Ruch obrotowy bryły

Rozważmy ponownie równanie ruchu elementu α

m_α~r¨_{I α}= ~F_α= ~F_α^zewn.+ XN

β=1

F~_αβ.

Pomnóżmy to równanie wektorowo przez ~rI α i wysumujmy po α XN

Ruch obrotowy bryły

Rozważmy ponownie równanie ruchu elementu α

m_α~r¨_{I α}= ~F_α= ~F_α^zewn.+ XN

β=1

F~_αβ.

Pomnóżmy to równanie wektorowo przez ~rI α i wysumujmy po α XN

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/29

Ruch obrotowy bryły

Rozważmy ponownie równanie ruchu elementu α

m_α~r¨_{I α}= ~F_α= ~F_α^zewn.+ XN

β=1

F~_αβ.

Pomnóżmy to równanie wektorowo przez ~rI α i wysumujmy po α XN

Ruch obrotowy bryły

Rozważmy ponownie równanie ruchu elementu α

m_α~r¨_{I α}= ~F_α= ~F_α^zewn.+ XN

β=1

F~_αβ.

Pomnóżmy to równanie wektorowo przez ~rI α i wysumujmy po α XN

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/29

Ruch obrotowy bryły

Rozważmy ponownie równanie ruchu elementu α

m_α~r¨_{I α}= ~F_α= ~F_α^zewn.+ XN

β=1

F~_αβ.

Pomnóżmy to równanie wektorowo przez ~rI α i wysumujmy po α XN

Ruch obrotowy bryły

Wyrazy po prawej stronie możemy pogrupować w pary,np.

~rI 1× ~F12+ ~rI 2× ~F21= (~rI 1− ~rI 2) × ~F12.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29

Ruch obrotowy bryły

Wyrazy po prawej stronie możemy pogrupować w pary, np.

~rI 1× ~F12+ ~rI 2× ~F21= (~rI 1− ~rI 2) × ~F12.

Siła działająca pomiędzy punktami 1 i 2 ma kierunek wektora

~

r_{I 1}− ~rI 2,

Ruch obrotowy bryły

Wyrazy po prawej stronie możemy pogrupować w pary, np.

~rI 1× ~F12+ ~rI 2× ~F21= (~rI 1− ~rI 2) × ~F12.

Siła działająca pomiędzy punktami 1 i 2 ma kierunek wektora

~

r_{I 1}− ~rI 2, więc (~r_{I 1}− ~r_{I 2}) × ~F12= 0.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29

Ruch obrotowy bryły

Wyrazy po prawej stronie możemy pogrupować w pary, np.

~rI 1× ~F12+ ~rI 2× ~F21= (~rI 1− ~rI 2) × ~F12.

Siła działająca pomiędzy punktami 1 i 2 ma kierunek wektora

~

r_{I 1}− ~rI 2, więc (~r_{I 1}− ~r_{I 2}) × ~F12= 0.

Zaniedbujemy przy tym efekty relatywistyczne, które mogą dawać siłę działającą w innym kierunku,

Ruch obrotowy bryły

Wyrazy po prawej stronie możemy pogrupować w pary, np.

~rI 1× ~F12+ ~rI 2× ~F21= (~rI 1− ~rI 2) × ~F12.

Siła działająca pomiędzy punktami 1 i 2 ma kierunek wektora

~

r_{I 1}− ~rI 2, więc (~r_{I 1}− ~r_{I 2}) × ~F12= 0.

Zaniedbujemy przy tym efekty relatywistyczne, które mogą dawać siłę działającą w innym kierunku,jak to ma miejsce np. w

przypadku siły Lorentza.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29

Ruch obrotowy bryły

Wyrazy po prawej stronie możemy pogrupować w pary, np.

~rI 1× ~F12+ ~rI 2× ~F21= (~rI 1− ~rI 2) × ~F12.

Siła działająca pomiędzy punktami 1 i 2 ma kierunek wektora

~

r_{I 1}− ~rI 2, więc (~r_{I 1}− ~r_{I 2}) × ~F12= 0.

Zaniedbujemy przy tym efekty relatywistyczne, które mogą dawać siłę działającą w innym kierunku, jak to ma miejsce np. w przypadku siły Lorentza.

Zatem otrzymujemy równanie ruchu bryły sztywnej w formie XN

m ~r × ¨~r = ~N^zewn..

Ruch obrotowy bryły

Wyrazy po prawej stronie możemy pogrupować w pary, np.

~rI 1× ~F12+ ~rI 2× ~F21= (~rI 1− ~rI 2) × ~F12.

Siła działająca pomiędzy punktami 1 i 2 ma kierunek wektora

~

r_{I 1}− ~rI 2, więc (~r_{I 1}− ~r_{I 2}) × ~F12= 0.

Zaniedbujemy przy tym efekty relatywistyczne, które mogą dawać siłę działającą w innym kierunku, jak to ma miejsce np. w przypadku siły Lorentza.

Zatem otrzymujemy równanie ruchu bryły sztywnej w formie XN

α=1

m_α~r_{I α}× ¨~r_{I α}= ~N^zewn..

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29

Ruch obrotowy bryły

Lewą stronę równania możemy zapisać XN

Ruch obrotowy bryły

Lewą stronę równania możemy zapisać XN

Zatem równanie ruchu bryły sztywnej przyjmuje postać

˙~L_całk. = ~N^zewn.,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29

Ruch obrotowy bryły

Lewą stronę równania możemy zapisać XN

Zatem równanie ruchu bryły sztywnej przyjmuje postać

˙~L_całk. = ~N^zewn.,

Ruch obrotowy bryły

Lewą stronę równania możemy zapisać XN

Zatem równanie ruchu bryły sztywnej przyjmuje postać

˙~L_całk. = ~N^zewn.,

gdzie ~Lcałk. i ~N^zewn. są mierzone w układzie inercjalnym.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29

Ruch obrotowy bryły

Wróćmy do równania XN

α=1

m_α~r_{I α}× ¨~r_{I α} = XN

α=1

~

r_{I α}× ~F_α^zewn..

Wybierzmy początek układu związanego z bryłą w jej środku masy i podstawmy

~

r_{I α} = ~rS+ ~rα,

~r¨_{I α} = ¨~r_S+ ¨~r_α,

Ruch obrotowy bryły

Wróćmy do równania XN

Wybierzmy początek układu związanego z bryłą w jej środku masy i podstawmy

~

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/29

Ruch obrotowy bryły

Wróćmy do równania XN

Wybierzmy początek układu związanego z bryłą w jej środku masy i podstawmy

~

Ruch obrotowy bryły

Rozpisując iloczyny otrzymamy XN

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/29

Ruch obrotowy bryły

Rozpisując iloczyny otrzymamy XN

Ruch obrotowy bryły

Rozpisując iloczyny otrzymamy XN

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/29

Ruch obrotowy bryły

i nasze równanie przyjmuje postać

~rS ×^m¨~r_S^+ Pierwszy wyraz po lewej stronie redukuje się z pierwszym wyrazem po prawej stronie równania dzięki równaniu ruchu środka masy bryły

m¨~r_S = XN

α=1

F~_α^zewn.= ~F^zewn.,

Ruch obrotowy bryły

i nasze równanie przyjmuje postać

~rS ×^m¨~r_S^+ Pierwszy wyraz po lewej stronie redukuje się z pierwszym wyrazem po prawej stronie równania dzięki równaniu ruchu środka masy bryły

m¨~r_S = XN

α=1

F~_α^zewn.= ~F^zewn.,

a drugi wyraz po lewej stronie możemy zapisać w formie

˙~L_S = d

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/29

Ruch obrotowy bryły

i nasze równanie przyjmuje postać

~rS ×^m¨~r_S^+ Pierwszy wyraz po lewej stronie redukuje się z pierwszym wyrazem po prawej stronie równania dzięki równaniu ruchu środka masy bryły

m¨~r_S = XN

α=1

F~_α^zewn.= ~F^zewn.,

a drugi wyraz po lewej stronie możemy zapisać w formie

˙~L = d _X^N

Ruch obrotowy bryły

W takim razie równanie ruchu bryły sztywnej przyjmuje postać

˙~L_S = ~N_S,

gdzie moment pędu ~LS i moment siły ~NS są mierzone względem środka masy bryły.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/29

Ruch obrotowy bryły

W takim razie równanie ruchu bryły sztywnej przyjmuje postać

˙~L_S = ~N_S,

gdzie moment pędu ~LS i moment siły ~NS są mierzone względem środka masy bryły.

Niechxˆ_i będą wersorami osi układu związanego z bryłą, wówczas

~L= L_ixˆ_i,

gdzie opuściliśmy symbol S, gdyż wszystkie wielkości określone są względem środka masy bryły.

Ruch obrotowy bryły

W takim razie równanie ruchu bryły sztywnej przyjmuje postać

˙~L_S = ~N_S,

gdzie moment pędu ~LS i moment siły ~NS są mierzone względem środka masy bryły.

Niechxˆ_i będą wersorami osi układu związanego z bryłą, wówczas

~L= L_ixˆ_i,

gdzie opuściliśmy symbol S, gdyż wszystkie wielkości określone są względem środka masy bryły.Obliczmy pochodną czasową

˙~L = ˙Lixˆ_i+ L_i˙ˆx_i

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/29

Ruch obrotowy bryły

W takim razie równanie ruchu bryły sztywnej przyjmuje postać

˙~L_S = ~N_S,

gdzie moment pędu ~LS i moment siły ~NS są mierzone względem środka masy bryły.

Niechxˆ_i będą wersorami osi układu związanego z bryłą, wówczas

~L= L_ixˆ_i,

gdzie opuściliśmy symbol S, gdyż wszystkie wielkości określone są względem środka masy bryły. Obliczmy pochodną czasową

˙~L = ˙Lixˆ_i+ L_i˙ˆx_i

Ruch obrotowy bryły

i przypomnijmy, że ˙ˆxi = ~ω× ˆx_i,a zatem

˙~L = ˙Lixˆ_i+ Li~ω× ˆx_i =L˙_ixˆ_i+ ~ω× ~L = ~N.

Znajdźmy i-tą składową ostatniego równania uwzględniając wzór L_i = Iijω_j:

I_ij˙ω_j + ε_ijkω_jL_k = I_ij˙ω_j+ ε_ijkω_jI_kmω_m = N_i.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/29

Ruch obrotowy bryły

i przypomnijmy, że ˙ˆxi = ~ω× ˆx_i,a zatem

˙~L = ˙Lixˆ_i+ Li~ω× ˆx_i =L˙_ixˆ_i+ ~ω× ~L = ~N.

Znajdźmy i-tą składową ostatniego równania uwzględniając wzór L_i = Iijω_j:

I_ij˙ω_j + ε_ijkω_jL_k = I_ij˙ω_j+ ε_ijkω_jI_kmω_m = N_i. Jeśli osie układu związanego z bryłą wybierzemy tak, aby pokrywały się z głównymi osiami bezwładności, a więc

I_ii = I_i, I_ij = 0, dla i 6= j,

to dla poszczególnych składowych możemy wykonać sumowanie po

Ruch obrotowy bryły

i przypomnijmy, że ˙ˆxi = ~ω× ˆx_i,a zatem

˙~L = ˙Lixˆ_i+ Li~ω× ˆx_i =L˙_ixˆ_i+ ~ω× ~L = ~N.

Znajdźmy i-tą składową ostatniego równania uwzględniając wzór L_i = Iijω_j:

I_ij˙ω_j + ε_ijkω_jL_k = I_ij˙ω_j+ ε_ijkω_jI_kmω_m = N_i. Jeśli osie układu związanego z bryłą wybierzemy tak, aby pokrywały się z głównymi osiami bezwładności, a więc

I_ii = I_i, I_ij = 0, dla i 6= j,

to dla poszczególnych składowych możemy wykonać sumowanie po j, k i m.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/29

Ruch obrotowy bryły

Dla pierwszej składowej równania

Iij ˙ωj + εijkωjIkmωm = Ni

otrzymamy:

I11˙ω1+ ε123ω2I33ω3+ ε132ω3I22ω2=I1˙ω1− (I2− I3) ω2ω3= N1. Postępując podobnie dla drugiej i trzeciej składowej otrzymamy układ równań:

I1˙ω¹− (I²− I³) ω²ω3 = N¹, I2˙ω²− (I³− I¹) ω³ω1 = N², I3˙ω3− (I1− I2) ω1ω2 = N3.

Są torównania Eulera dla bryły sztywnej w układzie, którego osie pokrywają się z jej głównymi osiami bezwładności, a początek

Ruch obrotowy bryły

Dla pierwszej składowej równania

Iij ˙ωj + εijkωjIkmωm = Ni

otrzymamy:

I11˙ω1+ ε123ω2I33ω3+ ε132ω3I22ω2=I1˙ω1− (I2− I3) ω2ω3= N1. Postępując podobnie dla drugiej i trzeciej składowej otrzymamy układ równań:

I1˙ω¹− (I²− I³) ω²ω3 = N¹, I2˙ω²− (I³− I¹) ω³ω1 = N², I3˙ω3− (I1− I2) ω1ω2 = N3.

Są torównania Eulera dla bryły sztywnej w układzie, którego osie pokrywają się z jej głównymi osiami bezwładności, a początek pokrywa się ze środkiem masy bryły lub, w przypadku więzów, znajduje się w nieruchomym punkcie bryły.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/29

W dokumencie Dynamika bryły sztywnej Wykład 11 Karol Kołodziej (Stron 89-122)