Określenie grupowej preferencji społecznej

Dla każdego decydenta bk tworzymy macierz preferencji Sk na podstawie zbioru uporząd­

kowania preferencyjnego Ok.

- H i

N a podstawie macierzy preferencji Sk tworzymy macierz sumaryczną - N preferencji indywi­

dualnych:

N = £ s k. (12.5)

Jako preferencję społeczną całej grupy decydentów przyjmujemy relację rozmytą o stopniach przynależności:

Hr (aj, aj) = - nij( ( 12.6)

n gdzie njj są elementami macierzy N.

Zadaniem naszym będzie wyznaczenie z tej relacji rozmytej, odzwierciedlającej preferencję społeczną grupy, pewnego nierozmytego uporządkowania preferencyjnego decyzji. Tę proce­

durę wyznaczania preferencji grupowej będziemy opierać na pojęciu a-obcięcia zbioru rozmy­

tego.

Określamy najpierw a-obcięcie relacji rozmytej R dla parametru a=T, gdzie t jest pewnym poziomem akceptacji preferencji w grupie.

R, = {(a;, aj) : n R(a„ a,)źx}. (12.7) Zbiór R, zawiera pary decyzji wchodzących w skład uporządkowania preferencyjnego, dla którego poziom akceptacji nie jest niższy od przyjętego t w całej grupie. Przytoczymy tutaj metodę zaproponowana przez Blina [8], a opisaną w pracach [44], [54].

1. Należy uporządkować wszystkie elementy macierzy Hr różne od zera w ciąg silnie male­

jący Ti, i 2, ... ,x,, tzn., jeżeli w macierzy nR kilka elementów ma tę samą wartość, to w utworzonym ciągu ta wartość wystąpi tylko jeden raz.

2. Wyznaczamy zbiór R T .

3. Sprawdzamy, czy wyznaczony zbiór pozwala na określenie uporządkowania preferencyj­

nego dla wszystkich decyzji.

Uwaga.

Uporządkowanie preferencyjne będzie określone, gdy zbiór R, będzie zawierał m (m -l)/2 par decyzji. Każda decyzja musi wystąpić dokładnie w m-1 parach zbioru Rt . Decyzja najbardziej preferowana musi wystąpić m-1 razy na pierwszej pozycji w parach. Decyzja druga pod względem preferencji musi wystąpić m-2 razy na pierwszej pozycji oraz 1 raz na drugiej itd. Najmniej preferowana decyzja wystąpi m-1 razy na drugiej pozycji w pa­

rach, natomiast nie pojawi się na pierwszej pozycji.

4. Jeżeli nie da się określić uporządkowania preferencyjnego, to wyznaczamy nowy zbiór R t . dla kolejnego i.

5. Ze zbioru tego eliminujemy pary, które wskazują na preferencję sprzeczną z parami zbio­

ru R _i—I

6 . Należy przejść do punktu 3.

7. Jeżeli udało się określić uporządkowanie preferencyjne w punkcie 4, to jest to koniec obliczeń. Jest to poszukiwane grupowe uporządkowanie preferencyjne.

8 . Jeżeli dla i= l,...,s nie udało się na podstawie zbiorów R, określić uporządkowania prefe­

rencyjnego decyzji, to stwierdzamy, że takie grupowe uporządkowanie preferencyjne nie istnieje. Stanowiska decydentów są zbyt rozbieżne. Powinni oni przedyskutować i uściślić kryteria ustalania preferencji oraz ponownie przedstawić bardziej zbliżone swoje stanowi­

ska.

Podamy teraz prosty przykład zastosowania wyżej przedstawionej procedury.

Dyrektor kopalni powołał grupę dziesięciu decydentów w celu ustalenia ważności i kolejno­

ści podjęcia aktualnie pilnych decyzji. Te decyzje oznaczono symbolami:

a - zakup nowego kombajnu węglowego KWB-3RUW/4000 i obudowy ścianowej PIOMA 25/45 OZ,

b - zakup nowych komputerów IBM PC i sieci komputerowej UNIX WARE,

c - wysłanie na szkolenie do Anglii grupy pracowników z zakresu nowoczesnego zarządzania, d - rozbudowa magazynu.

Decydenci przedstawili kolejność preferowania decyzji w następującej postaci:

P r z y k ł a d 12.1

Temu zapisowi odpowiadają następujące uporządkowania preferencyjne poszczególnych de­

cydentów:

N a podstawie tych uporządkowań tworzymy macierze preferencji Si dla każdego decydenta:

a b c d a b c d

a 0 1 0 1 a "0 0 1 f

S, = b 0 0 0 1 S2= S 3= b 1 0 1 1

c 1 1 0 1^» c 0 0 0 1

d 0 0 0 0 d 0 0 0 0

a b c d a b c d

Określamy teraz preferencję społeczną (grupową) jako relację rozmytą o następującej funkcji przynależności:

Obliczamy teraz relacje R, według wzoru (12.7):

R„o.8 = {(a, d)},

Rt-o.7 = {(a, c), (a, d), (b, c)},

Rt=o.6 = {(a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (d, c)}.

N a tym obliczenia możemy przerwać, ponieważ dla Rr=o.6 otrzymujemy już uporządkowanie zawierające wszystkie pary. Zbiór R ^ć jest więc poszukiwanym grupowym uporządkowaniem preferencyjnym O0. N a podstawie zbioru Oo możemy zapisać decyzje w kolejności ich prefe­

rowania przez grupę w dogodny, czytelny i zwięzły sposób:

b > a > d > c.

Jest to rozwiązanie wyżej przedstawionego zagadnienia podejmowania decyzji grupowych.

W celu uzupełnienia przedstawiamy także pozostałe R,:

Rt-04 = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (c, d), (d, b), (d, c)},

Rt.o.3 = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d), (d, b), (d, c)}, R«-o.2 = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b), (d, c)}.

Tak więc decyzją najważniejszą i podjętą w pierwszej kolejności powinna być decyzja o zakupie komputerów i sieci komputerowej dla kopalni. W drugiej kolejności należy zakupić kombajn i obudowę ścianową. Kolejną decyzją jest rozbudowa magazynu. Ostatnią decyzją jest wysłanie pracowników na szkolenie do Anglii.

Przedstawimy jeszcze inny sposób określania funkcji przynależności relacji rozmytej R re­

prezentującej preferencję społeczną [44]. Zamiast wzoru (12.6) można zastosować wzór na­

stępujący:

("u

aj) = rij = - n ^ / n , gdy n (J > n J1,

0, gdy n # < n j(. (12.8)

Przykład 12.2

Wyznaczymy teraz uporządkowanie grupowe dla dziesięciu decydentów z przykładu 12.1 stosując wzór (12.8). Otrzymamy funkcje przynależności |iR w postaci:

a b c d

Otrzymaliśmy uporządkowanie to samo co poprzednio: b > a > d > c.

Podsumowując możemy stwierdzić, że zaprezentowaną metodę możemy wykorzystać w różnych dziedzinach życia, nie tylko w górnictwie. Nadaje się ona tam, gdzie mamy podjąć szereg decyzji, a ważność decyzji ocenia grupa ekspertów. Preferencje decyzji przez poszcze­

gólnych ekspertów mogą być różne, a nawet sprzeczne. Zaprezentowana metoda pozwala określać preferencję społeczną (grupową) całego zespołu decydentów. Należy tu nadmienić, że nie zawsze da się określić taką preferencję dla całej grupy decydentów. W przypadku dużej rozbieżności stanowisk ekspertów taka preferencja grupowa nie istnieje. Rozważmy najprost­

szy przykład. Niech eksperci bi i b2 mają do dyspozycji dwie decyzje ai i a2. Ekspert bi bar­

dziej preferuje decyzję ai, a ekspert b2 bardziej a2. Mamy więc do czynienia z następującymi uporządkowaniami preferencyjnymi:

Oi = {(ai, a2)}, 0 2 = {(a2, a,)}.

Są to uporządkowania sprzeczne ze sobą. W takiej sytuacji można by powołać dodatkowego eksperta lub też eksperci powinni przekonsultować swoje opinie w celu uzgodnienia stano­

wisk. To samo dotyczy sytuacji, gdy mamy większą liczbę ekspertów i decyzji. Gdy stanowi­

ska ich są zbyt rozbieżne, powinni oni przedyskutować i uściślić kryteria ustalania preferencji oraz ponownie przedstawić bardziej zbliżone swoje stanowiska.

13. W Y K O R Z Y S T A N I E L I C Z B R O Z M Y T Y C H

D O P R O G N O Z O W A N I A S IL N Y C H W S T R Z Ą S Ó W G Ó R N I C Z Y C H