Dla danych ( 6.1 ) użytych do wygenerowania Rysunku 11.2 powyżej [w wersji pdf: poniżej], narysować zbiór osiągalny w modelu Tobina z tymi właśnie parametrami, tzn

zbiór M  e e H  .

Wskazówka. Użyć w tym celu informacji (11.8). Część pracy (rysowania zbioru osiągalnego) jest już na Rysunku 11.2 ... wykonana.

Matematyczne instrumentarium prowadzące do opisux_eop, znacznie finezyjniejsze niż w przy-padku portfeli x_op, będzie przedstawione w końcowej części Wykładu XIII i na początku Wy-kładu XIV, poprzez Twierdzenie 14.1, aż do Twierdzenia 14.2 włącznie. W tej chwili podamy tylko motywację i sam goły wynik – algorytm prowadzący do znalezieniax_eop.

Czy można jakoś „zgadnąć” taki algorytm, gdy chwilowo mamy tylko wzór na portfel x_op z Wykładu IX? Pytanie zaiste karkołomne. Być może wzór zastąpić równaniem, bo przy rozgry-waniu analogii [prosta Blacka versus łamana wierzchołkowa], przed wzorem na portfele x(E) mieliśmy równanie uwikłane na te portfele, i właśnie tamto równanie zostało (dzięki czarodziej-skiej różdżce – Twierdzeniu 9.2) w coś przemienione.

Tak więc x_op zapisujemy jako ^y

eTy, gdzie y = Σ⁻¹(µ − µ₀e), albo też

Σy − µ + µ₀e = 0 . (11.9)

To teraz spójrzmy z bliska na tamte równania uwikłane (

Σx + λe − λEµ = 0 , µ^Tx = E.

na portfel x(E) leżący w hiperpłaszczyźnie H. I spójrzmy, co z nich zrobili czarodzieje K-KT:⁸

       Σx + λe − λ_Eµ ­ 0 , x^T(Σx + λe − λ_Eµ) = 0 , µ^Tx = E , 8

Rysunek 11.2. Rysunek 6.1 z dołożoną stopą bezryzykowną µ₀ = ³₂.

by znaleźć portfel x_E ∈ ∆k ⊂ H. Równości zamienili nierównościami i dla równowagi dodali warunek komplementarności.

Przypomnijmy jeszcze, że pierwszy problem rozwiązywał się zupełnie standardowo (słynny układ dwóch równań liniowych o niezerowym wyznaczniku), natomiast drugi – grając umiejęt-nie umiejęt-nierównościami i komplementarnymi do nich równościami – kawałkami sprowadzał się do pierwszego. Kawałkami ze względu na wartości parametru E. Takie spojrzenie na drugi problem to właśnie wynik zastosowania twierdzenia K-KT.

Zaryzykujmy więc, chwyćmy różdżkę i przemieńmy (11.9) w ... coś takiego

Σy − µ + µ₀e ­ 0, y ­ 0, e^Ty > 0, y^T Σy − µ + µ₀e

Tak jest, równości znowu zamienione nieostrymi nierównościami i dla równowagi dodany wa-runek komplementarności ... Okaże się, że portfelx_eopistotnie jest normalizacją rozwiązania (lub rozwiązań) problemu (11.10), choć nie zawsze taki portfel będzie jedyny. Macierze Σ ­ 0 będą przy tym jak najbardziej dopuszczalne, choć w takich częściowo zdegenerowanych sytuacjach sposób dochodzenia do zagadnienia (11.10) będzie inny i delikatniejszy niż gdy Σ > 0. (Sam problem (11.10) czasami bywa nazywany liniowym zagadnieniem komplementarności.)

W najciekawszych sytuacjach, gdy Σ > 0, na rozwiązanie będzie się „polować” algorytmicz-nie i etapami, przez sprowadzaalgorytmicz-nie do (11.9), i następnie sprawdzanie znaków różnych wyrażeń, umiejętnie grając na każdym etapie nierównościami i równoważącymi je komplementarnymi równościami.

Trzeba będzie rozważać szerszą klasę funkcji niż tylko różniczkowalne funkcje wklęsłe i wypukłe, która będzie dobrze pasować do współczynnika Sharpe’a (czy raczej ten współczynnik do niej). Klasę jakby stworzoną dla potrzeb analizy portfelowej,

Wystarczy już tej meta-analizy portfelowej. Chcemy wiedzieć, jak konkretnie rozwiązywać problem (11.10).

Zasadniczo – ten problem trzeba atakować w całości i próbować wydobyć, czy wyłuskać z niego preportfel(e) y i później dalej – portfel(e) x_eop. Kłopotem jest możliwe częściowe zde-generowanie macierzy Σ; Przykład 11.3 poniżej jest na ten temat. Inny przypadek takiego całościowego szukania rozwiązań (11.10), też przy zdegenerowanej macierzy Σ, wystąpi potem w Ćwiczeniu 14.2, z kontunuacją też w Ćwiczeniu 14.3 (w Wykładzie XIV). Będzie to jednak już po zakończeniu dyskusji poprawności (11.10).

W międzyczasie, w sytuacji Σ ­ 0, przyjdzie nam wykonać w Wykładzie XIV solidną pracę przygotowawczą. Chodzi o konstrukcję wypukłej dziedziny dla pre-współczynnika Sharpe’a gdy Σ ­ 0 (osobna sekcja w Wykładzie XIV).⁹

Natomiast sytuacja będzie (i jest) dużo bardziej klarowna, gdy macierz kowariancji Σ jest dodatnio określona. Wtedy (pre)portfela y o nieujemnych składowych (lecz nie wszystkich rów-nych zero!) szukać będziemy etapami. Coś znaleźć musimy, bo portfel optymalny istnieje z ogólnych powodów analityczno-topologicznych. Oto opis etapów algorytmu.

Etap ∅. Szukamy y = (y₁, . . . , y_k)T: y_i> 0, i = 1, 2, . . . , k.

To oznacza (komplementarność!), że Σy − µ + µ₀e = 0, albo, macierz Σ jest teraz odwra-calna, y = Σ⁻¹(µ − µ₀e), dokładnie jak w zmodyfikowanym Tobinie. Teraz jednak musimy dodatkowo sprawdzić, czy y₁ > 0, . . . , y_k > 0. Jeśli tak, pre-portfel y jest znaleziony. Jeśli nie, przechodzimy do

Etap 1. Szukamy y : y₁= 0, y₂ > 0, . . . , y_k > 0, a więc (Σy − µ + µ₀e)_i= 0 dla i = 2, 3, . . . , k z warunku komplementarności, natomiast (Σy − µ + µ₀e)₁ ­ 0. Rozwiązujemy ze względu na y₂, y3, . . . , yk (można, bo wyznacznik odpowiedniego układu k − 1 równań liniowych jest tutaj dodatni, a więc różny od zera; patrz też niżej opis ogólnego etapu OUT), po czym sprawdzamy: tutaj k − 1 ostrych i jedną nieostrą nierówność. Spełnione lub nie; w drugim przypadku przechodzimy do dalszych etapów.

Spróbujmy te potencjalnie możliwe dalsze etapy opisać łącznie, podobnie jak to już zrobili-śmy przy szukaniu portfeli wierzchołkowych x_E w Wykładzie X.

Etap OUT, gdzie OUT ⊂ {1, 2, . . . , k}, 1 ¬ #(OUT) ¬ k − 1.

Szukamy y : y_j = 0 dla j ∈ OUT, y_i > 0 dla i ∈ IN = {1, 2, . . . , k} \ OUT (musi być co najmniej jedna składowa y_i, tj podzbiory IN mają tutaj co najmniej 1 element – różnica w stosunku do podobnego szukania obiektów x_E). Tzn., zawsze z warunku komplementarności,

9 najwytrwalsi czytelnicy będą mieli satysfakcję estetyczną, jak harmonijne jest tamto zastosowanie do ana-lizy portfelowej funkcji ogólniejszych niż wklęsłe różniczkowalne

szukamy wektora dodatnich rozwiązań układu (Σy − µ + µ₀e)i = 0, i ∈ IN takich, że (Σy − µ + µ₀e)_j ­ 0 dla j /∈ IN.

Rozwiązać taki układ da się zawsze, gdyż można go zapisać w zwarty sposób przy pomocy oznaczeń wprowadzonych w Wykładzie X:

Σ^INy^IN = (µ − µ₀e)^IN,

przy czym wyznacznik macierzy Σ^IN jest jednym z minorów centralnych macierzy Σ, a więc jest dodatni, bo cały ten algorytm jest, przypominamy, przy założeniu Σ > 0 (hasło: twierdzenie Sylvestera z wykładu GALu, patrz też Wykład II). Także – akcentujemy to jeszcze raz – dla jednoelementowych zbiorów aktywnych indeksów IN: na głównej przekątnej macierzy Σ stoją same dodatnie liczby.

Czytelnik może jednak w tym miejscu zapytać: skoro i tam w Wykładzie X, i teraz tu w opisie nowego algorytmu, używa sie tych samych, zawsze odwracalnych macierzy ΣIN, dlaczego zatem tam pojawiało się więcej ograniczeń na zbiory IN ?!

Odpowiedź jest w teorii Blacka i współautorów (Wykład VI), na której, ściana po ścianie, oparty jest poprzedni algorytm. Nie szło w nim tylko o odwracalność macierzy, lecz także o jednoznaczne wyznaczanie współczynników [Lagrange’a] λ i λ_E. Dlatego potrzebne są co najmniej dwuelementowe zbiory IN. I dlatego nie dostaje się tam od razu całej spójnej łamanej wierzchołkowej Ł, tylko uboższą o kilka(naście) wierzchołków Ł – i trzeba osobno pracować z węzłami wyróżnionymi i „ich” portfelami na łamanej.

Wracając do rozwiązania układu #(IN) równań w obecnym algorytmie: otwarta jest sprawa spełniania przez takie rozwiązanie układu nierówności: ostrych na miejscach o numerach z IN i nieostrych na miejscach o numerach z OUT. Trzeba to każdorazowo sprawdzać, i w przypadku niespełniania zwyczajnie przechodzić do następnego etapu poszukiwań preport-fela.

Po przebiegnięciu wszystkich 2^k− 1 (lub mniej) etapów, mamy wreszcie preportfel y, a wraz z nim portfel optymalnyx_eop = _eT^y_y.

Przykład 11.3. To właśnie portfelax_eop szuka się w Zadaniu 3 z kolokwium w dniu 18.XII.2009