Dynamika bryły sztywnej Wykład 11 Karol Kołodziej

Dynamika bryły sztywnej

Wykład 11

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Bryła sztywna

Ruch bryły sztywnej możemy rozłożyć na:

ruch tranlacyjny – każdy element bryły porusza się z tą samą prędkością,

ruch obrotowywzględem początku dowolnie wybranego układu współrzędnych – prędkość kątowa ~ω(t) jest równoległa do chwilowej osi obrotu przechodzącej przez O.

Ruch bryły możemy obserwować z układu inercjalnego I , albo z ukła- du związanego z bryłą, na ogół nie- inercjalnego.

x_I

y_I z_I

O_I

y

x z

O

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/29

Bryła sztywna

Ruch bryły sztywnej możemy rozłożyć na:

ruch tranlacyjny – każdy element bryły porusza się z tą samą prędkością,

ruch obrotowywzględem początku dowolnie wybranego układu współrzędnych – prędkość kątowa ~ω(t) jest równoległa do chwilowej osi obrotu przechodzącej przez O.

Ruch bryły możemy obserwować z układu inercjalnego I , albo z ukła- du związanego z bryłą, na ogół nie- inercjalnego.

y_I z_I

O_I

y

x z

O

Bryła sztywna

Swobodnie porusząjąca się bryła sztywna ma6 stopni swobody: 3 translacyjne i 3 obrotowe.

Położenie bryły sztywnej jest wyznaczone przez współrzędne trzech niewspółliniowych punktów. Z definicji bryły sztywnej mamy trzy warunki:

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29

Bryła sztywna

Swobodnie porusząjąca się bryła sztywna ma6 stopni swobody: 3 translacyjne i 3 obrotowe.

Położenie bryły sztywnej jest wyznaczone przez współrzędne trzech niewspółliniowych punktów. Z definicji bryły sztywnej mamy trzy warunki:

|~r1− ~r2| = const., |~r1− ~r3| = const., |~r2− ~r3| = const.

Bryła sztywna

Swobodnie porusząjąca się bryła sztywna ma6 stopni swobody: 3 translacyjne i 3 obrotowe.

Położenie bryły sztywnej jest wyznaczone przez współrzędne trzech niewspółliniowych punktów. Z definicji bryły sztywnej mamy trzy warunki:

|~r1− ~r2| = const., |~r1− ~r3| = const., |~r2− ~r3| = const.

Dlatego liczba stopni swobody bryły sztywnej wynosi 3 × 3 − 3 = 6.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29

Bryła sztywna

Swobodnie porusząjąca się bryła sztywna ma6 stopni swobody: 3 translacyjne i 3 obrotowe.

Położenie bryły sztywnej jest wyznaczone przez współrzędne trzech niewspółliniowych punktów. Z definicji bryły sztywnej mamy trzy warunki:

|~r1− ~r2| = const., |~r1− ~r3| = const., |~r2− ~r3| = const.

Dlatego liczba stopni swobody bryły sztywnej wynosi 3 × 3 − 3 = 6.

Bryła sztywna

Prędkość ~vI pewnego punktu P bryły w inercjalnym układzie odniesienia wyraża się wzorem

~

v_I = ~vO+ ~ω× ~r.

Zauważmy, że~v^′ = 0, bo bryła sztywna spoczywa w związanym z nią układzie xyz.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29

Bryła sztywna

Prędkość ~vI pewnego punktu P bryły w inercjalnym układzie odniesienia wyraża się wzorem

~

v_I = ~vO+ ~ω× ~r.

Zauważmy, że~v^′ = 0, bo bryła sztywna spoczywa w związanym z nią układzie xyz.

~v_O jest prędkością początku O w układzie inercjalnym, zależną od wyboru punktu O,

Bryła sztywna

Prędkość ~vI pewnego punktu P bryły w inercjalnym układzie odniesienia wyraża się wzorem

~

v_I = ~vO+ ~ω× ~r.

Zauważmy, że~v^′ = 0, bo bryła sztywna spoczywa w związanym z nią układzie xyz.

~v_O jest prędkością początku O w układzie inercjalnym, zależną od wyboru punktu O,

~

ω jest prędkością kątowa bryły sztywnej w układzie inercjalnym, niezależną od wyboru punktu O,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29

Bryła sztywna

Prędkość ~vI pewnego punktu P bryły w inercjalnym układzie odniesienia wyraża się wzorem

~

v_I = ~vO+ ~ω× ~r.

Zauważmy, że~v^′ = 0, bo bryła sztywna spoczywa w związanym z nią układzie xyz.

~v_O jest prędkością początku O w układzie inercjalnym, zależną od wyboru punktu O,

~

ω jest prędkością kątowa bryły sztywnej w układzie inercjalnym, niezależną od wyboru punktu O,

~r jest wektorem położenia punktu P w układzie bryły.

Bryła sztywna

Prędkość ~vI pewnego punktu P bryły w inercjalnym układzie odniesienia wyraża się wzorem

~

v_I = ~vO+ ~ω× ~r.

Zauważmy, że~v^′ = 0, bo bryła sztywna spoczywa w związanym z nią układzie xyz.

~v_O jest prędkością początku O w układzie inercjalnym, zależną od wyboru punktu O,

~

ω jest prędkością kątowa bryły sztywnej w układzie inercjalnym, niezależną od wyboru punktu O,

~r jest wektorem położenia punktu P w układzie bryły.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Załóżmy, że bryła składa się z N punktów materialnych o masie m_α.Wtedy jej energia kinetyczna wyraża się wzorem

T = XN

α=1

1

2mα~v_{I α}² =

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Załóżmy, że bryła składa się z N punktów materialnych o masie m_α. Wtedy jej energia kinetyczna wyraża się wzorem

T = XN

α=1

1

2mα~v_{I α}² = XN

α=1

1

2mα[~v_O+ (~ω× ~rα)]²

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Załóżmy, że bryła składa się z N punktów materialnych o masie m_α. Wtedy jej energia kinetyczna wyraża się wzorem

T = XN

α=1

1

2mα~v_{I α}² = XN

α=1

1

2mα[~v_O+ (~ω× ~rα)]²

=

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Załóżmy, że bryła składa się z N punktów materialnych o masie m_α. Wtedy jej energia kinetyczna wyraża się wzorem

T = XN

α=1

1

2mα~v_{I α}² = XN

α=1

1

2mα[~v_O+ (~ω× ~rα)]²

= XN

α=1

1

2m_α~v_O² + XN

α=1

m_α~v_O· (~ω× ~rα) + XN

α=1

1

2m_α(~ω× ~rα)²

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Załóżmy, że bryła składa się z N punktów materialnych o masie m_α. Wtedy jej energia kinetyczna wyraża się wzorem

T = XN

α=1

1

2mα~v_{I α}² = XN

α=1

1

2mα[~v_O+ (~ω× ~rα)]²

= XN

α=1

1

2m_α~v_O² + XN

α=1

m_α~v_O· (~ω× ~rα) + XN

α=1

1

2m_α(~ω× ~rα)²

=

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Załóżmy, że bryła składa się z N punktów materialnych o masie m_α. Wtedy jej energia kinetyczna wyraża się wzorem

T = XN

α=1

1

2mα~v_{I α}² = XN

α=1

1

2mα[~v_O+ (~ω× ~rα)]²

= XN

α=1

1

2m_α~v_O² + XN

α=1

m_α~v_O· (~ω× ~rα) + XN

α=1

1

2m_α(~ω× ~rα)²

= 1

2m~v_O²

| {z }

Tpost.

+~v_O · ~ω× XN

α=1

mα~rα

! +

XN

α=1

1

2mα(~ω× ~rα)²

| {z }

T_obr.

,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Załóżmy, że bryła składa się z N punktów materialnych o masie m_α. Wtedy jej energia kinetyczna wyraża się wzorem

T = XN

α=1

1

2mα~v_{I α}² = XN

α=1

1

2mα[~v_O+ (~ω× ~rα)]²

= XN

α=1

1

2m_α~v_O² + XN

α=1

m_α~v_O· (~ω× ~rα) + XN

α=1

1

2m_α(~ω× ~rα)²

= 1

2m~v_O²

| {z }

Tpost.

+~v_O · ~ω× XN

α=1

mα~rα

! +

XN

α=1

1

2mα(~ω× ~rα)²

| {z }

T_obr.

,

gdzie

m≡ XN

m

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Załóżmy, że bryła składa się z N punktów materialnych o masie m_α. Wtedy jej energia kinetyczna wyraża się wzorem

T = XN

α=1

1

2mα~v_{I α}² = XN

α=1

1

2mα[~v_O+ (~ω× ~rα)]²

= XN

α=1

1

2m_α~v_O² + XN

α=1

m_α~v_O· (~ω× ~rα) + XN

α=1

1

2m_α(~ω× ~rα)²

= 1

2m~v_O²

| {z }

Tpost.

+~v_O · ~ω× XN

α=1

mα~rα

! +

XN

α=1

1

2mα(~ω× ~rα)²

| {z }

T_obr.

,

gdzie

m≡ XN

α=1

m_α jest masą bryły.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Jeśli nie ma więzów, to początek O najlepiej wybrać w środku masy S.Wówczas

~ r_S = 1

m XN

α=1

m_α~r_α= 0 ⇒ XN

α=1

m_α~r_α = 0

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Jeśli nie ma więzów, to początek O najlepiej wybrać w środku masy S.Wówczas

~ r_S = 1

m XN

α=1

m_α~r_α= 0 ⇒ XN

α=1

m_α~r_α = 0

i widzimy, że

T = Tpost.+ Tobr., gdzie

T_post. – energia ruchu postępowego środka masy,

T_obr. – energia ruchu obrotowego względem środka masy.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Jeśli nie ma więzów, to początek O najlepiej wybrać w środku masy S.Wówczas

~ r_S = 1

m XN

α=1

m_α~r_α= 0 ⇒ XN

α=1

m_α~r_α = 0

i widzimy, że

T = Tpost.+ Tobr., gdzie

T_post. – energia ruchu postępowego środka masy,

T_obr. – energia ruchu obrotowego względem środka masy.

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Jeśli są więzy, to przynajmniej jeden punkt bryły spoczywa.

Wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Jeśli są więzy, to przynajmniej jeden punkt bryły spoczywa.

Wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły.

Wówczas~v_O = 0 i otrzymujemy T = T_obr.,

a więc energia kinetyczna bryły jest równa energii jej ruchu obrotowego względem punktu O.

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Jeśli są więzy, to przynajmniej jeden punkt bryły spoczywa.

Wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły.

Wówczas~v_O = 0 i otrzymujemy T = T_obr.,

a więc energia kinetyczna bryły jest równa energii jej ruchu obrotowego względem punktu O.

Rozważmy energię kinetyczną ruchu obrotowego

T_obr.= XN

α=1

1

2m_α(~ω× ~rα)².

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Jeśli są więzy, to przynajmniej jeden punkt bryły spoczywa.

Wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły.

Wówczas~v_O = 0 i otrzymujemy T = T_obr.,

a więc energia kinetyczna bryły jest równa energii jej ruchu obrotowego względem punktu O.

Rozważmy energię kinetyczną ruchu obrotowego

T_obr.= XN

α=1

1

2m_α(~ω× ~rα)².

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i =

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i =ε_ijkω_jx_αkε_imnω_mx_αn

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i = εijkω_jx_αkε_imnω_mx_αn

=

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i = εijkω_jx_αkε_imnω_mx_αn

= (δjmδ_kn− δjnδ_km) ωjx_αkω_mx_αn

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i = εijkω_jx_αkε_imnω_mx_αn

= (δjmδ_kn− δjnδ_km) ωjx_αkω_mx_αn

=

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i = εijkω_jx_αkε_imnω_mx_αn

= (δjmδ_kn− δjnδ_km) ωjx_αkω_mx_αn

= ω_jω_jx_αkx_αk − ω_jx_αjω_kx_αk.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i = εijkω_jx_αkε_imnω_mx_αn

= (δjmδ_kn− δjnδ_km) ωjx_αkω_mx_αn

= ω_jω_jx_αkx_αk − ω_jx_αjω_kx_αk. W takim razie

T_obr. = XN

α=1

1

2m_α[ωiω_ix_αkx_αk − ωix_αiω_jx_αj]

=

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i = εijkω_jx_αkε_imnω_mx_αn

= (δjmδ_kn− δjnδ_km) ωjx_αkω_mx_αn

= ω_jω_jx_αkx_αk − ω_jx_αjω_kx_αk. W takim razie

T_obr. = XN

α=1

1

2m_α[ωiω_ix_αkx_αk − ωix_αiω_jx_αj]

= 1

2 XN

α=1

m_α[δ_ijx_αkx_αk − x_αix_αj] ω_iω_j.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Oznaczmy ~rα= (xα, y_α, z_α) ≡ (xα1, x_α2, x_α3) i rozważmy kwadrat iloczynu wektorowego

(~ω× ~rα)² = (~ω× ~rα)_i(~ω× ~rα)_i = εijkω_jx_αkε_imnω_mx_αn

= (δjmδ_kn− δjnδ_km) ωjx_αkω_mx_αn

= ω_jω_jx_αkx_αk − ω_jx_αjω_kx_αk. W takim razie

T_obr. = XN

α=1

1

2m_α[ωiω_ix_αkx_αk − ωix_αiω_jx_αj]

= 1

2 XN

α=1

m_α[δ_ijx_αkx_αk − x_αix_αj] ω_iω_j.

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Definiujemytensor bezwładności

Iij ≡ XN

α=1

mα[δijxαkxαk − xαixαj] .

Wówczas energia kinetyczna ruchu obrotowego wyraża się wzorem

T_obr.= 1 2Iijωiωj.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Definiujemytensor bezwładności

Iij ≡ XN

α=1

mα[δijxαkxαk − xαixαj] .

Wówczas energia kinetyczna ruchu obrotowego wyraża się wzorem T_obr.= 1

2Iijωiωj. Jeśli bryła obraca się względem ustalonej osi,

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Definiujemytensor bezwładności

Iij ≡ XN

α=1

mα[δijxαkxαk − xαixαj] .

Wówczas energia kinetyczna ruchu obrotowego wyraża się wzorem T_obr.= 1

2Iijωiωj.

Jeśli bryła obraca się względem ustalonej osi,tzn. tylko jedna ze składowych, np.ω_i = ω 6= 0,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Definiujemytensor bezwładności

Iij ≡ XN

α=1

mα[δijxαkxαk − xαixαj] .

Wówczas energia kinetyczna ruchu obrotowego wyraża się wzorem T_obr.= 1

2Iijωiωj.

Jeśli bryła obraca się względem ustalonej osi, tzn. tylko jedna ze składowych, np.ω_i = ω 6= 0,lub jeśli I_ij = I δij,gdzie I jest momentem bezwładności względem osi obrotu, to

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Definiujemytensor bezwładności

Iij ≡ XN

α=1

mα[δijxαkxαk − xαixαj] .

Wówczas energia kinetyczna ruchu obrotowego wyraża się wzorem T_obr.= 1

2Iijωiωj.

Jeśli bryła obraca się względem ustalonej osi, tzn. tylko jedna ze składowych, np.ω_i = ω 6= 0,lub jeśli I_ij = I δij,gdzie I jest momentem bezwładności względem osi obrotu, to

T_obr.= 1 2I ω².

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/29

Energia kinetyczna i tensor bezwładności bryły

Definiujemytensor bezwładności

Iij ≡ XN

α=1

mα[δijxαkxαk − xαixαj] .

Wówczas energia kinetyczna ruchu obrotowego wyraża się wzorem T_obr.= 1

2Iijωiωj.

Jeśli bryła obraca się względem ustalonej osi, tzn. tylko jedna ze składowych, np.ω_i = ω 6= 0,lub jeśli I_ij = I δij,gdzie I jest momentem bezwładności względem osi obrotu, to

T_obr.= 1 2I ω².

Tensor bezwładności

Jeśli bryła sztywna ma ciągły rozkład masy, to XN

α=1

mα → Z

dm(~x) = Z

ρ(~x) d³x,

gdzie dm(~x) jest infinitezymalnym elementem masy, którego położenie jest opisywane wektorem ~x = (x¹, x2, x3),

d³x= dx¹dx2dx3 jest elementem objętości, a ρ(~x) = dm(~x)

d³x ⇒ dm(~x) = ρ(~x)d³x jest gęstością masy.

Tensor bezwładności wyraża się wówczas wzorem I_ij =

Z

ρ(~x) [δijx_kx_k− xix_j] d³x.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29

Tensor bezwładności

Jeśli bryła sztywna ma ciągły rozkład masy, to XN

α=1

mα → Z

dm(~x) = Z

ρ(~x) d³x,

gdzie dm(~x) jest infinitezymalnym elementem masy, którego położenie jest opisywane wektorem ~x = (x¹, x2, x3),

d³x= dx¹dx2dx3 jest elementem objętości, a ρ(~x) = dm(~x)

d³x ⇒ dm(~x) = ρ(~x)d³x jest gęstością masy.

Tensor bezwładności wyraża się wówczas wzorem Z

3

Tensor bezwładności

Tensor bezwładności Iij =

Z

ρ(~x) [δijxkxk− xixj] d³x

możemy zapisać w formie macierzowej (x¹= x, x² = y , x³= z)

I = Z

ρ(~x)





y²+ z² −xy −xz

−yx x²+ z² −yz

−zx −zy x²+ y²



d³x.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29

Tensor bezwładności

Tensor bezwładności Iij =

Z

ρ(~x) [δijxkxk− xixj] d³x

możemy zapisać w formie macierzowej (x¹= x, x² = y , x³= z)

I = Z

ρ(~x)





y²+ z² −xy −xz

−yx x²+ z² −yz

−zx −zy x²+ y²



d³x.

Elementy diagonalne tensora bezwładności nazywają się momentami bezwładności,

Tensor bezwładności

Tensor bezwładności Iij =

Z

ρ(~x) [δijxkxk− xixj] d³x

możemy zapisać w formie macierzowej (x¹= x, x² = y , x³= z)

I = Z

ρ(~x)





y²+ z² −xy −xz

−yx x²+ z² −yz

−zx −zy x²+ y²



d³x.

Elementy diagonalne tensora bezwładności nazywają się momentami bezwładności,a elementy pozadiagonalne – momentami dewiacji.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29

Tensor bezwładności

Tensor bezwładności Iij =

Z

ρ(~x) [δijxkxk− xixj] d³x

możemy zapisać w formie macierzowej (x¹= x, x² = y , x³= z)

I = Z

ρ(~x)





y²+ z² −xy −xz

−yx x²+ z² −yz

−zx −zy x²+ y²



d³x.

Elementy diagonalne tensora bezwładności nazywają się momentami bezwładności, a elementy pozadiagonalne – momentami dewiacji.Tensor bezwładności jest symetryczny.

I_ji = I_ij.

Tensor bezwładności

Tensor bezwładności Iij =

Z

ρ(~x) [δijxkxk− xixj] d³x

możemy zapisać w formie macierzowej (x¹= x, x² = y , x³= z)

I = Z

ρ(~x)





y²+ z² −xy −xz

−yx x²+ z² −yz

−zx −zy x²+ y²



d³x.

Elementy diagonalne tensora bezwładności nazywają się momentami bezwładności, a elementy pozadiagonalne – momentami dewiacji. Tensor bezwładności jest symetryczny.

I_ji = I_ij.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29

Tensor bezwładności

Dlatego można go zawsze sprowadzić do postaci diagonalnej przez transformację ortogonalną (obrót).Odpowiednie momenty

diagonalne nazywają się wówczasgłównymi momentami bezwładności

Tensor bezwładności

Dlatego można go zawsze sprowadzić do postaci diagonalnej przez transformację ortogonalną (obrót). Odpowiednie momenty

diagonalne nazywają się wówczasgłównymi momentami bezwładności

I_ii ≡ Ii,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29

Tensor bezwładności

Dlatego można go zawsze sprowadzić do postaci diagonalnej przez transformację ortogonalną (obrót). Odpowiednie momenty

diagonalne nazywają się wówczasgłównymi momentami bezwładności

I_ii ≡ Ii,

a odpowiednie osie nazywają sięgłównymi osiamibezwładności.

Tensor bezwładności

Dlatego można go zawsze sprowadzić do postaci diagonalnej przez transformację ortogonalną (obrót). Odpowiednie momenty

diagonalne nazywają się wówczasgłównymi momentami bezwładności

I_ii ≡ Ii,

a odpowiednie osie nazywają sięgłównymi osiamibezwładności.

Dla ciał symetrycznych jedna z głównych osi - przechodząca przez środek masy - pokrywa się z osią symetrii, a pozostałe dwie osie są do niej ortogonalne.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29

Tensor bezwładności

Dlatego można go zawsze sprowadzić do postaci diagonalnej przez transformację ortogonalną (obrót). Odpowiednie momenty

diagonalne nazywają się wówczasgłównymi momentami bezwładności

I_ii ≡ Ii,

a odpowiednie osie nazywają sięgłównymi osiamibezwładności.

Dla ciał symetrycznych jedna z głównych osi - przechodząca przez środek masy - pokrywa się z osią symetrii, a pozostałe dwie osie są do niej ortogonalne.Np., jeżeli oś symetrii bryły utożsamimy z osią Oz układu kartezjańskiego lub cylindrycznego i założymy, że gęstość masy zależy tylko od odległości od osi obrotu

r=^px²+ y², tzn. ρ(r ), wtedy moment bezwładności względem osi symetrii dany jest wzorem

Z

Tensor bezwładności

Dlatego można go zawsze sprowadzić do postaci diagonalnej przez transformację ortogonalną (obrót). Odpowiednie momenty

diagonalne nazywają się wówczasgłównymi momentami bezwładności

I_ii ≡ Ii,

a odpowiednie osie nazywają sięgłównymi osiamibezwładności.

Dla ciał symetrycznych jedna z głównych osi - przechodząca przez środek masy - pokrywa się z osią symetrii, a pozostałe dwie osie są do niej ortogonalne. Np., jeżeli oś symetrii bryły utożsamimy z osią Oz układu kartezjańskiego lub cylindrycznego i założymy, że gęstość masy zależy tylko od odległości od osi obrotu

r=^px²+ y², tzn. ρ(r ), wtedy moment bezwładności względem osi symetrii dany jest wzorem

I = Z

ρ(r )r²d³x,

gdzie całkowanie przebiega po całej objętości bryły.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29

Moment pędu bryły sztywnej

W układzie inercjalnym bryła ma całkowity moment pędu

~L_całk. = XN

α=1

~

r_{I α}× ~p_{I α} = XN

α=1

~

r_{I α}× (mα~v_{I α}) = XN

α=1

m_α~r_{I α}× ~vI α.

Wstawmy związki

~r_{I α} = ~rO+ ~rα,

~

v_{I α} = ~v_O+ ~ω× ~r_α,

Moment pędu bryły sztywnej

W układzie inercjalnym bryła ma całkowity moment pędu

~L_całk. = XN

α=1

~

r_{I α}× ~p_{I α} = XN

α=1

~

r_{I α}× (mα~v_{I α}) = XN

α=1

m_α~r_{I α}× ~vI α. Wstawmy związki

~r_{I α} = ~rO+ ~rα,

~

v_{I α} = ~v_O+ ~ω× ~r_α, wówczas dostaniemy

~L_całk. = XN

α=1

mα(~r_O + ~rα) × (~v_O+ ~ω× ~rα)

= XN

α=1

m_α[~rO × ~vO + ~rO× (~ω× ~rα) + ~rα× ~vO+ ~rα× (~ω× ~rα)] .

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/29

Moment pędu bryły sztywnej

W układzie inercjalnym bryła ma całkowity moment pędu

~L_całk. = XN

α=1

~

r_{I α}× ~p_{I α} = XN

α=1

~

r_{I α}× (mα~v_{I α}) = XN

α=1

m_α~r_{I α}× ~vI α. Wstawmy związki

~r_{I α} = ~rO+ ~rα,

~

v_{I α} = ~v_O+ ~ω× ~r_α, wówczas dostaniemy

~L_całk. = XN

α=1

mα(~r_O + ~rα) × (~v_O+ ~ω× ~rα) XN

Moment pędu bryły sztywnej

Co możemy dalej przekształcić

~L_całk. = m~rO × ~vO+ ~rO ×

"

~ ω×

XN

α=1

m_α~r_α

!#

+ XN

α=1

m_α~r_α

!

× ~vO

+ XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~r_α) .

Jeśli bryła jest swobodna, to wybieramy O w środku masy,

~r_O = ~rS.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29

Moment pędu bryły sztywnej

Co możemy dalej przekształcić

~L_całk. = m~rO × ~vO+ ~rO ×

"

~ ω×

XN

α=1

m_α~r_α

!#

+ XN

α=1

m_α~r_α

!

× ~vO

+ XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~r_α) .

Jeśli bryła jest swobodna, to wybieramy O w środku masy,

~r_O = ~rS.Wówczas ^PN_α=1m_α~r_α= 0

Moment pędu bryły sztywnej

Co możemy dalej przekształcić

~L_całk. = m~rO × ~vO+ ~rO ×

"

~ ω×

XN

α=1

m_α~r_α

!#

+ XN

α=1

m_α~r_α

!

× ~vO

+ XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~r_α) .

Jeśli bryła jest swobodna, to wybieramy O w środku masy,

~r_O = ~rS.Wówczas ^PN_α=1m_α~r_α= 0 i całkowity moment pędu wyraża się wzorem

~L_całk. = m~rS × ~vS+ XN

α=1

mα~rα× (~ω× ~rα) =~rS× (m~vS) + ~L.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29

Moment pędu bryły sztywnej

Co możemy dalej przekształcić

~L_całk. = m~rO × ~vO+ ~rO ×

"

~ ω×

XN

α=1

m_α~r_α

!#

+ XN

α=1

m_α~r_α

!

× ~vO

+ XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~r_α) .

Jeśli bryła jest swobodna, to wybieramy O w środku masy,

~r_O = ~rS.Wówczas ^PN_α=1m_α~r_α= 0 i całkowity moment pędu wyraża się wzorem

~L_całk. = m~rS × ~vS+ XN

α=1

mα~rα× (~ω× ~rα) =~rS× (m~vS) + ~L.

Moment pędu bryły sztywnej

Jeśli są więzy, to wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły.Wtedy~r_O = 0 i~v_O = 0 i całkowity moment pędu ma postać

~L_całk. = XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~rα) = ~L.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29

Moment pędu bryły sztywnej

Jeśli są więzy, to wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły. Wtedy~r_O = 0 i~v_O = 0 i całkowity moment pędu ma postać

~L_całk. = XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~rα) = ~L.

Oznaczmy ~rα≡ (x_α1, x_α2, x_α3) i obliczmy [~rα× (~ω× ~rα)]_i =

Moment pędu bryły sztywnej

Jeśli są więzy, to wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły. Wtedy~r_O = 0 i~v_O = 0 i całkowity moment pędu ma postać

~L_całk. = XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~rα) = ~L.

Oznaczmy ~rα≡ (x_α1, x_α2, x_α3) i obliczmy [~rα× (~ω× ~rα)]_i =ε_ijkxαj(~ω× ~rα)_k =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29

Moment pędu bryły sztywnej

Jeśli są więzy, to wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły. Wtedy~r_O = 0 i~v_O = 0 i całkowity moment pędu ma postać

~L_całk. = XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~rα) = ~L.

Oznaczmy ~rα≡ (x_α1, x_α2, x_α3) i obliczmy

[~rα× (~ω× ~rα)]_i = ε_ijkxαj(~ω× ~rα)_k =ε_ijkε_kmnxαjωmxαn=

Moment pędu bryły sztywnej

Jeśli są więzy, to wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły. Wtedy~r_O = 0 i~v_O = 0 i całkowity moment pędu ma postać

~L_całk. = XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~rα) = ~L.

Oznaczmy ~rα≡ (x_α1, x_α2, x_α3) i obliczmy

[~rα× (~ω× ~rα)]_i = ε_ijkxαj(~ω× ~rα)_k = ε_ijkε_kmnxαjωmxαn= (δimδjn− δinδjm) xαjωmxαn=

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29

Moment pędu bryły sztywnej

Jeśli są więzy, to wybieramy początek układu inercjalnego OI i początek układu związanego z bryłą O w jednym z nieruchomych punktów bryły. Wtedy~r_O = 0 i~v_O = 0 i całkowity moment pędu ma postać

~L_całk. = XN

α=1

m_α~r_α× (~ω× ~rα) = ~L.

Oznaczmy ~rα≡ (x_α1, x_α2, x_α3) i obliczmy

[~rα× (~ω× ~rα)]_i = ε_ijkxαj(~ω× ~rα)_k = ε_ijkε_kmnxαjωmxαn= (δimδjn− δinδjm) xαjωmxαn=xαjωixαj− xαjωjxαi.