkową w danym modelu Marko-witza (dużo rzadziej nazywa się ją ”łamaną portfeli relatywnie minimalnego ryzyka”).

Dowód. Dowodzimy teraz Twierdzenia 10.1, jednego z kilku najważniejszych w wykładach z APRK1.

Zgodnie z algorytmem opisanym w Wykładzie X, wykonujemy wszystkie 2k− k − 1 etapów szukania rozwiązań problemu portfeli relatywnie minimalnego ryzyka, indeksowanych podzbio-rami IN ⊂ {1, 2, . . . , k}, #(IN) ­ 2.¹ W danym etapie IN, dla E ∈ E(IN) [przedział – patrz Definicja 10.1 w Wykładzie X – który może też być pusty; wtedy nic w takim etapie IN nie dostajemy] otrzymujemy jednoznacznie wyznaczony portfel x_E leżący na ścianie IN, przy czym przyporządkowanie E(IN) 3 E 7−→ x_E jest liniowe.

W tym momencie portfel x_E nie jest jeszcze zdefiniowany dla jakiejkolwiek wartości E, która nie wyłania się z algorytmu w Wykładzie X, a są takie – będziemy mieli tego przykłady, patrz część •• w twierdzeniu. Remedium na to jest proste:

a) funkcja σ(·) osiąga minimum na zbiorze ∆k∩ {E = const}, E ∈ [E_min, E_max], E_min ^def= min

1¬i¬kµi, E_max^def= max

1¬i¬kµi (jako funkcja ciągła na zbiorze zwartym) oraz

b) punkt realizujący to minimum jest jedyny, gdyż ∆^k3 x 7−→ ^√xTΣ x jest ściśle wypukła (patrz Ćwiczenie 6.4 w Wykładzie VI; argumenty nie muszą być zawężane do sympleksu ∆^k, mogłyby też być z całej przestrzeni R^k), więc zawsze, na przykład, σ ¹₂x + ¹₂y

<

1

2σ(x) + ¹₂σ(y) dla x, y ∈ ∆k, x 6= y. (Dwa różne portfele minimalizujące ryzyko przy tej samej wartości oczekiwanej produkowałyby trzeci portfel o tej samej wartości oczekiwanej i mniejszym ryzyku.)

Ten jedyny punkt wymieniony w b) i dotyczący danej wartości E ∈ [E_min, E_max] nazywamy xE. Nie wywołuje to kolizji z poprzednio nadanymi nazwami: dla wartości E wyłaniających się z algorytmu w Wykładzie X, odrobinę starszy x_E i teraz nowy x_E to jeden i ten sam portfel leżący w ∆^k.²

Uwaga terminologiczna jest taka, że portfel Markowitza x_E „prawie zawsze” jest czymś innym niż portfel Blacka x(E), (6.2), z Twierdzenia 6.1 w Wykładzie VI, i nowe oznaczenie ma o tym przypominać. Czasem jednak x_E może być portfelem x(E); na przykład wtedy, gdy początkowy etap ∅ w algorytmie wnosi niepusty wkład do zbioru portfeli relatywnie minimalnego ryzyka. Można to łatwo doprecyzować:

Ćwiczenie 11.1. Uzasadnić, że x_E = x(E) ⇐⇒ x(E) ∈ ∆^k.

W sytuacji jak w tym ćwiczeniu, dany portfel relatywnie minimalnego ryzyka ma po prostu dwie nazwy: starą x(E) z Wykładu VI i nową x_E z bieżącego wykładu.

Wracając do meritum dowodu Twierdzenia10.1, podstawowym pytaniem jest, czy przedziały E(IN) są, dla różnych zbiorów IN, parami rozłączne.

1

Czasem, szczególnie gdy wymiar k jest 3 lub 4, wygodniej jest indeksować uzupełniającymi zbiorami OUT; najzwyklejsze przejście do uzupełnień w zbiorze wszystkich indeksów.

2

W istocie do jedynego portfela xE wygenerowanego w punkcie b) powyżej dochodzi się przy słabszych założeniach, niż w Twierdzeniu10.1. Wystarczałoby tylko Σ > 0, dające ścisłą wypukłość funkcji ryzyka. Nawet w zupełnie skrajnym wypadku µ1 = µ2 = · · · = µk, gdy dziedzina rozważanej funkcji ryzyka kurczy się do punktu. Tylko wtedy .... jest bardzo mało interesujących wartości E – tylko jedna, więc też w ogóle tylko jeden portfel xE.

Analiza Portfelowa i Rynki Kapitałowe 1 c P.Mormul, M.Baryło, Uniwersytet Warszawski, 2012.

Odpowiedź brzmi: tak, właśnie z powodu jednoznaczności rozwiązań problemu portfeli relatyw-nie minimalnego ryzyka. E(IN) ∩ E(IN⁰) = ∅ dla IN 6= IN⁰, bo rozwiązanie, będąc jedynym, nie może leżeć na dwu różnych ścianach.

Wobec tego S

#(IN)­2

E(IN) to cały przedział [Emin, Emax] z wyjątkiem co najwyżej k warto-ści odpowiadających zbiorom IN jednoelementowym, dla których opisana metoda znajdowania portfela x_E nie działa (lecz gdzie rozwiązania wcale nie muszą trafiać).

Istotnie, na jakimkolwiek poziomie E ∈ [E_min, Emax] odpowiadające mu jedyne rozwiązanie x_E musi leżeć na jakiejś ścianie sympleksu, i nie można wykluczyć, że jest to ściana 0-wymiarowa. Jeśli rzeczywiście jakiś wierzchołek e_i = x_E (E = µ_i), to takiej wartości E nie uzyskuje się z algorytmu.

Liczby ze zbioru [E_min, E_max] \ S

#(IN)­2

E(IN) to właśnie węzły wyróżnione z treści twier-dzenia.3

Widać też, że E_min oraz E_max zawsze są węzłami wyróżnionymi: dla jakiejkolwiek co najmniej 1-wymiarowej ściany IN (tj #(IN) ­ 2) przedział E(IN) jest – przy założeniu (10.3) – rozłączny z kresami dolnym i górnym wartości parametru E na tej ścianie, więc na pewno rozłączny z liczbami E_min oraz E_max.

Natomiast węzły niewyróżnione to, z definicji, wszystkie te wartości E ∈ (E_min, E_max), które są końcami jakichś przedziałów E(IN), #(IN) ­ 2, uwaga: leżącymi w E(IN).

Definiujemy teraz łamaną Ł jako

[

#(IN)­2

{x_E | E ∈ E(IN)} .

Jest to suma nie więcej niż 2^k− k − 1 rozłącznych odcinków różnych typów na końcach: ( ), ( ], [ ) lub [ ]. Jak są one położone względem siebie w ∆^k? Dlaczego Ł, po domknięciu, jest spójną łamaną?

Niech, dla ustalenia uwagi, E_min<E ¬ Ee max i alboE – węzeł wyróżniony z podchodzącyme do niego z lewej przedziałem E(IN⁰), przy czym oczywiścieE /e ∈ E(IN⁰); npE = 22 w przykładziee Więcha, kiedy to E {1, 2}

= ⁷⁴⁹⁹₅₈₇, 22

oraz E {2, 3}

= 22, 30 .

Albo teżE – węzeł niewyróżniony z podchodzącym do niego z lewej przedziałem E(INe ⁰) 63 e

E. (W tym drugim przypadku oczywiścieE < Ee _maxiE już z konieczności należy do odpowied-e niego przedziału E(IN) podchodzącego do E z prawej.) Npe E =e ⁶⁰²⁰₁₀₅₁ w przykładzie Więcha, kiedy to E {2, 3, 4}
= ³⁸₇ , ⁶⁰²⁰₁₀₅₁
oraz E {2, 4}
=6020 1051, ⁸²⁸⁸₁₂₈₇ . Pokażemy, że w każdym przypadku portfele x_Edążą do x

e

E gdy E →E−, co już da potrzebnąe ciągłość łamanej wierzchołkowej Ł.

Dla E trochę mniejszych niżE portfele xe _E leżą na ścianie IN⁰ i mamy konkretne, afiniczne względem E, wzory na x_E, λ, λ_E. Niech

e x = lim E→E−_e x_E, e λ = lim E→E−_e λ , e λ_E = lim E→E−_e λ_E.

3 Że nie muszą to być wszystkie k wartości µi, pokazuje przykład: Σ =^{ 2}3 10 −3^{3 −1}

−1 −3 2  , µ =^34 1  , w którym E {2, 3}
= (1, 4 3), E {1, 2, 3}
= (4 3, 28 9), E {1, 2}
= [28

9, 4), E {3, 1}
= ∅, a zatem węzły wyróżnione to tylko µ3= 1 oraz µ2= 4.

Oczywiściex ∈ ∆_e ^k,λ,e λe_E ∈ R, przy czym E(x) = E_e lim E→E−_e xE ! = lim E→E−_e E(xE) = lim E→E−_e E = E .e

Portfele relatywnie minimalnego ryzyka x_E dla E <E spełniały warunki dawane przez twier-e dzenie K-T:          Σx_E + λe − λ_Eµ ­ 0 , x_E^T Σx_E+ λe − λ_Eµ
= 0 . (11.1) Przechodząc w (11.1) z E do lim E→E−_e , mamy oczywiście          Σx +_e λe −e λe_Eµ ­ 0 , e x^TΣx +_e λe −e eλµ^= 0 . (11.2)

Z twierdzenia K-KT, x jest zatem portfelem relatywnie minimalnego ryzyka w ∆_e k mającym wartość oczekiwaną E, czylie x = x_e

e

E. Dowód twierdzenia jest zakończony.

Uwaga 11.1 (po dowodzie). Uzyskane w tym dowodzie wartości współczynników Lagrange’aλe iλEe nie muszą być określone jednoznacznie. Są jednoznaczne dla wartościE – węzłów niewy-e różnionych (bo wtedy mamy jednoznaczność dla E ∈ E(IN) na ścianie IN takiej, żeE ∈ E(IN),e i w szczególności dla E =E; patrz też Wnioseke 15.1 w Wykładzie XV).

Nie muszą natomiast być jednoznaczne dla wartości E – węzłów wyróżnionych, porównaj npe różne granice jednostronne współczynników λ_E w E = 5 lub 22 w przykładzie Więcha. (Patrze też Wniosek 15.2w Wykładzie XV.)

Uwaga 11.2. W warunkach Twierdzenia 10.1 mamy jednoznaczność łamanej wierzchołkowej Ł. Możemy oglądać dosyć imponujące przykłady łamanych: na Rysunku 7.5 w Wykładzie VII (złożona tylko z portfeli efektywnych, więc tożsama z łamaną efektywną), czy na Rysunku 15.1 w Wykładzie XV (ilustrującym przykład Więcha). Trzeba jednak pamiętać, że tę jednoznacz-ność mamy przy założeniach Twierdzenia10.1. Gdy macierz kowariancji jest tylko nieujemnie określona, wtedy może zatracać się jednoznaczność spójnej łamanej obsługującej – po obłożeniu odwzorowaniem M – całą granicę F_min w aspekcie M.

Dla przykładu, oto rysunek sympleksu ∆⁴, który należy oglądać razem z Rysunkiem 3.3 w Wykładzie III. Jedną z takich możliwych łamanych jest łamana narysowana tu na czerwono (ma ona 7 boków). Niżej na rysunku wskazane są dwie inne (każda z nich ma 6 boków). Możliwa jest jeszcze inna łamana, najprostsza z nich wszystkich, mająca 5 boków: E = 6 → E = 5 → E = 4¹₅ → E = 3 → E = 2 → E = 1.

[W wersji pdf rysunek nie mieści się tutaj, za to otwiera następną stronę.]

Tym samym mamy już przykład, gdy po osłabieniu założeń Twierdzenia 10.1 zatraca się jednoznaczność łamanej Ł. Trzeba jednak też wspomnieć, że jednoznaczna łamana Ł obsługująca Fmin może istnieć i przy osłabionych założeniach. Już Przykład 4.2 w Wykładzie IV był/jest taki! Jednoznaczna łamana w nim to e₁→ 1

2(e₁+ e₃) → ¹₂(e₁+ e₂) → e₂; patrz też dolna część Rysunku 4.6 w Wykładzie IV.