S. Zasada dominacji
6. WYKORZYSTANIE TEORII GIER NIEKOOPERACYJNYCH O SUMIE NIEZEROWEJ DO PODEJMOWANIA DECYZJIO SUMIE NIEZEROWEJ DO PODEJMOWANIA DECYZJI
Podstawowym celem każdego podmiotu gospodarczego jest kreowanie odbiorcy. W słowie kreowanie zawierają się również pozyskanie i utrzymanie odbiorcy. W gospodarce rynkowej, w której występują nadprodukcja i konkurencja, utrata odbiorcy oznacza stratę przychodów i wzrost kosztów (zapasy, niewykorzystane zdolności produkcyjne); pozyskanie odbiorcy oznacza wzrost przychodów i obniżenie kosztów z tytułu skali produkcji. Te sytuacje dobrze opisują modele gier niekooperacyjnych o sumie niezerowej.
6.1. Gry niekooperacyjne
W rozdziale tym nasza uwaga koncentrować się będzie na sytuacji, w której występuje konflikt interesów dwu lub więcej decydentów. Każdemu z nich będzie zależało na maksy
malizacji swoich zysków. W teorii gier o sumie zerowej wypłata dla jednego gracza oznaczała stratę dla drugiego. Tak więc suma wypłat dla graczy była równa zero. W grach o sumie nieze
rowej przyjmuje się, że wypłaty dla graczy mogą być różne. Zmiana strategii działania może spowodować zwiększenie zysków dla wszystkich graczy, może spowodować równoczesne zmniejszenie zysków lub zyski jednych graczy mogą być większe, a innych mniejsze. Ponieważ nie ma żadnych istotnych różnic między problemami wieloosobowymi a dwuosobowymi (poza trudnościami obliczeniowymi), będziemy więc prowadzili rozważania na przykładzie dwóch decydentów. Grę taką można przedstawić w postaci dwóch macierzy A i B [93]:
A ={a,j} (i=l,...,m; j=l,...,n), (6.1)
B = {bjj} (i=l,...,m; j=l,...,n), (6.2)
gdzie: ay oznacza wypłatę dla gracza (decydenta) pierwszego, a
bjj oznacza wypłatę dla gracza (decydenta) drugiego w przypadku zastosowania strategii a ; przez gracza pierwszego i
Pj przez gracza drugiego.
0,
Grę taką m ożna też przedstawić w postaci tablicy par liczb (ajj, bij) [50], [67], [96]:
B przy strategii partnera pierwszego a , t partner drugi osiąga maksymalny zysk stosując strategię Pjo > ’ P °d °b n ie przy strategii partnera drugiego 0 Jt partner pierwszy osiąga maksymalny zysk stosując strategię a ^ .
Punkt równowagi jest to taka para strategii (c ti#, P Jt), że partnerzy stosując ją nie chcą żadnej zmiany. Jeśli partner pierwszy wybierze a io, to dla drugiego najlepszą strategią jest 3, . Odwrotnie, gdy drugi partner wybierze Pj t , to dla pierwszego najlepszą strategiąjest a ic.
Jeżeli gra posiada jeden punkt równowagi, to gracze powinni stosować strategie określone przez ten punkt. Jeżeli gra posiada więcej punktów równowagi, to się komplikuje.
Przedstawimy teraz grę posiadającą dwa punkty równowagi. Ta gra, oparta na konflikcie małżeńskim, znana jest w literaturze pod nazwą "walka pici" [50], [67], [93].
Przykład 6.1
mecz bokserski albo balet. Obydwoje bardziej wolą wspólne spędzenie wieczoru. Ustalają oni pewne "wskaźniki przyjemności" będące wartościami wypłat w grze. M ogą oni:
- wspólnie iść na mecz bokserski (strategie ( a ^ P ,) ) , wtedy mąż osiągnie "wskaźnik przyjem tych dwóch punktów komplikuje sytuację. Partnerzy nie mogą podjąć żadnej satysfakcjonu
jącej ich decyzji, przy założeniu że nie mogą się ze sobą porozumiewać.
Pokażemy teraz przykład gry z jednym punktem równowagi. Będzie on miał na celu po
kazanie, ja k niekorzystny jest brak kooperacji.
P rzykład 6.2
Dwa konkurujące ze sobą przedsiębiorstwa Pi i P2 dążą do maksymalnego zwiększenia swoich zysków poprzez realizację swoich strategii działania. Przedsiębiorstwo Pi ma do dyspozycji sześć strategii a ,,...,c t 6, a przedsiębiorstwo P2 sześć strategii P ,,...,P 6. Tablica zysków w min złotych przedstawia się następująco:
P2
74
Jedynym punktem równowagi w tej grze w myśl definicji 6.1 jest para strategii ( a 6,p 6) dająca zysk przedsiębiorstwom odpowiednio (10 min zł, 10 min zł). Do tego samego rezultatu można dojść analizując macierze zysków dla każdego przedsiębiorstwa z osobna:
P. 02 03 04 05 06
To samo otrzymujemy, stosując zasadę dominacji.
Dla przedsiębiorstwa Pi strategia a 6 dominuje nad pozostałymi.
D la przedsiębiorstwa P2 strategia P 6 dominuje nad pozostałymi.
Wszystkie metody matematyczne przy braku kooperacji wskazują, że należy wybrać strate
gie ( a 6,P 6) . Daje to zysk przedsiębiorstwom po 10 milionów złotych. Jest to mały zysk w porównaniu z 90 milionami złotych, które każde z przedsiębiorstw mogło uzyskać, stosując strategie ( a , , 3 , ) . Wybór tych strategii wymaga jednak wcześniejszego uzgodnienia i dotrzy
mania umowy przez obydwa przedsiębiorstwa. Innymi słowy, musiałaby wystąpić kooperacja między przedsiębiorstwami w zakresie wyboru strategii działania.
6.3. Poszukiwanie rozwiązania w grach niekooperacyjnych o sumie niezerowej
Ogólnie przyjmujemy, że macierze gry A i B posiadają m wierszy i n kolumn.
D efinicja 6.2
Strategia k-ta dominuje nad strategią 1-tą w macierzy A, jeżeli:
V akj > aij, (j=l,...,n). (6.10)
Strategię k-tą nazywamy dominującą nad strategią 1-tą, a strategię 1-tą nazywamy zdomino
w aną przez strategię k-tą [50], [96], [102].
D efinicja 6.3
Strategia r-ta dominuje nad strategią s-tą w macierzy B, jeżeli:
V b ir> b il, (i=l,...,m). (6.11)
i
Strategię r-tą nazywamy dominującą nad strategią s-tą, a strategię s-tą nazywamy zdomino
waną przez strategię r-tą [50], [96], [102].
D efinicja 6.4 [93]
Para strategii o wskaźnikach (u,v) stanowi rozwiązanie równowagi niekooperacyjnej w sensie Nasha, dla procesu dwuosobowego o sumie niezerowej określonego przez macierze A i B, jeżeli dla każdego wskaźnika "i" oraz "j" są spełnione nierówności:
3uv ^ aiv i buv — buj. (6.12)
W grach o sumie niezerowej może występować kilka punktów równowagi w sensie Nasha, przy czym rezultaty w tych punktach są różne. Przy wyborze decyzji w takim przypadku można skorzystać z następującej definicji:
D efinicja 6.S [93]
Para strategii o wskaźnikach (u,v) jest lepsza od pary strategii określonej wskaźnikami (p,q), jeżeli:
a u v ^ 3 p q 1 b u v ^ b p q . ( 6 . 1 3 )
Przynajmniej jedna z tych nierówności musi być ostra.
U w aga: Jeżeli zagadnienie rozpatrujemy z punktu widzenia minimalizacji kosztów, a nie maksymalizacji zysków, to znaki nierówności w powyższych wzorach należy zmienić na łl^łl
Powracając do "walki pici", możemy stwierdzić, że w tej grze nie występują strategie do
minujące. Natomiast są dwie pary strategii (<x,,p,) i ( a 2,P 2) , które są punktami równowagi niekooperacyjnej w sensie Nasha. Wśród znalezionych par strategii równowagi nie ma strategii lepszych.
Dotychczas rozważaliśmy gry, które posiadały co najmniej jeden punkt równowagi w sensie Nasha. Istnieją jednak gry, które nie posiadają żadnego punktu równowagi. Wystarczy nieco zmienić liczby w macierzach wypłat z przykładu 6.2, aby otrzymać taką grę.
Przykład 6.3.
D wa przedsiębiorstwa Pi i P2 (jak w przykładzie 6.2) mają następującą tablicę zysków:
P2 strategie z określoną częstotliwością. Nash udowodnił [67], że taka gra ma rozwiązanie w za
kresie strategii mieszanych.
TWIERDZENIE 6.1 [50]
"Każda niekooperacyjna gra niezerowa o skończonej liczbie strategii ma przynajmniej jeden punkt równowagi w zakresie strategii mieszanych". Dla naszych przykładów przez y oznacza się tutaj częstotliwość występowania strategii a , , a przez 1-y częstotliwość a 2 . Strategia P, występuje z częstotliwością z, a P2 z częstotli
wością 1-z. "Para (yoTAzo, yoTBzo) stanowi wynik równowagi Nasha w strategiach mieszanych.
M ożna wykazać, że podobnie jak w przypadku punktu siodłowego w strategiach mieszanych istnieje zawsze co najmniej jedno rozwiązanie równowagi Nasha w tego typu strategiach" [93].
Wyznaczenie strategii Nasha jest skomplikowane i wiąże się z zastosowaniem programo
wania nieliniowego. Nie będziemy się dalej tym zajmować. Proste przykłady i sposób znale
zienia takich strategii mieszanych przedstawiono w pracy [93].
N a zakończenie podamy jeszcze przykład wykorzystania teorii gier o sumie niezerowej w górnictwie.
Przykład 6.4
Przykład będzie dotyczył wybrania jednej spośród ośmiu mieszanin samozestalających wy
konanych na bazie odpadów poflotacyjnych i popiołów lotnych. Wybór będzie dokonywany w oparciu o maksymalizację wytrzymałości na ściskanie mieszanin samozestalających oraz o maksymalizację nośności podsadzki samozestalającej. Dane rzeczywiste do przykładu zostały zaczerpnięte z pracy [80]. Wytrzymałość różnych mieszanin była badana po 28 dniach, a nośność po 72 godzinach. Badania były przeprowadzone w dwóch wersjach: w warunkach powietrznosuchych i w komorze klimatyzacyjnej [80]. Dane liczbowe przedstawia tablica 6.1
Tablica 6.1
cd. tablicy 6.1
5 0.87 >0.5 0.89 0.30
6 0.85 0.07 0.75 0.02
7 0.91 0.05 0.60 0.01
8 0.71 0.30 0.69 0.12
Źródło: pozycja literatury [80].
D ane liczbowe z tej tablicy potraktujemy jako wyniki pewnej gry dwuosobowej, niekoope- racyjnej o sumie niezerowej. Gracz A będzie dysponował ośmioma strategiami a a „ określonymi jako wybór mieszaniny samozestalającej. Graczowi A będzie zależało na maksy
malizacji wytrzymałości na ściskanie mieszaniny samozestalającej. Gracz B będzie dysponował dwiema strategiami p, i P 2: wiązanie mieszaniny w warunkach powietrznosuchych ( P ,) lub w komorze klimatyzacyjnej ( P 2). Graczowi B zależy na maksymalizacji nośności podsadzki samozestalającej. Tę grę możemy zapisać w postaci:
Gracz B
Gracz A
P, P,
' (0.83,0.21) (1.34, 0.22)' a 2 (0.69, 0.12) (0.55, 0.07)
(0.95, 0.45) (1.67,0.50)
<*4 (0.89,0.23) (0.69,0.15)
«5 (0.87, > 0.5) (0.89,0.30) (0.85, 0.07) (0.75,0.02)
<*7 (0.91,0.05) (0.60, 0.01) a* (0.71,0.30) (0.69,0.12)
(6.17)
Jedynym punktem równowagi w tej grze w myśl definicji 6.1 jest para strategii ( a , , P 2) dająca wynik gry (1.67, 0.5). Jeżeli gracz A zdecyduje się na wybranie strategii a 3, to dla gracza B najlepszą strategią będzie P2. Odwrotnie, gdy drugi partner wybierze P 2, to dla pierwszego najlepszą strategią jest a 3. Na podstawie definicji 6.4 stwierdzamy również, że para strategii ( a 3,0 2) stanowi rozwiązanie tej gry, ponieważ:
V a 32£ a i2 oraz V b 32> b 3j (6.18)
Do tego samego rezultatu możemy dojść, wykorzystując definicje strategii dominujących i zdominowanych. Dla gracza A mamy:
- strategia a , dominuje nad a 2, a , ;
-strategia a 3 dominuje nad otl , a 2, a 4, a 5, a (i, a 7, a 8;
- strategia a 4 dominuje nad a 2, a , ; - strategia a 5 dominuje nad a 2, a 6, a , ; - strategia oc6 dominuje nad a 2, a , ; - strategia a , dominuje nad a 2;
- strategia a g dominuje nad a 2.
Po wyeliminowaniu z gry strategii zdominowanych graczowi A została tylko jedna strategia a 3 . Dla gracza B w tym przypadku lepszą strategią jest P2, ponieważ b32>b3i (0.5>0.45). Tak więc najlepszą mieszaniną samozestalającą spośród ośmiu przebadanych jest trzecia. Na pod
stawie pracy [80] skład tej mieszaniny jest następujący: 40% - odpady poflotacyjne, 40% - popioły lotne, 16% - woda słona, 4% - cement 350.